Site Loader

Содержание

Переход от поверхностного интеграла ІІ рода к тройному. Формула Остроградского-Гаусса

Формула Остроградського-Гауса применяют для преобразования объемного (тройного) интеграла к интегралу по замкнутой поверхности (двойного), превращения объемного (тройного) интеграла к интегралу по замкнутой поверхности (двойного), и наоборот:

Другое приложение формулы это вычисления потока векторного поля через замкнутую поверхность с помощью интеграла от дивергенции этого поля по объему, что ограничен этой поверхностью.
Дальше будут приведены примеры перехода от двойного к тройному интегралу, расстановки пределов и вычисления объемных интегралов.

 

Пример 1 Используя формулу Остроградського-Гауса, превратить поверхностный интеграл

если гладкая поверхность S ограничивает конечный объем V и — направляющие косинусы внешней нормали к поверхности S.

Решение: Поверхностный интеграл 2-го рода сводится к тройному интегралу с помощью формулы Остроградського-Гауса:

где P, Q, R выписываем из заданного интеграла 
— частичные производные функции.
Далее повторно вычисляем производные, чтобы получить направляющие косинусы в направлении каждой из осей

Можем перейти от двойного интеграла к тройному

здесь обозначили Δu — дельта оператор Лапласа

На этом все объяснения к первому примеру.

 

Пример 2 Используя формулу Гауса-Остроградського, превратить поверхностный интеграл

по гладкой поверхности S ограничивающей конечный объем V и — направляющие косинусы внешней нормали к поверхности S.

Решение: Поверхностный интеграл второго рода сведем к трехмерному интегралу, используя формулы Гауса-Остроградського:


где P=P(x, y, z)=x3, P=P(x, y, z)=y3, P=P(x, y, z)=z3 берем из условия.
Вычисляем вторые производные по «икс, игрек, зет»

Записываем формулу перехода от двойного интеграла к тройному  

На этом примере Вы видите, что сам переход между кратными и тройными интегралами найти не трудно.
Значительное количество ждет при необходимости расставить пределы интегрирования и найти тройной интеграл.

 

Пример 3 Используя формулу Гауса-Остроградського, превратить поверхностный интеграл

если гладкая поверхность S ограничивает конечный объем V и — направляющие косинусы внешней нормали к поверхности S.

Решение: Поверхностный интеграл второго рода сведем к тройному интегралу, используя формулу Гауса-Остроградського :

где P=P(x, y, z)=yz, Q=Q(x, y, z)=xz, R=R(x, y, z)=xy.
Частичные производные второго порядка от P, Q, R

Поэтому тройной интеграл равен нулю

Пример 4 Используя формулу Гауса-Остроградського, вычислить поверхностный интеграл int[x3dydz+y3dzdx+z3dxdy, S]

где S- внешняя сторона сферы x2+y2+z2=a2.

Решение: Поверхностный интеграл ІІ рода сводим к трехкратному интегралу, используя формулу Гауса-Остроградського:

Выписываем P=P(x, y, z)=x3, Q=Q(x, y, z)=y3, R=R(x, y, z)=z3.
Тогда частичные производные от P, Q, R равны

Область S ограничивает сфера V уравнением:
x2+y2+z2=a2.
В декартовой системе координат вычислять тройной интеграл когда объем ограничен сферой нецелесообразно, поскольку будем иметь корневые функции в пределах интеграла.
Поэтому всюду перейдем к сферической системе координат:

Находим частичные производные первого порядка по углам от параметризующих координат

Дополнительно необходимо найти якобиан перехода:

Он служит дополнительным множителем в интеграле.
Вычислим подынтегральное выражение в новых координатах:

Дальше используя формулу Остроградського-Гауса находим поверхностный интеграл второго рода:

Внимательно пересмотрите как раскрывали внутренние интегралы в тройном.

 

Пример 5 Используя формулу Гаусса-Остроградського, превратить поверхностный интеграл

по гладкой поверхности S ограничивающей конечный объем V и — направляющие косинусы внешней нормали к поверхности S.

Решение: Имеем поверхностный интеграл ІІ рода

Сведем к объемному интегралу, используя формулу Гауса-Остроградського: 

В соответствии с условием функции P, Q, R принимают значение

Вычисляем частичные производные второго порядка за переменными x, y, z

Подставляем и сводим интегрирование по площади на интегрирование по объему

На сайте размещены сотни развязанных примеров из интегрирования, которые охватывают весь курс из интегралов.
Все что нужно для учебы Вы можете пересмотреть в категории интегрирования!

формулировка и применение, интегральная и дифференциальная форма

Теорема Остроградского-Гаусса: история открытия

Теорема Остроградского-Гаусса или теорема о дивергенции — один из основополагающих законов электродинамики, устанавливающий связь между электрическими зарядами и электрическим полем.

Эта теорема выражает равенство между потоком напряженности электрического поля через замкнутую поверхность и значением заряда \(q\), расположенного внутри объема этой поверхности.

В отличие от закона Кулона теорема Остроградского-Гаусса позволяет выразить свойства электростатического поля в более общей форме.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Имея заряд \(q\), окруженный замкнутой поверхностью любой формы, в каждой точке этой поверхности можно наблюдать электрическое поле, спровоцированное этим зарядом.

Чтобы найти поток напряженности электрического поля, необходимо перемножить напряженность этого поля и сколь угодно малую единицу окружающей заряд поверхности. А после, зная это, можно рассчитать поток напряженности, который проходится на каждую единицу поверхности.

В этом заключается суть теоремы Остроградского-Гаусса. Ее можно сформулировать как совокупный поток напряженного электрического поля, проходящий через плоскость, окружающую заряд, пропорционален величине заряда.

Теорема активно используется в электродинамике, а для более сложных полевых теорий, существуют ее обобщения и аналоги.

Теорема была выведена двумя учеными независимо друг от друга. Российский математик Михаил Остроградский в 1828 году вывел теорему, применимую для векторного поля любой природы, а то время как его немецкий коллега Карл Гаусс, увлекшись изучением магнетизма и электрических полей, представил миру свою теорему применительно к электростатическому полю.

Михаил Остроградский доказал теорему электростатики через уравнение дифференциальной формы, в то время как Карл Гаусс в 1839 году получил аналогичный результат в интегральной форме.

Физический смысл формулы

Физический смысл формулы сводится к тому, что поток электрической индукции (\(D\)) через любую замкнутую поверхность \(S\) пропорционален суммарному заряду, заключенному внутри этой поверхности (\(q\)).

Вывод формулы в интегральной форме

Начнем с того, что поток вектора напряженности электрического поля равен числу линий напряженности, пересекающих поверхность \(S\). Обратим внимание на рисунок 1. В данном случае поток вектора напряженности через \(dS\) будет равен:

\(d\phi_E=EdS\cos\left(\alpha\right)=E_ndS\)

 

Таким образом, в однородном поле \(\phi_E=ES\) , а в произвольном электрическом поле:

\(\phi_E=\int_SE_ndS=\int_s\overrightarrow Ed\overrightarrow S\)

В этом случае \(d\overrightarrow S=dS\overrightarrow n\) — положение \(dS\) в пространстве задается с помощью вектора \(\overrightarrow n\). То есть направление вектора \(d\overrightarrow S\) совпадает с направлением \(\overrightarrow n\) .

2=\frac q{\varepsilon_0}\)

Учитывая непрерывность линии \(\overrightarrow E\), поток через любую поверхность \(S\) будет равен той же величине:

\(\phi_E=\oint_SE_ndS=\frac q{\varepsilon_0}\)

Формула для нескольких зарядов будет записываться следующим образом:

\( \phi_E=\oint_SE_ndS=\frac{\sum_{}q}{\varepsilon_0}\)

Вывод формулы в дифференциальной форме

Дифференциальная форма теоремы используется для расчета электростатического поля в случае произвольного пространственного распределения зарядов. В этой форме отражена связь между объемной плотностью заряда \(\rho\) и изменением \(\overrightarrow E\) вокруг этой точки пространства.

Используем теорему Остроградского-Гаусса, в соответствии с которой поток вектора \(\overrightarrow A\) через любую замкнутую поверхность равняется интегралу от его дивергенции по объему, охваченному этой поверхностью:

\(\oint_SA_ndS=\int_Vdiv\overrightarrow AdV\).

Пример

В данном случае \(div\overrightarrow A\) в любой точке поля обозначает предел отношения потока вектора \(\overrightarrow A\) через замкнутую поверхность \(S\), которая охватывает точку \(M\), к объему \(\triangle V\) части поля, ограничиваемой поверхностью \(S\), при неограниченном уменьшении \(\triangle V\) :

\(div\overrightarrow A=\lim_{\triangle V\rightarrow0}\frac1{\triangle V}\oint(\overrightarrow Ad\overrightarrow S)\).

