Site Loader

Содержание

Момент силы относительно точки как вектор и момент силы относительно оси

Как определить момент силы относительно оси Знакомство с понятием момента силы относительно оси начнем с конкретного примера. Дверь (рис. 76) может поворачиваться вокруг оси. Механическое воздействие силы F, поворачивающей дверь, зависит не только от величины, но и от положения вектора силы по отношению к оси. Разложим силу F на две составляющие, из которых одну Q направим параллельно оси, а другую Р расположим в плоскости, перпендикулярной оси. Очевидно, что составляющая, параллельная оси, поворачивать дверь не будет, и действие силы F на закрепленную на оси дверь характеризуется моментом составляющей Р (расположенной в плоскости, перпендикулярной к оси) относительно точки пересечения оси и плоскости.  [c.141]
Напомним, что моменты сил относительно оси — величины алгебраические их знаки зависят как от выбора положительного направления оси 2 (совпадающей с осью вращения), так и от направления вращения соответствующего момента силы.
Например, выбрав положительное направление оси z, как показано на рис. 5.16, мы тем самым задаем и положительное направление отсчета угла (р (оба эти направления связаны правилом правого винта). Далее, если некоторый момент М,-2 вращает в положительном направлении угла ф, то этот момент считается положительным, и на- оборот. А знак суммарного момента Л1г в свою очередь определяет знак 3z — Рис. 5.16 проекции вектора углового ускорения на ось 2.  [c.152]

Чтобы найти момент силы относительно оси, надо провести произвольную плоскость, перпендикулярную к оси, спроектировать вектор силы на эту плоскость и найти момент, проекции силы, рассматривая се как вектор, относительно точки пересечения плоскости с осью.  

[c.264]

Ранее было установлено, что проекция вектора силы на ось есть скалярная алгебраическая величина. В отличие от проекции на ось проекция силы на плоскость есть величина векторная, так как эта проекция характеризуется не только числовым значением, но и положением на плоскости, т. е. направлением. Поэтому моменту силы относительно оси можно дать такое определение моментом силы относительно оси называется величина, равная моменту проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси с плоскостью.  

[c.62]

Пусть О г есть ось вращения Земли и —перпендикуляр к плоскости эклиптики, проведенный в ту сторону, где он образует с осью Ог острый угол. Направление оси Ог неизменно в пространстве. Вследствие симметрии действие Солнца на добавочный слой приводится к одной силе, приложенной к оси Ог , проходящей через полюсы, попеременно то с одной, то с другой стороны от точки О, так как точка приложения находится со стороны той половины добавочного пояса, которая ближе расположена к Солнцу. Отсюда следует, что эта сила, действующая то с одной стороны, то с другой от точки О, все время стремится приблизить экваториальную плоскость к плоскости эклиптики или, что сводится к тому же, приблизить ось Ог к нормали Ог1 к этой плоскости.

Момент О этой силы относительно точки О направлен, таким образом, все время в одну и ту же сторону от плоскости 2 1 Ог. Поэтому, в силу принципа стремления осей вращения к параллельности, ось Ог, проходящая через полюсы, перемещается к вектору О и приводит плоскость г Ог во вращение вокруг перпендикуляра Ог к эклиптике, направленное постоянно в одну и ту же сторону. Если пренебречь периодическими возмущениями, которые испытывает земная ось в плоскости г Ог, то эта ось опишет конус вокруг 0 ]. Это весьма медленное прецессионное движение земной оси вокруг перпендикуляра к плоскости эклиптики вызывает явление предварения равноденствий. Продолжительность полного обращения земной оси вокруг нормали к эклиптике составляет около 25 000 лет. Отсюда видно, что явление предварения равноденствий происходит вследствие асимметричного действия Солнца на экваториальное утолщение Зем. И.  
[c.202]


Зависимость между моментами силы относительно центра и относительно оси. Пусть на тело действует приложенная в точке А сила F (рис. 105). Проведем какую-нибудь ось г и возьмем на ней произвольную точку О. Момент силы F относительно центра О будет изображаться вектором Мд, перпендикулярным плоскости ОАВ, причем по модулю  
[c.109]

I. МОМЕНТ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО точки КАК ВЕКТОР И МОМЕНТ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ОСИ  [c.84]

Для тех случаев, когда тело совершает сложное движение, например вращается вокруг оси в то время, как эта ось поворачивается, удобно изображать угловую скорость вектором, направленным вдоль оси вращения Величина и положение вектора показывают величину угловой скорости и положение оси вращения. Но вектор угловой скорости, как и вектор момента силы относительно точки, отличается от прочих известных нашим читателям векторов (скорость точки, ускорение точки, радиус-вектор, сила и др.) тем, что, изображая его стрелкой соответствующей длины, отложенной вдоль оси вращения, надо (вполне произвольно) условиться относительно направления стрелки. В нашем курсе мы всюду пользуемся правой системой координат, поэтому установим и для вектора угловой скорости правило правого винта, т.

е. будем направлять вектор угловой скорости вдоль оси вращения к той ее стороне, с которой вращение тела представляется происходящим против вращения часовой стрелки. Так, например, вектор угловой скорости земного шара, вращающегося с запада на восток, мы направим к северному полюсу глядя с северного полюса, мы увидели бы Землю вращающейся против часовой стрелки.  
[c.167]

Совершенно иначе ведет себя быстровращающийся гироскоп под действием такой же силы Р (рис. 304), приложенной в точке А. Точка А согласно приближенной теории, начнет двигаться не в направлении действия силы Р, а, как это следует из теоремы Резаля, в направлении векторного момента этой силы относительно неподвижной точки О, параллельно оси Ох. При этом ось гироскопа вращается вокруг оси Оу. Действительно, гироскоп еще до действия силы имел кинетический момент Ко, направленный по оси гироскопа и равный Уг 1. так как гироскоп вращался только вокруг собственной оси Ог с угловой скоростью 1. По теореме Резаля скорость конца вектора Ко равна и параллельна векторной сумме моментов относительно точки О всех  

[c. 467]

Установим зависимость между моментом силы относительно точки и моментом силы относительно оси. Для этого момент силы Р относительно точки О, обозначенный Шо(Р) (рис. 83), отложим в виде вектора, направленного перпендикулярно к плоскости ОАВ. Затем через точку О проведем какую-либо ось, определим момент силы относительно этой оси и отложим на оси отрезок ОК, соответствующий в принятом масштабе моменту относительно оси.  [c.68]

Какая существует зависимость между вектором-моментом силы относительно данной точки и моментом той же силы относительно оси, проходящей через эту точку  

[c.217]

Заметим прежде всего, что так как внешние силы сводятся к весу и к реакции в точке О, моменты их относительно вертикали С, проходящей через точку О, равны нулю, и потому результирующий момент количеств движения относительно оси ОС сохраняет постоянную величину. Таким образом, теорема моментов количеств движения, если обозначим через х единичный вектор оси г (нисходящей вертикали) и через fi/T2> Тз проекции (направляющие косинусы) на подвижные оси, даст первый интеграл  [c.

99]

Возбуждение колеблющегося динамического винта может быть осуществлено и двухшарнирным одновальным вибровозбудителем, дебаланс которого имеет как статическую, так и моментную неуравновешенность относительно оси вращения. Две проекции такого вибровозбудителя схематически показаны на рис. 2, н, где дебаланс / вращается вокруг оси, связанной с корпусом 2, подвешенным на шарнире 3 к крестовине 4, которая шарниром 5 связана с основанием 6. Ось вращения дебаланса параллельна оси шарнира 5 и перпендикулярна оси шарнира 3. Благодаря шарниру 3 к крестовине и основанию приложена только вертикальная составляющая вращающегося вектор-момента, порождаемого моментной неуравновешенностью дебаланса. Благодаря шарниру 5, расположенному в надлежащем месте, на основание передается только вертикальная составляющая вращающейся силы, порожденной статической неуравновешенностью дебаланса. Колеблющийся динамический винт может быть получен также применением двух одинаковых вибровозбудителей I и 2 (рис.

2, о) со статически неуравновешенными дебалансами, оси вращения которых перекрещиваются. Корпусы вибровозбудителей жестко соединены перемычкой 3. Если при рассмотрении сверху или снизу дебалансы представляются вращающимися в одном направлении, то при указанной на рисунке начальной фазировке составляющие колеблющийся динамический винт вектор-момент и сила направлены вертикально.  
[c.233]


Доказательство этой теоремы проведено для случая, представленного на рис. 117, когда вектор то образует острый угол у с осью Z. В этом случае проекция момента то на ось z положительна, положителен и момент силы Р относительно оси z. Очевидно, что теорема остается справедливой и в том случае, когда угол у — тупой. Тогда проекция момента то на ось z будет отрицательной, но, как легко видеть, в этом случае проекция/силы Fna плоскость, перпендикулярную к оси z, будет направлена по движению часовой стрелки (если смотреть с положительного конца оси z), а следовательно, и момент силы Р относительно оси z будет отрицательным. Поэтому равенство  [c.170]

Приводя данную систему сил F к какой-нибудь точке А х, у, г), лежащей на центральной оси этой системы, получим силу, равную R, приложенную в точке А, и пару, момент которой равен наименьшему главному моменту М, причем оба эти вектора R ш М будут направлены вдоль центральной оси (рис. 128). Так как изменение главного момента системы сил при перемене центра приведения равно моменту главного вектора этой системы, приложенного в прежнем центре приведения, относительно нового центра ( 45), то, сравнивая главные моменты Мо и М, будем иметь  [c.190]

Момент количества движения точки относительно центра и оси определяется совершенно так же, как момент силы. Момент количества дви-жеиия точки относительно начала координат есть векторное произведение. радиуса-вектора точки на ее количество движения  [c.168]

Величина 5 называется секторной скоростью и постоянна, так как она пропорциональна значению интеграла момента количества движения. Другими словами, справедлив закон площадей если момент силы относительно неподвижной оси Охз равен нулю, то радиус-вектор проекции материальной точки на плоскость СЬс,Х2 за равные промежутки времени заметает равные площади  [c.46]

Между моментом силы F относительно данной оси и вектором-моментом той же силы относительно какой-нибудь точки, лежащей на этой оси, существует следующая зависимость проекция вектора-момента силы / относительно произвольной точки О на какую-либо ось, проходящую через эту точку, равна моменту силы F относительно этой оси, т. е.  [c.86]

Учитывая, что Р= — Р, получим, что главный вектор У = Р и, следовательно, V» (1г = Рйг . Так как моменты сил Р, Р ш Р относительно оси г, проходящей через точку С перпендикулярно к плоскости материальной симметрии колеса, равны нулю, то главный момент внешних сил относительно оси а равен /и, = да. Теперь формула (1) принимает вид  [c.280]

Таким образом, скорость точки В конца вектора Ко и при допущениях приниженной теории всех других точек оси гироскопа, параллельна Мо (В), что соответствует вращению оси гироскопа Ог или прецессии гироскопа вокруг оси Оу. Ось гироскопа прецессирует под действием силы в направлении момента этой силы. Если момент силы в какой-либо момент времени равняется нулю, то прецессия оси гироскопа тоже прекращается. Ось гироскопа не обладает инерцией. Очевидно, для гироскопа не имеет существенного значения сила Р, так как его прецессионное движение определяется только моментом этой силы относительно неподвижной точки гироскопа. Если центр  [c.468]

Входящие в определение динамы величины V главного вектора и проекции главного момента относительно произвольной точки О, принятой за центр приведения, на направление главного вектора не зависят от выбора этой точки, так как эти величины являются статическими инвариантами совокупности сил ( 17). В следующем параграфе будет доказано, что от выбора центра приведения О не зависит также и положение центральной оси в пространстве.  [c.67]

Из этого выражения следует, что для составления левых частей уравнений вращения снаряда относительно его центра тяжести. достаточно в уравнениях движения волчка заменить d на d — х-Что касается правых частей, то роль силы тяжести, направлен- ной противоположно оси 0 , в уравнениях движения волчка переходит к силе сопротивления воздуха, направленной противоположно скорости центра тяжести т. е. противоположно вектору т, причем расстояние I от точки опоры до центра тяжести волчка заменяется расстоянием СК = h между центром тяжести и центром сопротивления снаряда. Поэтому момент силы сопротивления D относительно центра тяжести снаряда выражается, как в случае волчка, формулой  [c.628]

Моментом количества движения относительно точки О называется вектор, имеющий начало в точке О и перпендикулярный к плоскости, в которой лежат точка О и вектор ту. Модуль этого вектора равен произведению модуля вектора ту на длину перпендикуляра, опущенного из точки О па линию вектора ту, или, что то же, модуль вектора тогПа ти) равен удвоенной площади треугольника, основанием которого является вектор ть, а противоположная вершина совпадает с точкой О. Проекция вектора тот (ту) иа какую-нибудь ось, проходящую через точку О, равна моменту количества движения ти относительно этой оси. Моменты количества движения относительно координатных осей X, у, 2 определяются по тем же формулам, как и моменты силы, но в этих формулах проекции силы X, У, 2 нужно заменить проекциялш туд., тоу, ти количества движения на координатные оси следовательно  [c.380]

В разделе Статика ( 44 и 45) введены и широко использо-взЕгы понятая моментов силы относительно точки и относительно оси. Так как количество движения материальной точки mv является вектором, ТО можно определить его моменты относительно центра н относительно оси таким же путем, как определяются моменты силы.  [c.145]


Построим из какого-либо полюса, например начала координат, годограф переменного, вообще говоря, с течением времени вектора К. Если главный момент внещних сил относительно оси е обращается в нуль, то мы будем иметь интеграл площадей Л = с , и рассматриваемый годограф будет кривой в плоскости, перпендикулярной вектору е. Когда суммарный момент внещних сил обращается в нуль отно-сите.чьно двух неколлинеарных осей ех и ег, то мы будем иметь два интеграла площадей  [c.387]

В заключение необходимо отметить еще одно обстоятельство, связанное с исследуешм понятием. Плохо запоминаются понятие о векторе m (F), и порядок сомноштелей в векторном произведекш еще и потому, что при решении задач моменты сил относительно точек (а затем и моменты сил относительно осей) определяются как скалярные величины, тлеющие определенный знак. Правило знаков -  [c.12]

Момент отличной от нуля силы относительно оси равен пулю в двух случаях а) линия действия силы пересекает ось в зтом случае плечо Л = О, так как линия действия вектора-проекцип силы па плоскость, перпендикулярную оси, проходит через точку пересечения оси с плоскостью б) сила параллельна осп в arosr случае сила F проектируется на плоскость, перпендикулярную осн, в точку п, следовательно, / = 0. В обоих случаях а) и б) сила и ось лежат в одной плоскости.[c.98]

