Site Loader

Содержание

Шаговый двигатель в системе с вращающимся цилиндром

Система состоит из вертикально закрепленного на валу двигателя цилиндра массой m и моментом инерции J. Момент трения в подшипниках М тр . Определить величину вращающего момента М, который нужно приложить к цилиндрй, чтобы его угловое ускорение было равно ε.

Используемые обозначения:

r — радиус цилиндра (наружный)
r0 — радиус цилиндра (внутренний)
L — длина
m — масса цилиндра
J — момент инерции цилиндра
Jдв — момент инерции двигателя
ω — угловая скорость

Для определения крутящего момента в системе с вращающимся цилиндром, необходимо знать момент инерции цилиндра:

  • Сплошной цилиндр, относительно оси a: J = 1/2 m * r2.
  • Полый цилиндр, относительно оси a: J = 1/2 * m * (r
    2
    +r02)

Кинетическая энергия системы:

E=1/2(J+Jдв2

Производная от кинетической энергии по времени:

dE/dt = (J+Jдв) ω ε

Мощности внешних сил в системе:

  • мощность момента трения: Pтр=Mтрω
  • мощность крутящего момента: PM=Mω
  • сумма мощностей всех сил: ∑Pi=Mω — Mтрω

Производная кинетической энергии по времени определяется мощностями внешних сил:

  • dE/dt=∑Pi или
  • (J+Jдв) ω ε = Mω — Mтрω

Величина вращающего момента M:

M=(J+Jдв) ε + Mтр

Момент вращающий — Энциклопедия по машиностроению XXL

Электродвигатель, помещенный на оси О колесного ската трамвайного вагона, стремится повернуть ось против часовой стрелки, причем величина момента вращающей пары сил (Р,Р) равна 6 кН-м, а радиус колес 60 см.  [c.72]

Способ уменьшения толщины по направлению к периферии широко применяют для облегчения деталей типа дисков, фланцев, крышек, тем более что эта форма часто соответствует закону изменения напряжений по радиусу (крышки, нагруженные осевой силой, приложенной в центре фланцы, нагруженные крутящим или опрокидывающим моментом вращающиеся диски, нагруженные центробежными силами).  

[c.117]


Кинетический момент вращающегося тела. В качестве важного конкретного примера найдем значения Кг,. К и Кх для тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z (рис. 295).  [c.290]

Таким образом, кинетический момент вращающегося тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно этой оси на угловую скорость тела.  [c.291]

Решение. Силы взаимодействия между двигателем и валом винта неизвестны, но они станут внутренними, если рассмотреть в качестве механической системы вертолет вместе с винтами. Остановку винта вызвали тоже внутренние силы, которые не могут изменить кинетический момент Кг системы, равный до этого (когда оба винта вращались в разные стороны) нулю. Следовательно, и после остановки винта должно быть A =. /i( Oi+o),2)-(-/2O)2=0> где /[( oi+ o-j) — кинетический момент вращающегося винта (винт, вращаясь еще и вместе с вертолетом, будет иметь абсолютную угловую скорость (i)afi=Wi+W2), а — кинетический момент вертолета вместе с остановившимся винтом. В результате находим  

[c.296]

Многоугольник силовой 18 Момент вращающий 306, 323  

[c.410]

СОХРАНЕНИЕ КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА ВРАЩАЮЩЕЙСЯ СИСТЕМЫ.  [c.213]

Кинетический момент вращающегося цилиндра относительно  [c.340]

Решение. К диску приложены Р—вес диска, Р—суммарная сила реакции двух проволок, отУ и т — упругие моменты проволок, направленные в сторону, противоположную их закручиванию, — момент вращающей пары сил.  [c.234]

КИНЕТИЧЕСКИЙ МОМЕНТ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ТЕЛА.  [c.332]

Словами равенство (195) можно выразить так кинетический мо-момент вращающегося тела относительно оси вращения равен произведению угловой скорости на момент инерции тела относительно той же оси .  

[c.332]

Уравнение равновесия моментов, вращающих элемент относительно оси Х2, будет таким  [c.193]

Вращающий момент оказывается не зависящим от формы канала и обусловливается значениями величин и направлений абсолютных скоростей жидкости во входном и выходном сечениях. Формула (83) дает выражение момента, вращающего турбину, если под м подразумевать секундный массовый расход жидкости через все каналы колеса турбины.  [c.192]

При составлении последнего уравнения предполагалось, что момент, вращающий ротор, равен моменту сил сопротивления. Имеем  [c.589]


Момент вращающий приведенный 417  [c.639]

Как выражается кинетический момент вращающегося твердого тела относительно оси вращения  

[c.836]

Пример 22.1. Для трансмиссионного вала (силовую передачу иногда называют трансмиссией), представленного на рис. 22.2, построить эпюры крутящих моментов. Вращающие моменты на щкивах равны Г) = 600 Н-м, Тг= 180 Н-м, T i = 300 Н-м, Т4 =120 Н-м. Индексом 1 обозначен ведущий шкив передачи.  [c.224]

Указанное обстоятельство позволяет при выборе гидродвигателя учесть эффект махового момента вращающихся частей механизма.  [c.94]

Задача 3.46. В напорную линию системы смазки двигателя внутреннего сгорания включена центрифуга, выполняющая роль фильтра тонкой очистки масла от абразивных и металлических частиц. Ротор центрифуги выполнен в виде полого цилиндра, к которому подводится масло под давлением ро = 0,5 МПа, как показано на схеме, а отводится через полую ось, снабженную отверстиями. Часть подводимого масла вытекает через два сопла, расположенные тангенциально так А—/4), что струи масла создают реактивный момент, вращающий ротор. Определить скорость истечения масла через сопла (относительно ротора) и реактивный момент при частоте вращения ротора я = 7000 об/мин. Диаметр отверстий сопл do = 2,5 мм [х = ф = 0,65 расстояние от оси отверстий до оси вращения ротора/ = 60 мм р =900 кг/м . Считать, что в роторе масло вращается с той же угловой скоростью, что и ротор.  

[c.65]

Таким образом, момент, вращающий гайку в период пуска,  [c.295]

Разновидности гладких охватывающих соединений. В охватывающих соединениях поверхность соприкосновения соединяемых деталей называют посадочной. Все такие соединения способны передавать с одной из двух соединяемых деталей на другую действие любой силы, перпендикулярной оси посадочной (цилиндрической или конической) поверхности. При этом действие силы передается нормальным давлением, распределенным по поверхности соприкосновения. Если же на одну из деталей действует продольная сила, направленная вдоль оси посадочной поверхности, или момент, вращающий ее в плоскости, перпендикулярной этой оси, то указанные силовые факторы могут передаваться на вторую деталь только силой трения. При недостаточном трении на посадочной поверхности возникает скольжение и соединение превратится в поступательную или во вращательную пару.  

[c.356]

Кинетический момент вращающегося твердого тела относительно точки, лежащей на оси вращения. — Предположим, что твердое тело вращается с угловой скоростью (о вокруг оси, проходящей через точку О, и пусть требуется определить кинетический момент тела относительно этой точки. Проведем через О три прямоугольные оси координат Охуг и обозначим через р, д, г проекции мгновенной угловой скорости (О на эти оси. Вычислим сначала главный момент количеств движения относительно оси Ог, представляющий собой проекцию на эту ось кинетического момента К относительно точки О. Как известно, имеем  

[c.61]

В этом случае нагрузки и нужно определять отдельно для каждой стороны кранового моста, так как при раздельном приводе нельзя исходить из равенства нагрузок на обе его опорные балки. При определении тормозного момента по уравнению (114) в него следует вместо О подставлять а вместо суммарного махового момента вращающихся масс принимать махо-  [c.387]

Позднее во ВНИИПТМАШе [212] был испытан и последний типоразмер дискового тормоза, устанавливаемый на механизмах подъема талей грузоподъемностью 3 и 5 т, — тормоз ТВ-5. Для проверки эксплуатационных качеств электроталей ТВ во ВНИИПТМАШе неоднократно проводились обследования их работы в эксплуатационных условиях. При этом были установлены средние величины числа включений механизма подъема и веса поднимаемого груза, приведенные в табл. 98. Характеристики испытанных электроталей приведены в табл. 99, из которой видно,, что вследствие весьма невысоких скоростей подъема (большого передаточного числа редуктора) маховой момент поступательно движущегося груза составляет для тали ТВ-0,5 19% от махового момента вращающихся масс, для тали ТВ-2 — 7,7% и для тали ТВ-5—около 7%.  

[c.625]


Момент вращающий электромагнитный 25  [c.347]

Силы давления газов вызывают крутящий и опрокидывающий моменты. Крутящий момент, вращающий коленчатый вал (рис. V..2), определяется по формуле  

[c.188]

Особенно важна в практическом отношении формула (95). На ее основании под коэффициентом трения в подшипнике можно понимать результат деления момента, вращающего цапфу, на радиус цапфы и нагрузку, независимо от того, какова зависимость от целого ряда отмеченных выше параметров. Поэтому этой формулой с успехом пользуются при экспериментальном определении (так, например, поступал проф. Н. П. Петров в своих опытах 1883 г., немецкий инженер Штрибек—в опытах 1900 г., так поступают и в настоящее время в многочисленных лабораториях трения и смазки СССР при проведении опытов на различных машинах трения маятникового и других типов).  [c.298]

Из условий равномерного вращения пяты получим соотношение между моментом, вращающим пяту и моментом сил трения  [c.309]

По лучениая в процессе решения задачи величина Qi (или Q ) называется окружным усилием, действующим на шестерню. Как видим, окружное усилие равно моменту вращающей пары, деленному на радиус шестерни Qi=milri=  [c.43]

Таким образом, кинетический момент вращающегося тела относительно центра О, лежащего на оси вращения Ог, представляет собой вектор /Со. проекции которого на оси Охуг определяются формулами (32) и (34). В общем случае, как видим, вектор Ко не направлен по оси вращения Oz. Но если ось Oz будет для точки О главной осью инерции тела (в частности, осью симметрии), то Jxz= yz= -При этом Кх=Ку=0 и Ко=1 г- Следовательно, если тело вращается вокруг оси, являющейся для пкчки О главной осью инерции тела (или вокруг оси симметрии тела), то вектор Ко направлен вдоль оси вращения и численно равен ЛГ т. е. JgO).  [c.291]

Полученная формула показывает, что момент, вращающий колесо гидравлической турбины, яанисит от модулей и направлений абсолютных скоростей воды во входном и выходном сечениях каналов.  [c.155]

При начальном угле Фо = О, момент, вращающий платформу, будет равен нулю, вследствие чего платформа не начнет движения. Из этих соображе-ний в 1-м варианте принят угол Фо =  [c.431]

Чувствителыгость динамометра уменьшается с приближением 25 к единице. Передаточное число U25 зубчатой передачи выбирается близким к единице для тою, чтобы момент, вращающий водило 8, был невелик, так как иначе пружины получатся слишком большими.  [c.615]

Внецентренное приложение силы Т, параллельной оси дисков, создаёт момент, вращающий батарею по часовой стпелке и обусловливающий стремление передних дисков А  [c.46]

М — тормозной момент, развиваемый генератором на валу, в кгм п об/мин — скорость вращения вала дизель-генератора 00 — маховой момент вращающихся частей дизель-генератора в кгмК  [c.576]


Сопротивление материалов. Эпюры крутящих моментов.

Сопротивление материалов

Деформация кручения



Построение эпюр крутящих моментов

Для наглядного изображения распределения крутящих моментов вдоль оси бруса строят эпюры крутящих моментов — графическое отображение величины крутящих моментов на каждом участке бруса.

Крутящий момент в сечениях бруса определяется с помощью метода сечения. Так как равномерно вращающийся или неподвижный вал находится в равновесии, очевидно, что внутренние силы, возникающие в поперечном сечении, должны уравновешивать внешние моменты, действующие на рассматриваемую часть бруса. Отсюда следует, что крутящий момент в любом поперечном сечении численно равен алгебраической сумме внешних моментов, приложенных к брусу справа или слева от сечения.

Эпюры крутящих моментов дают возможность определить опасное сечение. В частности, если брус имеет постоянное поперечное сечение по всей длине, то опасными будут сечения на участке, где возникает наибольший крутящий момент.

Следует очень внимательно отнестись к определению знаков крутящего момента. Крутящий момент считается положительным, если при взгляде со стороны сечения результирующий момент внешних пар сил, приложенных к рассматриваемой части бруса, будет направлен против часовой стрелки, и наоборот (это положение условно и принимается для облегчения проверки расчетов, выполненных несколькими исполнителями).

Рассматривая величины крутящих моментов, действующих в каждом конкретном сечении бруса, полагаем, что в сечении, где приложен вращающий (скручивающий) момент, значения крутящего момента изменяются скачкообразно (принцип смягченных граничных условий).

***



Пример построения эпюры крутящих моментов

Силовая передача (трансмиссия), изображенная на рис. 2 состоит из вала, на котором размещены три шестерни — одна ведущая (А) и две ведомые (В и С).
К шестерням приложены вращающие моменты: РА= 300 Нм, РВ = 120 Нм, РС= 180 Нм.
Построим эпюру крутящих моментов для этой силовой передачи.

Решение

Очевидно, что свободные концы вала, (вращающиеся в подшипниках) не подвержены действию вращающих моментов, т. е. крутящие моменты на участках 1 и 4 равны нулю.
К шестерне А приложен вращающий момент 300 Н м, следовательно в сечении, расположенном под этой шестерней скачкообразно возникает крутящий момент, равный 300 Нм, и величина этого момента сохраняется неизменной по всем сечениям участка 2 (до шестерни В).

К шестерне В приложен вращающий момент 120 Нм, который направлен в противоположную сторону от ведущего скручивающего момента, приложенного к шестерне А. Следовательно крутящий момент на участке 3 будет равен разности крутящих моментов, приложенных к шестерням А и В. На эпюре это отобразится в виде ступени величиной 120 Нм, расположенной напротив сечения, где размещена шестерня В.
На всем протяжении участка 3 величина этого крутящего момента будет сохраняться неизменной, до сечения, расположенного под шестерней С.

К шестерне С приложен вращающий момент 180 Нм, направление которого противоположно моменту, приложенному к ведущей шестерне А, поэтому, начиная с сечения под шестерней С, крутящий момент будет равен разнице между скручивающим моментом шестерни А и моментами, приложенными к шестерням В и С, т. е.
МКРс = ТА — ТВ — ТС= 300 — 120 — 180 = 0 Нм, и величина этого момента будет распространяться на весь участок 4, расположенный за шестерней С.

Построив эпюру крутящих моментов, действующих в сечениях вала данной силовой передачи как показано на рис. 2, отмечаем, что максимальной величины — 300 Нм крутящий момент достигает на участке 2, т. е. этот участок и является критическим (наименее надежным).

Теперь попробуем изменить расположение шестерен на валу, разместив ведущую шестерню А между ведомыми шестернями В и С, как показано на рис. 3. Приложенные к шестерням вращающие моменты оставим без изменения и построим эпюру крутящих моментов для измененной конструкции (рис. 3).