Вернемся к заряду. Предположим, что он распределен в пространстве \(\triangle V\), а его объемная плотность \(<\rho>\), тогда в соответствии с теоремой Остроградского-Гаусса:

\(\oint(\overrightarrow Ed\overrightarrow S)=\frac q{\varepsilon_0}\) или же\( \oint(\overrightarrow Ed\overrightarrow S)=\frac{<\rho>\triangle V}{\varepsilon_0}\).

Если устремить \(\triangle V\) к \(0\), притягивая его к нужной нам точке, то в этом случае \(<\rho>\) в этом точке будет стремиться к \(\rho\), то есть \(\frac{<\rho>}{\varepsilon_0}\rightarrow\frac\rho{\varepsilon_0}.\)

Дивергенцией вектора \(\overrightarrow E\) называется величина, которая является пределом отношения \(\oint(\overrightarrow Ed\overrightarrow S)\) к \( \triangle V\) при \(\triangle V\rightarrow0\) . Обозначается это как \(div\overrightarrow E\) и соответствует \(div\overrightarrow E\;=\;\lim_{\triangle V\rightarrow0}\frac1{\triangle V}\oint(\overrightarrow Ed\overrightarrow S\))

Этим же способом определяется дивергенция любого векторного поля.

Применение формулы

Формула используется для того, чтобы преобразовать объемный интеграл в интеграл по замкнутой поверхности и наоборот.

В матанализе формула теоремы Остроградского-Гаусса используется для вычисления дивергенции, то есть потока векторного поля через поверхность окрестности по внешним направлениям. Принимая во внимание то, что поток векторного поля через замкнутую поверхность \(\delta\) в направлении внешней единичной нормали \(\overline{n_0}\) равен дивергенции данного поля, вычисленной по телу \(T\), которое эта поверхность

 

Применение теоремы

Для расчета электростатического поля

Теорема Остроградского-Гаусса применяется для расчета электростатического поля для тех задач, где поле имеет специальную симметрию. Например, плоскую, цилиндрическую или сферическую. В данном случае на эффективность применения теоремы влияют симметрия и конфигурация поля, которые должны соответствовать двум условиям:

  • заряженное тело должно быть окружено простой замкнутой поверхностью;
  • вычисление потока вектора напряженности необходимо свести к умножению \(Е\) (или \(E_n\)) на площадь поверхности \(S\) или часть нее.

Если исходные данные не соответствуют условиям, то при решении задачи необходимо использовать другие методы.

Для плоскости

Рассмотрим применение теоремы для равномерно заряженной плоскости.

Задача

Предположим, что заряд положительный, а плоскость заряжена с постоянной поверхностной плотностью, что выражается в формуле \(\delta=\frac{dq}{dS}\). Благодаря симметрии можно сделать вывод, что напряженность в любой точке поля обладает направлением, перпендикулярным плоскости. Из этого же можно сделать вывод, что во всех точках, симметричных плоскости, напряженность поля одинакова, но ее направление противоположно.

Отметим на заряженной плоскости площадь \(\triangle S\). Определим вокруг площадки замкнутую цилиндрическую поверхность (рисунок 3) так, чтобы ее образующие основания были перпендикулярны плоскости, располагались симметрично, относительно нее и имели величину \(\triangle S\).

 

А теперь используем теорему Остроградского-Гаусса: \(\oint_SE_ndS=\frac1{\varepsilon_0}{\textstyle\sum_{}^{}}q_1\). Так как в этом случае \(E_n=0\) в каждой точке, через боковую часть потока не будет. В случае оснований \(E_n=E\), а исходя из этого совокупный поток через поверхность равен \(2E\triangle S\).

Посмотрим теперь внутрь поверхности. Там заключен заряд \(\delta\triangle S\). В соответствии с теоремой Остроградского-Гаусса, должно быть выполнено условие: \(2E\triangle S=\frac{\delta\triangle S}{\varepsilon_0}\), из чего следует \(E=\frac\delta{2\varepsilon_0}\).

Так как напряженность поля равна на любых расстояниях от плоскости, в вычисления не нужно включать длину цилиндра. Если плоскость заряжена, то направление векторов изменяется на противоположное.

Для сферической поверхности

Задача

Возьмем поле, которое создает сферическая поверхность с радиусом \(R\), заряженное с постоянной поверхностной плоскость \(\delta\). Так как этому полю характерна центральная симметрия, направление вектора \(\overrightarrow E\) в любой точке проходит через центр сферы. Nq_i=Q(2)\)

В этом случае \(\overrightarrow D\) — это вектор электрического смещения, \(q_i\) — это свободные заряды, а \(Q\) — суммарный свободный заряд, находящийся внутри объема, ограниченного поверхностью \(S\). В вакууме векторы \(\overrightarrow D\) и \(\overrightarrow E\) совпадают.

Для расчета магнитного поля

Задача

Выделим элементарную бесконечно малую площадку \(dS\) в магнитном поле. Предположим, что она настолько маленькая и плоская, что вектор B можно признать одинаковым по величине и направлению в каждой точке магнитного поля, независимо от того однородно оно или нет.

Тогда поток вектора магнитной индукции сквозь \(dS\) можно определить с помощью выражения \(d\phi=BdS\cos\left(\overrightarrow B\wedge d\overrightarrow S\right)=B_ndS=\overrightarrow Bd\overrightarrow S \).

В данном случае \(B_n\) равно \(B\cos\left(\alpha\right)\), где \(\alpha\) это острый угол между направлениями вектора \(В\) и нормалью. \(B_n\) — это проекция вектора магнитной индукции в области нахождения площадки \(dS\) на направление нормали (рисунок 4).

 

Определение потока магнитной индукции через произвольную поверхность звучит как сумма потоков через элементарные площадки, на которые разбита эта поверхность, и выражается в виде интеграла по этой поверхности:

 

Области применения теоремы

Ценность теоремы Остроградского-Гаусса состоит в формулировке общих свойств электрического поля. Она — один из основных постулатов теории электричества. Поэтому широко применяется в общей и учебной физике и таких ее областях как электромагнетизм, электростатика и механика, с ее помощью решают задачи и изучают векторные (в том числе электромагнитные) поля.

Кроме этого теорема применяется в электродинамике, гидродинамике и математическом анализе.

Формула Остроградского-Гаусса. Геометрическое определение дивергенции

Содержание:

Формула Остроградского-Гаусса.

Геометрическое определение дивергенции

Формула Остроградского-Гаусса. Геометрическое определение дивергенции. Просто C-это площадь пространства Щуга. На плоскости y функции p (x, y) и φ (x, y) непрерывны в замкнутой области η (x, y) GR (X, y), (x, y) e (x, y) и, в некоторых случаях, 52, так что граница C состоит из 2 поверхностей и 32, соответственно, определенных явными выражениями r = p (x, y) и r =φ (X, Y).Скалярные и векторные поля 282. Из части 50 цилиндра, которая является границей доменной стенки в области 50 (см.§ 44.1).Мы также предполагаем, что 50 и 32 являются кусочно-гладкими поверхностями(рис. 210). Внешняя Нормаль V гладкой поверхности детали 5 является ее направлением. Эти ориентации приводят к тому, что гладкие части поверхности 5 ориентируются согласованным образом (см.§ 50.11) и, таким образом, вся поверхность 5 ориентируется.

Эта ориентация получается, если для каждой гладкой части поверхности выбрать ориентацию кромки, которая соответствует внешней нормали V этой части в соответствии с правилом штопора. 5e(см. 51.1). В рассматриваемом случае выбор нормального V может быть легко описан непосредственно. То есть оно не влечет за собой понятия» внешний » normals. At в точке поверхности 5b, где присутствует Нормаль, необходимо выделить нормали, образующие оси Og и obtone, а в точке поверхности 52-острую angle. In условия поверхности 50, выбор нормалей для наших целей безразличен, как показано ниже.

Поскольку эти нормали всегда перпендикулярны оси, они принимают Интеграл в виде поверхности, равной нулю при 50 (51.7) относительно нормального выделения Oh Предположим, что область O имеет свойства, аналогичные указанным выше для всех осей. Такая область называется элементарной областью (см.§ 47.5). пример базовой области показан на рисунке. 210). cosa, COS, cos y обозначает Косинус направления единичной внешней нормали V поверхности 5. y =(cosa, возраст, cos y). 52.3.Формула остро грацки-Гаусса Двести восемьдесят три Теорема 1 (Остроградский-Гаусс*)).Предположим, что в замыкании o области O указанного выше типа функции P = P (x, y, r), g = C} (x, y, r) и= = H (x, y, r) являются смежными Его частные производные. 2 = и RLuig + ax + Khyhu * Эффективность такой нотации непосредственно вытекает из определения поверхностной фракции 2-го класса. (51.7) и (51.12).