Еще один интеграл следует из теоремы об изменении кинетического момента. В самом деле, так как внешние силы — сила тяжести и реакция точки О — не создают момента относительно вертикальной оси, то (см. п. 87) проекция кинетического момента Ко тела на вертикаль постоянна, т. е. Ко п = onst. В подвижной системе координат вектор Ко имеет компоненты Ар, Bq, Сг, поэтому последнее равенство может быть записано в виде  [c.205]

Решение. Сначала рассмотрим всю систему в целом. Примем кабину и противовес за материальные точки, связанные невесомым и нерастяжимым канатом. Так как С, > Сп, то кабина должна опускаться, а противовес подниматься. Обозначим модуль ускорения а. Тогда вектор ускорения для кабины направлен вниз, а для противовеса — вверх. Система подвешена в одной точке О. На систему действуют силы тяжести кабины О, п противовеса С г, вертикальная и горизонтальная составляющие реакции оси / , Учтем силы инерции = и Ри, = . Составим уравнения проекций сил на оси X и у и уравнения моментов относительно точгси О  [c. 183]

Опыт преподавания статики в новом изложении показал, что определенные трудности понимания статики порождаются более широким применением векторной алгебры. Для устранения этих трудностеГ в начале семестра студентам выдавались индивидуальные задания по теме Сложение векторов и решение линейных векторных уравнений аналитическим, графическим и геометрическим способами . Перед определением вектора-момента силы рассматривалось понятие момента силы относительно оси, которое делает возможной интерпретацию вектора-момента силы относительно точки как вектора, проекции которого на взаимно перпендикулярные оси, проходящие через данную точку, равны моментам силы относительно этих осей. На первом практическом занятии целесообразно рассмотреть примеры на определение проекций и моментов силы, главного вектора и главного момента системы сил.  [c.5]

Если спутник обладает собственным магнитным полем с магнитным моментом /, то действующий на спутник момент сил, как видно из (1. 4.1), будет равен нулю, если вектор / параллелен вектору напряженности Н внешнего магнитного поля. Отсюда следует принципиальная возможность ориентировать и стабилизировать спутник относительно магнитного поля Земли, подобно тому как ориентируется стрелка компаса. Учитывая, однако, что вектор Н неравномерно вращается вдоль орбиты спутника, следует ожидать, что точную ориентацию осуществить, вообще говоря, нельзя, так как будут иметь место вынужденные колебания оси / относительно Н вследствие неравномерного вращения вектора Н. Рассмотрим этот эффект в простом случае плоских колебаний на полярной (/ = 90°) круговой орбите (считая, что магнитные полюсы Земли совпадают с географическими). Отметим, кстати, что для экваториальной орбиты имеем, согласно (1.4.7), Я=соп51. Поэтому ориентация спутника по магнитному полю может быть осуществлена точно. Для полярной орбиты в случае плоских колебаний имеем уравнение  [c.141]

Момент силы относительно точки. Таким образом, из учения о равновесии рычага вытекла необходимость наряду с силами рассматривать ещё произведения величин сил на плечи. Несколько обобщая изложенное, рассмотрим силу Г и произвольную точку О пространства опустим из точки О перпендикуляр на прямую действия силы Р, и пусть будет й длина этого перпендикуляра. Мы условимся рассматривать произведения Рй, принимая их за модули некоторых векторов. Чтобы выяснить возможность последнего, необходимо показать, что, во-первых, произведения Рй можно рассматривать как величины некоторых количеств, имеющих направления в пространстве, и, во-вторых, что эти количества можно геометрически складывать. Чтобы убедиться в первом, вернёмся снова к рычагу и обратимся, например, к черт. 18. Так как сила Р стремится производить вращение вокруг точки О против часовой стрелки, а сила Q — по часовой стрелке, то согласно условию, выраженному в конце 4, для силы Р положительное направление оси вращения будет итти перпендикулярно к плоскости чертежа к лицу читателя, а для силы Q — от читателя. Условимся откладывать в положительном направлении на оси вращения отрезок, символически изображающий в каком-либо масштабе произведение Рй. Таким образом, мы будем получать отрезки, символически изображающие пО своей длине произведения Рй и имеющие определённые направления в пространстве. Чтобы убедиться, что эти отрезки суть векторы, остаётся показать, что эти отрезки можно геометрически складывать. Для этого рассмотрим какую-нибудь точку О и ряд сил Р , Р у Р у. .., которые могут и не лежать в одной плоскости. Построим для этих сил вышеуказанным приёмом отрезки с длинами Р с1 ,  [c.40]

Для определения момента силы относительно какой-либо оси нужно найти момент этой силы относительно любой точки оси, и вектор полученного момента спроектировать на направление оси. Однако вследствие малых значений углов Рш и Ym можно огра-ничиться определением момента относительно точки А пересечения оси шкворня с плоскостью дороги.  [c.222]

Переносим все эти силы в какую-либо плоскость То, проведенную через произвольную точку О вала, перпендикулярно к оси г—г. Для этого в точке О каждый раз прикладываем по две равные, но противоположно направленные силы, величины которых равны Ри1. Ри2 и Риз- Далее складываем все перенесенные силы, для чего строим силовой многоугольник (рис. 13.40, б). Так как величины сил Рц1> Р л и Р з пропорциональны произведениям масс пг на соответствующие расстояния р, то вместо сил Ри , Риз и Р з можно откладывать в силовом многоугольнике произведения т рх, таРз, и /ПзРз, являющиеся статическими моментами масс относительно оси вращения. Вектор тр определяет величину уравновешивающей силы I/  [c.307]

Так как = О, то главный момент заданных сил относительно начала координат лгжит п плоскости хОу и не перпендикулярен к главному вектору R, лежащему иа оси у. Следовательно, заданные силы приводятся к динаме,  [c.119]

При решении этих задач по принципу Даламбера нужно разбить вращающееся твердое тело на элементарные материальные частицы и к каждой такой частице приложигь касательную п нормальную силы инерции этой частицы. Так как, согласно принципу Даламбера, все эти силы инерции уравновешиваются заданными силами, приложенными к телу, и реакциями закрепленных точек, то в общем случае имеем шесть известных из статики уравнений равновесия (три уравнения проекций и три уравнения моментов). В эти уравнения войдут, во-первых, сумма проекций всех сил инерции на каждую из трех выбранных координатных осей, или, что то же, проекции главного вектора сил инерции на каждую из этих осей, и, во-вторых, суммы моментов всех сил инерции относительно каждой координатной оси, или, что то же, главные моменты сил инерции относительно каждой из этих осей. Если ось вращения тела примем за координатную ось Z, то проекции главного вектора сил инер[[,ии  [c.378]


В этих уравнениях, как было уже указано выше, R x RI» — проекции на оси х и у, главного вектора сил инерции материальных частиц диска, и Л1у» — главные моменты этих сил относительно тех же осей. Так как в данной задаче центр тяжести диска лежит на оси вращения 2 и (o=r onst, то Хо=Уо=0 и Е 0, поэтому из формул (234) и (235) имеем  [c.381]

Предположим, что к оси гироскопа приложена сила F, момент которой относительно точки О равен М (рис. 106). Согласно формуле (47) вектор Ко (а следовательно, и ось симметрин гироскопа, так как их наиравления по предположению совпадают) будет отклоняться, но не в сторону действия силы, а в ту сторону, куда направлен вектор М (т. е. перпендикулярно силе). В этом состоит  [c.176]


основные понятия, формулы, пример решения задачи

Когда решают задачи на перемещение объектов, то в ряде случаев пренебрегают их пространственными размерами, вводя понятие материальной точки. Для другого типа задач, в которых рассматриваются покоящиеся или вращающиеся тела, важно знать их параметры и точки приложения внешних сил. В этом случае речь идет о моменте сил относительно оси вращения. Рассмотрим этот вопрос в статье.

Понятие о моменте силы

Перед тем как приводить формулу момента силы относительно оси вращения неподвижной, необходимо пояснить, о каком явлении пойдет речь. Ниже дан рисунок, на котором изображен гаечный ключ длиной d, к концу его приложена сила F. Нетрудно представить, что результатом ее воздействия будет вращение ключа против часовой стрелки и откручивание гайки.

Согласно определению, момент силы относительно оси вращения представляет собой произведение плеча (d в данном случае) на силу (F), то есть можно записать следующее выражение: M = d*F. Сразу же следует оговориться, что приведенная формула записана в скалярном виде, то есть она позволяет рассчитать абсолютное значение момента M. Как видно из формулы, единицей измерения рассматриваемой величины являются ньютоны на метр (Н*м).

Как выше было оговорено, момент M в действительности представляет собой вектор. Для пояснения этого утверждения рассмотрим другой рисунок.

Здесь мы видим рычаг длиной L, который закреплен на оси (показано стрелкой). К его концу приложена сила F под углом Φ. Нетрудно себе представить, что эта сила будет вызывать подъем рычага. Формула для момента в векторной форме в этом случае запишется так: M¯ = L¯*F¯, здесь черта над символом означает, что рассматриваемая величина — это вектор. Следует пояснить, что L¯ направлен от оси вращения к точке приложения силы F¯.

Приведенное выражение является векторным произведением. Его результирующий вектор (M¯) будет направлен перпендикулярно плоскости, образованной L¯ и F¯. Для определения направления момента M¯ существуют несколько правил (правой руки, буравчика). Чтобы не заучивать их и не путаться в порядке умножения векторов L¯ и F¯ (от него зависит направление M¯), следует запомнить одну простую вещь: момент силы будет направлен таким образом, что если смотреть с конца его вектора, то воздействующая сила F¯ будет вращать рычаг против часовой стрелки. Это направление момента условно принято за положительное. Если же система совершает вращение по часовой стрелки, значит, результирующий момент сил имеет отрицательное значение.

Таким образом, в рассматриваемом случае с рычагом L величина M¯ направлена вверх (от рисунка к читателю).

В скалярной форме формула для момента запишется в виде: M = L*F*sin(180-Φ) или M = L*F*sin(Φ) (sin(180-Φ) = sin(Φ)). Согласно определению синуса, можно записать равенство: M = d*F, где d = L*sin(Φ) (см. рисунок и соответствующий прямоугольный треугольник). Последняя формула является аналогичной той, которая была приведена в предыдущем пункте.

Проведенные выше вычисления демонстрируют, как работать с векторными и скалярными величинами моментов сил, чтобы не допустить ошибок.

Физический смысл величины M¯

Поскольку два рассмотренных в предыдущих пунктах случая связаны с вращательным движением, то можно догадаться, какой смысл несет момент силы. Если сила, действующая на материальную точку, является мерой увеличения скорости линейного перемещения последней, то момент силы — это мера ее вращательной способности применительно к рассматриваемой системе.

Приведем наглядный пример. Любой человек открывает дверь, взявшись за ее ручку. Также это можно сделать, если толкнуть дверь в зоне ручки. Почему никто не открывает ее, толкая в области петель? Очень просто: чем ближе к петлям приложена сила, тем труднее открыть дверь, и наоборот. Вывод предыдущего предложения следует из формулы для момента (M = d*F), откуда видно, что при M = const величины d и F находятся в обратной зависимости.

Момент силы — аддитивная величина

Во всех рассмотренных выше случаях имела место лишь одна действующая сила. При решении же реальных задач дело обстоит гораздо сложнее. Обычно на системы, которые вращаются или находятся в равновесии, действуют несколько сил кручения, каждая из которых создает свой момент. В этом случае решение задач сводится к нахождению суммарного момента сил относительно оси вращения.

Суммарный момент находится путем обычной суммы отдельных моментов для каждой силы, однако, следует не забывать использовать правильный знак для каждого из них.

Пример решения задачи

Для закрепления полученных знаний предлагается решить следующую задачу: необходимо вычислить суммарный момент силы для системы, изображенной на рисунке ниже.

Мы видим, что на рычаг длиной 7 м действуют три силы (F1, F2, F3), причем они имеют разные точки приложения относительно оси вращения. Поскольку направление сил перпендикулярно рычагу, то нет необходимости применять векторное выражение для момента кручения. Можно рассчитать суммарный момент M, используя скалярную формулу и не забывая о постановке нужного знака. Поскольку силы F1 и F3 стремятся повернуть рычаг против часовой стрелки, а F2 — по часовой стрелке, то момент вращения для первых будет положительным, а для второй — отрицательным. Имеем: M = F1*7-F2*5+F3*3 = 140-50+75 = 165 Н*м. То есть суммарный момент является положительным и направлен вверх (на читателя).

Статика. Момент силы

На данном уроке, тема которого: «Момент силы», мы поговорим о силе, с которой нужно подействовать на тело, чтобы изменить его скорость, а также о точке приложения этой силы. Рассмотрим примеры поворота разных тел, например качели: в какую точку нужно подействовать силой, чтобы качели начали движение или остались в равновесии.

Представьте, что вы футболист и перед вами футбольный мяч. Чтобы он полетел, его нужно ударить. Всё просто: чем сильнее ударите, тем быстрее и дальше полетит, и бить будете, скорее всего, в центр мяча (см. рис. 1).

А чтобы мяч в полете вращался и летел по искривленной траектории, вы ударите не в центр мяча, а сбоку, что и делают футболисты, чтобы обмануть соперника (см. рис. 2).

Рис. 2. Кривая траектория полета мяча

Здесь уже важно, в какую точку бить.

Еще один простой вопрос: в каком месте нужно взять палку, чтобы она при подъеме не перевернулась? Если палка равномерная по толщине и плотности, то возьмем мы её посередине. А если она с одного края массивнее? Тогда мы возьмем её ближе к массивному краю, иначе он перевесит (см. рис. 3).

Рис. 3. Точка подъема

Представьте: папа сел на качели-балансир (см. рис. 4).

Рис. 4. Качели-балансир

Чтобы его перевесить, вы сядете на качели поближе к противоположному концу.

Во всех приведённых примерах нам важно было не просто подействовать на тело с некоторой силой, но и важно, в каком месте, на какую именно точку тела действовать. Эту точку мы выбирали наугад, пользуясь жизненным опытом. А если на палке будет три разных груза? А если поднимать ее вдвоем? А если речь идёт о подъемном кране или вантовом мосте (см. рис. 5)?

Рис. 5. Примеры из жизни

Для решения таких задач интуиции и опыта недостаточно. Без четкой теории их решить уже нельзя. О решении таких задач сегодня и пойдёт речь.

Обычно в задачах у нас есть тело, к которому приложены силы, и мы их решаем, как всегда до этого, не задумываясь над точкой приложения силы. Достаточно знать, что сила приложена просто к телу. Такие задачи встречаются часто, мы умеем их решать, но бывает, что недостаточно приложить силу просто к телу, — становится важно, в какую точку.