Из полученной эпюры видно, что на участке 2 (между шестернями В и А) крутящий момент равен —120 Нм, на участке 3 — +180 Нм, а на участках 1 и 4 крутящие моменты равны нулю, как и в предыдущей конструкции. И если в рассмотренной ранее конструкции максимальный крутящий момент достигал 300 Нм, то теперь его величина снизилась до 180 Нм.
Рациональным размещением шестерен на валу силовой передачи мы смогли значительно уменьшить максимальный крутящий момент, возникающий в сечениях этого вала, повысив надежность передачи. При этом передаточные отношения и функционал самой передачи не изменились.

***

Материалы раздела «Деформация кручения»:

Основные гипотезы и допущения Сопромата


Главная страница


Дистанционное образование

Специальности

Учебные дисциплины

Олимпиады и тесты

Как распределяется крутящий момент — журнал За рулем

Может ли крутиться колесо, если крутящий момент на нем равен нулю? И куда вообще девается этот момент по дороге от маховика двигателя к колесам?

PRIVOD

Мы перестали спорить в курилках на технические темы. А жаль. Какой нормальный мужик откажется побазарить о том, как распределяется по колесам крутящий момент мотора? Или хотя бы постоять рядом, храня молчанье в важном споре. Не сериалы же нам обсуждать!

Про мощности и скорости спорить неинтересно, а вот момент — дело другое! Разброд мнений здесь гарантирован. По секрету скажем, что даже «доценты с кандидатами» сгоряча давали противоположные ответы на простые, казалось бы, вопросы. В итоге истину удалось постичь только после длительной дискуссии с представителями заводов ГАЗ и УАЗ и нескольких профильных вузов, а также в результате консультаций с зарубежными коллегами.

Предлагаем всем желающим попытаться найти правильные ответы в предложенных нами ситуациях. А предварительно перечислим условия, которые следует учитывать при выборе правильного варианта.

Во всех ситуациях условно считаем, что трение и прочие потери отсутствуют как класс. Нагрузки на колеса — одинаковые. Продольная и поперечная развесовки — равномерные. Условия сцепления шин с покрытием — одинаковые, если иное не оговорено. Все дифференциалы — симметричного типа. Момент, передаваемый двигателем на конкретный дифференциал, условно принимаем за 100%.
* Для разминки — первый вопрос. В нем скрыта маленькая «нехорошесть»: если ответ на него останется непонятен, то ко второму вопросу переходить бессмысленно.

2-uslovn-Zalacha-diff-CP-222

Условные обозначения.

ВОПРОС № 1

2-1-Zalacha-diff-CP

Автомобиль сел на брюхо и беспомощно крутит ведущими колесами в воздухе. Чему при этом приблизительно равен момент на маховике двигателя?

А — нулю

Б — зависит от оборотов

В — заявленной паспортной величине

Г — зависит от включенной передачи

Правильный ответ: А 

Тем, кому непонятен ответ, поясняем: момента без сопротивления не бывает! Представьте себе электрическую розетку, рядом с которой стоит неподключенный утюг. Напряжение в розетке есть, но отдаваемый ток — нулевой. Так и здесь: двигатель не совершает никакой полезной работы, колеса не встречают сопротивления, а потому и момент отсутствует.

* Если это понятно, то даем задание более сложное — уже с участием дифференциала. Тем, кто подзабыл, что это такое, рекомендуем заглянуть в подсказку ниже.

C чем его едят

1-2-Zalacha-diff-CP

Дифференциал (от лат. differentia — разность, различие) — механизм, обеспечивающий вращение ведущих колес с разными скоростями (например, в повороте). Реальные условия движения автомобиля обусловливают разницу в угловых скоростях его колес. Почему? Потому, что они проходят пути разной длины (в повороте или по неровностям) и радиусы качения также различны. Поэтому ведущие колеса работают с участием межколесных и межосевых дифференциалов — чтобы не возникал так называемый паразитный (тормозящий) крутящий момент на одном из колес, как это бывает на поворотной оси телеги с цельной осью. Дифференциал, распределяющий крутящий момент между выходными валами поровну, называют симметричным.

ВОПРОС № 2

Автомобиль ВАЗ‑2107 едет по кругу на четвертой передаче. Как приблизительно распределены моменты на его задних колесах?

2-2-Zalacha-diff-CP

А — поровну

Б — обратно пропорционально частоте вращения каждого из колес

В — в зависимости от силы сцепления с дорогой и от нагрузок

Г — прямо пропорционально частоте вращения каждого из колес

Правильный ответ: А 

Моменты распределены поровну: по-другому симметричный дифференциал просто не умеет себя вести. Напоминаем, что трение и прочие потери мы условились не учитывать

*Если и это понятно, то усложняем вопросы.

ВОПРОС № 3

У ВАЗ‑2107 при включенной передаче одно ведущее колесо вывешено в воздухе. Как приблизительно распределены моменты на задних колесах, если принять момент, поступающий от двигателя, за 100%?

2-3-Zalacha-diff-CP

А — 100% на вращающемся колесе и 0% на неподвижном

Б — на обоих колесах момент равен нулю

В — в зависимости от сцепления неподвижного колеса с дорогой

Г — пропорционально оборотам двигателя

Правильный ответ: Б 

Почему нулю, если колесо крутится? Дело в том, что полезной работы двигатель не совершает. Висящее колесо не испытывает сопротивления, а потому и момент на нем нулевой. На неподвижном колесе, само собой, момент также равен нулю.

*Теперь переходим к полноприводным автомобилям: здесь к межколесным дифференциалам добавлен межосевой.

ВОПРОС № 4

Chevrolet Niva едет по кругу на четвертой передаче. Включена блокировка межосевого дифференциала. Каково приблизительное соотношение моментов на всех колесах, если принять момент, поступающий от двигателя, за 100%?

2-4-Zalacha-diff-CP

А — по 25% на каждом

Б — по 50% на каждом

В — пропорционально оборотам двигателя

Г — на колесах каждой оси моменты делятся поровну, а распределение по осям — в зависимости от нагрузок и сил сцепления

Правильный ответ: Г 

Межколесные дифференциалы на каждой из осей делят моменты поровну, как и в предыдущих примерах. Если бы межосевой дифференциал оставался свободным, каждому колесу досталось бы по 25% крутящего момента. Но водитель его заблокировал, а потому распределение между осями стало зависеть от конкретной дорожной ситуации. В пределе (колеса одной из осей стоят на сухом асфальте, а колеса другой — на гладком льду) практически весь момент реализуется на асфальте.

*А теперь предположим, что мы немножко застряли.

ВОПРОС № 5

У вседорожника Chevrolet Niva при включенной передаче одно ведущее колесо вывешено в воздухе. Водитель заблокировал межосевой дифференциал. Как приблизительно распределены моменты на всех четырех колесах?

2-5-Zalacha-diff-CP

А — на вывешенном колесе 0%, на втором колесе той же оси 0%; на другой оси моменты на каждом из колес равны половине момента, поступающего на ее дифференциал от двигателя

Б — на вывешенном колесе 0%, на остальных — по 33,3% момента, поступающего от двигателя

В — на всех колесах по 25% момента, поступающего от двигателя

Г — в зависимости от нагрузок и сил сцепления

Правильный ответ: А 

Висящее в воздухе колесо не работает — следовательно, момент на нем нулевой. То же относится к другому колесу на этой оси: незаблокированный межколесный дифференциал обеспечил равенство. А вот другая ось работает в штатном режиме. И ненулевые моменты на ее колесах при свободном межколесном дифференциале равны между собой.

*Теперь попробуем заблокировать межколесный дифференциал!

ВОПРОС № 6

Полноприводный вседорожник едет по кругу на четвертой передаче. Включена блокировка заднего дифференциала. Межосевой дифференциал не заблокирован. Каково приблизительное соотношение моментов на колесах?

2-6-Zalacha-diff-CP

А — на каждом по 25% момента, поступающего к межосевому дифференциалу от двигателя

Б — на каждом по 50% момента, поступающего от двигателя

В — зависит от оборотов мотора

Г — на передних колесах по 25%. Остальные 50% распределяются между задними колесами пропорционально нагрузке на них и силам сцепления.

Правильный ответ: Г 

Благодаря работающему межосевому дифференциалу задний мост получает столько же ньютон-метров, сколько и передний. Но реальное соотношение моментов на его колесах уже зависит от конкретной дорожной ситуации, поскольку блокированный межколесный дифференциал ничего не выравнивает. Если одно из колес зависнет в воздухе, то всё достанется второму колесу, а если сцепление одинаковое, то и дележ будет равным. Поэтому соотношение моментов определяется нагрузками и силами сцепления. ;

*Попытаемся застрять еще раз.

ВОПРОС № 7

У полноприводного вседорожника при включенной передаче одно заднее колесо вывешено в воздухе. Включена блокировка заднего дифференциала. Межосевой дифференциал не заблокирован. Каково примерное соотношение моментов на колесах, если условно принять момент, поступающий от двигателя, за 100%?

2-7-Zalacha-diff-CP

А — 100% на колесе, касающемся земли, 0% на вывешенном и по 25% на передних колесах

Б — 50% и 50%

В — 25% и 25%

Г — 50% на колесе, касающемся земли, 0% на вывешенном и по 25% на передних колесах

Правильный ответ: Г 

Межосевой дифференциал поделил моменты между осями поровну. Висящее колесо не испытывает сопротивления, а потому его момент равен нулю. За него отдувается другое колесо на этой оси, толкающее машину, — и весь передающийся назад крутящий момент (50% общего) достается именно второму колесу.

*Напоследок напомним основные принципы, которые помогут разобраться в моментах, осях и дифференциалах.

  • Там, где нет сопротивления, момент всегда равен нулю.
  • Заблокированный межколесный дифференциал фактически превращает ось автомобиля в аналог колесной пары железнодорожного вагона. Но даже при этом момент на вывешенном колесе равен нулю.
  • На вывешенном колесе момент равен нулю независимо от того, блокирован дифференциал или нет.
  • Симметричный дифференциал всегда выравнивает моменты: межосевой — на осях, межколесный — на колесах.

Всем удачи на дорогах — без зависших колес и нулевых моментов!

Как работает дифференциал

10

Дифференциал состоит из корпуса (1), шестерен-сателлитов (2) и полуосевых шестерен (3). Корпус обычно совмещен с ведомой шестерней главной передачи (4). Шестерни-сателлиты играют роль планетарного механизма и соединяют полуосевые шестерни с корпусом дифференциала. Полуосевые (солнечные) шестерни соединены с ведущими колесами через полуоси.

Ведомая шестерня главной передачи вращает корпус с сателлитами, который в свою очередь вращает шестерни полуосей. Когда автомобиль движется идеально прямо, сателлиты неподвижны относительно своих осей. Но как только движение становится неравномерным (например, при повороте), сателлиты начинают собственные фуэте, ускоряя одну полуось и замедляя другую.

Если сцепление колес с покрытием разное, то крутящий момент, реализуемый на скользком покрытии, ограничен коэффициентом сцепления шины с дорогой. Чем меньше сопротивление, тем ниже момент на этом колесе. Но таким же становится момент и на другом колесе той же оси. А вот если заблокировать дифференциал, то дележка моментов между колесами происходит в соответствии с силами их сопротивлений (или сцеплений) с дорогой.

В так называемых дифференциалах повышенного трения сателлиты изначально лишены возможности вращаться свободно. Это сделано как раз для того, чтобы при вывешивании или проскальзывании одного колеса машина беспомощно не застревала. Если с обычным дифференциалом в таких случаях моменты на колесах падают до нуля, то его «коллега» с повышенным трением оставляет им запас, равный заложенному в него моменту трения! Получается эдакий облегченный вариант полной блокировки, помогающий выбраться из неприятных ситуаций, если это позволяет сила трения на колесе с лучшим сцеплением.

Глава 7. Вращательное движение. Кинематика и динамика

Как правило, в любом варианте задания ЕГЭ по физике представлены несколько задач на вращательное движение. Приведем основные определения и законы, необходимые для решения такого рода задач. Угловой скоростью тела, совершающего вращательное движение, называется отношение угла поворота к тому времени , за которое этот поворот произошел

(7.1)

В этом определении угол должен измеряться в радианах, поэтому размерность угловой скорости рад/с (или 1/с поскольку радиан — безразмерная величина). В принципе, определение (7.1) позволяет найти как среднюю (для больших интервалов времени ), так и мгновенную (при ) угловую скорость. Однако в школьном курсе физики рассматривается только движение с постоянной угловой скоростью, для которого определение (7.1) дает один и тот же результат для любых интервалов времени . Применяя определение (7.1) к полному обороту тела (угол поворота — радиан), получим связь угловой скорости и периода вращения

(7.2)

Угловую скорость можно ввести не только для точечного тела, но и для протяженного тела. Действительно, при вращении неточечного тела вокруг любой оси все его точки поворачиваются за одинаковое время на одинаковый угол. Поэтому можно говорить об угловой скорости всего тела.

Из формулы (7.2) легко получить связь угловой и обычной скорости вращающегося точечного тела (в этом контексте последнюю всегда называют линейной скоростью). Умножая правую и левую часть формулы (7.2) на радиус окружности и учитывая, что – это длина пути, пройденного за период, получим

(7.3)

Конечно, для неточечного вращающегося тела нельзя ввести понятие линейной скорости, поскольку у разных точек этого тела линейные скорости будут разными.

Очевидно, при вращательном движении тело всегда имеет ускорение. Действительно, согласно определению (2.1) ускорение тела равно нулю, если не меняется вектор скорости этого тела (т.е. как величина скорости, так и ее направление). При вращательном движении направление скорости обязательно меняется. Можно доказать, что при вращательном движении точечного тела с постоянной по величине линейной скоростью вектор его ускорения в любой момент направлен от тела к центру траектории тела, а его величина равна

(7.4)

Ускорение (7.3) принято называть центростремительным. Если использовать связь линейной и угловой скорости тела при вращательном движении (7.3), то формулу для центростремительного ускорения можно записать и в таких формах

(7.5)

Согласно второму закону Ньютона ускорения сообщаются телам силами. Поэтому если тело совершает движение по окружности радиуса с постоянной по величине скоростью (и соответственно угловой скоростью ), на него должна действовать сила, направленная к центру окружности и равная по величине

(7.6)

Силу (7.6) принято называть центростремительной. Отметим, что термин «центростремительная» связан не с природой этой силы, а с тем, как она действует: в разных ситуациях центростремительной силой может быть и сила тяжести, и сила трения, и сила реакции, и другие силы или их комбинации.

Перечисленных законов и определений достаточно для решения любых задач ЕГЭ на вращательное движение. Рассмотрим их применение к решению задач, приведенных в первой части.

Если период вращения тела задан, то его угловая скорость может быть однозначно определена независимо от размеров тела или радиуса орбиты для точечного тела. В частности, секундная стрелка любых часов поворачивается на угол за одну минуту (конечно, при условии, что они идут «правильно»). Поэтому угловая скорость секундных стрелок любых часов равна рад/мин (задача 7.1.1 – ответ 2).