В этом случае вся граница S области D также будет кусочно-гладкой поверхностью, и, кроме того, она будет ориентироваться как кусочно-гладкая поверхность, которая является границей области. Людмила Фирмаль
  • Уравнение остроглацкого-Гаусса(52.12) также может быть доказано в случае более общего вида области O, то есть если в области O -, 7 = 1, 2, существует конечное разбиение…0 того типа, который мы рассмотрели выше: для этого достаточно написать формулу Остроградского для каждой области O и сложить результаты obtained. As в результате вы получите нужную формулу для площади O. In дело в том, что в левой части уравнения аддитивность интеграла дает ешние нормали в точке границы O, принадлежащей двум таким областям, граница существенной части границы O указывает в разные стороны за счет того, что соответствующий Интеграл области O получается и расположен на правой стороне.

Смотрите также:

Решение задач по математическому анализу

Гаусса — Остроградского формул — Энциклопедия по машиностроению XXL

Гаусса — Остроградского формула 133-135  [c.346]

Эти интегралы фигурируют в осн. теоремах В. а.— Гаусса — Остроградского формуле и Стокса формуле .  [c.253]

Согласно Гаусса—Остроградского формуле, Д. векторного поля определяет поток этого поля через любую замкнутую поверхность и, следовательно, характеризует силу источников этого поля. Операция Д. обладает след, свойствами  [c.615]

Используя гаусса — Остроградского формулу и Стокса формулу ур-ниям (1) — (4) можно придать форму интегральных  [c.33]


Гаусса метод 51, 53 Гаусса формула 230, 231, 232, 233 Гаусса — Остроградского формула 64  [c.348]

Г. Формула Стокса. Одним из важнейших следствий теоремы о внешней производной является формула Ньютона — Лей б н и ца — Гаусса — Грина — Остроградского — Стокса — Пуанкаре  [c. 167]

В дальнейшем будет использована известная формула Гаусса — Остроградского в виде  [c.15]

Интегральным соотношениям (1.1.9) после применения формулы Гаусса — Остроградского соответствуют дифференциальные уравнения импульсов каждой составляющей  [c.16]

Интегральным соотношениям (1.1.19) после применения формулы Гаусса — Остроградского соответствуют дифференциальные уравнения энергии составляющих  [c.18]

Из (1.1.25) после использования формулы Гаусса — Остроградского, с учетом (1.1.17), (1.1,6), следует более явное определение субстанциональной производной где вместо может быть любая величина, аддитивная по массам составляющих, т. е. удовлетворяющая условию (1.1.17)  [c.19]

Принимая во внимание (2.2.12), преобразуем поверхностный интеграл в объемный по теореме Гаусса — Остроградского и, учитывая, что это уравнение справедливо для произвольного макроскопического объема V, получим формулу  [c. 70]

Условие на границе ячейки. Используем формулу Гаусса — Остроградского для интеграла по объему is(a ), ограниченному частью внешней границы ячейки ,8 ( )i частью поверхности частицы и сечением ячейки 1( 2 ), приходящимся на не-  [c.105]

Пренебрегая вкладом потенциального поля w в малом объеме погранслоя 0 й, используя формулу Гаусса — Остроградского для объема в , ограниченного сферической границей ячейки с внешней нормалью = x lr и сферической поверхностью частицы Сд с внешней нормалью = —x lr, получим  [c.196]

Полагая в формуле Гаусса — Остроградского p = pv . = r=pv,, получим  [c.559]

Преобразуем интеграл по поверхности в интеграл по объему. По формуле Гаусса — Остроградского, заменив р его значением из (7), получим  [c.565]

Наиболее часто используемое выражение для потока получают применением формулы Гаусса—Остроградского для преобразования интеграла по замкнутой поверхности S в интеграл по объему V, ограниченному этой поверхностью  [c. 220]

Преобразуем последний интеграл по формуле Гаусса— Остроградского  [c.24]

Преобразуем последний интеграл, воспользовавшись формулой Гаусса — Остроградского и определением тензора скоростей дефор-  [c.27]


Преобразовав интеграл справа в равенстве (1.139) по формуле Гаусса—Остроградского, найдем, что  [c.30]

Преобразовав поверхностный интеграл в объемный но формуле Гаусса —Остроградского, получим  [c.85]

В формуле Гаусса — Остроградского  [c.87]

Аналог второй формулы Грина получается из следующей формулы Гаусса —Остроградского  [c.91]

Интегрируя уравнения (2.495) по области Й с последующими преобразованиями левой части по формуле Гаусса— Остроградского и используя (2.515), найдем, что  [c.124]

Пусть теперь и — и а, ) —решение краевой задачи (5.271), (5.272), (5.274), (5.283) (в предположении, что хотя бы одно такое решение существует) и пусть = (а) —кинематически возможное состояние. Умножим i-e уравнение системы (5.271) на у,-, сложим результаты и проинтегрируем по области Qo. Воспользовавшись при этом формулой Гаусса— Остроградского, получим  [c.279]

Здесь использовано предположение о том, что U = Ц (й), при выводе граничного условия для р —формула Гаусса — Остроградского для оператора А.  [c.307]

Отметим в заключение этого раздела, что доказательство формулы (1.132) в принципе ничем не отличается от доказательства обычной теоремы Гаусса — Остроградского.  [c.324]

ФОРМУЛА ГАУССА — ОСТРОГРАДСКОГО  

[c.133]

Для вывода уравнений равновесия сплошной среды нам понадобится общая формула векторного анализа, носящая наименование интегральной формулы Гаусса — Остроградского.  [c.133]

Остановимся сначала на выводе формулы Гаусса — Остроградского в ее простейшем применении к скалярной функции ф(х1, Х2, Хг) и ее производной по координате х.  [c. 133]

В рассматриваемом простейшем случае формула Гаусса— Остроградского имеет вид  [c.133]

ГАУССА—ОСТРОГРАДСКОГО ФОРМУЛА одна на основных интегральных теорем векторного аналияа,  

[c.419]

Пта ф-ла получена впервые. Л. Эйлером (L. Euler) в 1771, она аналогична Гаусса — Остроградского формуле. 535  [c.535]

Леви-Чивиты символ. При этом =(-рГ)= ( —1) sign (g)T, а один из Т и . Г является нсевдотензором (меняет знак при отражении). Тензор и его Д. т. принадлежат ортогональным подпространствам /(.-мерного пространства. Благодаря утому переход к Д. т. hпонятие потока через поверхность и Гаусса — Остроградского формулу, а в евклидовом случае — упростить тензорные выражения. Папр., если — эле-  [c.23]

Значения интегралов в правой части пе зависят от выбора параметризации контура у, сохраняющей направление его обхода. При изменеиии направления обхода К. и. второго типа (в отличие от К. и. первого типа) меняет знак. К таким К. и. сводится задача о вычислении работы силового поля при перемещении точки вдоль кривой. Если контур у замкнут, то К. и. второго типа сводится к интегралу по двумерной поверхности, натянутой на этот контур (см. Грина формула, Гаусса — Остроградского формула, Стокса формула).  [c.450]

Здесь dS — замкнутая кривая, ограничивающая поверхность 5, (rot п) — проекция на внеш. нормаль к поверхности. Согласно С. ф., циркуляция векторного поля а вдоль любой замкнутой кривой (левая часть равенства) равна потоку поля rote через поверхность, опирающуюся на эту кривую. Из С. ф. следует, что циркуляция безвихревого поля (т. е. такого, что rota S 0) вдоль любой замкнутой кривой равна 0. С. ф. и Гаусса — Остроградского формула являются частными случаями Стокса теоремы, к-рая связывает между собой интегралы от внешних дифференциальных форм разных размерностей. М. Б. менекий.  [c.691]

ЧТО с учетом (2.2.13) и теоремы Гаусса — Остроградского в силу произвольпости объема V приводит к формуле  [c. 74]

Ог ингегральной формы уравнения неразрывносли для объема можно переЙ1и к уравнению неразрывности в каждой гочке пространства. Для этого следует интеграл по поверхности в (1) преобразовать в интеграл по объему, ограниченному замкну гой поверхностью, по формуле Гаусса -Остроградского  [c.559]

Преобразуя последний интеграл по формуле Гаусса— Остроградского и используя произвольность области Qi, найдем уравнение закона сохранения импульса в локальной форме (которое называется также законом движения, или уравнением движения  [c.22]


Принимая прежние предположения относительно поведенияпа бесконечности, из формулы Гаусса — Остроградского получаем  [c.97]

Формула (2.501) находится с помощью формулы Гаусса—Остроградского для тензорных полей с использованием свойств симметрии тензоров Uijkh и е,у  [c.122]

Применим широко распространенный в векторном анализе символический прием, полезный для запоминания последней и следующих формул. Введем дифференциальный оператор V как условный вектор с проекциями Vi = djdxi (/ = 1, 2, 3), так что, например, только что введенный вектор градиента grad qt будет символически выражаться как произведение Уф. Тогда предыдущая формула Гаусса — Остроградского примет символический вид  [c.135]


Формула Остроградского -Гаусса

(27.4.) Формула Остроградского — Гаусса обеспечивает связь между поверхностным интегралом по замкнутой ориентированной поверхности G тройным интегралом по пространственной области ??=G.