Пример задачи, в которой размеры тела не важны

Например, на столе лежит маленький железный шарик, на который действует сила тяжести 1 Н. Какую силу нужно приложить, чтобы его поднять? Шарик притягивается Землей, мы будем действовать на него вверх, прикладывая некоторую силу.

Силы, действующие на шарик, направлены в противоположные стороны, и, чтобы поднять шарик, нужно подействовать на него с силой, большей по модулю, чем сила тяжести (см. рис. 6).

Рис. 6. Силы, действующие на шарик

Сила тяжести равна , значит, на шарик нужно подействовать вверх с силой:

Мы не задумывались, как именно мы берем шарик, мы его просто берем и поднимаем. Когда мы показываем, как мы поднимали шарик, мы вполне можем нарисовать точку и показать: мы воздействовали на шарик (см. рис. 7).

Рис. 7. Действие на шарик

Когда мы можем так поступить с телом, показать его на рисунке при объяснении в виде точки и не обращать внимания на его размеры и форму, мы считаем его материальной точкой. Это модель. Реально же шарик имеет форму и размеры, но мы на них в этой задаче не обращали внимания. Если тот же шарик нужно заставить вращаться, то просто сказать, что мы воздействуем на шарик, уже нельзя. Здесь важно, что мы толкали шарик с краю, а не в центр, заставляя его вращаться. В этой задаче тот же шарик уже нельзя считать точкой.

Мы уже знаем примеры задач, в которых нужно учитывать точку приложения силы: задача с футбольным мячом, с неоднородной палкой, с качелями.

Точка приложения силы важна также в случае с рычагом. Пользуясь лопатой, мы действуем на конец черенка. Тогда достаточно приложить небольшую силу (см. рис. 8).

Рис. 8. Действие малой силы на черенок лопаты

Что общего между рассмотренными примерами, где нам важно учитывать размеры тела? И мяч, и палка, и качели, и лопата — во всех этих случаях речь шла о вращении этих тел вокруг некоторой оси. Мяч вращался вокруг своей оси, качели поворачивались вокруг крепления, палка — вокруг места, в котором мы ее держали, лопата — вокруг точки опоры (см. рис. 9).

Рис. 9. Примеры вращающихся тел

Рассмотрим поворот тел вокруг неподвижной оси и увидим, что заставляет тело поворачиваться. Будем рассматривать вращение в одной плоскости, тогда можно считать, что тело поворачивается вокруг одной точки О (см. рис. 10).

Рис. 10. Точка вращения

Если мы захотим уравновесить качели, у которых балка будет стеклянной и тонкой, то она может просто сломаться, а если балка из мягкого металла и тоже тонкая — то согнуться (см. рис. 11).

Такие случаи мы рассматривать не будем; будем рассматривать поворот прочных жестких тел.

Неправильно будет сказать, что вращательное движение определяется только силой. Ведь на качелях одна и та же сила может вызвать их вращение, а может и не вызвать, смотря где мы сядем. Дело не только в силе, но и в расположении точки, на которую воздействуем. Все знают, насколько трудно поднять и удержать груз на вытянутой руке. Чтобы определять точку приложения силы, вводится понятие плеча силы (по аналогии с плечом руки, которой поднимают груз).

Плечо силы — это минимальное расстояние от заданной точки до прямой, вдоль которой действует сила.

Из геометрии вы наверняка уже знаете, что это перпендикуляр, опущенный из точки О на прямую, вдоль которой действует сила (см. рис. 12).

Рис. 12. Графическое изображение плеча силы

Почему плечо силы — минимальное расстояние от точки О до прямой, вдоль которой действует сила

Может показаться странным, что плечо силы измеряется от точки О не до точки приложения силы, а до прямой, вдоль которой эта сила действует.

Проделаем такой опыт: привяжем к рычагу нить. Подействуем на рычаг с некоторой силой в точке, где привязана нить (см. рис. 13).

Рис. 13. Нить привязана к рычагу

Если создастся момент силы, достаточный для поворота рычага, он повернется. Нить покажет прямую, вдоль которой направлена сила (см. рис. 14).

Попробуем потащить рычаг с той же силой, но теперь взявшись за нить. В воздействии на рычаг ничего не изменится, хотя точка приложения силы поменяется. Но сила будет действовать вдоль той же прямой, ее расстояние до оси вращения, то есть плечо силы, останется тем же. Попробуем подействовать на рычаг под углом (см. рис. 15).

Рис. 15. Действие на рычаг под углом

Теперь сила приложена к той же точке, но действует вдоль другой прямой. Ее расстояние до оси вращения стало малό, момент силы уменьшился, и рычаг может уже не повернуться.

На тело оказывается воздействие, направленное на вращение, на поворот тела. Это воздействие зависит от силы и от её плеча. Величина, характеризующая вращательное воздействие силы на тело, называется момент силы , иногда его называют еще вращающим или крутящим моментом.

Значение слова «момент»

Нам привычно употреблять слово «момент» в значении очень короткого промежутка времени, как синоним слова «мгновение» или «миг». Тогда не совсем понятно, какое отношение имеет момент к силе. Обратимся к происхождению слова «момент».

Слово происходит от латинского momentum, что означает «движущая сила, толчок». Латинский глагол movēre означает «двигать» (как и английское слово move, а movement означает «движение»). Теперь нам ясно, что вращающий момент — это то, что заставляет тело вращаться.

Момент силы — это произведение силы на ее плечо.

Единица измерения — ньютон, умноженный на метр: .

Если увеличивать плечо силы, можно уменьшить силу и момент силы останется прежним. Мы очень часто используем это в повседневной жизни: когда открываем дверь, когда пользуемся плоскогубцами или гаечным ключом.

Остался последний пункт нашей модели — надо разобраться, что делать, если на тело действует несколько сил. Мы можем вычислить момент каждой силы. Понятно, что если силы будут вращать тело в одном направлении, то их действие сложится (см. рис. 16).

Рис. 16. Действие сил складывается

Если в разных направлениях — моменты сил будут уравновешивать друг друга и логично, что их нужно будет вычесть. Поэтому моменты сил, которые вращают тело в разных направлениях, будем записывать с разными знаками. Например, запишем, если сила предположительно вращает тело вокруг оси по часовой стрелке, и — если против (см. рис. 17).

Рис. 17. Определение знаков

Тогда мы можем записать одну важную вещь: чтобы тело пребывало в равновесии, сумма моментов действующих на него сил должна быть равна нулю .

Формула для рычага

Мы уже знаем принцип действия рычага: на рычаг действуют две силы, и во сколько раз больше плечо рычага, во столько раз меньше сила:

Рассмотрим моменты сил, которые действуют на рычаг.

Выберем положительное направление вращения рычага, например против часовой стрелки (см. рис. 18).

Рис. 18. Выбор направления вращения

Тогда момент силы будет со знаком плюс, а момент силы — со знаком минус. Чтобы рычаг был в равновесии, сумма моментов сил должна быть равна нулю. Запишем:

Математически это равенство и соотношение, записанное выше для рычага, — одно и то же, и то, что мы получили экспериментально, подтвердилось.

Например, определим, будет ли пребывать в равновесии рычаг, изображенный на рисунке. На него действуют три силы (см. рис. 19). , и . Плечи сил равны , и .

Рис. 19. Рисунок к условию задачи 1

Чтобы рычаг пребывал в равновесии, сумма моментов сил, которые на него действуют, должен быть равен нулю.

На рычаг по условию действуют три силы: , и . Их плечи соответственно равны , и .

Направление вращения рычага по часовой стрелке будем считать положительным. В этом направлении рычаг вращает сила , ее момент равен:

Силы и вращают рычаг против часовой стрелки, их моменты запишем со знаком минус:

Осталось вычислить сумму моментов сил:

Суммарный момент не равен нулю, значит, тело не будет пребывать в равновесии. Суммарный момент положительный, значит, рычаг будет поворачиваться по часовой стрелке (в нашей задаче это положительное направление).

Мы решили задачу и получили результат: суммарный момент сил, действующих на рычаг, равен . Рычаг начнет поворачиваться. И при его повороте, если силы не изменят направление, будут изменяться плечи сил. Они будут уменьшаться, пока не станут равны нулю, когда рычаг повернется вертикально (см. рис. 20).

Рис. 20. Плечи сил равны нулю

А при дальнейшем повороте силы станут направлены так, чтобы вращать его в противоположном направлении. Поэтому, решив задачу, мы определили, в какую сторону начнет вращаться рычаг, не говоря о том, что будет происходить потом.

Теперь вы научились определять не только силу, с которой нужно действовать на тело, чтобы изменить его скорость, но и точку приложения этой силы, чтобы оно не поворачивалось (или поворачивалось, как нам нужно).

Как толкать шкаф, чтобы он не перевернулся?

Мы знаем, что, когда мы толкаем шкаф с силой в верхней его части, он переворачивается, а чтобы этого не произошло, мы толкаем его ниже. Теперь мы можем объяснить это явление. Ось его вращения находится на том его ребре, на котором он стоит, при этом плечи всех сил, кроме силы , либо малы, либо равняются нулю, поэтому под действием силы шкаф падает (см. рис. 21).

Рис. 21. Действие на верхнюю часть шкафа

Прикладывая силу ниже, мы уменьшаем ее плечо , а значит, и момент этой силы, и опрокидывания не происходит (см. рис. 22).

Рис. 22. Сила приложена ниже

Шкаф как тело, размеры которого мы учитываем, подчиняется тому же закону, что и гаечный ключ, дверная ручка, мосты на опорах и т. п.

На этом наш урок окончен. Спасибо за внимание!

Список литературы

  1. Соколович Ю.А., Богданова Г.С Физика: Справочник с примерами решения задач. — 2-е издание передел. — X.: Веста: Издательство «Ранок», 2005. — 464 с.
  2. Перышкин А.В. Физика. 7 кл.: учеб. для общеобразоват. учреждений — 10-е изд., доп. — М.: Дрофа, 2006. — 192 с.: ил.
  1. Abitura.com ().
  2. Solverbook.com ().

Домашнее задание

В физике рассмотрение задач с вращающимися телами или системами, которые находятся в равновесии, осуществляется с использованием концепции «момент силы». В этой статье будет рассмотрена формула момента силы, а также ее использование для решения указанного типа задач.

в физике

Как было отмечено во введении, в данной статье пойдет речь о системах, которые могут вращаться либо вокруг оси, либо вокруг точки. Рассмотрим пример такой модели, изображенной на рисунке ниже.

Мы видим, что рычаг серого цвета закреплен на оси вращения. На конце рычага имеется черный кубик некоторой массы, на который действует сила (красная стрелка). Интуитивно понятно, что результатом воздействия этой силы будет вращение рычага вокруг оси против часовой стрелки.

Моментом силы называется величина в физике, которая равна векторному произведению радиуса, соединяющего ось вращения и точку приложения силы (зеленый вектор на рисунке), и самой внешней силе. То есть силы относительно оси записывается следующим образом:

Результатом этого произведения будет вектор M¯. Направление его определяют, исходя из знания векторов-множителей, то есть r¯ и F¯. Согласно определению векторного произведения, M¯ должен быть перпендикулярен плоскости, образованной векторами r¯ и F¯, и направлен в соответствии с правилом правой руки (если четыре пальца правой руки расположить вдоль первого умножаемого вектора в направлении к концу второго, то отставленный вверх большой палец укажет, куда направлен искомый вектор). На рисунке можно видеть, куда направлен вектор M¯ (синяя стрелка).

Скалярная форма записи M¯

На рисунке в предыдущем пункте сила (красная стрелка) действует на рычаг под углом 90 o . В общем же случае она может быть приложена под совершенно любым углом. Рассмотрим изображение ниже.

Здесь мы видим, что на рычаг L сила F уже действует под некоторым углом Φ. Для этой системы формула момента силы относительно точки (показана стрелкой) в скалярном виде примет форму:

M = L * F * sin(Φ)

Из выражения следует, что момент силы M будет тем больше, чем ближе направление действия силы F к углу 90 o по отношению к L. Наоборот, если F действует вдоль L, то sin(0) = 0, и сила не создает никакого момента (M = 0).

При рассмотрении момента силы в скалярной форме часто пользуются понятием «рычага силы». Эта величина представляет собой расстояние между осью (точкой вращения) и вектором F. Применяя это определение к рисунку выше, можно сказать, что d = L * sin(Φ) — это рычаг силы (равенство следует из определения тригонометрической функции «синус»). Через рычаг силы формулу для момента M можно переписать так:

Физический смысл величины M

Рассматриваемая физическая величина определяет способность внешней силы F оказывать вращательное воздействие на систему. Чтобы привести тело во вращательное движение, ему необходимо сообщить некоторый момент M.

Ярким примером этого процесса является открывание или закрывание двери в комнату. Взявшись за ручку, человек прикладывает усилие и поворачивает дверь на петлях. Каждый сможет это сделать. Если же попытаться открыть дверь, воздействуя на нее вблизи петель, то потребуется приложить большие усилия, чтобы сдвинуть ее с места.

Другим примером является откручивание гайки ключом. Чем короче будет этот ключ, тем труднее выполнить поставленную задачу.

Указанные особенности демонстрирует формула момента силы через плечо, которая была приведена в предыдущем пункте. Если M считать постоянной величиной, то чем меньше d, тем большую F следует приложить для создания заданного момента силы.

Несколько действующих сил в системе

Выше были рассмотрены случаи, когда на систему, способную к вращению, действует всего одна сила F, но как быть, когда таких сил несколько? Действительно, эта ситуация является более частой, поскольку на систему могут действовать силы различной природы (гравитационная, электрическая, трение, механическая и другие). Во всех этих случаях результирующий момент силы M¯ может быть получен с помощью векторной суммы всех моментов M i ¯, то есть:

M¯ = ∑ i (M i ¯), где i — номер силы F i

Из свойства аддитивности моментов следует важный вывод, который получил название теоремы Вариньона, названной так по фамилии математика конца XVII — начала XVIII века — француза Пьера Вариньона. Она гласит: «Сумма моментов всех сил, оказывающих воздействие на рассматриваемую систему, может быть представлена в виде момента одной силы, которая равна сумме всех остальных и приложена к некоторой точке». Математически теорему можно записать так:

∑ i (M i ¯) = M¯ = d * ∑ i (F i ¯)

Эта важная теорема часто используется на практике для решения задач на вращение и равновесие тел.

Совершает ли работу момент силы?