Для нахождения линейной скорости конца секундной стрелки часов (задача 7.1.2) используем связь угловой и линейной скоростей (7.5). Имеем

(правильный ответ – 2).

Применяя определение угловой скорости к колесу (задача 7.1.3), получаем

(правильный ответ 1).

Из формулы (7.2) имеем

(задача 7.1.4 – правильный ответ 4).

Используя известное расстояние от первой точки до оси вращения и ее центростремительное ускорение (задача 7.1.5), из формулы (7.5) находим квадрат угловой скорости диска

А теперь по формуле (7.5) для второй точки получаем

(ответ 2).

Поскольку скорость автомобиля в задаче 7.1.6 не меняется в процессе движения для сравнения центростремительных ускорений автомобиля в разных точках траектории следует использовать формулу (7.4), из которой находим, что ускорение тем больше, чем меньше радиус траектории (правильный ответ – 3).

Ускорение мальчика из задачи 7.1.7 будет равно нулю, если его скорость относительно земли будет равна нулю. Поэтому при движении мальчика против движения карусели, его скорость относительно карусели равна скорости карусели относительно земли . Если мальчик пойдет в другую сторону с той же скоростью относительно карусели, его скорость относительно земли будет равна . Поэтому центростремительное ускорение мальчика будет равно

(ответ 4).

Тело, находящееся на поверхности вращающегося диска и вращающееся вместе с ним (задача 7.1.8), участвует в следующих взаимодействиях. Во-первых, тело притягивается к земле (сила тяжести), и на него действует поверхность диска (сила нормальной реакции и трения), причем сила трения в каждый момент времени направлена к оси вращения (см. рисунок). Действительно, в отсутствии силы трения тело либо будет оставаться на месте, а диск под ним будет вращаться, либо (если тело имеет скорость) слетит с поверхности диска. Именно сила трения «заставляет» тело вращаться вместе с диском. Поэтому сила трения служит в данной задаче цен-тростремительной силой. Остальные перечисления, данные в условии: «на тело действуют силы тяжести, трения, реакции опоры, центростремительная (или центробежная)» являются неправильными, поскольку в них смешиваются характеристики сил разных типов – первые три касаются природы взаимодействий, вторые – результат действия. Поэтому правильный ответ на вопрос задачи – 1. Кроме того, отметим, что центробежная сила возникает только в неинерциальных системах отсчета и в школьном курсе физики не рассматривается (поэтому лучше этим понятием вообще не пользоваться).

Поскольку тело в задаче 7.1.9 вращается с постоянной по величине скоростью по окружности, то его ускорение направлено к центру окружности, и, следовательно, согласно второму закону Ньютона, туда же направлена и результирующая сила, действующая на тело (ответ 2).

Применяя к данному в задаче 7.1.10 телу второй закон Ньютона и учитывая, что его ускорение равно м/с2, получим для равнодействующей =2 Н (ответ 2).

Используя формулу для центростремительного ускорения , находим отношение ускорений материальных точек из задачи 7.2.1

(ответ 1).

Для сравнения центростремительных ускорений материальных точек в задаче 7.2.2 удобно использовать формулу , поскольку в этой задаче одинаковы угловые скорости точек. Получаем

(ответ 3).

Для сравнения центростремительных ускорений тел в задаче 7.2.3 выразим ускорение через радиус окружности и период. Используя формулу (7.2) для периода и (7.5) для центростремительного ускорения, получим

(7.5)

Поэтому

(ответ 1).

Используя связь угловой и линейной скорости, находим скорости концов часовой и минутной стрелки (задача 7.2.4)

где и – угловые скорости часовой и минутной стрелки соответственно (в рад/час), и – длины часовой и минутной стрелок. Учитывая, что , получаем

(ответ 2).

Телу, вращающемуся вместе с диском на его горизонтальной поверхности (задача 7.2.5), центростремительное ускорение сообщается силой трения

Поэтому при увеличении угловой скорости вращения диска возрастает и сила трения между телом и диском. При некоторой угловой скорости сила трения достигнет максимально возможного для нее значения . Если еще увеличить угловую скорость диска, сила трения уже не сможет удержать тело на диске: тело начнет скользить по поверхности и слетит с поверхности диска. Поэтому значения угловой скорости, при которой тело может вращаться вместе с диском, находится из неравенства

(ответ 4).

В задаче 7.2.6 центростремительной силой является сила натяжения нити. Поэтому из второго закона Ньютона с учетом формулы (7.5) для центростремительного ускорения имеем

(ответ 3).

В задаче 7.2.7 нужно использовать второй закон Ньютона для каждого тела. Силы, действующие на тела, показаны на рисунке. Проекция второго закона Ньютона для дальнего тела на координатную ось, направленную к центру диска, дает

(1)

На ближнее тело действуют силы натяжения и двух нитей (см. рисунок). Поэтому для него из второго закона Ньютона имеем

Подставляя в эту формулу силу из формулы (1), находим (ответ 2).

В задаче 7.2.8 необходимо использовать то обстоятельство, что угловая скорость всех точек стержня одинакова. Обозначая расстояния от оси вращения до концов стержня как и , имеем

где = 1 м/с и = 2 м/с – линейные скорости концов стержня, м – его длина. Решая эту систему уравнений, найдем расстояния и , а затем и угловую скорость стержня . В результате получим

(ответ 3).

Среднее ускорение тела за некоторый интервал времени (не обязательно малый) определяется по формуле (2.1):

где и – скорости тела в конце и начале интервала времени . За половину периода вектор скорости поворачивается на 180°, поэтому величина разности равна . Поэтому среднее ускорение тела за половину периода равно

(задача 7.2.9 – ответ 1).

Очевидно, при зубчатой передаче совпадают линейные скорости точек на ободе шестерней. Действительно, если бы эти скорости были разными, между поверхностями шестерней было бы проскальзывание, которому препятствуют зубцы шестерней (задача 7.2.10 – ответ 2).

Маховой момент и определение размеров маховика

Мгновенный крутящий момент на валу двигателя определяют по формуле

где D — диаметр цилиндра, м;

R — радиус кривошипа, м;

? —значение касательной силы принимается для заданного ? по диаграмме ?P? = f (?).

Так как с изменением ? величина ?P? также изменяется, то крутящий момент Мк не остается постоянным и вследствие этого коленчатый вал двигателя вращается неравномерно, угловая ско­рость вращения вала изменяется от максимального значения ?mах до минимального ?min. Показателем, характеризующим изменение скорости вращения коленчатого вала, является степень неравномер­ности вращения ? = ?max – ?min / ?cp, где ?ср= ?max + ?min / 2 . Чем меньше ?, тем равномернее вращается коленчатый вал. Для судо­вых двигателей, работающих непосредственно на винт, ? = 1/20 : 1/40,  а для работающих на электрогенератор ? = 1/100 ? 1/300.

Одним из способов увеличения равномерности вращения яв­ляется увеличение числа цилиндров, однако по целому ряду об­стоятельств число цилиндров бывает ограничено. Вторым спосо­бом является применение маховиков, которые, аккумулируя избы­точную энергию, сглаживают неравномерность вращения.

Применяя уравнения движения тела, вращающегося около не­подвижной оси, к движению коленчатого вала, можно записать

где М — момент сил инерции неравномерно вращающихся масс двигателя; J — суммарный момент инерции всех вращающихся масс двигателя, передачи и гребного вала, приве­денный к пальцу кривошипа и принимаемый постоянным; ? — угловая скорость вращения вала;

d? / dt — мгновенное значение углового ускорения вала двигателя.

Из уравнения (175) видно, что с увеличением J уменьшается уг­ловое ускорение, т. е. ход двигателя становится более равномер­ным. С достаточной для практики точностью можно считать J = J0 = Jм, где J0 — приведенный момент инерции массы КШМ; Jм— момент инерции массы маховика.

Приближенно можно принять: для тронковых двигателей

где ?G — масса поступательно-движущихся частей двигателя, кг;

R — радиус кривошипа, м;

Динамический момент инерции

где L — наибольшая работа крутящего момента, затрачиваемая на увеличение кинетической энергии вращающихся масс дви­гателя, дж;

п — частота вращения, об/сек.

Величина L определяется из суммарной диаграммы касатель­ных усилий. Для этого на диаграмме ?Р? = f (?) нужно построить линию среднего суммарного касательного усилия Р? ср. Площадь между кривой ?Р? = f (?) и линией Р? ср, лежащей над этой линией, называется избыточной. Она характеризует избыток работы дви­жущих сил, вызывающих ускорение вращения вала и поглощаемых маховиком и вращающимися массами двигателя. В области, где площадь между кривой ?Р? = f (?) и линией Р? ср лежит под этой линией, происходит уменьшение угловой скорости вращения. Если за период ?всп кривая ?Р? = f (?) имеет несколько максимумов, то расчетная величина избыточной работы L определяется следующим образом (рис. 224).

Площадь из­быточной работы (лежащие над линией Р? ср) представляют в виде векторов, направленных вверх (f2, f4), а площади затраченной ра­боты (лежащие под линией Р? ср) — в виде векторов, направленных вниз (f1, f2, f5). Алгебраически сложив эти векторы, получают как резуль­тирующий вектор площадь f, характеризующую избыточную работу, накопленную системой за цикл. Если на диаграмме суммарных касательных сил масштаб по оси абсцисс l соответствует ?° или ?°?/180 радиан, то 1 м будет соответствовать ?°?/180l радиан.

При масштабе ординат 1 м = а н/м2, масштаб 1 м2 площади составит ?0?a / 180l = с.

Наибольшая избыточная работа L = FRfc, где F — площадь поршня, м2; R — радиус кривошипа, м; f — площадь наибольшей площадки на диаграмме ?Р? cp = f (?).

Определив суммарный момент инерции всех вращающихся масс J и приведенный момент инерции массы КШМ J0, подсчитывают необходимый для поддержания требуемой степени неравномерно­сти момент инерции маховика Jм = JJ0. Если величина Jм ? 0, то маховик не нужен.

Момент инерции маховика Jм можно выразить через его махо­вой момент

где G0 — масса обода маховика, кг;

dм — диаметр маховика по центру тяжести обода, м.

Из формулы (179), задавшись диаметром маховика dм опреде­ляют массу его обода

Так как при этом не учитывают влияния диска маховика, то по­лученное значение массы обода окажется завышенным. Поэтому массу обода окончательно принимают: G‘о = (0,7?0,9)G0. Полная масса маховика

Приняв форму сечения обода и выбрав для него материал, оп­ределяют размеры обода из выражения

где а и b — ширина и толщина обода, м;

? — плотность материала маховика, кг/м3.

Задавшись одним из размеров сечения обода, определяют дру­гой его размер. Диаметр маховика для судовых двигателей прини­мают не более 2 м, причем исходя из соображений прочности нельзя допускать, чтобы окружная скорость на внешней стороне обода превышала 30—40 м/сек для чугунных маховиков и 40— 60 м/сек для стальных.


Шаговые двигатели выбор и расчет основных параметров.
     Шаговый двигатель — это электромеханическое устройство, которое преобразует электрические импульсы в дискретные механические движения. Вал шагового двигателя вращается с дискретным шагом, когда на него подаются управляющие импульсы в правильной последовательности. Вращение двигателей напрямую зависит от входящих импульсов, так же они напрямую управляют направлением и скоростью вращения вала двигателя.

Преимущества и  недостатки шагового двигателя:
Преимущества:
— угол поворта двигателя пропорционален входным импульсам;
— фиксация положения при остановке током удержания;
— точное позиционирование и повторяемость движения, так как большинство шаговых двигателей имеют точность 3-5% шага, и эта ошибка не суммируется от одного шага к следующему;
— низкая инертность при запуске, остановке и реверсе;
— высокая надежность, поскольку в двигателе отсутствуют контактные щетки, поэтому срок службы двигателя в основном зависит от срока службы подшипников;
— реакция двигателя на цифровые входные импульсы обеспечивает управление без обратной связи, что делает систему более простой и, следовательно, более экономичной;
— можно достичь очень низкой скорости синхронного вращения с нагрузкой, которая напрямую связана с валом;
— можно реализовать широкий диапазон скоростей вращения, так как скорость пропорциональна частоте входных импульсов;
— шаговые двигатели дешевле серводвигателей.

Недостатки:
— может возникнуть явление резонанса, при некорректном расчете узла или системы управления;
— двигатель непрост вэксплуатации наочень высоких скоростях, 3000+ об/мин;
— сложность системы управления;
— падение мощности с ростом скорости вращения;
— отсутствие обратной связи;
— невысокая удельная мощность;
— низкая скорость вращения;
— шум.

Выбор шагового двигателя.
     Шаговый двигатель можно использовать когда требуется контролируемое движение. Они могут использоваться в приложениях, где необходимо контролировать угол поворота, скорость, положение и синхронизацию. Из-за присущих выше преимуществ, шаговые двигатели нашли свое место в различных устройствах: принтеры, плоттеры, лазерные резаки, гравировальные станки, устройства захвата и так далее.
При выборе шагового двигателя для вашего устройства необходимо учитывать несколько факторов:
Как двигатель будет связан с нагрузкой?
Какие скорость и ускорения необходимо реализовать?
Какой крутящий момент необходим для перемещения исполнительного механизма?
Какая степень точности требуется при позиционировании?

Количество полюсов (однополюсный/биполярный)
     Обычно шаговые двигатели имеют две фазы, но также существуют трех- и пятифазные двигатели. Биполярный двигатель с двумя фазами имеет одну обмотку/фазу, а однополярный двигатель имеет одну обмотку с центральным отводом на фазу. Иногда шаговый двигатель называют  четырехфазным двигателем, хотя он имеет только две фазы. Двигатели с двумя отдельными обмотками на фазу могут приводиться в двухполярный или однополярный режим. Желательно, чтобы количество проводов на двигателе соответствовало количеству контактов на драйвере, чтобы не заниматься различными ухищрениями при подключения. 

Номинальный ток 
     Обычно указывается максимальный ток, который подается одновременно на обе обмотки. Максимальный ток через одну обмотку (который действительно имеет значение при использовании микрошагов) указывается достаточно редко. При подаче номинального тока на одну обмотку происходит нагрев двигателя, из-за этого обычно ограничивают ток двигателя не более 85% от номинального тока. Для достижения максимального крутящего момента двигателя без перегрева, необходимо выбрать двигатель с номинальным током не более чем на 25% выше, чем рекомендуемый максимальный ток привода шагового двигателя.

Крутящий момент
     Выходной крутящий момент и мощность шагового двигателя зависят от размера двигателя, теплоотвода, рабочего цикла, обмотки двигателя и типа используемого привода. Если шаговый двигатель работает без нагрузки во всем диапазоне частот, одна или несколько точек собственных колебаний резонанса могут быть обнаружены либо по звуку, либо по датчикам вибрации. Полезный крутящий момент от шагового двигателя может быть резко уменьшен за счет резонансов. Работы на резонансных частотах следует избегать. Внешнее демпфирование, дополнительная инерция или применение микрошагов используются для уменьшения эффекта резонанса. 