Формула Остроградского — Гаусса обеспечивает связь между поверхностным интегралом по замкнутой ориентированной поверхностии тройным интегралом по пространственной области. Следует также отметить, что формула Остроградского-Гаусса представляет собой обобщение формулы Грина на пространственный случай.

Т: Предположим, что функцииявляются непрерывными вместе со своими частными производными первого порядка в ограниченной замкнутой области- гладкая ориентированная поверхность. В этом случае справелива следующая формула

 

(27.9)

 

при этом по внешней сторонеберется поверхностный интеграл.

Формулу (27.9) именуют формулой Остроградского-Гаусса.

Пустьпредставляет собой простую область. Это означает, чтоимеет пересечение со всякой прямой, которая является параллельной осям координат, максимум в двух точках (рис. 27.10). Если- непростая область, то ее следует разделить на конечное число простых областей. Предположим, чтоесть уравнения нижнейи верхнейповерхностейВ этом случае, применяя (27.8), получаем

 

 
Рис. 27. 10

 

Подобным образом можно представить доказательства формул

 

 

В результате сложения почленно, получим (27.9).

(38.4.) Сформулируем понятие конечного автомата, обозначим входной алфавит, выходной алфавит, алфавит состояний, функцию переходов, функцию выходов, на рисунке изобразим граф переходов.

3932 0

(38.3.) Большинство графов, которые используются в приложениях (например, графы сортировок, классификаций) предполагают наличие диаграмм, именуемых деревьями. Связный неориентированный граф без циклов, в частности, предполагающий отсутствие петель и кратных ребер, именуют деревом. Несвязный неориентированный граф без цикла — лес, его связные компоненты являются деревьями.

9985 0

(38.2.) В рамках обозначенной темы рассмотрим случай определения связного неориентированного мультиграфа в качестве эйлерова и гамильтонова графа.

13420 0

Электричество и магнетизм

Теорема установлена М.В. Остроградским (рис. 1.33) в виде общей математической теоремы для любого векторного поля и К. Гауссом — применительно к электростатическому полю.

 Рис. 1.33. М. Острогра́дский (1801–1861) — российский математик и механик 

Закон Кулона и принцип суперпозиции позволяют вычислить потенциал поля любого распределения заряда                    

 .

Используя связь  или непосредственно с помощью закона Кулона и принципа суперпозиции, можно вычислить и напряженность поля             

 

Однако, практическое вычисление написанных выше сумм и интегралов далеко не всегда так просто, как просто выглядят сами суммы и интегралы. Они вычисляются достаточно непринужденно, когда зарядов два, три, может быть, десяток. Если же речь идет о макроскопических заряженных телах, когда число точечных зарядов (протонов, электронов и т. п.) макроскопически велико, прямое вычисление подобных выражений становится очень сложной задачей. В первую очередь это касается написанных выше сумм, а не интегралов.

Мы хотим подчеркнуть, что при решении макроскопических задач, в подавляющем большинстве случаев, можно считать, что заряд распределён непрерывно, соответственно, вычислять надо не суммы, а интегралы. Поэтому встает задача: на базе закона Кулона и принципа суперпозиции, написать интегральные и/или дифференциальные уравнения, которым удовлетворяет напряженность поля произвольного распределения зарядов. Эту задачу в ряде случаев успешно решает обсуждаемая в этом параграфе теорема Гаусса для вектора . 

Рассмотрим некоторую поверхность  и на ней бесконечно малый участок (бесконечно малую площадку) площадью  (рис. 1.34).  

Рис. 1.34. Бесконечно малый участок поверхности

 Показанный на рисунке «вектор площадки»  имеет следующий смысл: 1) он направлен по нормали  к поверхности  в той её точке, в окрестности которой находится площадка; 2) его модуль равен площади площадки . Вектор , а вместе с ним и вектор  всегда направлены по перпендикуляру к поверхности в данном её месте, а вот в какую сторону: налево вверх, как на рисунке выше, или в противоположную сторону (направо вниз, «под» поверхность), — в общем случае это дело произвольного выбора. Однако в ряде случаев, по умолчанию, действуют определенные правила. Например, если поверхность замкнутая, то есть представляет собой некоторую замкнутую «оболочку», то по умолчанию берется «внешняя» нормаль, направленная наружу. Выбор «внутренней» нормали ничему не противоречит, но должен быть специально оговорен. Если поверхность не замкнутая и опирается  на некоторый контур, а, кроме того, задано направление обхода этого контура, то направление нормали общепринято связывать с направлением обхода правилом правого винта. С той же оговоркой, что и выше: направление обхода контура и направление нормали к поверхности, которая на него опирается, можно связать, используя левый, а не правый винт, такой выбор ничему не противоречит, но должен быть специально оговорен. Здесь и ниже, если иное специально не оговорено, будут использоваться указанные выше общепринятые правила: внешняя нормаль и правый винт.

Теорема Остроградского—Гаусса

Цель урока: Теорема Остроградского–Гаусса была установлена русским математиком и механиком Михаилом Васильевичем Остроградским в виде некоторой общей математической теоремы и немецким математиком Карлом Фридрихом Гауссом. Данная теорема может быть использована при изучении физики на профильном уровне, так как позволяет более рационально производить расчёты электрических полей.

Вектор электрической индукции

Для вывода теоремы Остроградского–Гаусса необходимо ввести такие важные вспомогательные понятия, как вектор электрической индукции и поток этого вектора Ф.

Известно, что электростатическое поле часто изображают при помощи силовых линий. Предположим, что мы определяем напряжённость в точке, лежащей на границе раздела двух сред: воздуха(=1) и воды (=81). В этой точке при переходе из воздуха в воду напряжённость электрического поля согласно формуле уменьшится в 81 раз. Если пренебречь проводимостью воды, то во столько же раз уменьшится число силовых линий. При решении различных задач на расчёт полей из-за прерывности вектора напряжённости на границе раздела сред и на диэлектриках создаются определённые неудобства. Чтобы избежать их, вводится новый вектор , который называется вектором электрической индукции:

Вектор электрической индукции равен произведению вектора на электрическую постоянную и на диэлектрическую проницаемость среды в данной точке.

Очевидно, что при переходе через границу двух диэлектриков число линий электрической индукции не изменяется для поля точечного заряда (1).

В системе СИ вектор электрической индукции измеряется в кулонах на квадратный метр (Кл/м2). Выражение (1) показывает, что численное значение вектора не зависит от свойств среды. Поле вектора графически изображается аналогично полю напряжённости (например, для точечного заряда см. рис.1). Для поля вектора имеет место принцип суперпозиции:

Поток электрической индукции

Вектор электрической индукции характеризует электрическое поле в каждой точке пространства. Можно ввести ещё одну величину, зависящую от значений вектора не в одной точке, а во всех точках поверхности, ограниченной плоским замкнутым контуром.

Для этого рассмотрим плоский замкнутый проводник (контур) с площадью поверхности S, помещённый в однородное электрическое поле. Нормаль к плоскости проводника составляет угол с направлением вектора электрической индукции (рис. 2).

Потоком электрической индукции через поверхность S называют величину, равную произведению модуля вектора индукции на площадь S и на косинус угла между вектором и нормалью :

Вывод теоремы Остроградского–Гаусса

Эта теорема позволяет найти поток вектора электрической индукции через замкнутую поверхность, внутри которой находятся электрические заряды.

Пусть вначале один точечный заряд q помещён в центр сферы произвольного радиуса r1 (рис. 3). Тогда ; . Вычислим полный поток индукции проходящий через всю поверхность этой сферы: ; (). Если возьмём сферу радиуса , то также Ф = q. Если проведём сферу , не охватывающую заряд q, то полный поток Ф = 0 (так как каждая линия войдёт в поверхность, а другой раз выйдет из неё).