Анализируя приведенные формулы в скалярном или векторном виде, можно прийти к выводу, что величина M — это некоторая работа. Действительно, ее размерность равна Н*м, что в СИ соответствует джоулю (Дж). На самом деле момент силы — это не работа, а лишь величина, которая способна ее совершить. Чтобы это произошло, необходимо наличие кругового движения в системе и продолжительного во времени действия M. Поэтому формула работы момента силы записывается в следующем виде:

В этом выражении θ — это угол, на который было произведено вращение моментом силы M. В итоге единицу работы можно записать как Н*м*рад или же Дж*рад. Например, значение 60 Дж*рад говорит о том, что при повороте на 1 радиан (приблизительно 1/3 окружности) создающая момент M сила F совершила работу в 60 джоулей. Эту формулу часто используют при решении задач в системах, где действуют силы трения, что будет показано ниже.

Момент силы и момент импульса

Как было показано, воздействие на систему момента M приводит к появлению в ней вращательного движения. Последнее характеризуется величиной, которая получила название «момент импульса». Его можно вычислить, применяя формулу:

Здесь I — это момент инерции (величина, которая играет такую же роль при вращении, что и масса при линейном движении тела), ω — угловая скорость, она связана с линейной скоростью формулой ω = v/r.

Оба момента (импульса и силы) связаны друг с другом следующим выражением:

M = I * α, где α = dω / dt — угловое ускорение.

Приведем еще одну формулу, которая важна для решения задач на работу моментов сил. С помощью этой формулы можно вычислить кинетическую энергию вращающегося тела. Она выглядит так:

Равновесие нескольких тел

Первая задача связана с равновесием системы, в которой действуют несколько сил. На рисунке ниже приведена система, на которую действуют три силы. Необходимо рассчитать, какой массы предмет необходимо подвесить к этому рычагу и в какой точке это следует сделать, чтобы данная система находилась в равновесии.

Из условия задачи можно понять, что для ее решения следует воспользоваться теоремой Вариньона. На первую часть задачи можно ответить сразу, поскольку вес предмета, которые следует подвесить к рычагу, будет равен:

P = F 1 — F 2 + F 3 = 20 — 10 + 25 = 35 Н

Знаки здесь выбраны с учетом того, что сила, вращающая рычаг против часовой стрелки, создает отрицательный момент.

Положение точки d, куда следует подвесить этот вес, вычисляется по формуле:

M 1 — M 2 + M 3 = d * P = 7 * 20 — 5 * 10 + 3 * 25 = d * 35 => d = 165/35 = 4,714 м

Отметим, что с помощью формулы момента силы тяжести мы вычислили эквивалентную величину M той, которую создают три силы. Чтобы система находилась в равновесии, необходимо подвесить тело весом 35 Н в точке 4,714 м от оси с другой стороны рычага.

Задача с движущимся диском

Решение следующей задачи основано на использовании формулы момента силы трения и кинетической энергии тела вращения. Задача: дан диск радиуса r = 0,3 метра, который вращается со скоростью ω = 1 рад/с. Необходимо рассчитать, какое расстояние способен он пройти по поверхности, если коэффициент трения качения равен μ = 0,001.

Эту задачу легче всего решить, если воспользоваться законом сохранения энергии. Мы располагаем начальной кинетической энергией диска. Когда он начнет катиться, то вся эта энергия расходуется на нагрев поверхности за счет действия силы трения. Приравнивая обе величины, получим выражение:

I * ω 2 /2 = μ * N/r * r * θ

Первая часть формулы — это кинетическая энергия диска. Вторая часть — это работа момента силы трения F = μ * N/r, приложенной к краю диска (M=F * r).

Учитывая, что N = m * g и I = 1/2m * r 2 , вычисляем θ:

θ = m * r 2 * ω 2 /(4 * μ * m * g) = r 2 * ω 2 /(4 * μ *g) = 0,3 2 * 1 2 /(4 * 0,001 * 9,81) = 2,29358 рад

Поскольку 2pi радиан соответствуют длине 2pi * r, тогда получаем, что искомое расстояние, которое пройдет диск, равно:

s = θ * r = 2,29358 * 0,3 = 0,688 м или около 69 см

Отметим, что на данный результат масса диска никак не влияет.

Моментом силы относительно оси вращения называется физическая величина, равная про­изведению силы на ее плечо.

Момент силы определяют по формуле:

М — FI , где F — сила, I — плечо силы.

Плечом силы называется кратчайшее расстояние от линии действия силы до оси вращения тела.


На рис. 1.33, а изображено твердое тело, способное вращаться вокруг оси. Ось вращения этого тела перпендикулярна плоскости рисунка и проходит через точку, обозначенную буквой О. Пле­чом силы F здесь является расстояние 1Хот оси вращения до линии действия силы. Находят его следующим образом. Сначала проводят линию действия силы. Затем из точки О, через которую проходит ось вращения тела, опускают на линию действия силы перпендикуляр. Длина этого перпендикуляра является плечом данной силы.

Момент силы характеризует вращающее действие силы. Это действие зависит как от силы, так и от плеча. Чем больше плечо, тем меньшую силу надо приложить, чтобы получить желаемый результат, т. е. один и тот же момент силы (см. (1.33)). Именно поэтому открыть дверь, толкая ее возле петель, гораздо труднее, чем берясь за ручку, а гайку отвернуть гораздо проще длинным, чем коротким гаечным ключом.

За единицу момента силы в СИ принимается момент силы в 1 Н, плечо которой равно 1м — ньютон-метр (Н м).

Правило моментов

Твердое тело, способное вращаться вокруг неподвижной оси, находится в равновесии, если момент силы М, вращающей его по часовой стрелке, равен моменту силы М2, вращающей его против часовой стрелки:

М1 = -М2 или F 1 ll = — F 2 l 2 .

Правило моментов является следствием одной из теорем механики, сформулированной фран­цузским ученым П. Вариньоном в 1687 г.

Если на тело действуют две равные и противоположно направленные силы, не лежащие на одной прямой, то такое тело не находится в равновесии, поскольку результирующий момент этих сил относительно любой оси не равен нулю, т. к. обе силы имеют моменты, направленные в одну сторону. Две такие силы, одновременно действующие на тело, называют парой сил. Если тело закреплено на оси, то под действием пары сил оно будет вращаться. Если пара сил приложена ксвободному телу, то оно будет вращаться вокруг оси, проходящей через центр тяжести тела, рис. 1.33, б.

Момент пары сил одинаков относительно любой оси, перпендикулярной к плоскости пары. Суммарный момент М пары всегда равен произведению одной из сил F на расстояние I между силами, которое называется плечом пары,независимо от того, на какие отрезки и /2 разделяет положение оси плечо пары:

M = Fll + Fl2=F(l1 + l2) = Fl.

Момент нескольких сил, равнодействующая которых равна нулю, будет одинаковым относи­тельно всех осей, параллельных друг другу, поэтому действие всех этих сил на тело можно заме­нить действием одной пары сил с тем же моментом.

Когда решают задачи на перемещение объектов, то в ряде случаев пренебрегают их пространственными размерами, вводя понятие материальной точки. Для другого типа задач, в которых рассматриваются покоящиеся или вращающиеся тела, важно знать их параметры и точки приложения внешних сил. В этом случае речь идет о моменте сил относительно оси вращения. Рассмотрим этот вопрос в статье.

Понятие о моменте силы

Перед тем как приводить относительно оси вращения неподвижной, необходимо пояснить, о каком явлении пойдет речь. Ниже дан рисунок, на котором изображен гаечный ключ длиной d, к концу его приложена сила F. Нетрудно представить, что результатом ее воздействия будет вращение ключа против часовой стрелки и откручивание гайки.

Согласно определению, момент силы относительно оси вращения представляет собой произведение плеча (d в данном случае) на силу (F), то есть можно записать следующее выражение: M = d*F. Сразу же следует оговориться, что приведенная формула записана в скалярном виде, то есть она позволяет рассчитать абсолютное значение момента M. Как видно из формулы, единицей измерения рассматриваемой величины являются ньютоны на метр (Н*м).

— векторная величина

Как выше было оговорено, момент M в действительности представляет собой вектор. Для пояснения этого утверждения рассмотрим другой рисунок.

Здесь мы видим рычаг длиной L, который закреплен на оси (показано стрелкой). К его концу приложена сила F под углом Φ. Нетрудно себе представить, что эта сила будет вызывать подъем рычага. Формула для момента в векторной форме в этом случае запишется так: M¯ = L¯*F¯, здесь черта над символом означает, что рассматриваемая величина — это вектор. Следует пояснить, что L¯ направлен от к точке приложения силы F¯.

Приведенное выражение является векторным произведением. Его результирующий вектор (M¯) будет направлен перпендикулярно плоскости, образованной L¯ и F¯. Для определения направления момента M¯ существуют несколько правил (правой руки, буравчика). Чтобы не заучивать их и не путаться в порядке умножения векторов L¯ и F¯ (от него зависит направление M¯), следует запомнить одну простую вещь: момент силы будет направлен таким образом, что если смотреть с конца его вектора, то воздействующая сила F¯ будет вращать рычаг против часовой стрелки. Это направление момента условно принято за положительное. Если же система совершает вращение по часовой стрелки, значит, результирующий момент сил имеет отрицательное значение.

Таким образом, в рассматриваемом случае с рычагом L величина M¯ направлена вверх (от рисунка к читателю).

В скалярной форме формула для момента запишется в виде: M = L*F*sin(180-Φ) или M = L*F*sin(Φ) (sin(180-Φ) = sin(Φ)). Согласно определению синуса, можно записать равенство: M = d*F, где d = L*sin(Φ) (см. рисунок и соответствующий прямоугольный треугольник). Последняя формула является аналогичной той, которая была приведена в предыдущем пункте.

Проведенные выше вычисления демонстрируют, как работать с векторными и скалярными величинами моментов сил, чтобы не допустить ошибок.

Физический смысл величины M¯

Поскольку два рассмотренных в предыдущих пунктах случая связаны с вращательным движением, то можно догадаться, какой смысл несет момент силы. Если сила, действующая на материальную точку, является мерой увеличения скорости линейного перемещения последней, то момент силы — это мера ее вращательной способности применительно к рассматриваемой системе.

Приведем наглядный пример. Любой человек открывает дверь, взявшись за ее ручку. Также это можно сделать, если толкнуть дверь в зоне ручки. Почему никто не открывает ее, толкая в области петель? Очень просто: чем ближе к петлям приложена сила, тем труднее открыть дверь, и наоборот. Вывод предыдущего предложения следует из формулы для момента (M = d*F), откуда видно, что при M = const величины d и F находятся в обратной зависимости.

Момент силы — аддитивная величина

Во всех рассмотренных выше случаях имела место лишь одна действующая сила. При решении же реальных задач дело обстоит гораздо сложнее. Обычно на системы, которые вращаются или находятся в равновесии, действуют несколько сил кручения, каждая из которых создает свой момент. В этом случае решение задач сводится к нахождению суммарного момента сил относительно оси вращения.

Суммарный момент находится путем обычной суммы отдельных моментов для каждой силы, однако, следует не забывать использовать правильный знак для каждого из них.

Пример решения задачи

Для закрепления полученных знаний предлагается решить следующую задачу: необходимо вычислить суммарный момент силы для системы, изображенной на рисунке ниже.

Мы видим, что на рычаг длиной 7 м действуют три силы (F1, F2, F3), причем они имеют разные точки приложения относительно оси вращения. Поскольку направление сил перпендикулярно рычагу, то нет необходимости применять векторное выражение для момента кручения. Можно рассчитать суммарный момент M, используя скалярную формулу и не забывая о постановке нужного знака. Поскольку силы F1 и F3 стремятся повернуть рычаг против часовой стрелки, а F2 — по часовой стрелке, то момент вращения для первых будет положительным, а для второй — отрицательным. Имеем: M = F1*7-F2*5+F3*3 = 140-50+75 = 165 Н*м. То есть суммарный момент является положительным и направлен вверх (на читателя).

Враща́тельное движе́ние — вид механического движения. При вращательном движении абсолютно твёрдого тела его точки описывают окружности, расположенные в параллельных плоскостях. Центры всех окружностей лежат при этом на одной прямой, перпендикулярной к плоскостям окружностей и называемой осью вращения. Ось вращения может располагаться внутри тела и за его пределами. Ось вращения в данной системе отсчёта может быть как подвижной, так и неподвижной. Например, в системе отсчёта, связанной с Землёй, ось вращения ротора генератора на электростанции неподвижна.

Кинетические характеристики:

Вращение твердого тела, как целого характеризуется углом , измеряющегося в угловых градусах или радианах, угловой скоростью (измеряется в рад/с)и угловым ускорением(единица измерения — рад/с²).

При равномерном вращении (T оборотов в секунду):

Частота вращения — число оборотов тела в единицу времени.-

Период вращения — время одного полного оборота. Период вращения T и его частота связаны соотношением.

Линейная скорость точки, находящейся на расстоянии R от оси вращения

Угловая скорость вращения тела

Момент силы (синонимы: крутящий момент, вращательный момент, вертящий момент, вращающий момент) — векторная физическая величина, равная векторному произведению радиус-вектора (проведённого от оси вращения к точке приложения силы — по определению), на вектор этой силы. Характеризует вращательное действие силы на твёрдое тело.

Момент силы измеряется в ньютон-метрах. 1 Н·м — момент силы, который производит сила 1 Н на рычаг длиной 1 м. Сила приложена к концу рычага и направлена перпендикулярно ему.

Моме́нт и́мпульса (кинетический момент, угловой момент, орбитальный момент, момент количества движения) характеризует количество вращательного движения. Величина, зависящая от того, сколько массы вращается, как она распределена относительно оси вращения и с какой скоростью происходит вращение. Момент импульса замкнутой системы сохраняется

Зако́н сохране́ния моме́нта и́мпульса (закон сохранения углового момента) — один из фундаментальных законов сохранения. Математически выражается через векторную сумму всех моментов импульса относительно выбранной оси для замкнутой системы тел и остается постоянной, пока на систему не воздействуют внешние силы. В соответствии с этим момент импульса замкнутой системы в любой системе координат не изменяется со временем.

Закон сохранения момента импульса есть проявление изотропности пространства относительно поворота.

16.Уравнение динамики вращательного движения. Момент инерции.

Основное уравнение динамики вращательного движения материальной точки — угловое ускорение точки при ее вращении вокруг неподвижной оси пропорционально вращающему моменту и обратно пропорционально моменту инерции.

М = E*J или E = M/J

Сравнивая полученное выражение со вторым законом Ньютона с поступательным законом, видим, что момент инерции J является мерой инертности тела во вращательном движении. Как и масса величина аддитивная.

Момент инерции — скалярная (в общем случае — тензорная) физическая величина, мера инертности во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении. Характеризуется распределением масс в теле: момент инерции равен сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества (точки, прямой или плоскости).

Единица измерения СИ: кг·м².Обозначение: I или J.

Различают несколько моментов инерции — в зависимости от многообразия, от которого отсчитывается расстояние точек.

Свойства момента инерции:

1.Момент инерции системы равен сумме момента инерции её частей.