Удерживающий момент
     Это максимальный крутящий момент, который может обеспечить двигатель, когда обе обмотки находятся под напряжением при полном токе. Крутящий момент пропорционален току (за исключением очень малых токов), поэтому, например, если вы установите драйверы на 85% от номинального тока двигателя, то максимальный крутящий момент будет 85% * 0,707 = 60% от указанного удерживающего момента. 
    Крутящий момент возникает, когда угол ротора отличается от идеального угла, который соответствует току в его обмотках. Когда шаговый двигатель ускоряется, возникает крутящий момент для преодоления собственной инерции ротора и массы нагрузки, приводимой в движении. Чтобы создать этот крутящий момент, угол ротора должен отставать от идеального угла. 
     Известно, что использование микрошага снижает крутящий момент. На самом деле это означает, что угол запаздывания равен углу, соответствующему одному микрошагу (поскольку вы хотите, чтобы положение было с точностью до одного микрошага), более высокое значение микрошага предполагает уменьшение угла, а значит и уменьшение крутящего момента. Крутящий момент на единицу угла (что действительно имеет значение) не уменьшается при увеличении микрошага. Иными словами, отправка импульса на двигатель на один микрошаг 1/16 приводит к точно таким же фазовым токам (и, следовательно, к тем же силам), что и к отправке двух 1/32 микрошагов или четырех 1/64 микрошагов и так далее. 

Размер 
     Шаговые двигатели также классифицируются в соответствии с размерами корпуса, которые соответствуют размеру рамы двигателя. Например, шаговый двигатель NEMA11 имеет размер рамы приблизительно 1,1 дюйма (28 мм). Аналогично, шаговый двигатель NEMA23 имеет размер корпуса 2,3 дюйма (57 мм) и т. д.  Однако длина корпуса может изменяться от двигателя к двигателю в рамках одной и той же классификации размеров, при этом крутящий момент двигателя с определенным размером рамы будет увеличиваться с увеличением длины корпуса. 

 NEMA8: 

— габарит рамы 20х20 мм; 
— диапазон длин: 30-42 мм; 
— крутящий момент: 0,18-0,3 кг*см. 

NEMA11

— габарит рамы 28х28 мм;
— диапазон длин: 32-51 мм;
— крутящий момент: 0,43-0,9 кг*см.

NEMA14

— габарит рамы 35х35 мм;
— диапазон длин: 28 мм;
— крутящий момент: 1,0 кг*см.

NEMA16

— габарит рамы 39х39 мм;
— диапазон длин: 20-38 мм;
— крутящий момент: 0,65-2,0 кг*см.

NEMA17

—  габарит рамы 42х42 мм;
— диапазон длин: 25-60 мм;
— крутящий момент: 1,7-6,5 кг*см.

NEMA23

— габарит рамы 56х56 мм;
— диапазон длин: 41-76 мм;
— крутящий момент: 2,88-18,9 кг*см.

NEMA34

— габарит рамы 86х86 мм;
— диапазон длин: 65-156мм;
— крутящий момент: 34-122 кг*см.

NEMA43

— габарит рамы 110х110 мм;
— диапазон длин: 99-201 мм;
— крутящий момент: 112-280 кг*см.

NEMA51

— габарит рамы 130х130 мм;
— диапазон длин: 165-270 мм;
— крутящий момент: 270-500 кг*см.

Угол шага.
     Существует два распространенных угла шага: 0,9 и 1,8 градуса на полный шаг, что соответствует 400 и 200 шагам/оборот. Большинство устройств используют двигатели с шагом 1,8 град/шаг.
     При заданной скорости вращения 0,9-градусный двигатель производит вдвое больше индуктивной обратной эдс, чем 1,8-градусный двигатель, из-за этого возможно будет необходимо использовать питание 24 В для достижения высоких скоростей с двигателями 0,9 градуса. 
     Для двигателей 0,9 градуса необходимо подавать шаговые импульсы драйвера с удвоенной скоростью по сравнению с двигателями 1,8 градуса. Если вы используете высокий микрошаг, тогда скорость может быть ограничена скоростью, с которой электроника может генерировать шаговые импульсы. 

Разрешение и точность позиционирования.
     На разрешение и точность позиционирования системы шагового двигателя влияют несколько факторов: угол шага (длина полного шага шагового двигателя), выбранный режим движения (полный шаг, полшага или микрошаг) и скорость передачи. Это означает, что есть несколько различных комбинаций, которые можно использовать для получения желаемого разрешения,  из-за этого проблема разрешения обычно может быть решена после того, как были определены размер двигателя и тип привода.

 Самоиндукция .
     Индуктивность двигателя влияет на скорость, с которой драйвер шагового двигателя может приводить двигатель в действие до падения крутящего момента. Если мы временно игнорируем обратную эдс  из-за  вращения, а номинальное напряжение двигателя намного меньше, чем напряжение питания привода, то максимальные обороты в секунду перед падением крутящего момента составляют: 

оборотов_в_секунду=(2*напржение_БП)/(шагов_на оборот*3,14* индуктивность* ток)

Если двигатель приводит ремень GT2 через шкив, это дает максимальную скорость в мм/с как:

скорость=(4*кол-во_зубьев_шкива*напряжение_БП)/(шагов_на_оборот*3,14* индуктивность*ток)

Например:
двигатель 1,8 град/шаг ( т. е.  200 шагов/об) с индуктивностью 4 мГн работает при 1,5, А при напряжении питания 12 В, и привод ремня GT2 с  20-зубчатым шкивом начинает терять крутящий момент со скоростью около 250 мм/с. 
     На практике крутящий момент начинает падать раньше, чем это  из-за обратной эдс, вызванной движением, потому что не учитывается сопротивление обмоток. Моторы с низкой индуктивностью также имеют низкую ЭДС  из-за  вращения. Для достижения высоких скоростей, необходимо выбирать двигатели с низкой индуктивностью и высоким напряжением питания. 

Сопротивление и номинальное напряжение
     Это сопротивление на фазу и падение напряжения на каждой фазе, когда двигатель неподвижен, и фаза передает свой номинальный ток (который является результатом сопротивления и номинального тока). Это важно когда номинальное напряжение значительно ниже напряжения питания для шаговых драйверов. 

Обратный ЭДС из-за вращения 
     Когда шаговый двигатель вращается, то создается обратная эдс. При идеальном нулевом угле запаздывания на 90 градусов не в фазе с напряжением возбуждения, а в фазе с обратной ЭДС  из-за индуктивности. Когда двигатель выдает максимальный крутящий момент и находится на грани пропуска шага, он находится в фазе с током. 
Обратный ЭДС из-за поворота обычно не указывается в спецификации, но мы можем оценить его по следующей формуле: 

 ЭДС= 1,414*3,14*момент_удержания*оборотов_в_секунду/номинальный_ток 

      Формула предполагает, что удерживающий момент указан для обеих фаз, находящихся под напряжением при номинальном токе. Если это указано только с одной фазой под напряжением, замените 1,414 на 2. 
 Пример: рассмотрим 200-шаговый двигатель, приводящий каретку через шкив с 20 зубцами и ремень GT2. Это 40-миллиметровое движение за оборот. Для достижения скорости 200 мм/сек нам нужно 5 об/сек. Если мы используем двигатель с удерживающим моментом 0,55 Нм, когда обе фазы работают при 1,68, А, пиковая обратная эдс из-за  вращения составляет 

1,414 * 3,142 * 0,55 * 5 / 1,68 = 7,3 В. 

Как вбрать необходимое напряжение питания 
     Если заранее известна необходимая скорость движения для вашего устройства, можно предварительно определить, какое напряжение питания вам потребуется для драйверов двигателя. 
Пример: определим необходимую скорость движения. Для этого примера будем использовать 200 мм/сек, передача шкив 20 зубьев GT2.
Исходя из необходимой скорости движения, определим максимальную скорость ремня. 
Прикинем обратную ЭДС от индуктивности: 

напряжение=шагов_в_сек*3,14*ток_двигателя*ЭДС_двигателя*N/2 

 где N — число полных шагов на оборот (200 для двигателей с 1,8 градусами или 400 для двигателей с 0,9 градусами).
Возьмем для примера двигателя со следующими параметрами: 0,9 градуса с индуктивностью 4,1 мГн, и токе 1А. Таким образом, обратная эдс из-за индуктивности составляет: 

5*3,142*1,0*4,1e-3*400/2 = 12,87 В 

Вычислим обратную ЭДС из-за вращения по приведенной ранее формуле. 
Двигатели для примера имеют номинальный ток 1,68А и момент удержания 0,44 Нм, поэтому результат равен: 

1,414*3,142*0,44*8,7/1,68 = 10,1 В 

     Предпочтительно, чтобы напряжение питания драйвера составляло по меньшей мере сумму этих двух обратных эдс, плюс еще несколько вольт запаса. При использовании двух двигателей последовательно требуемое напряжение удваивается. 

 Алгоритм выбора шагового двигателя 
1. Определение компонента механизма привода .
     Определите механизм и необходимые входные данные, вариант механизма, приблизительные размеры, расстояния перемещения и время позиционирования. 
2. Рассчитайте необходимое разрешение.
     Найдите разрешение, необходимое для двигателя. Исходя из требуемого разрешения, определите, будет ли использоваться только двигатель или мотор-редуктор . Тем не менее, благодаря использованию технологии микрошагов, достичь требуемого разрешения стало гораздо легче. 
3. Определите схему работы 
     Определите схему работы, которая соответствует требуемым данных. Рассчитайте значения ускорения (замедления) и скорость рабочего импульса, чтобы рассчитать момент ускорения. 
4. Рассчитайте необходимый крутящий момент.
     Рассчитайте момент нагрузки и момент ускорения и найдите требуемый момент, требуемый двигателем. 
5. Выберите двигатель.
     Сделайте предварительный выбор двигателя на основе требуемого крутящего момента. Определите используемый двигатель по характеристикам скорости и крутящего момента. 
6. Проверьте выбранный двигатель.
     Подтвердите скорость ускорения / замедления и коэффициент инерции. 

Общие рекомендации:
— если не планируется использовать внешние драйверы шаговых двигателей, выбирайте двигатели с номинальным током не менее 1,2, А и не более 2,0 А. 
— рассчитывайте на рабочий ток шагового двигателя 50-85% от номинального. 
— размер: 
Nema 17- самый популярный размер, используемый в домашних проектах. 
Nema 23 необходимо использовать если не хватает крутящего момента от длинных двигателей Nema 17. 
— старайтесь не использовать двигатели с номинальным напряжением (или произведением номинального тока и фазового сопротивления)> 4 В или индуктивности> 4 мГн. 
— выборйте двигатель с 0,9 град/шаг, если необходима дополнительная точность позиционирования, для стандартных решений используйте двигатели 1,8 град/шаг. 
— при использовании 0,9 градусных шаговых двигателей или двигателей с высоким крутящим моментом, необходимо применение блоков питания с напряжением 24 В, чтобы поддерживать крутящий момент на более высоких скоростях. 

Угловое движение — мощность и крутящий момент

  • Работа — результат действия силы на некотором расстоянии. Работа измеряется в джоулях (Нм) или футо-фунтах.
  • Крутящий момент — вращающая сила, создаваемая коленчатым валом двигателя. Чем больший крутящий момент производит двигатель, тем больше его способность совершать работу. Поскольку крутящий момент представляет собой вектор, действующий в направлении, его обычно измеряют в Нм или фунто-футах.
  • Мощность — это скорость выполнения работы — работа за заданный промежуток времени.Мощность измеряется в ваттах (Дж/с) или лошадиных силах.

Power и крутящий момент тела в угловом движении

мощность вращающегося тела может быть выражена как

P = T ω

= T 2 π N RPS

= T Π N RPM /30 (1)

, где

P = мощность (W)

T = крутящий момент или момент (нм)

ω = угловая скорость (RAD / у)

π = 3.14 …

N RPS = Вращения в секунду (RPS, 1 / S)

N RPM = Вращения в минуту (об / мин, 1 / мин)

  • 1 рад = 360 o /2 π =~ 57,29578.. o

Примечание! — объект — как и электродвигатель — может иметь активный момент без вращения, но без вращения ( ω = 0 ) мощность не вырабатывается.

в имперских единицах

P = T N RPM /5252 (1B)

, где

P = мощность (HP)

T = крутящий момент (FT LB F )

Пример. Крутящий момент, создаваемый вращающимся двигателем

Электродвигатель работает со скоростью 3600 об/мин с измеренной потребляемой мощностью 2000 Вт .Момент, создаваемый двигателем (без потерь), можно рассчитать, переставив (1) в

T = 30 P / (π n об/мин )

  = 30 (2000 Вт) / (π ( 3600 об / мин))

= 5.3 NM

Калькулятор крутящего момента

P — Power (W)

N M — Rotations (RPM)

Скачать и печатать мотор — крутящий момент VS . Сила и диаграммы RPM

крутящий момент тела в угловом движении

T = I T = I α (2)

где

I = момент инерции (кг м 2 , фунт f ft·s 2 )

α = угловое ускорение (рад/с 2 )

2.17: Вращение твердого тела и тензор инерции

Предполагается, что эта глава должна быть ограничена расчетом моментов инерции тел различной формы, а не огромной темой вращательной динамики твердых тел, которая требует глава самостоятельно. В этом разделе я упоминаю только для интереса две небольшие темы, связанные с главными осями, и третью тему, по мере необходимости, более подробно, прежде чем перейти к разделу 2.2 /(2m) \).2 /(2I ) \), где \( I \) — момент инерции. Если изолированное тело (например, астероид) вращается вокруг неглавной оси, оно будет подвержено внутренним напряжениям. Если тело нежесткое, это приведет к искажениям (напряжениям), которые могут вызвать вибрацию тела. Если к тому же тело неупругое, то колебания быстро затухнут (если затухание больше критического, то тело даже не будет вибрировать). Энергия, которая первоначально была кинетической энергией вращения, будет преобразована в тепло (которое будет излучаться).) Тело теряет кинетическую энергию вращения. Однако в отсутствие внешних моментов \(L\) остается постоянным. Следовательно, в то время как \(E\) уменьшается, \(I\) увеличивается. Тело регулирует свое вращение до тех пор, пока оно не вращается вокруг своей оси с максимальным моментом инерции, в это время больше нет напряжений, и ситуация остается стабильной.

В общем случае вращательное движение твердого тела, эллипс момента которого является трехосным, довольно сложное и хаотичное, причем тело кувыркается снова и снова, по-видимому, случайным образом.Однако, если тело нежесткое и неупругое (какими на практике являются все реальные тела), оно в конце концов начнет вращаться вокруг своей оси с максимальным моментом инерции. Время, необходимое телу, первоначально хаотично кувыркающемуся снова и снова, пока оно не достигнет своего конечного блаженного состояния вращения вокруг своей оси с максимальным моментом инерции, зависит от того, насколько быстро оно вращается. Для большинства небольших астероидов неправильной формы затраченное время сравнимо с возрастом образования Солнечной системы или превышает его, поэтому неудивительно, что некоторые астероиды имеют вращение не вокруг главной оси (NPA).Однако было обнаружено несколько быстро вращающихся астероидов NPA, и для быстрых вращателей можно было бы ожидать, что вращение PA было достигнуто давным-давно. Считается, что что-то (например, столкновение) должно было произойти с этими быстро вращающимися астероидами NPA относительно недавно в истории Солнечной системы.