Таким образом, Ф = q, если заряд расположен внутри замкнутой поверхности и Ф = 0, если заряд расположен вне замкнутой поверхности. Поток Ф от формы поверхности не зависит. Он также не зависит от расположения зарядов внутри поверхности. Это значит, что полученный результат справедлив не только для одного заряда, но и для какого угодно числа произвольно расположенных зарядов, если только подразумевать под q алгебраическую сумму всех зарядов, находящихся внутри поверхности.

Теорема Гаусса: поток электрической индукции через любую замкнутую поверхность равен алгебраической сумме всех зарядов, находящихся внутри поверхности: .

Из формулы видно, что размерность электрического потока такая же, как и электрического заряда. Поэтому единицей потока электрической индукции служит кулон (Кл).

Примечание: если поле неоднородно и поверхность, через которую определяют поток, не является плоскостью, то эту поверхность можно разбить на бесконечно малые элементы ds и каждый элемент считать плоским, а поле возле него однородным. Поэтому для любого электрического поля поток вектора электрической индукции через элемент поверхности есть: =. В результате интегрирования полный поток через замкнутую поверхность S в любом неоднородном электрическом поле равен: , где q – алгебраическая сумма всех зарядов, окружённых замкнутой поверхностью S. Выразим последнее уравнение через напряжённость электрического поля (для вакуума): .

Это одно из фундаментальных уравнений Максвелла для электромагнитного поля, записанное в интегральной форме. Оно показывает, что источником постоянного во времени электрического поля являются неподвижные электрические заряды.

Применение теоремы Гаусса

Поле непрерывно распределённых зарядов

Определим теперь с помощью теоремы Остроградского-Гаусса напряжённость поля для ряда случаев.

1. Электрическое поле равномерно заряженной сферической поверхности.

Сфера радиусом R. Пусть заряд +q равномерно распределён по сферической поверхности радиуса R. Распределение заряда по поверхности характеризуется поверхностной плотностью заряда (рис.4). Поверхностной плотностью заряда называют отношение заряда к площади поверхности, по которой он распределён. . В СИ .

Определим напряжённость поля:

а) вне сферической поверхности,
б) внутри сферической поверхности.

а) Возьмём точку А, отстоящую от центра заряженной сферической поверхности на расстоянии r>R. Проведём через неё мысленно сферическую поверхность S радиуса r, имеющую общий центр с заряженной сферической поверхностью. Из соображения симметрии очевидно, что силовые линии являются радиальными прямыми перпендикулярными к поверхности S и равномерно пронизывают эту поверхность, т.е. напряжённость по всех точках этой поверхности постоянна по величине. Применим теорему Остроградского-Гаусса к этой сферической поверхности S радиуса r. Поэтому полный поток через сферу равен N = E? S; N=E. С другой стороны . Приравниваем: . Отсюда: при r>R.

Таким образом: напряжённость, создаваемая равномерно заряженной сферической поверхностью, вне её такая же, как если бы весь заряд находился в её центре (рис.5).

б) Найдём напряжённость поля в точках, лежащих внутри заряженной сферической поверхности. Возьмём точку В отстоящую от центра сферы на расстоянии <R, и проведём через эту точку сферическую поверхность имеющую общий центр с заряженной сферической поверхностью. Из соображения симметрии ясно, что напряжённость должна быть численно одинакова на всей выбранной поверхности сферы S и нормальна к ней. Применяя теорему Остроградского-Гаусса к сферической поверхности S на основании формулы: N=E? S, S=4p т.к. заряд внутри сферы S q = 0, то. Тогда , E = 0 при r<R. Следовательно, напряжённость электрического поля во всех точках внутри равномерно заряженной сферической поверхности равна нулю.

2. Напряжённость поля равномерно заряженной бесконечной плоскости

Рассмотрим электрическое поле создаваемое бесконечной плоскостью, заряженной с плотностью , постоянной во всех точках плоскости. По соображениям симметрии можно считать, что линии напряжённости перпендикулярны к плоскости и направлены от неё в обе стороны (рис.6).

Выберем точку А, лежащую справа от плоскости и вычислим в этой точке, применяя теорему Остроградского-Гаусса. В качестве замкнутой поверхности выберем цилиндрическую поверхность таким образом, чтобы боковая поверхность цилиндра была параллельна силовым линиям, а его основания и параллельны плоскости и основание проходит через точку А (рис. 7). Рассчитаем поток напряжённости через рассматриваемую цилиндрическую поверхность. Поток через боковую поверхность равен 0, т.к. линии напряжённости параллельны боковой поверхности. Тогда полный поток складывается из потоков и проходящих через основания цилиндра и . Оба эти потока положительны =+; =; =; ==; N = 2.

– участок плоскости лежащий внутри выбранной цилиндрической поверхности. Заряд внутри этой поверхности равен q.

. Тогда ;

СГСЭ ;

Итак величина не зависит от положения рассматриваемой точки А и определяется только поверхностной плоскостью зарядов . Вектор всюду направлен перпендикулярно плоскости,

а) если >0 от плоскости (рис. 8).

б) если <0 тогда к плоскости (рис. 9).

3. Поле двух параллельных плоскостей

Плоскости заряжены разноимёнными зарядами с плотностями +s и -s (рис.10). напряжённость полей обеих плоскостей между плоскостями направлены в одну сторону, следовательно, их геометрическая сумма является их арифметической суммой в вакууме .

И так: во всех точках пространства между плоскостями, вектор напряжённости имеет одинаковую величину и направлен от положительно заряженной плоскости до отрицательно заряженной плоскости, т.е. поле между плоскостями однородное. Вне этих плоскостей поле равно “0” .

Пример решения задачи на вычисление электрических полей

Металлическое кольцо радиусом R имеет заряд q. Чему равны напряжённость поля и потенциал:

а) на расстоянии а от центра вдоль оси, перпендикулярной плоскости кольца;
б) в центре кольца?

Решение:

Возьмём элемент кольца , который создаёт в точке А электрическое поле напряжённостью (рис.11). Вектор напряжённости направлен по линии , соединяющей элементы кольца с зарядом (– можно принять за точечный заряд) с точкой А. Для нахождения суммарного поля надо геометрически сложить все поля, создаваемые каждым элементом: . Вектор напряжённости имеет две составляющие: (нормальная и касательная составляющие).

Составляющие от каждых двух диаметрально расположенных элементов взаимно уничтожаются, тогда результирующие поле и вектор направлен вдоль оси. Из рисунка 24 следует, что ; где . Учитывая, что напряжённость поля точечного заряда получим: .

Для нахождения потенциала суммируем алгебраически потенциалы, создаваемые отдельными элементами :

В центре кольца а = 0, поэтому из предыдущего следует, что ; .

(PDF) Теорема Остроградского-Гаусса для задач механики газа и жидкости

MMCTSE 2019

IOP Conf. Серия: Журнал физики: конф. Series 1334 (2019) 012009

IOP Publishing

doi:10.1088/1742-6596/1334/1/012009

5

= u –

– фазовая скорость молекулы,  – координата. В определение уравнения Больцмана

и в расчеты по используемым моделям скорость  молекул входит как

независимая переменная.Мы считаем, что число молекул в элементарном объеме мало

по сравнению с числом молекул во всем объеме.







 , =(,). В точке  + 

 =  —  +  ()  -



 =  +  +

 =   —  + 

 + 

 = 

 + 

 = 

 = 

)  -

 + ,

 =  ( -)

 =  +  —  +  ()

 + 

 =  — 

 + 

 + 

 = 

 = 

  количество частиц и поток частиц, попадающих на границу элементарного

объема в момент времени t.

 – количество частиц и поток частиц, проникающих через границу в момент времени

t области возмущения.

 – для +,- для t +.

= , 

=  , 

=.

Если = (), то  

 = 

,  – функция.

В целом, для медленно меняющихся потоков через границу

=

 () –()

=.

После разложения подряд получаем

(+)=  () –()+(()) – 



 =  +  -

 + 

 =  +

 =  +

 = 

 () –()+(()) –



=0+

 + 

 =  +

 = 

+  ( ())  ( — )



 + 

 =  + 

+  ()  ( — )



 + 

 =  + 

 () =  () - () 

 = 

 = 

 () - () 

 = .

(( + )())/

(

 ()–()+(() )  ( — )



 =  +  — 

 + 

 =  + 

 =  ( () —  ())

 = 

 ( ())  -



 =  +  ( ())  -



 + 

 = 

 = 

  () - () 

 =  +  () - ()  () - () 

 = 

  () –()

=)/.

