Site Loader

Содержание

Магнитное поле короткого соленоида. Соленоид и электромагнит

Соленоид — это проволочная катушка цилиндрической формы. Его можно представить себе как множество сложенных в стопку круговых витков с током. Силовые линии магнитного поля, создаваемого электри­ческим током в соленоиде, показаны на рис. 6.6. Как видно из этого рисунка, внутри соленоида силовые линии почти прямые. Чем длин­нее соленоид, т.е. чем больше его длина по сравнению с его радиусом, тем меньше кривизна силовых линий внутри соленоида. В таком случае вектор В магнитной индукции поля внутри соленоида будет направлен параллельно его оси. Причем так, что его направление будет связано с направлением тока в соленоиде правилом правого винта. Направим ось х вдоль оси соленоида. При этом проекция вектора магнитной индукции на ось х будет равна его модулю, а все другие его проекции будут равны нулю:

B x =B, B y =B z =0.

Подставим эти проекции вектора В в уравнение (6.12). Получим

Из этого равенства вытекает, что внутри соленоида вектор магнитной индукции не только сохраняет свое направление, но его модуль здесь всюду одинаков. Таким образом, приходим к выводу, что внутри длин­ного соленоида магнитное поле является однородным.

Рис. 6.6. Магнитное поле соленоида

Найдем модуль вектора магнитной индукции поля внутри соленоида при помощи теоремы (6.8) о циркуляции этого вектора. В качестве кон­тура С, по которому будем вычислять циркуляцию вектора магнитной индукции, выберем ломанную линию, изображенную пунктиром на рис. 6.6. Отрезок этой линии длиной l находится внутри соленоида и совпа­дает с одной из силовых линий магнитного поля. Две перпендикулярные этому отрезку прямые начинаются на его концах и уходят в бесконеч­ность. Во всех точках этих прямых вектор магнитной индукции или перпендикулярен им (внутри соленоида), или равен нулю (вне соленои­да). Поэтому скалярное произведение

Вdl в этих точках равно нулю. Таким образом, циркуляция магнитной индукции по рассматриваемому контуру С будет равна интегралу по отрезку силовой линии длиной l. С учетом того, что модуль вектора магнитной индукции есть постоянная величина будем иметь

Пусть число витков соленоида, охватываемых контуром С, равно N. При этом сумма токов, охватываемых контуром, будет равна NI, где I — сила тока в одном витке соленоида. Теорема (6.8) приводит к равенству

Вl = μ o NI ,

из которого найдем магнитную индукцию поля в соленоиде:

В = μ o nI

n-число витков, приходящихся на единицу длины соленоида.

Магнитное поле прямого тока

Рассмотрим магнитное поле, создаваемое электрическим током, теку­щим по тонкому бесконечно длинному проводу. Такая система обладает цилиндрической симметрией. Вследствие этого магнитное поле должно обладать следующими свойствами:

1) на любой прямой, параллельной проводу с током, вектор магнитной индукции должен быть всюду оди­наков;

2) при повороте всего магнитного поля целиком вокруг провода оно не изменяется. В таком случае силовыми линиями магнитного поля должны быть окружности, центры которых лежат на оси провода с то­ком (рис, 6.7), а вектор

В на любой из этих окружностей всюду имеет один и тот же модуль.

При помощи теоремы (6.8) о циркуляции вектора магнитной индук­ции найдем модуль этого вектора. С этой целью вычислим циркуляцию магнитной индукции по одной из силовых линий С, радиус которой ра­вен а. Так как вектор В является касательным к силовой линии, он коллинеарен векторному элементу dl этой линии. Поэтому

где В — модуль вектора магнитной индукции, который, как было сказано, всюду на окружности С один и тот же. Вынесем В за знак интеграла. После интегрирования будем иметь

= В 2p a

Рис. 6.7. Силовые линии магнитного поля прямого токи

Так как контур С охватывает всего один провод с током I, теорема (6.8) приводит к равенству

2p a В = μ o I

Отсюда найдем, что на расстоянии а от бесконечного прямого провода с током I индукция создаваемого им магнитного поля будет

В = μ o I/ (2p a) (6.15)

Как видно из рис. 6.7, направление вектора В и направление тока I связаны правилом правого винта. В том, что это действительно так, нетрудно убедиться при помощи закона Био — Савара — Лапласа.

Взаимодействие токов

Рассмотрим два тонких параллельных друг другу прямых провода с токами I 1 и I 2 (рис. 6.8.). Если расстояние

R между проводами много меньше их длины, то магнитную индукцию поля, создаваемого первым проводом на этом расстоянии, можно найти по формуле (6.15):

В = μ o I 1 / (2p R)

Направление вектора В 1 связано с направлением тока I 1 правилом пра­вого винта. Этот вектор изображен на рис. 6.8.