2.Момент инерции тела является величиной, иманентно присущей этому телу.

Момент инерции твердого тела — это велина, характеризующая распределение массы в теле и являющаяся мерой инертности тела при вращательном движении.

Формула момента инерции:

Теорема Штейнера:

Момент инерции тела относительно какой-либо оси равен моменту инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр инерции, сложенной с величиной m*(R*R), где R — расстояние между осями.

Моментом инерции механической системы относительно неподвижной оси («осевой момент инерции») называется величина Ja, равная сумме произведений масс всех n материальных точек системы на квадраты их расстояний до оси:

Осевой момент инерции тела Ja является мерой инертности тела во вращательном движении вокруг оси подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении.

Центральный момент инерции (или момент инерции относительно точки O) — это величина

.

q9-запись-выражения-для-го | ЛИДО

Решение:

Момент силы относительно данной оси = Сила \умножить на перпендикулярное расстояние силы от оси вращения.

Привет, студенты, добро пожаловать в Лидо Видео с вопросами и ответами от Learning так вот у нас есть интересный вопрос и нам нужно понять концепцию здесь, прежде чем мы Двигаясь вперед с выражение, которое я написал сразу сюда но мы должны понять концепцию вот так мы должны написать выражение для момент силы относительно заданной оси вращения, чтобы понять, что сначала мы должен знать что мы понимаем под моментом силы? правильно, момент силы равен поворотный эффект силы на тело так как вы можете видеть здесь, на этой картинке здесь есть стержень или ось вращения так что это ось вращения, где это колесо вращается правильно хорошо и в центре есть стержень он прикреплен он не может двигаться в этом направлении, если мы применять сила прямо здесь, так что это направление движение ограничено он может вращаться только вокруг оси вращение или вокруг оси сейчас этот момент силы определяется как какую бы силу мы ни применяли на перпендикулярном расстоянии от вращаться так что если вот стержень и это перпендикулярное расстояние больше, чем сила должна быть приложена в этом направлении, поэтому максимальный момент силы будет там, когда сила прямо перпендикулярно к расстояние от оси вращения вправо так это момент силы предположим мы прикладываем силу в этом направлении.что параллельно этому, то это будет не вращать поэтому он должен быть перпендикулярен направление, которое этот момент силы также обозначается как тау или крутящий момент равен силе в перпендикулярное расстояние от точка опоры, это ваша подача и перпендикулярное расстояние от этого здесь, так что это будет расстояние и сила будет в этом направлении когда вы применяете силу, вы можете применить сила в этом направлении так вот как будет момент силы рассчитывается единица s i для момента силы равна равно ньютон и метр, поэтому ньютон-метр становится единица си почему ньютон метр потому что сила ньютон Единицы силы — ньютон и единица расстояния составляет метр, поэтому, когда мы объединяем эти два у нас есть единица si на данный момент силы равен ньютон-метру, я надеюсь, что это пример был простым, если у вас есть дальнейшие вопросы пожалуйста, оставьте свои комментарии ниже, спасибо ты

Силовой момент на заданной оси — вопросы и ответы по инженерной механике

Этот набор вопросов и ответов с несколькими вариантами ответов (MCQ) по инженерной механике посвящен «Моменту силы на указанной оси».

1. Определите модуль момента силы, как показано на диаграмме, которая стремится повернуть стержень ORQP вдоль QP.

a) 80,49 Нм
b) 72,12 Нм
c) -36,67 Нм
d) 36,67 Нм
View Answer

Ответ: a
Объяснение: Использование формулы A.(rxF) дает ответ. В котором A равно 0,89i + 0,447j m. И сила 300 Н, которая приложена к концу стержня. Таким образом, найдя уравнение оси и затем подставив его в уравнение, показанное выше, мы получим ответ.Собственно, основная задача — знать уравнение оси в векторной форме. Тогда получите величину момента.

2. Вычисление момента относительно оси и момента относительно любой точки от силы, приложенной к телу, отличаются друг от друга.
a) Верно
b) Неверно
Просмотреть ответ

Ответ: a
Объяснение: Вычисление момента относительно оси и момента относительно любой точки силой, приложенной к телу, отличаются друг от друга.Это потому, что оба расчета требуют разных формул. И обе формулы имеют разные входные данные, что, очевидно, отличается.

3. При расчете момента силы относительно оси таблица векторного произведения, т. е. матрица 3X3, составленная для выполнения векторного произведения, имеющая 3 строки, содержит три элемента. Какие они сверху вниз?
a) Координаты оси, координаты точки и координаты силы
b) Координаты точки, координаты оси и координаты силы
c) Координаты оси, координаты силы и координаты точки
d) Координаты силы, координаты точки и координаты силы координаты оси
View Answer

Ответ: a
Объяснение: Создаваемая матрица 3X3 имеет координаты осей, координаты точек и координаты силы.Они располагаются сверху вниз. Порядок не может быть изменен. Или, если изменилось, нужно соответствующим образом применить отрицательный знак. Отрицательный, потому что направления меняются местами.

4. Что из следующего верно? (Для A, представляющего векторное представление оси вращения, r радиус-вектор и F вектор силы)
a) A.(rxF)
b) Ax(rxF)
c) A.(rF)
d) Fx (rF)
Посмотреть ответ

Ответ: a
Объяснение: Правильная форма уравнения дается A.(рхФ). Где A представляет векторное представление оси вращения, r радиус-вектор и F вектор силы. Обычно это делается для определения момента силы относительно оси. Это если тело под действием силы вращается вокруг оси.

5. Чему равен вектор r в уравнении A.(rxF)?
а) Величина оси, т.е. длина оси
б) Длина вектора силы
в) Длина радиуса
г) Радиус-вектор
Посмотреть Ответ

Ответ: d
Пояснение: р в уравнении А.(rxF) — радиус-вектор. То есть это вектор, который имеет начальную точку на оси и конечную точку в точке действия силы на тело. Этот вектор пересекается вектором силы, за которым следует скалярное произведение с вектором оси.

6. Вектором оси при расчете момента вдоль оси вращения является ось, которая коллинеарна вектору силы.
a) Верно
b) Неверно
Просмотреть ответ

Ответ: b
Объяснение: Ось вращения не может быть коллинеарна вектору силы.Если это так, то вращение тела невозможно. То есть момент силы равен нулю. Это означает, что сила не дает вращения вдоль оси вращения тела.

7. Что из следующего верно?
а) Мы не можем представить момент, вызванный силой вдоль любой оси, в векторной форме
б) Мы можем представить момент, вызванный силой вдоль любой оси, в скалярной форме
в) Мы не можем представить момент, вызванный силой вдоль любая точка в векторной форме
d) Мы можем представить момент, вызванный силой вдоль любой оси, в векторной форме
Просмотреть Ответ

Ответ: d
Пояснение: Поскольку момент является вектором, мы можем легко представить его в векторной форме.Будь то момент силы, действующей на тело относительно оси, или относительно точки. Мы также можем преобразовать то же самое в декартову форму. Единственное, что нам нужно сделать, это перекрестное произведение радиус-вектора и вектора силы.

8. Что делать, если перпендикулярное расстояние от оси равно бесконечности?
a) Вращение невозможно
b) Вращение возможно, но создаваемый момент очень мал
c) Приложенная сила будет очень высокой даже при небольшом вращении
d) Нет вращения, если контакт не нарушен
View Answer

Ответ: c
Объяснение: Большое расстояние означает огромную силу, которую нужно приложить.Поскольку увеличение расстояния также увеличит инерцию сопротивления, что, очевидно, увеличит силу, необходимую для вращения. Хотя мы знаем, что чем больше расстояние, тем меньше сила, приложенная для вращения. Но инерцию иногда приходится принимать в расчет.

9. В уравнении A.(rxF) r направлен от ______________ и заканчивается _____________
a) Ось вращения, вектор силы
b) Ось вращения, точка действия вектора силы на тело
c) Вектор силы , Ось вращения
г) Точка действия вектора силы на тело, Ось вращения
Посмотреть Ответ

Ответ: b
Пояснение: Это радиус-вектор.Радиус-вектор всегда направлен от оси вращения к точке действия силы на тело. Это означает, что радиус-вектор не находится ни в одной точке вектора силы. Скорее он заканчивается в точке на векторе силы, где он находится в контакте с телом.

10. Что делать, если вычисленный момент силы относительно оси отрицателен?
а) Это означает, что сила приложена в направлении, противоположном воображаемому
б) Это означает, что направление движения противоположно воображаемому направлению
в) Это означает, что радиус-вектор имеет направление, противоположное воображаемому
d) Такое вычисление означает, что вычисления сделаны неправильно
View Answer

Ответ: b
Объяснение: Это означает, что направление движения противоположно предполагаемому.Мы не можем сказать о направлении силы или направлении радиус-вектора. Но да, мы можем сказать о направлении вращения, поскольку это то, что будет вычислено. Остальные все детали закреплены. Их нельзя изменить.

11. Определить момент MQP в векторной форме, создаваемой силой, как показано на схеме, которая стремится повернуть стержень ORQP вдоль QP.

a) 72i + 36j Н·м
b) 72i – 36j Н·м
c) -72i – 36j Н·м
d) -72i + 36j Н·м
Посмотреть ответ

Ответ: a
Пояснение: Использование формулы A.(rxF) дает ответ. В котором A равно 0,89i + 0,447j m. И сила 300 Н, которая приложена к концу стержня. Таким образом, найдя уравнение оси и затем подставив его в уравнение, показанное выше, мы получим ответ. Собственно, основная задача — знать уравнение оси в векторной форме.

12. Определить момент силы F на отрезке QP узла трубы, показанного на рисунке.

а) 110 Нм
б) 100 Нм
в) 500 Нм
г) 510 Нм
Посмотреть ответ

Ответ: б
Пояснение: Использование формулы А.(rxF) дает ответ. В котором A равно 0,6i + 0,8j m, а r равно 0,5i + 0,5k. И сила 300 Н, которая приложена к концу стержня. Таким образом, найдя уравнение оси и затем подставив его в уравнение, показанное выше, мы получим ответ. Собственно, основная задача — знать уравнение оси в векторной форме. Тогда получите величину момента.

13. Определить модуль момента силы относительно оси PQ.

a) -72Nm
b) 82Nm
c) 90Nm
d) 50Nm
View Answer

Ответ: a
Объяснение: Использование формулы A.(rxF) дает ответ. В котором A равно 0,6i + 0,8j м, а r равно -0,2k, и сила, приложенная к концу стержня. Таким образом, найдя уравнение оси и затем подставив его в уравнение, показанное выше, мы получим ответ. Собственно, основная задача — знать уравнение оси в векторной форме. Тогда получите величину момента.

14. Определить модуль момента силы относительно оси у.

a) -72Nm
b) 82Nm
c) 210Nm
d) 50Nm
View Answer

Ответ: c
Пояснение: Использование формулы A.(rxF) дает ответ. В котором A равно 1j m, r равно -3i + 4j + 2k, а сила приложена к концу стержня. Таким образом, найдя уравнение оси и затем подставив его в уравнение, показанное выше, мы получим ответ. Собственно, основная задача — знать уравнение оси в векторной форме. Тогда получите величину момента.

15. Силы ___________ не вызывают вращения, если вращение рассматривается вокруг оси тела или центральной оси тела.
a) Несовпадающие
b) Совпадающие
c) Параллельные
d) Непараллельные
Просмотреть ответ

Ответ: b
Пояснение: Совпадающие силы — это силы, которые где-то касаются оси вращения. Если какая-либо сила касается этой оси, эта сила не считается или недостаточна, чтобы вызвать вращение. Если сила параллельна, то перпендикулярное расстояние силы от линии оси равно нулю, поэтому вращение отсутствует. Как мы знаем, вращение вызывается моментом.

Sanfoundry Global Education & Learning Series – Инженерная механика.

Чтобы практиковать все области инженерной механики, здесь полный набор из более чем 1000 вопросов и ответов с несколькими вариантами ответов .

Следующие шаги:
  • Получите бесплатную грамоту в области инженерной механики
  • Участие в конкурсе на получение сертификата инженерной механики
  • Стать лучшим специалистом в области инженерной механики
  • Пройти тесты инженерной механики
  • Практические тесты по главам: глава 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
  • Пробные тесты по главам: глава 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

Награда за вращательную кинематику

Крутящий момент

Крутящий момент (τ) — это сила, которая заставляет объект вращаться.Если вы думаете об использовании гаечного ключа для затягивания болта, то чем ближе к болту вы прикладываете усилие, тем труднее повернуть ключ, а чем дальше от болта вы прикладываете усилие, тем легче поворачивать ключ. . Это связано с тем, что вы создаете больший крутящий момент, когда прикладываете силу на большем расстоянии от оси вращения.

Давайте посмотрим на пример гаечного ключа, поворачивающего болт. Сила приложена на расстоянии от оси вращения.Назовите это расстояние r. Когда вы прикладываете силы под углом 90 градусов к воображаемой линии, идущей от оси вращения к точке приложения силы (известной как линия действия), вы получаете максимальный крутящий момент. По мере того, как угол, под которым прикладывается сила, уменьшается (θ), уменьшается и крутящий момент, заставляющий болт поворачиваться. Следовательно, вы можете рассчитать прилагаемый крутящий момент как:

В некоторых случаях физики называют rsinθ плечом рычага или плечом момента системы.Плечо рычага — это перпендикулярное расстояние от оси вращения до точки приложения силы. С другой стороны, вы можете думать о крутящем моменте как о компоненте силы, перпендикулярной рычагу, умноженной на расстояние r. Единицами крутящего момента являются единицы силы × расстояние или ньютон-метры (Н·м).

 

 

Вопрос: Пиратский капитан берет штурвал и поворачивает штурвал своего корабля, прикладывая к спице колеса силу в 20 ньютонов.Если он приложит силу в радиусе 0,2 м от оси вращения под углом 80° к линии действия, какой крутящий момент он приложит к колесу?

Ответ:

 

 

 

 

Вопрос: Механик затягивает выступы на шине, прилагая крутящий момент 110 Н·м под углом 90° к линии действия. Какая сила приложена, если ключ равен 0.4 метра в длину?

Ответ:

Вопрос: Какой длины должен быть ключ, если механик способен приложить усилие только в 200 Н?

Ответ:

 

Говорят, что объекты, которые не имеют вращательного ускорения или чистого крутящего момента равны нулю, находятся в равновесии вращения. Это означает, что любой чистый положительный (против часовой стрелки) крутящий момент уравновешивается равным чистым отрицательным крутящим моментом (по часовой стрелке).

 

Момент инерции

Ранее инерционная масса объекта (его поступательная инерция) определялась как способность этого объекта сопротивляться линейному ускорению. Точно так же вращательная инерция объекта или момент инерции описывает сопротивление объекта вращательному ускорению. Символ момента инерции объекта I.