 ( ( ())  -



 =  +   - + ,,,) +  (( ()) )

 + 

 = 

 = 

 () - () 

 =  / 

   (

  -



 =  +  ( ()

 =   - + )

 -

 -

 =  + 

   () -



 =  / 

 (

 (

  ( — )



 =  + 

 =   ( — ) +  ( — ) + )

( ( — )

 =  + 

   () — +



=)

Математика XIX века

‘) переменная голова = документ.getElementsByTagName(«голова»)[0] var script = document.createElement(«сценарий») script.type = «текст/javascript» script.src = «https://buy.springer.com/assets/js/buybox-bundle-52d08dec1e.js» script.id = «ecommerce-scripts-» ​​+ метка времени head.appendChild (скрипт) var buybox = document.querySelector(«[data-id=id_»+ метка времени +»]»).parentNode ;[].slice.call(buybox.querySelectorAll(«.вариант-покупки»)).forEach(initCollapsibles) функция initCollapsibles(подписка, индекс) { var toggle = подписка.querySelector(«.цена-варианта-покупки») подписка.classList.remove(«расширенный») var form = подписка.querySelector(«.форма-варианта-покупки») если (форма) { вар formAction = form.getAttribute(«действие») документ.querySelector(«#ecommerce-scripts-» ​​+ timestamp).addEventListener(«load», bindModal(form, formAction, timestamp, index), false) } var priceInfo = подписка.querySelector(«.Информация о цене») var PurchaseOption = toggle.parentElement если (переключить && форма && priceInfo) { toggle.setAttribute(«роль», «кнопка») переключать.setAttribute(«табиндекс», «0») toggle.addEventListener («щелчок», функция (событие) { var expand = toggle.getAttribute(«aria-expanded») === «true» || ложный toggle.setAttribute(«aria-expanded», !expanded) form.hidden = расширенный если (! расширено) { покупкаOption.classList.add(«расширенный») } еще { покупкаВариант.classList.remove («расширенный») } priceInfo.hidden = расширенный }, ложный) } } функция bindModal (форма, formAction, метка времени, индекс) { var weHasBrowserSupport = window.fetch && Array.from функция возврата () { var Buybox = EcommScripts ? EcommScripts.Buybox : ноль var Modal = EcommScripts ? EcommScripts.Модальный: ноль if (weHasBrowserSupport && Buybox && Modal) { var modalID = «ecomm-modal_» + метка времени + «_» + индекс var modal = новый модальный (modalID) modal.domEl.addEventListener («закрыть», закрыть) функция закрыть () { form.querySelector («кнопка [тип = отправить]»).фокус() } вар корзинаURL = «/корзина» var cartModalURL = «/cart?messageOnly=1» форма.setAttribute( «действие», formAction.replace(cartURL, cartModalURL) ) var formSubmit = Buybox.interceptFormSubmit( Буйбокс.fetchFormAction(окно.fetch), Buybox.triggerModalAfterAddToCartSuccess(модальный), функция () { form.removeEventListener («отправить», formSubmit, false) форма.setAttribute( «действие», formAction.replace(cartModalURL, cartURL) ) форма.представить() } ) form.addEventListener («отправить», formSubmit, ложь) document.body.appendChild(modal.domEl) } } } функция initKeyControls() { document.addEventListener («нажатие клавиши», функция (событие) { если (документ.activeElement.classList.contains(«цена-варианта-покупки») && (event.code === «Пробел» || event.code === «Enter»)) { если (document.activeElement) { событие.preventDefault() документ.activeElement.click() } } }, ложный) } функция InitialStateOpen() { var узкаяBuyboxArea = покупная коробка.смещениеШирина -1 ;[].slice.call(buybox.querySelectorAll(«.опция покупки»)).forEach(функция (опция, индекс) { var toggle = option.querySelector(«.цена-варианта-покупки») var form = option.querySelector(«.форма-варианта-покупки») var priceInfo = option.querySelector(«.Информация о цене») если (allOptionsInitiallyCollapsed || узкаяBuyboxArea && индекс > 0) { переключать.setAttribute («ария-расширенная», «ложь») form.hidden = «скрытый» priceInfo.hidden = «скрытый» } еще { переключить.щелчок() } }) } начальное состояниеОткрыть() если (window.buyboxInitialized) вернуть window.buyboxInitialized = истина initKeyControls() })()

Электродинамика, формулы.Электромагнетизм

Электродинамика Наука о свойствах и законах особого вида материи — электромагнитного поля, в котором взаимодействуют электрически заряженные тела или частицы.

Квантовая электродинамика (КЭД) — квантовая полевая теория электромагнитных взаимодействий; наиболее развитая часть квантовой теории поля. Классическая электродинамика учитывает только непрерывные свойства электромагнитного поля, в то время как квантовая электродинамика основана на представлении о том, что электромагнитное поле обладает и разрывными (дискретными) свойствами, носителями которых являются кванты поля — фотоны.Взаимодействие электромагнитного излучения с заряженными частицами рассматривается в квантовой электродинамике как поглощение и испускание фотонов частицами.

2.Характеристики электромагнитного поля

Электромагнитное поле — E = N / Kl = B / M

E = Ф / q отношение силы, действующей со стороны поля, к величине этого заряда.

D — индукция электрического поля — называется вектором, пропорциональным вектору напряженности, но не зависящим от свойств среды

D знак равно 𝞮 Е ; 𝞮 = 𝞮 0 𝞮 0 = 8.85*10 -12 Ф/м

В- вектор магнитной индукции = Н/А*м = 1Тл поля к проводнику с током, к току в проводнике и его длине . Б = | Ф |/ Я * л (США) Н — напряженность магнитного поля (А/м) = 80 эрстед =) 80 Гаусс, называется вектором, параллельным вектору индукции, но не зависящим от свойств среды. Н = 1 / µ, где µ = µ 0* м’

3.Векторные поля. Интегральные и дифференциальные характеристики векторного поля

4 теорема Ostrograd-Gauss и STOKS

5.law of Ceentant

6 Gauss Теорема

702

7000

8 Уравнения преемственности

9.Ток смещения

10 Закона полного тока

11.law от непрерывности магнитного потока

12. Контакты

13 Jole-Ленца Законов в дифференциальной форме

количество тепла, выделяющегося в единицу времени в проводнике с сопротивлением R при силе тока I, по закону Джоуля-Ленца, равно:

Применяя этот закон к бесконечно малому цилиндру, ось которого совпадает с направлением тока, получим

Учитывая, что — объем бесконечно малого цилиндра, а — количество теплоты, выделяющееся в единице объема в единицу времени, находим

,

Где выражено в ваттах на кубический метр.Учитывая, что j 2 = j * j и используя выражение для j, можно записать отношение в виде:

Это равенство выражает закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме.

14. Полная система уравнений Максвелла в веществе

В среде внешние электрические и магнитные поля вызывают поляризацию и намагниченность вещества, которые макроскопически описываются вектором поляризации P и вектором намагниченности M вещества соответственно, и вызваны появлением связанных зарядов и токов.В результате поле в среде оказывается суммой внешних полей и полей, вызванных связанными зарядами и токами.

Поляризация P и намагниченность вещества M связаны с векторами напряженности и индукции электрического и магнитного полей следующими соотношениями:

Следовательно, выражая векторы D и H через E, B и, можно получить математически эквивалентную систему уравнений Максвелла:

Здесь индекс обозначает свободные заряды и токи.Уравнения Максвелла в таком виде являются фундаментальными в том смысле, что они не зависят от модели электромагнитного устройства материи. Разделение зарядов и токов на свободные и связанные позволяет «спрятать» в, а затем в Р, М и, следовательно, в D, В сложную микроскопическую природу электромагнитного поля в среде.

Определение 1

Электродинамика — огромная и важная область физики, изучающая классические, неквантовые свойства электромагнитного поля и движения положительно заряженных магнитных зарядов, взаимодействующих друг с другом с помощью этого поля.

Рис. 1. Кратко об электродинамике. Author24 — онлайн обмен студенческими работами

Электродинамика представлена ​​широким кругом разнообразных постановок задач и их грамотных решений, приближенных методов и частных случаев, которые объединены в единое целое общими исходными законами и уравнениями. Последние, составляющие основную часть классической электродинамики, подробно представлены в формулах Максвелла. В настоящее время ученые продолжают изучение принципов этого направления в физике, построение каркаса его взаимосвязей с другими научными направлениями.