Рис. 6.8. Взаимодействие токов

Магнитное поле, создаваемое первым током, будет действовать на вто­рой провод с силой Ампера F 21 , которая определяется формулой (5.8):

F 21 = I 2 [l 2 B 1 ]

где l 2 — вектор, длина которого равна длина l рассматриваемого участка второго провода. Этот вектор направлен вдоль провода по направлению тока. Модуль силы (6.17) будет

F 21 = I 2 l B 1 . (6.18)

Подставив выражение (6.16) в формулу (6.18), получим следующее выра­жение для силы, с которой первый провод действует на участок второго провода длины l:

F 21 = μ o I 1 I 2 l / (2p R)

Направление силы F 21 найдем по формуле (6.17). Когда токи I 1 , I 2 текут в одном направлении эта сила будет направлена в сторону первого провода. Сила F 12 , с которой второй провод действует на участок первого провода длины l, равна по модулю и противоположна по направлению силе

F 21 .

Итак, установлено, что параллельные провода с токами, текущими в одном направлении, притягиваются. Нетрудно доказать, что провода с токами, текущими в противоположных направлениях, отталкиваются друг от друга.

При помощи формулы (6.19) определена единица силы тока в СИ. Как известно, эта единица называется ампер. По определению два длинных тонких провода с токами силой в один ампер, расположенные парал­лельно на расстоянии 1 м один от другого, взаимодействуют с силой 2 10 -7 Н на 1 м длины. Подставив эти значения в формулу (6.19), найдем, что магнитная постоянная

m 0 = 4p 10 -7 Н/м.

Единица заряда в СИ — кулон — выражается через единицу силы тока: Кл = А*с. Измерения силы взаимодействия двух точечных зарядов в 1 Кл привели к значению F = 9 10 9 Н при расстоянии между зарядами R = 1 м. Используя эти значения, найдем электрическую постоянную e 0 из закона Кулона

F =| Q 1 Q 2 | /(4pe 0 R 2 )

Интересно отметить, что величина

1/Öe 0 m 0 =3 10 8 м/с

численно равна скорости света в пустоте.

Соленоид представляет собой провод, навитый равномерно в виде спирали на общий цилиндрический каркас (см. рис. 12.14). Произведение (IN) числа витков однослойной намотки соленоида на силу тока, обтекающего витки, называется числом

ампер-витков.

Соленоиды предназначены для создания в небольшом объеме пространства достаточно сильного магнитного поля. При плотной намотке витков поле соленоида эквивалентно полю системы круговых параллельных токов с общей осью. Если диаметр d витков соленоида во много раз меньше его длины (d  l), то соленоид считается бесконечно длинным (или тонким). Магнитное поле такого соленоида практически целиком сосредоточено внутри, причем вектор магнитной индукции внутри направлен вдоль оси соленоида и связан с направлением тока правилом правого винта.

Рис. 12.15

Рассмотрим воображаемый замкнутый контур внутри соленоида (рис. 12.15). Этот контур не охватывает токов, поэтому по теореме о циркуляции

Разобьем этот круговой интеграл на четыре интеграла (по сторонам контура) и учтем, что на отрезках (1-2) и (3-4) вектор перпендикулярен
, поэтому скалярное произведение (,
) здесь обращается в ноль. Индукция поля во всех точках отрезка (2-3) одинакова и равна 23 , а на отрезке (4-1)  41 , причем l 23 = l 41 = l.

Таким образом, обойдя контур по часовой стрелке, получим

Так как l 0, то В 23 = В 41 = В внутри.

Поскольку контур внутри соленоида был выбран произвольно, то полученный результат справедлив для любых внутренних точек соленоида, то есть поле внутри соленоида однородное:

внутри = const.

Чтобы найти величину индукции этого поля, рассмотрим контур L 2 (а –b –c –d –а ), охватывающий N витков с током (рис. 12.15). Согласно теореме о циркуляции (и на основании предыдущих рассуждений), получим соотношение

Поле снаружи бесконечно длинного соленоида очень слабое ( снаружи =0), им можно пренебречь, следовательно,

(12.35)

где n=N/l — число витков, приходящихся на единицу

длины соленоида.

Таким образом, индукция магнитного поля внутри бесконечно длинного соленоида одинакова по величине и направлению и пропорциональна числу ампер-витков, приходящихся на единицу длины соленоида.

Симметрично расположенные витки вносят одинаковый вклад в магнитную индукцию на оси соленоида, поэтому у конца полубесконечного соленоида на его оси магнитная индукция равна половине того значения, которое дает формула (12.35), т.е.

(12.36)

Практически, если (l  d ), то формула (12.35) справедлива для точек в средней части соленоида, а формула (12.36) – для точек на оси вблизи его концов.

Применяя закон Био-Савара-Лапласа, можно найти магнитную индукцию поля соленоида конечной длины (рис. 12.16) в произвольной точке А на его оси:

(12.37)

где
— углы между осью соленоида и радиус- вектором, проведенным из рассматриваемой точки к концам соленоида.

Поле такого соленоида неоднородное, величина индукции зависит от положения точки А и длины соленоида. Для бесконечно длинного соленоида
,
, и формула (12.37) переходит в формулу (12.35).

Найдем индукцию магнитного поля внутри соленоида – катушки, диаметр которой значительно больше ее длины l . Будем считать поле внутри катушки однородным, а вдали от катушки – пренебрежимо малым. Выберем контур обхода L в видепрямоугольника 1-2-3-4 (см. рис.). Найдем сначала циркуляцию вектора В. Запишем интеграл циркуляции в выражение . Разобьем интеграл по контуру L на четыре интеграла: 1-2, 2-3, 3-4, 4-1.