Другой интересной темой является устойчивость жесткого вращателя, вращающегося вокруг главной оси, к малым возмущениям от его вращательного состояния.Хотя я этого здесь не доказываю (доказательство можно провести либо математически, либо с помощью качественных аргументов), вращение вокруг любой из осей максимального или минимального момента инерции устойчиво, тогда как вращение вокруг промежуточной оси неустойчиво. Читатель может убедиться в этом сам. Найдите что-нибудь трехосное, например, небольшой деревянный брусок в форме прямоугольного параллелепипеда с неравными сторонами. Определите оси наибольшего, наименьшего и промежуточного моментов инерции. Подбрасывайте тело в воздух, одновременно заставляя его вращаться вокруг той или иной из этих осей, и вы сможете сами убедиться, что в двух случаях вращение устойчиво, а в третьем неустойчиво.

Тензор инерции

Теперь я более подробно рассмотрю третью тему, а именно соотношение между угловым моментом \(\bf L\) и угловой скоростью \(\boldsymbol{\omega} \). Из элементарной (и двумерной) механики читатель знаком с соотношением \(L = I \omega \). Что мы собираемся найти в случае трехмерного твердого тела, так это соотношение \(\bf{L} = \mathbb{I}\boldsymbol{\omega} \). Здесь \( \bf L \) и \( \boldsymbol{\omega} \) — это, конечно, векторы, но они не обязательно параллельны друг другу. Они параллельны, только если тело вращается вокруг главной оси вращения. Величина \( \mathbb{I} \) представляет собой тензор, известный как тензор инерции . Читатели знакомы с уравнением \({\bf F}= m {\bf a}\). Здесь два вектора имеют одинаковое направление, а m — скалярная величина, которая не меняет направление вектора, на который она умножается. Тензор обычно (если только его матричное представление не равно диагонали ) меняет направление, а также величину вектора, на который он умножает.Читатель может подумать о других примерах тензоров в физике. Есть несколько. На ум приходит диэлектрическая проницаемость анизотропного кристалла; в уравнении \( {\bf D= \boldsymbol{\epsilon} E}\) и \( \bf E \) не параллельны, если они оба не направлены вдоль одной из кристаллографических осей.

Если на тело не действуют внешние крутящие моменты, \( \bf L \) постоянна как по величине, так и по направлению. Однако мгновенный вектор угловой скорости не фиксирован ни в пространстве, ни по отношению к телу, если только тело не вращается вокруг главной оси и тензор инерции диагональен.

Так много для предварительного просмотра и качественного описания. Теперь приступайте к работе.

Я должен предположить, что знаком с уравнением для компонентов перекрестного произведения двух векторов:

\[ {\bf A \times B } = (A_{y}B_{z}-A_{z}B_{y}){\bf\hat{x}} + (A_{z}B_{x} -A_{z}B_{z}{\bf) \шляпа{y}} + (A_{x}B_{y}-A_{y}B_{z}){\bf \шляпа{z}} \label {уравнение: 2.17.1} \]

Я также собираюсь предположить, что читатель знает, что угловой момент частицы массы \( m \) в позиционном векторе \( \bf r \) (компоненты (\( x,y,z \)) ) и движущийся со скоростью \(\bf v \) (компоненты ( \( \dot{x} , \dot{y} , \dot{z} \))) есть \( m { \bf r \times v} \) .Для набора частиц (или протяженного твердого тела, которое, как мне сказали, состоит из набора частиц, называемых атомами), угловой момент равен

\[\ begin{align} {\bf L } &= \sum m {\bf r \times v} \\ &= \sum [m(y \dot{z} — z \dot{y}) { \bf \hat{x} } + m(z \dot{x} — x \dot{z}) { \bf \hat{y} } + m(x \dot{y} — y \dot{x} ) { \bf \шляпа{z} } ] \end{align}\]

Я также предполагаю, что соотношение между линейной скоростью \( \bf v \)( \( \dot{x} , \dot{y} , \dot{z} \)) и угловой скоростью \( \boldsymbol{\omega } \) \( ( \omega_{x} , \omega_{y} , \omega_{z} ) \) понимается как \( \bf v = \boldsymbol{\omega} \times r \), так что , например \( \dot{z} = \omega_{x} y — \omega_{y}x.2) {\bf \шляпа{х}} + {\текст и т.д.} \\ &= (А\омега_{х} — Н\омега_у — G\омега_z) {\бф \шляпа{х}} + () { \bf \шляпа{y}} + (){ \bf \шляпа{z}}. \конец{выравнивание}\]

В итоге получаем

\[ { \bf L } = \left(\begin{array}{c}L_x\\ L_y \\ L_z \end{массив}\right) = \left(\begin{array}{c}A \ — H \ -G\\ -H \quad B \ -F \\ -G \ -F \quad C\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}\omega_x\\ \omega_y \ \\omega_z\end{массив}\right) \label{eq:2.17.2} \]

Это уравнение \( \bf L =\mathbb{I} \boldsymbol{\omega} \), упомянутое выше.Тензор инерции иногда записывают в виде

\[\mathbb{I} I = \left( \begin{array}{c}I_{xx} \ I _{xy} \ I _{xz} \\ I_{xy} \ I _{yy} \ I _{yz} \\ I_{xz} \ I _{yz} \ I _{zz} \end{array} \right) \]

, так что, например, \( I_{xy} = − H \). Это симметричная матрица (но не ортогональная матрица).

Решения для домашних заданий

Решения для домашних заданий

Ch

10, Вращение вокруг фиксированной оси

Домашнее задание: Ч20; 8, 20, 24, 28, 30, 39, 40, 43

Вопросы 4, 7, 9, 11, 14, 15, 17

| Хмвк, ч. 9 | Домашнее задание Задания | Домашняя страница PHY 1350 | Hmwk, ч. 11 |


Дополнительные задачи из четвертого издания Serway


(4 изд) 10.1 Поворотный стол проигрывателя вращается со скоростью 33 1 / 3 об/мин (об/мин) и останавливается при переключении за 60,0 с выключенный.

Рассчитайте (а) величину его углового ускорения

и (b) количество оборотов, которое он делает до остановки.


(4ed) 10.2 Автомобиль движется со скоростью 36 км/ч по прямой дороге. Радиус шин составляет 25 см (0,25 м). Найдите угловую скорость одной из шин. с его осью, принятой за ось вращения.


(4ед) 10.3 Банка супа имеет массу 215 г, высоту 10,8 см и диаметр 6,38 см. Он находится в состоянии покоя на вершине наклонного участка высотой 3,00 м. в длину и на 25 o к горизонтали. Используя энергетические методы, рассчитайте момент инерции банки, если она достигает дна за 1,50 с. наклон.


(4ed) 10.4 Маховик в форме сплошного цилиндра радиусом R = 0.60 м и массой М = 15 кг можно довести до угловой скорости 12 рад/с за 0,60 с двигателем, создающим постоянный крутящий момент. После выключения двигателя, маховик совершает 20 об/мин, прежде чем останавливается из-за трения (предполагается постоянным во время вращения). Какой процент мощности, вырабатываемой двигателем, используется преодолеть трение?


Концептуальные вопросы


Q10.4 Поворотный стол вращается с постоянной скоростью 45 об/мин. (об/мин).Какова его угловая скорость в радианах в секунду? Какова величина его углового ускорения?

= 45 ( об. / мин. )

= 45 ( об / мин ) [ 2 Пи радиан / об ] [ мин / 60 с ]

= 45 ( об / мин )[ 2 (3,14) радиан / об ] [ мин / 60 с ]

= 4,71 ( рад / с )


Q10.7 Предположим, что только две внешние силы на твердое тело действуют две силы, равные по модулю, но противоположные по величине. направление. При каком условии тело вращается?

Две силы будут обеспечивать чистый крутящий момент, вызывая вращение, , если только две силы лежат вдоль одной и той же линии .


Q10.9 Используя результаты примера 10.12, как бы вы рассчитали угловая скорость колеса и линейная скорость подвешенной массы при t = 2 с, если система выходит из состояния покоя в t = 0? Является ли выражение v = R действует в этом ситуация?

[[ Рис. 10.20 ]]

Да, v = R все еще в силе. В верхней части стр. 311 у нас есть выражение либо для линейного ускорение или угловое ускорение. Мы можем использовать любой из них для найти линейную скорость v или угловую скорость а затем используйте v = R найти другой.

Из верхней части стр. 311 мы знаем линейное ускорение или угловое ускорение является равномерным или постоянным. Поэтому мы можем сразу использовать всю кинетатику уравнения для постоянного ускорения.В частности,

v = v или + а т

v или = 0

v = ат

v = [г/(1 + {I/mR 2 })] [2]

v = [2 г/(1 + (I/mR 2 ))]


Q10.11 Объясните, почему изменение оси вращения объекта меняет свой момент инерции.

Изменение оси вращения меняет многое. Особенно, она изменяет — или может изменить — расстояние, на которое перемещается часть массы.Рассмотрим метровую рейку, вращаемую сначала вокруг своего центра масс, а затем вокруг все кончено.

Когда измерительный стержень вращается вокруг своего центра масс, оба половинки метровой палки движутся по кругу с максимальным радиусом 0,50 м.

Когда измерительная рейка вращается вокруг своего конца, одна половина метровой палочки все еще движется по тому же кругу. Но другая половина метровая палка движется по кругу с минимальным радиусом 0.50 м и максимум радиус 1,0 м. Эта половина метровой палки движется через большее расстоянии и на большей линейной скорости. Все это означает, что сложнее вращать. Если вращаться труднее, то мы описываем это, говоря он имеет больший момент инерции — или больший «вращательный масса».


Q10.14 Должен ли объект вращаться, чтобы иметь ненулевой момент инерции?

№Точно так же объект имеет ненулевую массу, даже когда он сидит. еще.


Q10.15 Если вы видите вращающийся объект, обязательно ли действующий на него крутящий момент?

Если на объект действует чистый крутящий момент, объект будет иметь угловое ускорение.

Если вы видите движущийся объект, это не обязательно сеть сила действующая на него.


Q10.17 Полярный диаметр Земли немного меньше экваториальный диаметр.Как изменится момент инерции Земли, если массы вблизи экватора были удалены и перенесены в полярные районы. сделать Землю идеальной сферой?

Масса, находившаяся на экваторе, переместилась к полюсу изначально был далеко от оси вращения, а теперь очень близко к оси вращение. Это означает момент инерции или «вращающуюся массу». — из этой массы теперь минус . Это означает, что весь момент инерции для Земля имеет de складок.


Решения задач из текущего, пятого издания.


10.8 Бак стиральной машины переходит в цикл отжима, начиная с стабильно набирает угловую скорость в течение 8,0 с при вращении со скоростью 5,0 об/с. В на этот раз человек, стирающий белье, открывает крышку, и включается предохранительный выключатель. от стиральной машины. Ванна плавно останавливается за 12,0 с. Через сколько оборотов вращается ли ванна во время движения.

Конечно, у нас есть две задачи — сколько оборотов делается как ванна ускоряет и сколько оборотов делается, когда ванна замедляется вниз ? Мы возьмем каждого по очереди.

Во-первых, сколько оборотов делает ванна при увеличении скорости? Нам нужно угловое ускорение. Так как при замедлении ванны будет разное угловое ускорение, мы назовем его 1 .

Мы будем использовать угловой эквивалент одной из наших кинематических «большой тройки». уравнения.Так же, как мы написали

v 2 = v или 2 + 2 а с

мы также можем написать

 

 


10.20 Автомобиль, движущийся по ровной (без насыпи) кольцевой дорожке, ускоряется равномерно из состояния покоя с тангенциальным ускорением 1,70 м/с 2 . Автомобиль проходит четверть круга, после чего начинает скользить. вне трассы. Определить коэффициент трения покоя между автомобилем и отслеживать.

Радиус не указан, поэтому мы просто назовем его R и ожидаем, что он «упадет». вне» ответа.

v 2 = v o 2 + 2 а (s — s o )

(с — с или ) = (/ 2) Р

/ 2 = 90 o = одна четверть путь вокруг трассы.

v 2 = 0 2 + 2 (1.70 м/с 2 ) ( (/ 2) R )

v 2 = (5,34) R

F c = м v 2 / R

Ф с = м [ 5,34 Р ] / Р

F c = 5,34 м

F c = F N = м г

м г = 5,34 м

г = 5,34

= 5,34/9,8

= 0,54


10,24 Центр масс бейсбольного мяча (радиус = 3,24).8 см) движется при 38 м/с. Мяч вращается вокруг оси, проходящей через его центр масс и с угловая скорость 125 рад/с. Рассчитать отношение энергии вращения к поступательной кинетической энергии. Рассматривайте мяч как однородную сферу.

К Тр = (1/2) М v 2

К Вращение = (1/2) I 2

Для шара из табл. 10.2 на стр. 286 I = ( 2/5 ) M R 2

Соотношение = K Rot / K Tr = [ (1/2) I 2 ] / [ (1/2) M v 2 ]

Соотношение = K Rot / K Tr = [ (1/2) ((2/5) M R 2 ) 2 ] / [ (1/2) М v 2 ]

Соотношение = K Rot / K Tr = [ (1/5) R 2 2 ] / [ (1/2) v 2 ]

Соотношение = K Rot / K Tr = (2/5) R 2 2 / v 2

Ratio = K Rot / K Tr = (2/5) [ ( 0.038 м ) 2 ( 125 1/с) 2 / (38 м/с) 2

Соотношение = K Rot / K Tr = (2/5) [ ( 0,038 м ) 2 ( 125 1/с) 2 / (38 м/с) 2 = 0,00624


10,28 Три одинаковых стержня длиной L, массой m и радиусом r помещены перпендикулярно друг другу, как показано на рисунке P10.22. Установка повернута вокруг оси, проходящей через конец одного стержня и параллельной другому.Определить момент инерции этой конструкции.

Из таблицы 10.2 на стр. 286 мы знаем моменты инерции стержня вращается вокруг своего центра масс и вокруг своего конца,

I CM = (1/12) M L 2

I конец = (1/3) M L 2

Мы будем использовать теорему о параллельных осях или основное определение момента инерции , чтобы найти дополнительные моменты инерции, которые нам нужны их.Посмотрите на отдельные стержни и найдите момент инерции каждого из них. их.

Стержень № 1 прост; это просто стержень, вращающийся вокруг своего конца.

I 1 = I конец = (1/3) M L 2

Стержень № 2 требует использования теоремы о параллельных осях , поскольку она вращается вокруг оси, параллельной оси, проходящей через его центр масс. То расстояние между этими двумя осями R = L/2.

I 2 = I CM + M R 2 = (1/12) M L 2 + М [ (1/2) Д ] 2

I 2 = [ (1/12) + (1/4) ] M L 2

I 2 = (1/3) М Д 2

Будьте осторожны со стержнем №3. Вероятно, с этим будет легче справиться, если мы изменим наши перспективу и посмотрите на его движение прямо вдоль оси вращения.