Закон Кулона в электродинамике обозначается так: $ F = \ frac (kq1q2) (r2) $, где $ k = \ frac (9 \ cdot 10 (H \ cdot m)) (Cl) $. Уравнение напряженности электрического поля записывается так: $E = \frac(F)(q)$, а поток вектора индукции магнитного поля $∆Ф = В∆S\cos(a)$.

В электродинамике в первую очередь изучаются свободные заряды и зарядовые системы, которые способствуют активации непрерывного энергетического спектра. Классическому описанию электромагнитного взаимодействия способствует то, что оно эффективно уже в низкоэнергетическом пределе, когда энергетический потенциал частиц и фотонов мал по сравнению с энергией покоя электрона.

В таких ситуациях часто не происходит аннигиляции заряженных частиц, так как происходит лишь постепенное изменение состояния их неустойчивого движения в результате обмена большим количеством фотонов низкой энергии.

Примечание 1

Однако даже при высоких энергиях частиц в среде, несмотря на значительную роль флуктуаций, электродинамика может успешно использоваться для всестороннего описания среднестатистических, макроскопических характеристик и процессов.

Основные уравнения электродинамики

Основными формулами, описывающими поведение электромагнитного поля и его непосредственное взаимодействие с заряженными телами, являются уравнения Максвелла, определяющие вероятные действия свободного электромагнитного поля в среде и вакууме, а также общая генерация поля источниками.

Среди этих положений в физике можно выделить:

  • Теорема Гаусса для электрического поля — предназначена для определения генерации электростатического поля положительными зарядами;
  • гипотеза о замкнутости силовых линий — способствует взаимодействию процессов внутри самого магнитного поля;
  • Закон индукции Фарадея — устанавливает генерацию электрических и магнитных полей переменными свойствами окружающей среды.

В общем, теорема Ампера — Максвелла представляет собой уникальное представление о циркуляции линий в магнитном поле с постепенным добавлением токов смещения, введенное самим Максвеллом, точно определяет преобразование магнитного поля движущимися зарядами и переменное действие электрического поля.

Заряд и сила в электродинамике

В электродинамике взаимодействие силы и заряда электромагнитного поля исходит из следующего совместного определения электрического заряда $q$, энергии $E$ и магнитного $B$ полей, которые утвержден в качестве фундаментального физического закона на основании всей совокупности экспериментальных данных.Формула для силы Лоренца (в рамках идеализации точечного заряда, движущегося с определенной скоростью) записывается с заменой скорости $v$.

Проводники часто содержат огромное количество зарядов, поэтому эти заряды достаточно хорошо компенсируются: количество положительных и отрицательных зарядов всегда равно друг другу. Следовательно, полная электрическая сила, постоянно действующая на проводник, также равна нулю. В результате магнитные силы, действующие на отдельные заряды в проводнике, не компенсируются, так как при наличии тока скорости зарядов всегда различны.Уравнение действия проводника с током в магнитном поле можно записать так: $ G = | v ⃗ | s\cos(a)$

Если в качестве тока исследовать не жидкость, а полноценный и устойчивый поток заряженных частиц, то весь энергетический потенциал, проходящий линейно через площадь в $1s$, будет силой тока равно: $ I = ρ | \ век (в) | s\cos(a)$, где $ρ$ — плотность заряда (в единице объема в общем потоке).

Примечание 2

Если магнитное и электрическое поле систематически изменяются от точки к точке на конкретном участке, то в выражениях и формулах для парциальных течений, как и в случае жидкости, средние значения $E⃗$ и $B⃗$ при сайт обязательны.

Особое положение электродинамики в физике

Значимое положение электродинамики в современной науке подтверждается известной работой А. Эйнштейна, в которой подробно изложены принципы и основы специальной теории относительности. Научная работа выдающегося ученого называется «К электродинамике движущихся тел» и включает в себя огромное количество важных уравнений и определений.

Электродинамика как отдельная область физики состоит из следующих разделов:

  • учение о поле неподвижных, но электрически заряженных физических тел и частиц;
  • учение о свойствах электрического тока;
  • учение о взаимодействии магнитного поля и электромагнитной индукции;
  • учение об электромагнитных волнах и колебаниях.

Все вышеперечисленные разделы объединены в одно целое теоремой Д. Максвелла, который не только создал и представил стройную теорию электромагнитного поля, но и описал все его свойства, доказав его реальное существование. Работа именно этого ученого показала научному миру, что известные в то время электрические и магнитные поля являются всего лишь проявлением единого электромагнитного поля, функционирующего в разных системах отсчета.

Существенная часть физики посвящена изучению электродинамики и электромагнитных явлений.Эта область во многом претендует на статус отдельной науки, так как не только исследует все законы электромагнитных взаимодействий, но и подробно их описывает с помощью математических формул. Глубокие и многолетние исследования электродинамики открыли новые пути использования электромагнитных явлений на практике на благо всего человечества.

Электродинамика — раздел физики, изучающий теорию электромагнитного поля, а также взаимодействие между электрическими зарядами.Электродинамика стала еще одним этапом бурного развития физики. Есть формулы по электродинамике, а также шпоры и задачи по электродинамике.

Как родилась наука в результате многочисленных открытий и экспериментов. Раздел электродинамики, изучающий взаимодействия и электрические поля покоящихся электрических зарядов, — электростатика.

Классическая электродинамика

Электродинамика развивалась быстрыми темпами, многие известные ученые внесли свой вклад в развитие электродинамики.В 1785 г. французский физик К. Кулон экспериментально установил закон взаимодействия двух неподвижных точечных зарядов. Кулон Шарль Огюстен В 1820 году датский физик Г. Эрстед показал, что ток, протекающий по проводам, создает вокруг себя магнитное поле. Эрстед Ганс Христиан В 1831 г. М. Фарадей открыл электромагнитную индукцию. Фарадей Майкл Электродинамика — наука, изучающая электромагнитное поле. Это поле проявляется через силовое взаимодействие с теми частицами материи, которые имеют электрический заряд.привлек английский ученый Дж. Максвелл. На основе эмпирических данных он предложил уравнения, достаточные для описания всех электромагнитных явлений.
Учебное пособие скачать бесплатно с сайта

Название: Электродинамика и распространение радиоволн

Сессия приближается, и нам пора переходить от теории к практике. На выходных мы сели и подумали, что многие студенты хотели бы иметь под рукой подборку основных физических формул. Сухие формулы с объяснением: кратко, лаконично, ничего лишнего.Очень полезная штука при решении задач, знаете ли. Да и на экзамене, когда из головы может «выскочить» именно то, что самым жестоким образом зазубрено накануне, такая подборка сослужит отличную службу.

Большинство задач обычно относят к трем наиболее популярным областям физики. Это Механика , Термодинамика и Молекулярная физика , Электричество … Давайте их возьмем!

Основные формулы физики — динамика, кинематика, статика

Начнем с самого простого.Старое доброе любимое прямое и плавное движение.

Кинематические формулы:

Конечно, не будем забывать о движении по кругу, а потом перейдем к динамике и законам Ньютона.

После динамики пора рассмотреть условия равновесия тел и жидкостей, т.е. статику и гидростатику

Теперь приведем основные формулы по теме «Работа и энергия». Куда мы без них!


Основные формулы молекулярной физики и термодинамики

Закончим раздел механики формулами для колебаний и волн и перейдем к молекулярной физике и термодинамике.

КПД, закон Гей-Люссака, уравнение Клапейрона-Менделеева — все эти милые формулы собраны ниже.

Кстати! Для всех наших читателей сейчас действует скидка. 10% на любая работа .


Основные физические формулы: электричество

Пора переходить к электричеству, хотя термодинамика его меньше любит. Начнем с электростатики.

И, под барабанную дробь, заканчиваем формулами закона Ома, электромагнитной индукции и электромагнитных колебаний.

Вот и все. Конечно, можно привести целую гору формул, но это бесполезно. Когда формул слишком много, можно легко запутаться, а потом и вовсе расплавить мозг. Мы надеемся, что наша шпаргалка по основным формулам физики поможет вам решить ваши любимые задачи быстрее и эффективнее. А если хотите что-то уточнить или не нашли нужной формулы: спросите у специалистов студенческая служба … Наши авторы держат в голове сотни формул и щелкают задачи как орешки.Свяжитесь с нами, и вскоре любая задача станет для вас непосильной.

Шпаргалка с формулами по физике к ЕГЭ

и не только (могут понадобиться 7, 8, 9, 10 и 11 классы).

Во-первых, картинка, которую можно распечатать в компактном виде.