Объекты, большая часть массы которых находится вблизи оси вращения, имеют небольшую инерцию вращения, в то время как объекты, масса которых находится дальше от оси вращения, имеют большую инерцию вращения.

Для обычных объектов вы можете найти формулу их момента инерции. Для более сложных объектов момент инерции можно рассчитать, взяв сумму всех отдельных частиц массы, составляющих объект, умноженную на квадрат их радиуса от оси вращения. Это может быть довольно обременительно с использованием алгебры, и поэтому обычно предоставляется курсам, основанным на исчислении, или числовым приближениям с использованием вычислительных систем.

 

Вопрос: Рассчитайте момент инерции твердого шара массой 10 кг и радиусом 0.2 м.

Ответ:

 

Вопрос: Рассчитайте момент инерции полого шара массой 10 кг и радиусом 0,2 м.

Ответ:

 

Второй закон Ньютона для вращения

В главе о динамике вы узнали о силах, заставляющих объекты ускоряться. Чем больше результирующая сила, тем больше линейное (или поступательное) ускорение, и чем больше масса объекта, тем меньше поступательное ускорение.

 

Вращательный эквивалент этого закона, 2-й закон Ньютона для вращения, связывает крутящий момент объекта с его результирующим угловым ускорением. Чем больше чистый крутящий момент, тем больше ускорение вращения, и чем больше инерция вращения, тем меньше ускорение вращения:

 

Вопрос: Какое угловое ускорение испытывает однородный сплошной диск массой 2 кг и радиусом 0.1 м при приложении чистого крутящего момента 10 Н·м? Предположим, что диск вращается вокруг своего центра.

Ответ:

 

Вопрос: Карусель на игровой площадке с моментом инерции 100 кг·м 2 начинается с состояния покоя и ускоряется силой 150 Н в радиусе 1 м от его центра. Если эта сила приложена под углом 90° к линии действия в течение времени 0.5 секунд, какова конечная скорость вращения Round-A-Bout?

Ответ: Начните с создания нашей таблицы кинематики вращения:

Поскольку вы знаете только два элемента на столе, вы должны найти третий, прежде чем решать это с помощью уравнений кинематики вращения. Поскольку вам дан момент инерции Round-A-Bout, а также приложенная сила, вы можете найти угловое ускорение, используя 2-й закон Ньютона для вращательного движения.

Теперь, используя свою кинематику вращения, определите конечную угловую скорость кругового движения.

 

 

В чем разница между моментом и крутящим моментом в приложениях линейного перемещения?

В линейном движении мы часто имеем дело с приложениями, в которых задействованы силы, приложенные на расстоянии от линейной направляющей, называемые консольными или моментными нагрузками.В этих случаях нас интересует допустимая нагрузка на направляющую или ее способность сопротивляться вращению. Но мы также имеем дело с компонентами, которые должны вращаться, когда сила приложена на расстоянии, например, вал шарико-винтовой передачи, передающий крутящий момент от двигателя к нагрузке. В этих случаях нас интересует количество крутящего момента, которое компонент может передать.

И момент на линейной направляющей, и крутящий момент на валу вызываются силами, приложенными на расстоянии, и оба измеряются в ньютон-метрах (Нм) или фунт-футах (фунт-фут).Так в чем разница между моментом, приложенным к линейной направляющей, и моментом, приложенным к валу винта?


Основное различие между моментом и крутящим моментом можно обнаружить, изучая реакцию объекта. Когда крутящий момент приложен к валу, вал вращается. Но когда к линейной направляющей приложена моментная нагрузка, направляющая остается неподвижной (если только момент не превышает номинальный допустимый момент направляющей, в этом случае направляющая может деформироваться или начать вращаться).

Крутящий момент производит вращение вокруг оси или точки поворота.

Другими словами, крутящий момент вызывает изменение углового момента объекта, что приводит к вращению. С другой стороны, момент не вызывает изменения углового момента. Тело, к которому приложен момент, остается неподвижным, а силы реакции, возникающие внутри объекта и его опорных элементов, препятствуют вращению объекта.

L = угловой момент (кгм 2 /с)

I = инерция (кгм 2 )

ω = угловая скорость (рад/с)

Например, нагрузка, приложенная к консольной балке с опорой на концах, вызовет силу реакции и изгибающий момент на балке, но не изменит ее угловой момент и, следовательно, не заставит балку вращаться.

Сила (F), приложенная к консольной балке, вызывает силу реакции (R) и момент (М), но не заставляет балку вращаться.

Крутящий момент иногда называют моментом силы, потому что так же, как приложенная сила заставляет объект двигаться линейно, приложенный крутящий момент заставляет объект вращаться вокруг оси или точки поворота. Крутящий момент – это тип момента, но не все моменты являются крутящими моментами.


Поскольку моментные силы являются статическими — они не приводят к движению — их можно разложить на силы реакции, противодействующие приложенному моменту.

Моментная нагрузка на эту систему с двумя рельсами и четырьмя подшипниками делится на радиальную и поперечную нагрузки на каждый подшипник.
Изображение предоставлено: THK

Величина крутящего момента, приложенного к валу, определяется путем умножения приложенной силы на плечо момента, которое представляет собой перпендикулярное расстояние между точкой поворота (или осью вращения) и силой.

T = крутящий момент (Нм)

F = усилие (Н)

d = плечо момента (м)

Изображение предоставлено: учебники по физике.org

Если приложенная сила не перпендикулярна точке поворота или оси вращения, необходимо учитывать угол силы, чтобы найти длину плеча момента:

Изображение предоставлено: physicstutorials.org

Технически правильным символом крутящего момента является греческая буква тау, «τ». Однако тау (τ) также используется для обозначения напряжения сдвига, поэтому использование буквы «T» для крутящего момента может избежать путаницы в некоторых расчетах.

Урок Видео: Момент силы относительно точки в 3D

Стенограмма видео

В этом видео мы рассматриваем моменты в 3D.В частности, мы рассмотрим, как мы можем представить момент с помощью вектора и как мы можем вычислить размер и направление моментов с помощью умножения перекрестного произведения.

Начнем с того, что напомним себе, что такое моменты. Как правило, мы можем думать о моменте как о вращательной или скручивающей силе. Например, если мы использовали гаечный ключ для поворота болта, мы могли бы сказать, что прикладываем момент к болту. Теперь моменты всегда определяются относительно некоторой точки пространства. И мы говорим, что момент действует относительно этой точки.Например, если мы приложим некоторую силу 𝐹 к концу ключа, то можно будет рассчитать момент, приложенный к центру болта. И размер этого момента эффективно описывает, насколько сильно мы поворачиваем болт.

Теперь, для таких двумерных систем мы обычно вычисляем момент, умножая силу и расстояние. В частности, мы умножаем величину приложенной силы, в данном случае 𝐹, на перпендикулярное расстояние между линией действия силы и точкой, относительно которой мы рассчитываем момент.Таким образом, в этом примере, если мы хотим рассчитать момент относительно центра болта и сила действует вдоль этой пунктирной линии, то расстояние, которое мы используем в наших расчетах, представляет собой расстояние по перпендикуляру между этой пунктирной линией и центром болта. . В данном случае это то же самое, что и расстояние между центром болта и точкой, в которой действует сила.

Умножение этих двух величин дает нам величину момента относительно центра болта.И поскольку сила действует, чтобы вращать болт против часовой стрелки, мы также хотели бы отметить, что этот момент действует против часовой стрелки. Теперь это хорошо работает для двумерных задач. Однако, когда мы имеем дело с трехмерными задачами, такие слова, как по часовой стрелке и против часовой стрелки, не очень полезны. Вместо этого нам нужно быть осторожными, чтобы точно определить направление момента. И мы делаем это, представляя моменты с помощью векторов.

Чтобы увидеть, как мы можем это сделать, давайте рассмотрим тот же пример гаечного ключа, поворачивающего болт.Но на этот раз, вместо того, чтобы располагать все в плоскости экрана, мы рассмотрим, как система выглядит в 3D-пространстве.

Итак, у нас есть головка болта, расположенная в начале набора трехмерных осей. У нас есть ось 𝑥, указывающая вправо от экрана, ось 𝑦, указывающая вверх, и ось 𝑧, указывающая за пределы экрана. Рукоятка ключа выровнена по оси 𝑥. И допустим, что вектор силы, приложенной к ручке, указывает на экран. Таким образом, он перпендикулярен оси 𝑥 и параллелен оси 𝑧.Рассмотрим момент относительно центра головки болта, создаваемый этой силой.

На данный момент мы можем отметить, что если мы рассматриваем систему сверху, то есть мы смотрим в отрицательном 𝑦-направлении, мы бы сказали, что сила прикладывает момент против часовой стрелки. Но если мы посмотрим на систему снизу, то есть мы смотрим в положительном 𝑦-направлении, мы увидим, что сила прикладывает момент по часовой стрелке. Это показывает нам, что описательные термины, такие как по часовой стрелке и против часовой стрелки, имеют ограниченное применение в трехмерных системах.Вместо этого мы можем определить точную ориентацию создаваемого момента, представив его вектором.

В этом случае момент, создаваемый силой 𝐅 относительно центра болта, будет фактически представлен вектором, указывающим в положительном 𝑦-направлении. Поскольку этот вектор представляет собой момент, назовем его 𝐌. Теперь, как и следовало ожидать, величина этого вектора соответствует величине момента. Таким образом, чем больше момент, приложенный к центру болта, тем больше будет эта стрелка.Однако направление этого вектора имеет несколько менее очевидный смысл. В конце концов, мы думаем о моменте как о вращательной величине. И в этом случае вращение происходит в плоскости 𝑥- и 𝑧-осей. Поэтому может показаться странным, что вектор момента направлен вертикально вверх.

Важно отметить, что направление, в котором указывает вектор момента, на самом деле не является направлением, в котором физически действует момент. Вместо этого вектор момента указывает в том же направлении, что и ось вращения.Полезным способом визуализации связи между направлением вращения и направлением, на которое указывает вектор момента, является использование правила правой руки. Если мы сожмем правую руку в кулак и вытянем большой палец в направлении вектора момента, то сгибание пальцев покажет нам направление вращения, которое вызывает этот момент.

В нашем примере направление вектора момента 𝐌 означает, что сила заставит ключ вращаться в этом направлении. Вот как мы можем интерпретировать вектор момента.Но как мы на самом деле вычислить его? Что ж, в двумерных задачах мы часто используем уравнение 𝑀 равно 𝐹, умноженное на 𝑑. То есть величина момента равна величине силы, умноженной на перпендикулярное расстояние между точкой, относительно которой мы вычисляем моменты, и линией действия силы.

Для трехмерных задач мы используем векторную версию этого уравнения. Итак, вместо того, чтобы вычислять только величину момента 𝑀, мы теперь хотим вычислить вектор момента.И точно так же вместо использования величины силы в наших расчетах мы теперь используем вектор силы. Теперь, как мы уже говорили, 𝑑 представляет собой перпендикулярное расстояние между линией действия силы и точкой, относительно которой мы вычисляем моменты. Мы можем думать о векторной версии этой величины как о векторе смещения между точкой, относительно которой мы вычисляем моменты, назовем ее 𝐴, и точкой, в которой действует сила, которую мы можем назвать 𝐵. Вектор, который ведет нас от 𝐴 к 𝐵, мы можем просто назвать 𝐑.

И умножение вектора силы на этот вектор 𝐑 дает нам вектор момента 𝐌. Итак, мы видим, что это трехмерное векторное уравнение похоже на уравнение, которое мы использовали бы для двумерных задач. Но здесь важно помнить, что умножение векторов сложнее, чем умножение чисел. В частности, чтобы найти вектор момента 𝐌, нам нужно найти векторное векторное произведение вектора смещения 𝐑 и вектора силы 𝐅. Здесь полезно отметить, что перекрестное умножение 𝐑 на 𝐅, подобное этому, не то же самое, что перекрестное умножение 𝐅 на 𝐑.Смешивание порядка этих векторов фактически меняет результат. Поэтому важно, чтобы мы всегда умножали эти два вектора в правильном порядке.

Перекрестное произведение 𝐑 и 𝐅 определяется определителем этой матрицы три на три. Элементы в верхней строке этой матрицы — это шляпа 𝐢, шляпа 𝐣 и шляпа 𝐤. Это единичные векторы в 𝑥-направлении, 𝑦-направлении и 𝑧-направлении соответственно. В средней строке этой матрицы находятся 𝐑 𝑥, 𝐑 𝑦 и 𝐑 𝑧, являющиеся 𝑥-, 𝑦- и 𝑧-компонентами вектора смещения 𝐑.И, наконец, в нижней строке этой матрицы имеем 𝐅 𝑥, 𝐅 𝑦 и 𝐅 𝑧, которые являются соответственно 𝑥-, 𝑦- и 𝑧-компонентами вектора силы 𝐅.

Мы более подробно рассмотрим, как точно вычислить определитель такой матрицы 3 на 3, в следующем примере. Но пока давайте просто отметим, что вычисление этого момента дает нам трехмерный вектор момента. Он состоит из трех компонентов: 𝐌 𝑥 умножить на 𝐢 шляпу, 𝐌 𝑦 умножить на 𝐣 шляпу и 𝐌 𝑧 умножить на 𝐤 шляпу. Таким образом, 𝐌 𝑥 сообщает нам величину вектора, который указывает в 𝑥-направлении, 𝐌 𝑦 сообщает нам величину вектора, который указывает в 𝑦-направлении, а 𝐌 𝑧 сообщает нам величину вектора, который указывает в 𝑧 -направление.Сумма всех этих компонент равна вектору 𝐌.

Когда мы рассматриваем различные компоненты вектора момента, может быть полезно думать о каждом компоненте как о величине силы вращения вокруг оси, направленной в определенном направлении. Например, 𝑥-компонента нашего вектора момента описывает компонент момента, который будет вращать объект вокруг оси, указывающей в 𝑥-направлении. Снова взглянув на нашу примерную диаграмму, мы видим, что вектор момента, созданный в этом случае, полностью указывает в 𝑦-направлении.Это говорит нам о том, что ось вращения, создаваемая этим моментом, указывает в 𝑦-направлении.

Мы также можем видеть, что хотя вектор силы 𝐅 действует в 𝑧-направлении, а вектор смещения 𝐑 действует в 𝑥-направлении, обе 𝑥- и 𝑧-компоненты вектора момента в этом случае равны нулю. Это показывает нам, как векторное произведение двух векторов всегда перпендикулярно этим векторам.

Хорошо, теперь, когда мы поговорили о том, как интерпретировать и вычислять векторы моментов, давайте рассмотрим пример задачи.