Этот «стержень» также вращается вдоль оси, параллельной оси, проходящей через его СМ. Но посмотрите внимательно на эту параллельную ось через ее ЦМ. Для вращения про это ось, это и есть вращение «сплошного цилиндра». Этот время, I CM = (1/2) M r 2 . Расстояние между двумя осей по-прежнему R = L/2.

I 3 = I CM + M R 2

I 3 = (1/2) M r 2 + M [ (1/2) L ] 2

I 3 = (1/2) M r 2 + (1/4) M L 2

Как вы знаете из лаборатории, полный момент инерции представляет собой сумму отдельных моментов инерции,

I Итог = I 1 + I 2 + I 3

I Итог = [ (1/3) M L 2 ] + [ (1/3) M L 2 ] + [ (1/2) M r 2 + (1/4) M L 2 ]

I Tot = (11/12) M L 2 + (1/2) M r 2


10.30 Используйте теорему о параллельных осях и таблицу 10.2, чтобы найти момент инерции

(a) твердый цилиндр вокруг оси, параллельной оси центра масс и проходящей через край цилиндра и

(b) твердая сфера вокруг оси, касательной к ее поверхности.

(а)

Для вращения вокруг ЦМ , мы знаем момент инерции.

I CM = (1/2) M R 2

Итак, мы можем использовать теорему о параллельных осях.Расстояние между двумя осями стоит

р.

I = I CM + M R 2

I = (1/2) M R 2 + M R 2

I = (3/2) M R 2

(б)

Для вращения вокруг ЦМ , мы знаем момент инерции.

I CM = (2/5) M R 2

Итак, мы можем использовать теорему о параллельных осях.Расстояние между двумя осями стоит

р.

I = I CM + M R 2

I = (2/5) M R 2 + M R 2

I = (7/5) M R 2


10,39 Блок массой m 1 = 2,00 кг и блок массой m 2 = 6,00 кг связаны безмассовой нитью со шкивом, находящимся в форма диска с радиусом R = 0,25 м и массой M = 10.0 кг. Кроме того, блоки могут двигаться по фиксированному блоку-клину с углом тета = 30,0 o как на рисунке P10.29. Коэффициент кинетического трения равен 0,36 для обоих блоки. Определить

(а) ускорение двух блоков и

(б) натяжение струны.

Нам понадобится (в конечном итоге) момент инерции шкива. Это легко и легко вычислить, поэтому давайте вычислим его сейчас.Для твердого тела диск,

I = (1/2) M R 2

I = (1/2) (10,0 кг) (0,25 м) 2 = 0,3125 кг м 2

Применить второй закон Ньютона к каждому из трех тел:

Во-первых, для массы m 1 :

F Сетка, 1 = T 1 — F f1 = m 1

F f1 = F N1 = m 1 г

T 1 — m 1 г = m 1

Теперь посмотрите на моменты на шкиве.Это а не обычный «облегчённый» шкив», с которым мы сталкивались раньше. Вы можете думать об этом как о маховике. Его момент инерции достаточно велик, чтобы он мог быть 90 243, а не 90 246. пренебрегают. Это также означает, что натяжение веревки с одной стороны будет отличаться от напряжения на другой стороне. Следовательно, мы пометили напряжения на Т 1 и Т 2 .

нетто = Р Т 2 — Р Т 1 = И

Т 2 — Т 1 = (И/Р)

Теперь мы готовы к силам на m 2 , массе на наклонной поверхности.

F net = w 2 sin 30 o — F f2 — Т 2 = м 2 и

F нетто = 0,866 ш 2 — F f2 — Т 2 = м 2 а

F f2 = F N2 = w 2 cos 30 o = m 2 g cos 30 o

Напомним, что линейное ускорение блоков a тесно связано к угловому ускорению шкива (или маховика) ,

а = г

или

= а/р

Теперь у нас есть три уравнения с тремя неизвестными, T 1 , T 2 , и а.

T 1 — m 1 г = m 1 a

T 2 — T 1 = ( I / R ) = ( I / R ) ( a / R ) = ( I / R 2 )

0,866 м 2 г — 0,50 м 2 г — T 2 = м 2 a

Теперь мы можем подставить числа и найти неизвестные.

T 1 — (0,36) (2,0 кг) (9,8 м/с 2 ) = (2.0 кг) а

T 2 — T 1 = [ 0,3125 кг м 2 / (0,25 м) 2 ] a = 5 кг a

0,866 (6,0 кг) (9,8 м/с 2 ) — 0,50 (0,36) (6,0 кг) (9,8 м/с 2 ) — T 2 = (6,0 кг) a

50,92 Н — 10,58 Н — Т 2 = (6,0 кг) a

 

T 1 — 7,056 Н = (2,0 кг) a

T 2 — T 1 = 5 кг

40.34 N — T 2 = (6,0 кг) a

 

T 1 = 7,056 Н + (2,0 кг) a

T 2 — [7,056 N + (2,0 кг) a] = 5 кг a

T 2 = [7,056 N + (2,0 кг) a] + 5 кг a

T 2 = 7,056 Н + (7,0 кг) a

40,34 Н — Т 2 = (6,0 кг) a

40,34 Н — [7,056 Н + (7,0 кг) а] = (6,0 кг) а

40,34 Н — 7,056 Н = (7,0 кг) а + (6,0 кг) а

33.28 Н = (13,0 кг)

а = 33,28 Н/13,0 кг

а = 2,56 м/с 2

T 2 = 7,056 Н + (7,0 кг) а = 7,056 Н + (7,0 кг) (2,56 м/с 2 ) = 25 Н

T 1 = 7,056 Н + (2,0 кг) а = 7,056 Н + (2,0 кг) (2,56 м/с 2 ) = 12,2 Н


10,40 Гончарный круг, толстый каменный диск радиусом 0,50 м и массой 100 кг, свободно вращается со скоростью 50 об/мин.Гончар может остановить колесо за 6,0 с. прижимая мокрую тряпку к ободу и прикладывая радиально внутрь силу 70 Н. Найти эффективный коэффициент трения между колесом и мокрой тряпкой.

= / т

= f i = 0 — 50 об. / мин.

= — 50 об. / мин. [ 2 рад / об. ] [ мин. / 60 с ] = — 5.24 рад/с

= / t = [- 5,24 рад/с] / 6,0 с

= — 0,87 рад/с 2

Это угловое ускорение создается крутящим моментом из-за силы трения гончар с мокрой тряпкой.

= я

= г Ф ф

Ф Ф = Ф Н = (70 Н)

Чтобы оценить это численно, нам нужно численное значение момента инерция гончарного круга.

I = (1/2) M R 2 = 0,5 (100 кг) (0,50 м) 2 = 12,5 кг м 2

= I = (12,5 кг м 2 ) (0,87 рад/с 2 ) = 10,875 м N

= г Ф ф

или

F f = / r = (10,875 м Н) / (0,50 м) = 21,75 Н

Ф Ф = Ф Н = (70 Н)

или

= Ф Ф / 70 Н = 21.75 Н / 70 Н

= 0,32


10.43 Груз массой 15 кг и груз массой 10 кг подвешены на шкиве, который радиусом 10 см и массой 3,0 кг (рис. P10.32). Шнур имеет незначительный массы и заставляет шкив вращаться без проскальзывания. Шкив вращается без трения. Массы стартуют из состояния покоя на расстоянии 3,0 м друг от друга. Обработайте шкив как однородный диск и определить скорости двух масс, когда они проходят каждый разное.

Теперь нарисуйте диаграммы свободного тела для всех трех тел ,

Нам понадобится момент инерции шкива,

I = (1/2) M r 2 = (0.5) (3,0 кг) (0,10 м) 2 = 0,015 кг·м 2

Для массы m 2 я взял и , чтобы получить положительное ; это означает

F нетто,2 = T 2 — m 2 г = m 2

Для шкива,

нетто = 2 1 = I

1 = г Т 1 = (0.10 м) Т 1

2 = r T 2 = (0,10 м) T 2

нетто = 1 2 = (0,10 м) T 1 — (0,10 м) Т 2 = Я

(0,10 м) [ Т 1 — Т 2 ] = I = (0,015 кг м 2 )

Линейное ускорение a и угловое ускорение связаны соотношением

а = г

или

= а/р

поэтому мы можем написать

(0.10 м) [ Т 1 — Т 2 ] = (0,015 кг м 2 ) а/0,10 м

(0,10 м) [ Т 1 — Т 2 ] = (0,15 кг м)

T 1 — T 2 = (1,5 кг) a

И для массы m 1 , где занижено как положительное ,

F Нетто,1 = m 1 г — T 1 = m 1

(15.0 кг) (9,8 м/с 2 ) — T 1 = (15,0 кг) а

147 N — T 1 = (15,0 кг) a

Теперь у нас есть три уравнения — из трех диаграмм свободного тела — и три неизвестных.

T 1 = 147 Н — (15,0 кг) a

T 1 — T 2 = (1,5 кг) a

[ 147 Н — (15,0 кг) а] — T 2 = (1,5 кг) а

Т 2 = [ 147 Н — (15.0 кг) а] — (1,5 кг) а

T 2 = 147 Н — (16,5 кг) a

T 2 — m 2 г = m 2 a

[147 N — (16,5 кг) a] — (10,0 кг) (9,8 м/с 2 ) = (10,0 кг)

147 Н — 98 Н = (26,5 кг) a

а = 49 Н/26,5 кг

а = 1,85 м/с 2

При таком ускорении 1,85 м/с 2 с какой скоростью будут двигаться блоки? двигаться после того, как они переместились на расстояние 1.5 м?

v 2 = v o 2 + 2 а (у — у o )

v 2 = 0 2 + 2 (1,85 м/с 2 ) (1,5 м)

v 2 = 5,55 м 2 2

v = 2,36 м/с


Решения дополнительных проблем из четвертого Сервея издание


(4 изд) 10.1 Поворотный стол проигрывателя вращается со скоростью 33 1 / 3 об/мин (об/мин) и останавливается при переключении за 60,0 с выключенный.

Рассчитайте (а) величину его углового ускорения

и (b) количество оборотов, которое он делает до остановки.

= / т

= f i = 0 — 33,3 об. / мин.

= — 33.3 рев / мин [ 1 мин / 60 с ] [ 2 рад / рев ]

= — 3,49 рад/с

= / t = (-3,49 рад/с) / (60 с)

= — 0,058 рад/с/с

2 = o 2 + 2 (- o )

= o + o t + ( 1 / 2 ) t 2

= 0 + (3,49 рад/с)(60 с) + ( 1 / 2 )( — 0.058 рад/с/с )(60 с) 2

= 209,4 рад — 10,44 рад

= 199 рад

= 31,7 об


(4ed) 10.2 Автомобиль движется со скоростью 36 км/ч по прямой дороге. Радиус шин составляет 25 см (0,25 м). Найдите угловую скорость одной из шин. с его осью, принятой за ось вращения.

v = v т = г

= в/р

v = 36 км / час [ 1 час / 3 600 с ] [ 1 000 м / 1 км ] = 10 м / с

= (10 м/с) / (0.25 м)

= 40 1 / с

= 40 рад / с


(4 изд) 10.3 Банка супа имеет массу 215 г, высоту 10,8 см и диаметр 6,38 см. Он находится в состоянии покоя на вершине наклонной поверхности, равной 3,00. м в длину и на высоте 25 o до горизонтали. Используя энергетические методы, рассчитайте момент инерции банки, если она достигает дна за 1,50 с наклона.

v среднее = 3,0 м / 1,5 с = 2 м/с

v f = 2 v сред. = 4 м/с

E i = U i + K i = м г ч i + 0 = мг ч i

E f = U f + K f = 0 + K Tot = K Tot = K Tr + K Rot

K Tot = K Tr + K Rot = (1/2) м v 2 + (1/2) I 2

Е ф = Е и

E f = K Tot = K f = U i = м г ч i = E i

ч i = ( 3.0 м ) sin 25 o = (3,0 м) (0,4226) = 1,268 м

E i = мг ч i = (0,215 кг) (9,8 м/с 2 )(1,268 м) = 2,67 Дж

E f = K Tot = (1/2) (0,215 кг) v 2 + (1/2) I 2 = 2,67 Дж = Е и

v сред. = 3,0 м / 1,5 с = 2,0 м/с

v среднее = (v o + v)/2 = (0 + v )/2 = т/2

v = 2 v среднее = 2 (2.0 м/с) = 4,0 м/с

v = г

= v / r = (4,0 м/с) / (0,0319 м) = 125,4 рад/с

E f = K Всего = (1/2) (0,215 кг) (4,0 м/с) 2 + (1/2) I (125,4 рад/с) 2 = 2,67 Дж = E i

1,72 Дж + (7 862,6 1/с 2 ) I = 2,67 Дж

(7 862,6 1/с 2 ) I = 0,95 Дж

I = 0,000121 Дж с 2

Что такое «J s 2 «?

Дж с 2 = Дж с 2 [ Н·м / Дж ] [ (кг м/с 2 ) / Н ] = кг м 2

и, конечно же, это именно те единицы, которых мы ожидали на мгновение. инерции.

I = 0,000121 кг·м 2

Для уверенности — и для практики — каким будет момент инерции из этого супа может если бы это был твердый цилиндр ?

I = (1/2) M R 2

I = (1/2) (0,215 кг) (0,0319 м) 2

I = 0,00011 кг·м 2

И это довольно близко к значению, которое мы рассчитали для нашей консервной банки. жидкий суп.


(4ed) 10.4 Маховик в форме сплошного цилиндра радиусом R = 0,60 м и массой М = 15 кг можно довести до угловой скорости 12 рад/с за 0,60 с двигателем с постоянным крутящим моментом. После включения двигателя выключено, маховик делает 20 оборотов, прежде чем остановиться из-за трения (считается постоянным при вращении). Какой процент вырабатываемой мощности двигатель используется для преодоления трения?

Для такого твердого цилиндра, вращающегося вокруг своей ЦМ, мы знаем момент инерции

I = (1/2) M R 2

I = (1/2) (15 кг) (0.60 м) 2

I = 2,7 кг м 2

К = (1/2) I 2 = (1/2) (2,7 кг м 2 ) (12 1/с) 2

К = 525 кг·м 2 2 = 525 Дж

W = P t = K + W трение

Вт = P (0,60 с) = 525 Дж + Вт трение

W трение = P трение (0,60 с)

P (0,60 с) = 525 Дж + P трение (0.60 с)

В то время как трение останавливает его, он имеет угловое ускорение из-за трения.

f 2 = o 2 + 2 ( — o )

0 2 = (12 рад/с) 2 + 2 (20 об) [ 2 рад / об ]

0 2 = (12 рад/с) 2 + 2 (40 рад)

= — (144 1/с 2 ) / (80 )

= — 0.573 рад/с 2

Помните, что это угловое ускорение из-за крутящего момента, вызванного трение. Как это связано с мощностью ?

Так же, как P = F v для линейного случая, мы можем написать P = для вращательного случая.