Механика

  1. Давление P = F / S
  2. Плотность ρ = м/В
  3. Давление на глубине жидкости P = ρ ∙ g ∙ h
  4. Сила тяжести Fт = мг
  5. 5. Архимедова сила Fa = ρ w ∙ g ∙ Vт
  6. Уравнение движения для равноускоренного движения

Х = Х 0 + υ 0 ∙ t + (а ∙ t 2) / 2 S = ( υ 2 — υ 0 2) / 2а S = ( υ + υ 0) ∙ т/2

  1. Уравнение скорости равноускоренного движения υ = υ 0 + а∙т
  2. Ускорение a = ( υ υ 0) / т
  3. Круговая скорость υ = 2πR / T
  4. Центростремительное ускорение a = υ 2 / Р
  5. Связь между периодом и частотой ν = 1 / T = ω / 2π
  6. II Закон Ньютона F = ma
  7. Закон Гука Fy = -kx
  8. Закон всемирного тяготения F = G∙M∙m/R 2
  9. Вес тела, движущегося с ускорением a P = m (g + a)
  10. Вес тела, движущегося с ускорением a ↓ P = m (g-a)
  11. Сила трения Ffr = мкН
  12. Импульс тела p = m υ
  13. Импульс силы Ft = ∆p
  14. Момент силы M = F ∙ ℓ
  15. Потенциальная энергия тела, поднятого над землей Ep = mgh
  16. Потенциальная энергия упруго деформированного тела Ep = kx 2/2
  17. Кинетическая энергия тела Ek = m υ 2/2
  18. Работа A = F ∙ S ∙ cosα
  19. Мощность N = A / t = F ∙ υ
  20. Эффективность η = Ap/Az
  21. Период колебаний математического маятника T = 2π√ℓ/g
  22. Период колебаний пружинного маятника T = 2 π √m/k
  23. Уравнение гармонических колебаний X = Xmax ∙ cos ωt
  24. Связь между длиной волны, ее скоростью и периодом λ = υ Т

Молекулярная физика и термодинамика

  1. Количество вещества ν = N / Na
  2. Молярная масса М = m / ν
  3. Ср. род.энергия молекул одноатомного газа Ek = 3/2 ∙ kT
  4. Основное уравнение МКТ P = nkT = 1/3nm 0 υ 2
  5. Закон Гей — Люссака (изобарический процесс) V / T = const
  6. Закон Шарля (изохорический процесс) P/T = const
  7. Относительная влажность φ = P / P 0 ∙ 100%
  8. Междунар. энергия идеальна. одноатомный газ U = 3/2∙M/µ∙RT
  9. Работа с газом A = P ∙ ΔV
  10. Закон Бойля — Мариотта (изотермический процесс) PV = const
  11. Количество теплоты при нагреве Q = Cm (T 2 -T 1)
  12. Количество теплоты при плавлении Q = λm
  13. Количество теплоты при испарении Q = Lm
  14. Количество теплоты при сгорании топлива Q = qm
  15. Уравнение состояния идеального газа PV = m / M ∙ RT
  16. Первый закон термодинамики ΔU = A + Q
  17. КПД тепловых двигателей η = (Q 1 — Q 2) / Q 1
  18. Эффективность идеальна.двигателей (цикл Карно) η = (T 1 — T 2) / T 1

Электростатика и электродинамика — формулы физики

  1. Закон Кулона F = k ∙ q 1 ∙ q 2 / R 2
  2. Напряженность электрического поля E = F/q
  3. Напряженность электронного поля точечного заряда E = k∙q/R 2
  4. Плотность поверхностного заряда σ = q/S
  5. Напряженность электронного поля бесконечной плоскости E = 2πkσ
  6. Диэлектрическая проницаемость ε = E 0 / E
  7. Потенциальная энергия взаимодействия.заряды Вт = k ∙ q 1 q 2 / R
  8. Потенциал φ = Вт/кв
  9. Потенциал точечного заряда φ = k ∙ q / R
  10. Напряжение U = A/q
  11. Для однородного электрического поля U = E ∙ d
  12. Электрическая мощность C = q/U
  13. Электрическая емкость плоского конденсатора C = S ∙ ε ε 0/д
  14. Энергия заряженного конденсатора Вт = qU/2 = q²/2С = CU²/2
  15. Ток I = q/t
  16. Сопротивление проводника R = ρ ∙ ℓ / S
  17. Закон Ома для участка цепи I = U/R
  18. Законы последних.соединения I 1 = I 2 = I, U 1 + U 2 = U, R 1 + R 2 = R
  19. Параллельные законы соед. U 1 = U 2 = U, I 1 + I 2 = I, 1 / R 1 + 1 / R 2 = 1 / R
  20. Мощность электрического тока P = I ∙ U
  21. Закон Джоуля-Ленца Q = I 2 Rt
  22. Закон Ома для полной цепи I = ε / (R + r)
  23. Ток короткого замыкания (R = 0) I = ε / r
  24. Вектор магнитной индукции B = Fmax / ℓ ∙ I
  25. Ампер-сила Fa = IBℓsin α
  26. Сила Лоренца Fl = Bqυsin α
  27. Магнитный поток Ф = BSсos α Ф = LI
  28. Закон электромагнитной индукции Ei = ΔФ / Δt
  29. ЭДС индукции в проводнике движения Ei = Bℓ υ синα
  30. ЭДС самоиндукции Esi = -L ∙ ΔI / Δt
  31. Энергия магнитного поля катушки Wm = LI 2/2
  32. Период колебаний кол.контур T = 2π ∙ √LC
  33. Индуктивное сопротивление X L = ωL = 2πLν
  34. Емкостное сопротивление Xc = 1/ωC ​​
  35. Действующее значение тока Id = Imax / √2,
  36. Действующее значение напряжения Uд = Umax / √2
  37. Полное сопротивление Z = √ (Xc-X L) 2 + R 2

Оптика

  1. Закон преломления света n 21 = n 2 / n 1 = υ 1 / υ 2
  2. Показатель преломления n 21 = sin α / sin γ
  3. Формула тонкой линзы 1/F = 1/d + 1/f
  4. Оптическая сила линзы D = 1/F
  5. макс. интерференция: Δd = kλ,
  6. мин помех: Δd = (2k + 1) λ / 2
  7. Дифференциальная решетка d ∙ sin φ = k λ

Квантовая физика

  1. Ф-ля Эйнштейн для фотоэффекта hν = Aout + Ek, Ek = U s e
  2. Красная граница фотоэффекта ν к = Aвых/ч
  3. Импульс фотона P = mc = h/λ = E/s

Атомная ядерная физика

Формула Гаусса-Остроградского (Формула Гаусса — Остроградского) 2021

Формула Гаусса-Остроградского связывает поток непрерывно дифференцируемого векторного поля через замкнутую поверхность и интеграл дивергенции этого поля по объему, ограниченному этой поверхностью.Формула используется для преобразования интеграла по объему в интеграл по замкнутой поверхности и наоборот.

Формулировка

Пусть тело В {\ Displaystyle В} ограничен замкнутой поверхностью С {\ Displaystyle S} . Тогда для любого векторного поля Ф {\ Displaystyle \ mathbf {F}} равенство ∭ В г я в Ф г В ∬ С ⟨ Ф , н ⟩ г С , {\ displaystyle \ iiint \ limit _ {V} \ mathrm {div} \, \ mathbf {F} \, dV \ iint \ limit _ {S} \ langle \ mathbf {F}, \ mathbf {n} \ rangle \ ,dS,} то есть интеграл дивергенции векторного поля Ф {\ Displaystyle \ mathbf {F}} , распределенный по объему В {\ Displaystyle В} , равен векторному потоку через поверхность С {\ Displaystyle S} .

Примечания

В работе Остроградского формула записывается в следующем виде: ∫ ( г п г Икс + г Вопрос г у + г р г г ) г ю ∫ ( п потому что ⁡ α + Вопрос потому что ⁡ β + р потому что ⁡ γ ) г с , {\ displaystyle \ int \ left ({\ frac {dP} {dx}} + {\ frac {dQ} {dy}} + {\ frac {dR} {dz}} \ right) d \ omega \ int ( P \cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma )\,ds,} куда г ю {\ Displaystyle д \ омега} А также г с {\ Displaystyle дс} — объемный и поверхностный дифференциалы соответственно.п п ( Икс , у , г ) , Вопрос Вопрос ( Икс , у , г ) , р р ( Икс , у , г )

Ошибка неработающей ссылки

    Панель приборов

    МАТ-253-AC-CRN45018

    Перейти к содержанию Панель приборов
    • Авторизоваться

    • Приборная панель

    • Календарь

    • Входящие

    • История

    • Помощь

    Закрывать