Если в точке 𝐴 пять, минус восемь, 11 действует сила 𝐅, равная шести 𝐢 минус семь 𝐣 минус восемь 𝐤, найти модуль составляющей момента 𝐅 относительно оси 𝑦.

Начнем с того, что нарисуем схему ситуации. Нам говорят, что точка 𝐴 имеет 𝑥-координату пять, 𝑦-координату минус восемь и 𝑧-координату 11. Примерно так. Нам говорят, что в этой точке действует вектор силы 𝐅, равный шести 𝐢 минус семь 𝐣 минус восемь 𝐤. Таким образом, мы можем нарисовать этот вектор силы в виде стрелки на нашей диаграмме.Теперь нас просят найти величину составляющей момента 𝐅 относительно оси 𝑦. Давайте разберем это шаг за шагом, чтобы мы могли точно увидеть, о чем здесь идет речь.

Во-первых, можно вспомнить, что момент, то есть вращательная сила, может быть представлен вектором. Как правило, мы можем назвать этот вектор 𝐌. Теперь мы можем вычислить этот вектор 𝐌, найдя векторное перекрестное произведение вектора положения, в котором действует сила, относительно точки, относительно которой мы вычисляем моменты, и самого вектора силы.Таким образом, вычисление этого перекрестного произведения говорит нам о моменте, создаваемом силой 𝐅. Другими словами, он сообщает нам момент 𝐅.

Теперь, когда мы вычисляем векторное произведение двух трехмерных векторов, таких как 𝐑 и 𝐅, результатом является вектор с одинаковым количеством измерений. Это означает, что когда мы вычисляем вектор моментов 𝐌, мы получаем трехмерный вектор. И мы можем записать компоненты как 𝐌 𝑥 раз 𝐢 шляпа плюс 𝐌 𝑦 раз 𝐣 шляпа плюс 𝐌 𝑧 раз 𝐤 шляпа. Каждое из этих условий является одной из составляющих момента.

Мы видим, что вопрос требует от нас величины одного из компонентов. В частности, это после величины компонента относительно оси 𝑦. Чтобы понять, что это значит, вспомним, что направление вектора момента параллельно оси вращения момента. Это означает, что 𝑥-компонента вектора момента описывает компонент этого момента, который вращается вокруг оси, указывающей в 𝑥-направлении. 𝑦-компонента вектора момента описывает компонент этого момента, который вращается вокруг оси, указывающей в 𝑦-направлении.А 𝑧-компонента этого вектора момента описывает компонент момента, который вращается вокруг оси, указывающей в 𝑧-направлении.

Это означает, что если мы вычисляем момент относительно начала координат, то, например, 𝑥-компонента вектора момента описывает компонент момента, который вызывает вращение вокруг самой 𝑥-оси. Точно так же 𝑦-компонента вектора момента описывает компонент момента, который вызывает вращение вокруг 𝑦-оси, о чем нас и спрашивает вопрос.

Наконец, тот факт, что в вопросе просто указывается величина этого компонента, просто означает, что нам нужно указать размер этого векторного компонента, не записывая его как вектор. Этот бит довольно прост. Если 𝑦-компонента 𝐌 𝑦 умножить на 𝐣 шляпу, то единичный вектор 𝐣 шляпа просто говорит нам направление этого вектора. Он указывает в 𝑦-направлении. А величина вектора просто задается 𝐌 𝑦. Итак, чтобы найти то, что ищет этот вопрос, нам нужно рассчитать момент, создаваемый силой 𝐅 относительно начала координат.А для этого нам нужно найти векторное произведение этих двух векторов.

Помните, что вектор 𝐑 — это вектор положения точки, в которой действует сила, в данном случае 𝐴, относительно точки, относительно которой мы вычисляем моменты. В данном случае это происхождение. Таким образом, вектор 𝐑 — это вектор положения, идущий от начала координат к точке 𝐴. Это означает, что 𝐑, записанное как сумма его компонентов, эффективно задается координатами точки 𝐴, умноженными на соответствующие единичные векторы.Таким образом, мы можем сказать, что 𝐑 равно пятикратному 𝐢 шляпе минус восьмикратному 𝐣 шляпе плюс 11𝐤 шляпе.

Чтобы вычислить перекрестное произведение 𝐑 и 𝐅, нам нужно найти определитель этой матрицы три на три, где элементы в верхней строке матрицы — это три используемых нами базисных вектора. Элементы в средней строке матрицы — это три компонента первого вектора, который мы перемножаем. В данном случае это 𝐑. А элементы в нижней строке — это компоненты второго вектора, который мы перемножаем, в данном случае 𝐅.Обратите внимание, что здесь важен порядок 𝐑 и 𝐅. Перекрестное произведение 𝐑 и 𝐅 не совпадает с перекрестным произведением 𝐅 и 𝐑.

Эффективно вычисление определителя этой матрицы состоит из трех частей. Во-первых, у нас есть единичный вектор 𝐢 шляпа, умноженный на 𝐑 𝑦 раз 𝐅 𝑧 минус 𝐑 𝑧 раз 𝐅 𝑦. Затем мы вычитаем единичный вектор 𝐣 шляпу, умноженный на 𝐑 𝑥 раз 𝐅 𝑧 минус 𝐑 𝑧 раз 𝐅 𝑥. И, наконец, у нас есть единичный вектор 𝐤 шляпа, умноженный на 𝐑 𝑥 раз 𝐅 𝑦 минус 𝐑 𝑦 раз 𝐅 𝑥. Эти три члена являются 𝑥-, 𝑦- и 𝑧-компонентами вектора момента 𝐌.Однако, поскольку нас интересует только величина компонента этого вектора момента, который проходит вокруг оси 𝑦, это означает, что нас интересует только этот средний член. Величина этого компонента задается отрицательным числом 𝐑 𝑥, умноженным на 𝐅 𝑧 минус 𝐑 𝑧, умноженным на 𝐅 𝑥.

𝐑 𝑥 — величина 𝑥-компоненты вектора смещения 𝐑. В данном случае это пять. А 𝐅 𝑧 — величина 𝑧-компоненты вектора силы 𝐅. Это минус восемь. 𝐑 𝑧 — величина 𝑧-компоненты 𝐑, которая равна 11.А 𝐅 𝑥 — это величина 𝑥-компоненты 𝐅, равная шести. В целом, это дает нам минус пять раз минус восемь минус 11 раз шесть. Пять раз минус восемь — это минус 40, а 11 раз шесть — это 66. Минус 40 минус 66 — это минус 106. А поскольку перед скобками стоит знак минус, это дает нам окончательный ответ 106. И поскольку вопрос не уточняет любые конкретные единицы силы или перемещения, мы можем просто сказать, что наш окончательный ответ — 106 единиц момента.

Давайте теперь повторим ключевые моменты, которые мы рассмотрели в этом видео.Во-первых, мы видели, что момент может быть представлен трехмерным вектором 𝐌, который указывает в направлении оси вращения момента. Математически момент относительно точки 𝐴, создаваемый силой 𝐅, действующей в точке 𝐵, определяется векторным произведением 𝐑 и 𝐅, где 𝐑 — вектор положения точки 𝐵 относительно точки 𝐴. Мы также можем использовать правило правой руки, чтобы запомнить взаимосвязь между направлениями этих векторов. Если мы сожмем правую руку в кулак и вытянем большой палец в направлении вектора момента, то сгибание пальцев покажет нам направление вращения, производимого этим моментом.

КРУТЯЩИЙ МОМЕНТ

Из http://www.pschweigerphysics.com/rotmot.html — Пегги Э. Швайгер

Крутящий момент

Почему дверная ручка расположена как можно дальше от дверная петля? Когда вы хотите толкнуть дверь, вы прикладываете силу. Где вы прикладываете силу и в каком направлении вы нажимаете, также важны. Если приложить одну и ту же силу к двум точкам, одна из которых в два раза дальше от точки вращение, чем другое, сила, которая находится в два раза дальше, имеет вдвое больший крутящий момент и производит вдвое большее угловое ускорение.

Момент затяжки

в круговое движение, сила, приложенная на радиальном расстоянии, которая изменяет направление движения вращения; крутящий момент может остановить, запустить или изменить направление кругового движения; это «неуравновешенная сила» круговое движение

т = F д

где т крутящий момент в ньютонах метров (или Н·м), F — перпендикулярная составляющая приложенной силы, а d это радиальное расстояние (примечание: вы также можете думать о d как о r для радиуса)

Тангенциальные и радиальные компоненты силы Сила А F действует под углом в точке P на твердом теле, свободно вращающемся вокруг ось через O расстояние r от оси вращения.Только тангенциальная составляющая F или F T может иметь любую воздействие на твердое тело. F R (радиальный компонент) проходит через ось вращения и не может заставить объект вращаться.

Уголок F Изготавливает с углом поворота называется f

Крутящий момент ( t) Крутящий момент является «вращающим агентом», или что вызывает вращение вокруг оси

t = r F sinf

Момент Плечо (r перпендикулярно ) Перпендикулярное расстояние линии действия силы от оси вращения.

t = F r перпендикулярно

Или вы можете найти составляющая силы, вызывающая крутящий момент.

Разложить силу на его компоненты x и y. Только компонент, перпендикулярный рычагу плечо или плечо момента вызывает крутящий момент. На изображении ниже вертикальная составляющая F sin q перпендикулярен плечу момента и, таким образом, вызывает крутящий момент. Горизонтальная составляющая F cos q параллельна плечу момента и не вызывает крутящего момента.

При приложении крутящего момента вращение происходит вокруг точки вращения , или точки опоры . Когда более на тело действует один крутящий момент, производимое ускорение пропорционально чистому крутящий момент

Центр тяжести

точка при котором кажется, что действует весь вес объекта

Крутящий момент качелей

Движение твердого тела относительно его центра масс

Униформа

если объект считается однородным, его центр тяжести находится в его геометрическом центре

Вращательное равновесие

объект называется вращательным равновесием, когда все действующие на него моменты равны уравновешенный (или, S t = 0).Крутящий момент может вызвать движение против часовой стрелки (cc) или вращение по часовой стрелке (cw).

St cw = St куб.см

, где С означает «сумма»

Центр масс (ЦМ) Точка, в которой действует вся масса объекта. Например, если вы посмотрите на движение прыгуна в высоту, вы увидите одно особенное пятно, которое движется по параболе. Это была бы та самая точка, где вы могли бы уравновесить этого человека. Объект находится в равновесии, пока его ЦМ находится над его базовый уровень.Объект считается однородным, когда ЦМ является его геометрическим центр. Позиция КМ определяется как:


где M — полная масса, m i — масса частицы и x i это расстояние от начала координат

Статическое равновесие

Анализ статики Равновесие очень важно в технике. Инженер-проектировщик должен определить и изолировать все внешние силы и крутящие моменты, действующие на конструкцию. С хороший дизайн и правильный выбор материалов, конструкции могут выдерживать нагрузки.Шасси самолета выдерживают удары при грубых посадках, а мосты — нет. разрушаться под транспортными нагрузками и ветром.

Поступательное равновесие Объект находится в поступательном равновесии (его импульс равен постоянным), если сумма действующих на него сил равна нулю.

СФ х = 0

С Ф у = 0

Ф z = 0

Вращательное равновесие Объект находится в состоянии вращательного равновесия (его угловой импульс постоянен), если сумма действующих на него моментов равна нулю.

Объект будет в равновесия, если он подвешен к своему центру тяжести или центру сила тяжести находится ниже точки подвеса.

Эластичность Раздел физики, изучающий деформацию объектов. при приложении к ним силы.

Предел упругости Точка, в которой деформируемый материал страдает остаточная деформация и не вернется к своей первоначальной форме.

Есть три способа объект может изменить свои размеры, когда на него действуют силы:

1. Объект может быть деформируется сдвига сил. Он будет вести себя как страницы книги когда под сдвигом. Пример: движение слоев породы при землетрясении.

2. Объект может быть деформируется растяжением или сжатием сил. Пример: растяжение силы, растягивающие струну до тех пор, пока она не порвется. Пример: укладка грузы на цилиндр, пока он не сломается.

3. Жидкость может быть деформируется на объемных сил.Пример: жидкость под высоким давлением может быть сжимается со всех сторон, что приводит к изменению объема.

A стресс из-за сил производит деформацию или деформацию. Напряжение пропорционально деформации, и эта константа пропорциональности называется его модулем . стресс является произведением модуля на деформацию. Напряжение – это отношение приложенной силы объекта к площади поперечного сечения, на которую действует сила. Деформация — это результирующая деформация, будь то отношение изменения длины до исходной длины, изменение высоты до исходной высоты или изменение объем до исходного объема.


где F — сила, A — площадь поперечного сечения в м 2 , E — модуль Юнга, L — первоначальная длина, а DL — изменение длина.


где F — сила, A — площадь поперечного сечения в м 2 , G — модуль сдвига, h — первоначальная высота, а Dh — изменение высота.


где F — сила, A — площадь поперечного сечения в м 2 , B — объем модуль, V — первоначальный объем, а DV — изменение объема.
Помните, что отношение F к A — это давление (P) жидкости.

Единица измерения модуля Н/м 2 или Паскали (Па).

Вращательное движение

Вращательное движение – это движение объекта вокруг оси. До сих пор мы изучали только прямолинейное движение (поступательное движение). Теперь будем изучать движение о ось или вращательное движение. Объекты могут двигаться поступательно или вращательно или оба. Они могут находиться в поступательном равновесии (сумма всех сил действующее на объект равно нулю), но не во вращательном равновесии (сумма все моменты, действующие на объект, равны нулю), и наоборот.Или они могут быть как в вращательном, так и в поступательном равновесии.

Вращательное движение Поступательное движение твердого тела анализируется с помощью описывающее движение его центра масс, а также вращательное движение вокруг его центр масс. Каждая частица вращающегося твердого тела в любой момент имеет линейная скорость v и линейное ускорение a . Угловой скорость одинакова для через каждые точек вращающегося тела в любой мгновенно, но линейная скорость больше для точек, удаленных от оси вращение.

Дети на карусели все имеют разную линейную скорость (измеряется в м/с) в зависимости от того, насколько они удалены от оси вращения. У всех одинаковые скорости вращения (в об/сек или рад/сек) независимо от того, где они расположены.

На изображении ниже тело вращается вокруг неподвижной оси, проходящей через его центр. Объект, размещенный на вращающийся объект в точке А, который вращается в точку В, вращается через то же самое угол как объект, помещенный в точку a, который поворачивается в точку b.Оба путешествовали по одинаковое угловое расстояние q. Они не прошли одинаковое тангенциальное расстояние. Один прошел по дуге AB за время t, в то время как другой прошел по дуге по длине ab вовремя т.