P ф = ф

f = I = (2,7 кг м 2 ) ( — 0,573 рад/с 2 ) = — 1,547 Н·м

P f = ( — 1.547 Н·м)

P f, среднее = (- 1,547 Н·м) среднее

Во время запуска мы нашли

P (0,60 с) = 525 Дж + P трение (0,60 с)

P (0,60 с) = 525 Дж + (- 1,547 Н·м) сред. (0,60 с)

среднее = (1/2) окончательное = (1/2) (12 рад/с) = 6 рад/с

P (0,60 с) = 525 Дж + (- 1,547 Н·м) (6 рад/с) (0,60 с)

Р (0.60 с) = 525 Дж — 5,57 Дж

П (0,60 с) = 519,4 Дж

P = 519,4 Дж / 0,60 с = 866 Вт

Это мощность, подаваемая двигателем. Сколько поглощается трением?

P f = Ш f / т = К / т

Р ф = 525 Дж/т

Мы знаем, что маховик останавливается после 20 оборотов. Но мы не (пока) знаете, что это такое с точки зрения времени .Мы можем найти это из

= о + т

0 = 12 рад/с + ( — 0,573 рад/с 2 ) t

т = (12 / 0,573) с

т = 20,94 с

Р ф = 525 Дж/т

P f = 525 Дж / 20,94 с

P f = 25,1 Вт

Мы сделали всю тяжелую работу. Теперь мы можем легко закончить с

Соотношение = P f / P Tot = P f / Р = (25.1 Вт) / (866 Вт) = 0,0289

Отношение = 0,0289


| Хмвк, ч. 9 | Домашнее задание Задания | Домашняя страница PHY 1350 | Hmwk, ч. 11 |

(с) Дуг Дэвис, 2001 г.; все права защищены

Вращение, крутящие моменты, прецессия


Эта демонстрация, также показанная в мультимедийном руководстве по вращению, иллюстрирует кинетическую энергию вращения .Сначала латунный предмет катится по двум наклонным рельсам, которые поддерживают его, соприкасаясь с его валом. В конце уклона он достигает горизонтальной дорожки, по которой катится по краю. Это происходит примерно при t = 4 с на клипе.

Вертикальные маркеры времени показывают, какое расстояние он проходит за каждую секунду. Спускаясь по рампе, он плавно разгоняется. Обратите внимание, что он внезапно ускоряется, когда достигает горизонтальной дорожки. В этом нет ничего удивительного: относительно центра предмета край движется быстрее, чем поверхность вала (см. качение).Таким образом, когда край касается горизонтальной дорожки, он оказывает на нее силу трения. Тракт оказывает равную и противоположную силу, которая ускоряет его.

Это внезапное ускорение требовало энергии: где она хранилась?

Когда быстро движущееся ребро касается горизонтальной дорожки, часть кинетической энергии вращения преобразуется в кинетическую энергию поступательного движения: на горизонтальной дорожке оно движется быстрее, но вращается медленнее. (Однако также теряется некоторая кинетическая энергия, потому что во время этого процесса будет некоторое занос, поэтому теряется часть энергии.См. раздел о контактных усилиях.)

Теперь перейдем к количественному анализу.

 

Кинетическая энергия вращения

Представим твердое тело, вращающееся с угловой скоростью ω, как Земля на этом рисунке. Мысленно разделим его на набор маленьких масс. Относительно оси вращения единичная масса m радиусом r движется со скоростью

(Возможно, вы захотите пересмотреть круговое движение на этом этапе.) Его кинетическая энергия равна ½ мв 2 . Так представим деление объекта на множество масс m i на расстояниях r i от оси. Каждый имеет v i = r i ω, где ω имеет одинаковое значение для всех масс, поскольку объект (по предположению) является жестким. Таким образом, полная кинетическая энергия вращения равна

    K rot  =  Σ K i  =  Σ ½ m i r i 2 ω 2

где суммирование проводится по всем i.½ ω 2 является общим множителем в каждом члене суммы, поэтому

Это результат для набора дискретных масс m i . Непрерывное тело обычно следует делить на мелкие элементы объема dV. (Возможно, вы захотите пересмотреть исчисление.) Из определения плотности ρ каждый имеет массу

Вместо обычного суммирования мы делаем интеграл (эквивалент суммирования для очень маленьких делений), и мы имеем

и где интегрирование ведется по всему объему, занимаемому рассматриваемым твердым телом.

    Студенты часто спрашивают на этом этапе: «Я знаю, как интегрировать по x, y и т. д., но как мне интегрировать по массе ?» Ответ через плотность, ρ. Чтобы узнать распределение массы, вам нужно знать ρ( r ) или ρ(x,y,z). Итак, мы рассматриваем небольшой элемент объема dV и пишем dm = ρ.dV. Если бы объект имел прямоугольную симметрию, мы могли бы выбрать dV как куб со сторонами dx, dy и dz и написать для этого примера:
    дм = ρ.dV.z = ρ.dx.dy.dz.
    Затем мы просто интегрируем в пределах x, y и z, которые определяют изучаемый объект. Однако для сферы или сплошного цилиндра (относительно их осей) элементами объема будут полые цилиндры относительно оси, и интегрирование будет идти от нулевого радиуса к радиусу сферы.

    В приведенных ниже примерах значение обруча очевидно: вся масса находится на расстоянии r, поэтому I =  mr 2 . Тогда диск вокруг своей оси можно рассматривать как набор обручей толщиной t и шириной dr каждый и массой dm = ρdV = ρ.2πт.р.др. Сферу можно рассматривать как набор дисков с разными радиусами. Прямоугольник и диск примерно такого же диаметра анализируются как наборы стержней. Примеры есть в большинстве учебников. Я скоро выложу кое-что здесь, но отложу, потому что в html сложно писать математику!

Момент инерции

Вот несколько полезных общих случаев, которые вытекают из интегралов, упомянутых выше.

Проблемы с прокаткой

Это одна из головоломок, представленных в мультимедийном учебнике.Две одинаковые банки, одна наполнена водой (низкая вязкость) и одна наполнена медом (высокая вязкость). Какой катится быстрее? Перед просмотром фильма задайте себе следующие вопросы: Предполагая, что их веса одинаковы, что вы можете сказать об их начальной потенциальной энергии? Когда они достигнут дна, у кого будет больше кинетическая энергия вращения? И, следовательно, у кого будет больше поступательной кинетической энергии?

Вы должны быть в состоянии использовать аналогичные аргументы и значения моментов инерции, приведенные выше, чтобы предсказать результаты большинства «гонок», показанных ниже.Но сначала мы могли бы спросить, входит ли в это размер, либо через радиус, либо через массу. На ролике ниже показаны два алюминиевых диска разного размера, но одинаковой массы. Следующая гонка проходит между диском (сплошным цилиндром) и полым цилиндром. Сплошной шар (бильярдный шар) и сплошной диск (из алюминия). И, наконец, сферы разного размера и массы. (два стальных шарика)
Графики выше показывают смещение, скорость и ускорение для линейного движения с постоянным ускорением (слева) и для кругового движения с постоянным угловым ускорением.Просто для практики, давайте выведем новые уравнения (и пересмотрите раздел кинематики, если это кажется трудным!) Если мы рассмотрим движение с постоянным ускорением и вспомним, что α = dω/dt, мы имеем
    ω = ∫ α dt = αt + ω 0
И из ω = dθ/dt мы можем снова проинтегрировать, чтобы получить:
    θ = ∫ ω dt = ½αt 2 + ωt + θ 0
Из двух приведенных выше уравнений мы можем исключить t, чтобы получить
    ω 2 — ω 0 2 = 2α(θ — θ 0 ).
Итак, мы имеем уравнения, полностью аналогичные уравнениям линейной кинематики:
    Ω = Ω 0 + αt и θ = θ 0 + Ω 0 t + ½αt 2 и Ω 2 — ω 0 2 = 2α (θ — θ 0 )
    V = V 0 + AT и S = ​​S 0 + V 0 T + re 0 T + ½ N 2 и V 2 — V 0 2 = 2A (S — S 0 ) .

Как мы видели в предыдущем разделе, силы вызывают ускорения.Чтобы заставить что-то вращаться, мы применяем крутящий момент. Сначала мы дадим определение, а затем объясним, почему это определение логично. Позже мы увидим полную аналогию с законами Ньютона для линейного движения.

Крутящий момент τ определяется

где сила F действует в точке, смещенной на r от оси. Величина крутящего момента определяется выражением

где θ — угол между r и F .(Возможно, вам придется посмотреть раздел перекрестного произведения на странице поддержки по векторам.) Сначала обсудим величину, затем направление.

На фотографиях справа показаны три способа использования гаечного ключа. В первой паре мы сравниваем малое значение r (малый крутящий момент) с большим r и большим τ. Во втором случае мы сравниваем θ = ноль и θ = 90. В первом случае крутящий момент равен нулю. Из опыта вы знаете, что вам нужны большие r, θ = 90 и большие F для получения максимального крутящего момента.

    Крутящий момент также известен как момент силы или иногда просто как момент.r sin θ известен как плечо момента.

Верхний набор диаграмм справа показывает зависимость крутящего момента от угла θ. Максимальный крутящий момент возникает, когда составляющая F под прямым углом к ​​ r максимальна, т. е. когда θ = 90°. На центральном рисунке показана тангенциальная составляющая F , которая равна F sin θ.

Уравнение

можно интерпретировать двумя разными способами, как показано на этих рисунках:
    τ = r (F sin θ)     или     τ = F (r sin θ).
Мы можем представить его как r, умноженное на тангенциальную составляющую F (левый эскиз и уравнение), или как F, умноженное на кратчайшее расстояние (r sin θ) между осью и линией, вдоль которой действует F ( правильный эскиз и уравнение).
Крутящий момент представляет собой вектор
Определение τ = r X F дает направление τ . Он находится под прямым углом к ​​ r и F в смысле правой руки: если вы поместите большой палец правой руки в направлении r , а указательный палец в направлении F , ваш правый средний палец указывает в направлении τ .На второй фотографии показан крутящий момент τ , создаваемый натяжением струны вокруг оси шкива.

В предыдущем уроке мы видели, что первый и второй законы Ньютона для линейного движения объединены в уравнении

Сила имеет тенденцию создавать линейное ускорение, а масса сопротивляется линейному ускорению. При вращении крутящий момент создает угловое ускорение, а момент инерции сопротивляется угловому ускорению .Рассматривая просто вращение вокруг неподвижной оси, мы запишем закон Ньютона для углового движения как

. В этих видеороликах мы видим различных момента τ, которые вызывают различные угловые ускорения α для объектов с одинаковым моментом инерции I. Хотя одна и та же масса прикреплен к струне, силы только примерно равны: сила в примере справа немного меньше, чем слева. (Вы понимаете, почему? Вспомните уравнение движения падающей массы.)

Несмотря на несколько меньшую силу во втором случае, большее смещение точки приложения от оси означает, что крутящий момент в этом случае больше, и поэтому он создает большее угловое ускорение.

В этих видеороликах мы видим эффект изменения момента инерции . Опять же, хотя к струне прикреплена одна и та же масса, силы лишь приблизительно равны, но в этом примере приближение лучше. В этих трех случаях радиус, вокруг которого действует сила, одинаков, поэтому крутящие моменты примерно равны.

В первом фильме вращается алюминиевая трубка. Во втором к нему присоединены массы, увеличивающие его момент инерции.Больше масса, больше I, меньше α. Сравнивая второй и третий фильмы, мы видим, что не только масса, но и распределение масс определяют момент инерции: когда массы находятся на больших радиусах, I больше, а α меньше.


Этот эксперимент показывает важность оси в определении момента инерции. Я настоятельно рекомендую его, чтобы дать вам представление о τ = Iα. Воспользуемся уравнениями для I, приведенными выше.Пусть стержень имеет массу m, радиус r и длину L. Относительно длинной оси стержня его момент инерции равен моменту инерции диска, который составляет всего I long   =  mr 2 /2. (На самом деле возмущения I из-за его изгиба больше, чем это.) Относительно центральной поперечной оси I center   =  mL 2 /12. О поперечной оси в конце I end   =  mL 2 /3. Поскольку L ~ 50*r, это очень сильно влияет на (осциллирующие) угловые ускорения, которые я могу обеспечить в направлениях, показанных стрелками.(Киноверсия находится в учебнике.)

Почему стержень падает быстрее мяча? Или это вопрос с подвохом?

Эта небольшая демонстрация представляет собой загадку, которую я оставляю читателю. Однако, чтобы вы начали, я нарисовал схему.

Момент количества движения: законы Ньютона для вращения

Угловой момент, L L

, частицы с импульсом, P , перемещенные на R от оси вращения L = R x стр .Возьмем производную по времени

    D L / DT = D / DT ( R x P ) = D R / DT X +
+ R x D р /дт

Если ось вращения фиксирована, то d r /dt равно v , что параллельно p , поэтому первый член справа равен нулю.Второй закон Ньютона для линейного движения устанавливает общую силу, F , равной d p /dt, поэтому член справа равен r X F

6 . Применяя это к вращению и используя определение углового момента L , мы получаем, что крутящий момент r  X  F , что является определением крутящего момента

3 τ 90,243 τ 90. Итак, это дает нам еще одну полезную аналогию между линейным и вращательным движением:

    F   =  d p /dt      и       τ   =  3 d

    L 9212 922

Следствием этого является то, что если внешние крутящие моменты равны нулю, угловой момент сохраняется .

Посмотрите на демонстрацию вверху справа. Кресло свободно вращается, что говорит о том, что внешние крутящие моменты малы. Итак, вопросы: когда я рисую на руках,

  • что происходит с моим угловым моментом?
  • что происходит с моей угловой скоростью?
  • что происходит с моей кинетической энергией?

Пусть мой момент инерции равен I Джо  =  mk 2 , где я оцениваю, что k, мой радиус вращения, равен примерно 0.15 м. Моя масса 70 кг, значит

    I Joe   =  mk 2   ~  (70 кг)(0,15 м) 2   ≅  1,6 кг.м 2

Гири, которые я держу, весят по 2,2 кг каждая. Они находятся на расстоянии около 0,8 м от оси вращения, когда мои руки вытянуты, и около 0,15 м, когда мои руки сведены. В этих условиях их моменты инерции равны

.
    I M = MR 2 ~ (2,2 кг) (0,8 м) 2 ≅ 1,4 кг.м 2 (оружия) и
    I M = MR 2 ~ (2.2 кг)(0,2 м) 2   ≅  0,1 кг.м 2    (руки внутрь).

Пренебрегая внешними крутящими моментами

    L начальный   = L конечный

Для этого грубого расчета пренебрегите моментами инерции моих рук и стула, и мы получим

    (I Джо  + 2I m начальное   ~  (I Джо  + 2I’ m конечное

Таким образом, отношение ω конечного начального примерно равно (I Джо + 2I m )/(I Джо + 2I’ m ) ~ 2.Вы можете проверить это, рассчитывая периоды, когда руки находятся в двух положениях (и обратите внимание, что я даю ответ только для одной значащей цифры.

).