Угловое смещение, q

это угол вокруг оси, вокруг которой вращается объект. Измеряется в градусах, обороты или единица СИ радианы.

1 оборот = 360 = 2 p радиан

q = д/р

где д — тангенциальное расстояние, r — радиус.

Примечание: при вращении движения, легко использовать радиус для преобразования туда и обратно между вращательные и поступательные величины. Также легко запомнить, что нужно делать. Подумайте о единицах! Если бы у вас было расстояние в метрах, что бы вы сделали? с радиусом (также в метрах), чтобы преобразовать его в радианы? Вы бы делили расстояние в метрах на радиус в метрах. Метры отменяют оставшиеся радианы. А радиан — это единица измерения, которая служит заполнителем.

Угловое положение Объект повернулся на некоторый угол q, когда он прошел расстояние l , измеренное вдоль окружность его кругового пути.

Радиан Один радиан (рад) определяется как угол, образуемый дуга, длина которой равна радиусу. Другими словами, если л = r , тогда q точно равно одному радиану.

Угловая скорость (или скорость), w

курс при котором объект вращается. Единицей СИ является рад/сек. На изображении выше объект поворачивается на угол q за время t. Угловая скорость или скорость определяется выражением (помните, при поступательном движении v = d/t)

вес = кв/т

Угловая скорость (скорость) можно преобразовать в аналогичную поступательную скорость (скорость) с помощью радиус.

ш = v/r

где v тангенциальная скорость

Угловая скорость (скорость) и его отношение к частоте Когда объект вращается из некоторого начального положения q i в некоторое конечное положение q f , то его угловая скорость (или скорость) w равна равно изменению углового положения Dq = q f — q i , деленному на изменение во времени, или w = Dq / t Угловая скорость может быть связана с частотой вращения, f , где частота — количество полных оборотов в секунду.Так как один оборот в секунду соответствует углу 2p радиан в секунду, f = w/2p

Угловое ускорение, и

курс при котором вращающийся объект меняет угловую скорость. Единицей СИ является рад/с 2 . Угловое ускорение — это изменение угловой скорости, деленное на время (помните, что при поступательном движении a = (v f — v i )/t)

а = (w f — w i )/t

Угловое ускорение может преобразовать в аналогичное поступательное ускорение с помощью радиуса.

а = а/р

где — тангенциальное ускорение, r — радиус

Угловое ускорение Угловое ускорение — это изменение угловой скорости разделить на время, необходимое для внесения этого изменения. Среднее угловое ускорение, а = D вт/т

Радиальный компонент линейное ускорение Суммарное линейное ускорение ускорение a есть векторная сумма радиальной составляющей ускорение и тангенциальная составляющая ускорения.Радиальная составляющая линейного ускорения (или центростремительного ускорения) можно записать как a R = w 2 r . Таким образом, центростремительное ускорение увеличивается по мере удаления от оси вращение. Дети, которые находятся дальше всех на карусели, испытывают самые большие ускорение.

На изображении ниже радиальная составляющая ускорения, a R , представляет собой центростремительную ускорение. Тангенциальная составляющая ускорения, a tan , представляет собой ускорение, измеряемое по касательной к окружности.Общая линейное ускорение вращающегося объекта есть векторная сумма двух компоненты

Уравнения для линейных (тангенциальное или поступательное) движение может быть преобразовано в аналогичное ротационные формы:

д = v т

q = вес

d = d o + v i т + в 2

q = q o + w i t + a t 2

v f = v i + в

w f = w i + a t

v f 2 = v i 2 + 2 объявления

w f 2 = w i 2 + 2 aq

Так же как неуравновешенный сила необходима для изменения движения объекта в линейном (поступательном) движение, крутящий момент требуется, чтобы изменить движение объекта при вращении подвижный.

т = Ф р

где г это радиус

Закон

Ньютона 2 и может быть преобразован в его аналог ротационная форма:

Движение качения колесо или сфера Катящийся без проскальзывание включает в себя как вращение, так и перемещение. Помните об отношениях между угловой скоростью вращающегося объекта и линейной скоростью ось, или w = v/r. В любой момент, когда вращающееся колесо находится в контакте с землей, в этой точке контакта колесо на мгновение находится в покое.То скорость оси равна v ; скорость в верхней части колеса 2 v .

момент инерции, I

вращательная инерция вращающегося тела. Это аналог массы в поступательном движение. Инерция вращения зависит не только от массы вращающегося тела, но и распределение этой массы.

Расширенный взгляд на момент инерции :   Вы можете думайте о вращающемся твердом теле, состоящем из множества частиц, расположенных в различные радиальные расстояния от оси вращения.Момент инерции вращающееся тело — это просто сумма масс каждой частицы, умноженных на на квадрат расстояния этой частицы от оси вращения.

Я = Смр 2 = m 1 r 2 1 + m 2 r 2 2 + m 3 r 2 3 + m n r 2 n

До этого момента наш изучение физики было связано с поступательным движением или движением в xy плоскость.Стандартный английский алфавит предоставляет переменные для этого движение. Мы используем греческий алфавит для переменных, чтобы различать вращательные движение от поступательного движения. В следующей таблице перечислены переменные для поступательное движение и аналогичная вращательная переменная с их СИ переменные.

расстояние/перемещение

д в м

кв в рад

скорость/скорость

v в м/с

Вт в рад/с

ускорение

а в м/с 2

а в рад/с 2

сила

F в ньютонах

т в Н·м

масса

м в кг

I в кг м 2

Вращательная динамика

Для заставить объект начать вращаться вокруг оси.Направление силы и где применяется важно. Крутящий момент создает угловое ускорение. Крутящий момент требуется для начала вращения тела. Вращающееся твердое тело может быть рассматривается как состоящий из множества частиц, находящихся на различных расстояниях от ось вращения. Сумма крутящих моментов каждой из этих частиц равна только общий крутящий момент. Момент инерции, I , показывает, как масса тело распределено вокруг оси вращения. При вращательном движении t = I a

Некоторые вращательные моменты инерции для твердых тел:

Тонкий обруч (велосипедное колесо или кольцо) радиуса r

я = мистер 2

Сплошной диск (сплошной цилиндр, пластинка или шкив) радиуса r

I = 1/2 мм 2

Однородная сфера (звезда) радиуса р

I = 2/5 м 2

Длинный однородный стержень длиной L с осью вращения, проходящей через его центр

I = 1/12 м 2

Длинный однородный стержень длиной L с осью вращения, проходящей через один конец

I = 1/3 м 2

Кинетическая энергия вращения

Тело, вращающееся вокруг говорят, что ось имеет вращательную кинетическую энергию.Это аналог поступательная кинетическая энергия. Его единицей СИ являются джоули. Объект, который вращается вокруг своего центра масс совершает поступательное движение, имеющее как поступательные и вращательные КЭ, если ось закреплена. Для объекта, который катится без скольжения по склону первоначальная потенциальная энергия равна сумма поступательной кинетической энергии и вращательной кинетической энергии.

Объект, который вращается в то время как его центр масс (ЦМ) перемещается, будет иметь как вращательное, так и поступательные кинетические энергии.Полная кинетическая энергия такого объекта равна предоставлено:

КЭ = 1/2 mv 2 CM + 1/2 I CM w 2

Объект, скользящий по наклон (без качения) преобразует всю свою потенциальную энергию в поступательная кинетическая энергия. Объект, который скатывается по наклонной плоскости, трансформируется часть его потенциальной энергии в поступательную кинетическую энергию, а часть в кинетическая энергия вращения. Рассмотрим несколько объектов на вершине склона: коробка, скользящая по склону, и обруч, сплошной цилиндр и сфера которые катятся по склону.Кто первым достигнет дна? Раздвижная коробка который преобразует всю свою потенциальную энергию в поступательную кинетическую энергия. Обруч будет последним, потому что он преобразует наибольшее количество своего потенциальную энергию в кинетическую энергию вращения. Более поступательная кинетика энергия объекта, тем быстрее он достигает нижней части склона.

Угловой момент и его сохранение

Линейный импульс имеет свою аналогичная величина, угловой момент, L .

Угловой момент важная концепция, потому что она остается постоянной, если внешние крутящие моменты не действуют. играет роль. Закон сохранения момента импульса является одним из законов сохранения законы физики. Если на тело действует нулевой чистый крутящий момент и тело вращается относительно неподвижной оси, закон сохранения углового момента состояния

я ш = постоянный.

Многое может быть понятно, когда анализируешь их движение, используя сохранение углового импульс. Фигуристка, вращающаяся на льду с вытянутыми руками, имеет большой я и маленький ж; фигуристка крутится на льду с вытянутыми руками близко к ее телу есть маленькое I и большое w.Поскольку угловой момент должно быть сохранено, когда ее я уменьшил, приблизив руки к телу, ее угловая скорость должна увеличиться.

крутящий момент

крутящий момент
Следующий: Мощность и работа Вверх: Вращательное движение Предыдущий: Момент инерции Теперь мы определили вращательный эквивалент скорости, а именно, угловую скорость, и вращательный эквивалент массы, а именно момент инерции. Но что такое вращательный эквивалент силы?

Рассмотрим велосипедное колесо радиуса, которое может свободно вращаться вокруг перпендикуляра ось, проходящая через его центр.Предположим, что мы прикладываем силу , копланарную с колесо, к точка, лежащая на его окружности. См. рис. 79. Каково последующее движение колеса?

Давайте выберем начало нашей системы координат так, чтобы оно совпадало с точкой вращения. точка колеса — т.е. , точка пересечения колеса и оси вращения. Позвольте быть вектором положения точки , и пусть — угол, образуемый между направлениями и . Мы можем разложить на два компонента, а именно компонент который действует радиально, и компонент, который действует по касательной.Радиальный составляющая нейтрализуется реакцией на стержне, так как колесо Предполагается, что он установлен таким образом, что может только вращаться, и смещаясь в стороны. Тангенциальная составляющая заставляет колесо ускоряться по касательной. Пусть — мгновенная скорость вращения колеса длина окружности. Второй закон Ньютона, примененный к тангенциальному движению колесо, урожайность

(360)

где — масса колеса (предполагается, что она сосредоточена в ободе колеса).
Рисунок 79: Вращающееся велосипедное колесо.

Теперь преобразуем приведенное выше выражение в уравнение вращения движения. Если – мгновенная угловая скорость колеса, то отношение между и просто

(361)

Поскольку колесо представляет собой кольцо радиусом , вращающееся вокруг перпендикуляра симметричной оси, его момент инерции равен
(362)

Объединяя предыдущие три уравнения, получаем
(363)

куда
(364)

Уравнение (363) — это угловое уравнение движения колеса.Это касается угловой скорости колеса, , и момента инерции, , к величине, , которая известна так как крутящий момент . Ясно, что если аналогично массе и аналогично скорости, то крутящий момент должен быть аналогичен силе. Другими словами, крутящий момент является вращательным эквивалентом сила.

Ясно, из уравнения. (364), что крутящий момент является произведением величины приложенной силы и некоторого расстояния . Физическая интерпретация иллюстрирует рис.80. Если видно, что это перпендикулярное расстояние линии действия силы от оси вращения. Обычно мы называем это расстояние длиной плеча рычага .

Таким образом, крутящий момент измеряет склонность данной силы причинять объект, на который он вращается вокруг определенной оси. Крутящий момент, , является просто произведением величины приложенной силы, , и длины плеча рычага, :

(365)

Конечно, это определение имеет большой смысл.Мы все знаем, что гораздо проще превратить ржавый болт с помощью длинного, а не короткого ключа. Предполагая, что мы прилагаем одинаковое усилие на конце каждого ключа, крутящий момент, который мы прикладываем к болту, больше в первый случай, поскольку перпендикулярное расстояние между линией действия силы и болта ( т.е. , длина ключа) больше.
Рис. 80: Определение длины рычага уровня, .

Поскольку сила является векторной величиной, само собой разумеется, что крутящий момент также должен быть вектором количество.Отсюда следует, что уравнение (365) определяет величину некоторого вектора крутящего момента, . Но как направлен этот вектор? По соглашению, если крутящий момент таков, что вызывает объект, на который он воздействует, вращаясь вокруг определенной оси, то направление этого крутящий момент движется вдоль направления оси в смысле, заданном правилом захвата правой рукой. Другими словами, если пальцы правой руки вращаются вокруг оси вращения в смысле при котором крутящий момент закручивает предмет, то большой палец правой руки указывает вдоль оси в направлении крутящего момента.Отсюда следует, что мы можем переписать нашу вращательное уравнение движения, уравнение (363), в векторной форме:

(366)

куда – вектор углового ускорения. Обратите внимание, что Направление указывает направление оси вращения, вокруг которой объект ускоряет (в смысле, заданном правилом правой руки), тогда как направление из указывает направление оси вращения, относительно которой крутящий момент пытается скручивать объект (в смысле правила правой руки).Конечно, эти два оси вращения идентичны.

Хотя уравнение. (366) было выведено для частного случая крутящего момента применительно к кольцу, вращающемуся вокруг перпендикулярной оси симметрии, оно, тем не менее, полностью Общая.

Важно понимать, что направления, которые мы приписать угловым скоростям, угловым ускорения и крутящие моменты просто условности . На самом деле нет физического движения в направлении вектора угловой скорости — фактически все движение происходит в плоскость, перпендикулярная этому вектору.Точно так же нет физического ускорения в направлении вектора углового ускорения — опять же, все ускорение находится в плоскость, перпендикулярная этому вектору. Наконец, никакие физические силы не действуют в направлении вектора крутящего момента — фактически все силы действуют в плоскости перпендикулярно этому вектору.

Рассмотрим твердое тело, которое может вращаться в любом направлении вокруг некоторой фиксированной точки. Предположим, что к телу приложена сила в некоторой точке, положение которой вектор относительно is .См. рис. 81. Пусть угол, лежащий между направления и . Что такое вектор крутящего момента играет роль на объекте вокруг оси, проходящей через точку вращения? Величина этого крутящего момента просто

(367)

На рис. 81, обычный направление крутящего момента вне страницы. Другой способ сказать, что это направление крутящего момента взаимно перпендикулярны обоим и , в смысле, заданном правило захвата правой рукой, когда вектор поворачивается на вектор (через угол меньше градусов).Отсюда следует, что мы можем написать
(368)

Другими словами, крутящий момент, создаваемый силой, действующей на твердое тело, которое вращается вокруг некоторого неподвижного тела. точка есть векторное произведение смещения точки приложения силы от точка поворота с самой силой. Уравнение (368) определяет как величину крутящего момента, и ось вращения, вокруг которой крутящий момент закручивает тело, на котором это действует.Эта ось проходит параллельно направлению , и проходит через точка опоры.
Рис. 81: Крутящий момент относительно фиксированной точки.

alexxlab

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.