А как же кинетическая энергия? K = ½Iω 2 . Используя L = Iω, мы можем записать это как K = ½Lω. Итак, в этом случае моя кинетическая энергия увеличивается примерно в 2 раза, когда я сжимаю руки. Итак, вопрос к вам: Почему моя механическая энергия не сохраняется?

Момент количества движения при столкновениях

В этом примере мяч брошен справа от моей оси, а также (вертикальной) оси, вокруг которой может вращаться стул.Итак, относительно этой оси момент количества движения мяча, брошенного в меня, направлен вниз (или, если хотите, по часовой стрелке, если смотреть сверху).

Рассмотрим угловой момент меня, стула и мяча вокруг этой оси. Поскольку кресло легко поворачивается вокруг этой оси, внешний крутящий момент (через подшипники кресла) дает незначительный угловой импульс, поэтому угловой момент вокруг этой оси сохраняется: после (совершенно неупругого) столкновения мы поворачиваемся вместе.

Произошло второе столкновение, при котором я бросаю мяч, придавая ему угловой момент (всегда около одной оси), направленный вверх (или, если хотите, против часовой стрелки).Результатом является увеличение моего углового момента в нисходящем направлении.

Предупреждение о безопасности: брошенный мяч также имеет угловой момент относительно горизонтальной оси на уровне пола. Если его значение достаточно велико, кресло может опрокинуться назад. Так что сильно не бросай.

Гироскопы

Гироскоп состоит из объекта со значительным угловым моментом, что обычно означает, что он имеет достаточно большой момент инерции и вращается с большой угловой скоростью.Он часто имеет карданное крепление, как в данном случае: его ось установлена ​​с низким моментом трения в раме с осью, расположенной под прямым углом к ​​ней, и это крепление установлено в другой раме, ось которой также находится под прямым углом. , опять же с низким моментом трения. Это позволяет вращать последнюю рамку в любом направлении относительно оси гироскопа без приложения большого крутящего момента к гироскопу.

Следовательно, угловой момент гироскопа (приблизительно) сохраняется в инерциальной системе отсчета.Так, например, идеальный гироскоп, ось вращения которого указывает на далекую звезду, будет продолжать указывать на эту звезду, даже если транспортное средство / самолет и т. Д., В котором он установлен, много раз поворачивается, наклоняется или рыскает.


Прецессия

Применим

к движению быстро вращающегося объекта, такого как колесо в фильме справа.В момент, показанный на верхнем неподвижном изображении под кадром фильма, колесо вращается по часовой стрелке, если смотреть слева, поэтому его угловой момент равен L находится справа, как показывает стрелка. Если мы рассмотрим крутящие моменты вокруг центра колеса, вес не оказывает крутящего момента относительно этой точки, но струна оказывает направленное вверх усилие. F F

перемещенные на R

R
с этого момента, так что крутящий момент τ = R x F из-за строки находится в указанном направлении.Теперь Δ L , изменение по угловому моменту должен быть параллелен τ , поэтому L , лежащий вдоль оси, как показано, должен двигаться наружу к наблюдателю. Далее, крутящий момент всегда (приблизительно) перпендикулярен L , поэтому движение круговое – называется прецессией .

Как быстро он прецессирует? Если мы предположим, что вал горизонтален, то угол dφ, на который он прецессирует за время dt, составит всего

Скорость прецессии пропорциональна крутящему моменту, поэтому увеличенное плечо рычага для веса ускоряет прецессию.Но увеличение скорости вращения ω увеличило бы L и, таким образом, замедлило бы его прецессию.
    Предупреждение: крутящий момент и угловой момент ведут себя иначе, чем некоторые другие векторы в отношении симметрии. Например, представьте себе зеркало, расположенное справа от этой фотографии и направленное нормалью влево. У зеркального отражения колеса момент количества движения будет направлен вправо. По этой причине крутящий момент и угловой момент иногда называют псевдовекторами. То, что они менее реальны, чем, скажем, сила и линейный импульс, можно доказать, указав, что если бы мы изменили направление векторного произведения на π, наши неизмененные уравнения по-прежнему работали бы, но все крутящие моменты и угловые моменты теперь были бы противоположными. направление.Итак, именно по этой причине вы, возможно, захотите прочитать:
Прецессия без векторов

Можем ли мы объяснить прецессию без векторов? Качественно, да. Справа, под фильмом, два кадра из него: посмотрите на верхний. Шнур с правой стороны (на фото) тянет древко вверх, вес древка тянет его вниз. Если бы оно не вращалось, мы знаем, что весь аппарат опрокинулся бы против часовой стрелки: верхняя часть колеса двигалась бы влево, а нижняя вправо.Так как же вращение заставляет его прецессировать, а не падать?

Рассмотрим небольшую часть обода колеса вверху – назовем ее верхней частью и окрасим в красный цвет. В момент верхней фотографии верхняя часть перемещается (в течение очень короткого времени) горизонтально наружу от фотографии с высокой скоростью. Но комбинированный эффект веса и натяжения шнура, как мы упоминали выше, заставляет его двигаться влево. На самом деле, он идет немного влево, но также очень быстро приближается к нам.Просто для этого пояснения предположим, что после того, как он сделает четверть оборота вокруг вала, он выйдет к нам и будет теперь ближайшей к нам частью колеса (и движется вниз), но он будет смещен на осталось совсем чуть-чуть по отношению к левой стороне обода на (верхней) фотографии.

Аналогично рассмотрим небольшую часть обода колеса внизу, и закрасим его зеленым цветом. В момент фотографии нижняя часть перемещается горизонтально внутрь фотографии.На этот раз комбинированный эффект веса и натяжения шнура заставляет его двигаться вправо. Итак, снова предположим, что после того, как он сделает четверть оборота вокруг вала, он уйдет внутрь, от нас и теперь будет самой дальней частью колеса от нас (и движется вверх), но он будет смещен на немного правее по отношению к ободу на верхнем фото.

Итак, после четверти оборота ближайшая часть колеса сместится немного влево, а дальняя сторона колеса немного сместится вправо.Итак, мы все еще смотрим на дно — а затем запускаем фильм — и видим, что именно это и происходит. Две цветные части колеса двигаются, как и ожидалось, из-за их веса и натяжения шнура (то есть внешнего крутящего момента), но у них нет времени двигаться очень далеко из-за их быстрого вращения. Комбинация этих движений и движений всех других частей дает нам прецессию, которую мы видим. Также обратите внимание, что чем быстрее вращается колесо, тем меньше времени есть у частей, чтобы двигаться вбок, поэтому прецессия медленнее, как указано в приведенном выше уравнении.

Это объяснение несколько длиннее приведенного выше векторного объяснения, и оно носит только качественный характер. Поэтому физику или инженеру нужен векторный анализ, и он может использовать его быстро и точно. Возможно, он/она иногда будет использовать качественное объяснение, подобное этому, но это очень медленный путь к исключительно качественному результату.

 

Равномерно вращающиеся нейтронные звезды в случаях глобальной и локальной зарядовой нейтральности

https://doi.org/10.1016/j.nuclphysa.2013.11.001Получить права и содержимое

Abstract

В нашем предыдущем рассмотрении нейтронных звезд мы разработали модель, выполняющую глобальную, а не локальную нейтральность заряда. Для реализации такой модели мы показали существенную роль уравнений Томаса–Ферми, должным образом обобщенных на случай уравнений электромагнитного поля в рамках общей теории относительности, образующих связанную систему уравнений, которую мы назвали Эйнштейном–Максвеллом– Уравнения Томаса–Ферми (ЭМТП).С микрофизической точки зрения, слабые взаимодействия учитываются путем требования стабильности системы β , а сильные взаимодействия — с помощью ядерной модели σ ω ρ , где σ , ω и ρ — медиаторные массивные векторные мезоны. Здесь мы исследуем равновесные конфигурации медленно вращающихся нейтронных звезд, используя формализм Хартла в случае указанных выше уравнений ЭМПФ.Интегрируем эти уравнения равновесия для различных центральных плотностей ρc и круговых угловых скоростей Ω и вычисляем массу M , полярный Rp и экваториальный Req радиусы, угловой момент J , эксцентриситет ϵ , момент инерции I I I , а также квадрупольный момент Q конфигураций. И кеплеров предел потери массы, и осесимметричная вековая неустойчивость используются для построения нового соотношения масса-радиус. Мы вычисляем максимальную и минимальную массы и частоты вращения нейтронных звезд.Мы сравниваем и сопоставляем все результаты для случаев глобальной и локальной зарядовой нейтральности.

Ключевые слова

Ядерная физика

Астрофизика

Нейтронные звезды

Квантовая адродинамика

Теория поля

Рекомендованные статьиСсылки на статьи (0)

Рекомендованные статьи

Ссылки на статьи

Олимпийская физика: прыжки в воду и момент инерции

Прыжки в воду — одно из самых популярных зрелищных мероприятий на Олимпийских играх, изящный вид спорта, сочетающий в себе элементы гимнастики и танцев.Это также отличный пример физики в действии.

Давайте посмотрим на 10-метровое погружение, в котором дайверы прыгают с платформы на высоте 10 метров над водой. Оценка основана на нескольких факторах, включая высоту и сложность погружения, но я сосредоточусь только на вращениях. Давайте посмотрим, как ныряльщик вращается и что важно во время вращения.

Время погружения

Сколько длится погружение с 10-метровой платформы? Это не слишком сложный вопрос.2. Решая время, я получаю 1,42 секунды. Если немного округлить, получится «Не очень долго». Если хотите, вы можете определить эффект, который произведет прыжок вверх для начала погружения. Достаточно сказать, что погружение на 10 метров происходит довольно быстро.

Угловой момент

Большинство людей не понимают, что когда ныряльщик начинает падать, угловой момент остается практически постоянным. Что такое угловой момент? Возможно, нам следует сначала взглянуть на линейный импульс, который обычно называют просто «импульс».

Величина импульса является произведением массы объекта на его скорость. Я говорю «величина», потому что импульс — это вектор, направление которого имеет значение. Для простоты я предположу, что мы имеем дело только с изменением величины. Итак, как изменить величину импульса объекта? Короче говоря, изменение импульса происходит из-за чистой силы, действующей на объект. Я мог бы записать это как:

Здесь я оставил обозначение «y», чтобы было понятно, что это одно направление.Как видите, если результирующая сила равна нулю ньютонов, y-импульс не меняется. Если мы используем это для падающего ныряльщика, то в направлении Y действует сила, поэтому импульс увеличивается по мере падения ныряльщика.

А как насчет углового момента? В каком-то смысле угловой момент похож на линейный, за исключением того, что он имеет дело с вращательным движением. Возможно, было бы лучше назвать это «импульсом вращения». Угловой момент (я буду ссылаться на его традиционное название) также зависит от двух вещей: угловой скорости и момента инерции.Как правило, в учебниках буква L используется для обозначения углового момента, так что величина может быть записана как:

Где ω представляет скорость вращения в радианах в секунду.

Момент инерции

Угловую скорость довольно легко понять. Это всего лишь мера того, насколько быстро вращается объект. А как же момент инерции? Возможно, имеет смысл также назвать это массой вращения. Это свойство объекта затрудняет изменение угловой скорости.Как изменить угловой момент? Вместо чистой силы вам нужен чистый крутящий момент. Принцип углового момента говорит (только для одного направления):

Вращательная инерция и изменение скорости — видео и стенограмма урока

Уравнение: 2-й закон Ньютона

При обычной инерции уравнение, которое говорит вам, насколько сложно ускорить объект, является 2-м законом Ньютона. Это все еще верно для вращательной инерции. Нам просто нужно заменить поступательные величины на вращательные.Таким образом, вместо F = мА мы получаем тау = I -альфа, где тау — крутящий момент (сила на расстоянии), приложенный к объекту, измеряемый в ньютон-метрах, I — момент инерция (или инерция вращения) объекта, измеряемая в килограммах на квадратный метр, а альфа — ускорение вращения объекта, измеряемое в радианах в секунду за секунду.

Итак, вращательная версия 2-го закона Ньютона говорит нам, что объекты с большей инерцией вращения, будь то за счет массы или способа ее распределения, требуют большей силы для увеличения или уменьшения своего вращения.

Но, возможно, это было бы проще, если бы мы рассмотрели пример.

Пример расчета

Давайте представим, что вы сейчас едете НА этой карусели. Вы с каруселью вместе имеете момент инерции в 600 килограммов метров в квадрате, а ваша 10-летняя дочь толкает карусель так, что она разгоняется с 1 радиана в секунду до 5 радиан в секунду, нажав на нее в течение 4 секунд. Какой крутящий момент (сила на расстоянии) ей пришлось приложить, чтобы это произошло?

Прежде всего, давайте запишем то, что мы знаем.Момент инерции (или инерции вращения), 1 , равен 600, и нас просят рассчитать крутящий момент, тау. Мы еще не знаем углового ускорения, альфа, но мы знаем начальную угловую скорость, которая равна 1, и конечную угловую скорость, которая равна 5. Мы также знаем время, которое потребовалось для изменения этой угловой скорости, которая составляет 4 секунды.

Итак, как нам решить эту проблему? Что ж, глядя на 2-й закон Ньютона, крутящий момент будет равен вашему моменту инерции, 600, умноженному на ваше угловое ускорение.Но этот вопрос усложняется тем, что ускорение не дается нам напрямую. В другом уроке мы узнали, что угловое ускорение равно конечной угловой скорости минус начальная угловая скорость, деленная на время, необходимое для этого изменения в секундах. Итак, мы можем рассчитать ускорение, вычислив 5 минус 1, деленное на 4. Это дает нам угловое ускорение 1 радиан в секунду.

Наконец, мы можем подставить это во второй закон Ньютона, и мы получим крутящий момент в 600 ньютон-метров.Что, честно говоря, может быть проблемой для 10-летнего ребенка!

Резюме урока

Инерция на самом деле просто масса. Инерция — это тенденция массы сопротивляться изменению ее движения. Но именно масса оказывает сопротивление. Объектам с массой требуются силы, чтобы заставить их ускоряться или замедляться, потому что они обладают инерцией. Инерция вращения (также известная как момент инерции) — это число, которое показывает, сколько массы имеет вращающийся объект и как она распределена.Объект с большей инерцией вращения труднее разогнать. Любой объект с массой будет иметь инерцию вращения, и это затрудняет ускорение или замедление вращения объекта.

Чтобы получить основное уравнение, которое включает в себя инерцию — 2-й закон Ньютона — для инерции вращения, нам просто нужно заменить поступательные величины на вращательные. Таким образом, вместо F = ma мы получаем тау = I -альфа, где тау — сила, приложенная к объекту, измеряемая в ньютонах, I — момент инерции (или вращательной инерции) объект, измеренный в килограммах на квадратные метры, а альфа — ускорение вращения объекта, измеренное в радианах в секунду за секунду.

Вращательная версия 2-го закона Ньютона говорит нам, что объекты с большей инерцией вращения, будь то из-за массы или способа ее распределения, требуют большей силы для увеличения или уменьшения своего вращения.

Результаты обучения

После завершения этого урока вы должны уметь:

  • Давать определение инерции и инерции вращения
  • Объясните, как использовать 2-й закон Ньютона для решения задач инерции вращения
.

alexxlab

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.