Контур 12341 охватывает N витков катушки в каждом из которых ток I . Таким образом, из теоремы следует, что B×l = m o NI . Отсюда найдем В .

Тема 9. Вопрос 8.

Поток вектора магнитной индукции (магнитный поток)

Представим себе некоторую замкнутую поверхность в магнитном поле. Линии магнитной индукции всегда замкнуты, они не имеют начала и конца, Поэтому количество входящих в поверхность линий будет равно количеству выходящих из нее линий. Магнитный поток пропорционален количеству линий индукции, следовательно, поток будет равен нулю. Равенство нулю магнитного потока через любую замкнутую поверхность свидетельствует о том, что магнитное поле не имеет источников этого поля (магнитных зарядов не существует). Таким образом, магнитное поле является вихревым , т.е. не имеющим источников его образования.

Тема 10. Вопрос 1.

Тема 10. Вопрос 2.

Магнитные силы.

Используя выражение для силы Ампера, найдем силу взаимодействия двух бесконечно длинных прямых проводников с токами I 1 и I 2 .

Мы рассматривали действие проводника с током I 1 на проводник с током I 2 . В соответствии с III законом Ньютона второй проводник действует на первый с такой же силой.

Тема 10. Вопрос 3.

Получение выражения для вращающего момента, действующего на контур с током в магнитном поле.

Учитывая векторный характер этих величин, можно записать общее выражение:

Тема 10. Вопрос 4.

Контур с током в магнитном поле.

Однородное поле.

Таким образом, во внешнемоднородном магнитном поле под действием магнитных сил:

1)свободно ориентированный контур с током будет поворачиваться до тех пор, пока плоскость контура не окажется перпендикулярной линиям индукции, т.е. пока магнитный момент не станет параллельным линиям индукции и

2)на контур будут действовать растягивающие силы.

Неоднородное поле.

В неоднородном магнитном поле кроме указанных выше сил, которые поворачивают и растягивают контур, появляется составляющая сил, которая стремится переместить контур. Если контур оказался ориентированным своим магнитным моментом по полю (как на рисунке), то составляющая силы F 1 будет растягивать контур, а составляющая F 2 будет втягивать контур в область более сильного поля. Если контур окажется в поле таким образом, что его магнитный момент будет направлен против поля, это положение контура будет неустойчивым. Контур развернется по полю, и будет втягиваться в область более сильного поля.

Приведем выражение для силы, действующей на контур с током в неоднородном магнитном поле, индукция которого изменяется только по одной координате х .

Тема 10. Вопрос 5.

Магнитное поле соленоида представляет собой суперпозицию отдельных полей, которые создаются каждым витком в отдельности. Через все витки протекает один и тот же ток. Оси всех витков лежат на одной лини. Соленоид представляет собой катушку индуктивности, имеющую цилиндрическую форму. Эта катушка намотана из проводящей проволоки. При этом витки уложены плотно друг к другу и имеют одном направление. При этом считается, что длинна катушки значительно превышает диаметр витков.

Давайте рассмотрим магнитную индукцию, создаваемую каждым витком. Видно, что индукция внутри каждого витка направлена в одну и ту же сторону. Если смотреть в центр витка, то индукция от его краев будет складываться. При этом индукция магнитного поля между двух соседних витков направлена встречно. Так как она создана одним и тем же током то она компенсируется.

Рисунок 1 — Поле создаваемое отдельными витками соленоида

Если витки соленоида намотаны достаточно плотно, то между всеми витками встречное поле будет компенсировано, а внутри витков произойдет сложение отдельных поле в одно общее. Линии этого поля будут проходить внутри соленоида, и охватывать его снаружи.

Если исследовать магнитное поле внутри соленоида любыми способами, например, с помощью железных опилок то можно сделать вывод, что оно однородно. Лини магнитного поля в этой области представляют собой параллельные прямые. Мало того что они параллельны сами себе но они еще параллельны оси соленоида. Выходя за приделы соленоида, они искривляются и замыкаются снаружи катушки.

Рисунок 2 — Поле создаваемое соленоидом

Из рисунка видно, что поле создаваемое соленоидом похоже на поле, которое создает постоянный стержневой магнит. На одном конце силовые линии выходят из соленоида и этот конец аналогичен северному полюсу постоянного магнита. А в другой они входят, и этот конец соответствует южному полюсу. Отличие же заключается в том, что поле присутствует и внутри соленоида. И если провести опыт с железными опилками, то они втянутся в пространство между витками.

Но если внутрь соленоида вставить деревянный сердечник либо сердечник из любого другого немагнитного материала, то при проведении опыта с железной стружкой картина поля постоянного магнита и соленоида будет идентична. Так как деревянный сердечник не исказит силовые лини, но при этом не даст проникнуть опилкам внутрь катушки.

Рисунок 3 — Картина поля постоянного стержневого магнита

Для определения полюсов соленоида можно использовать несколько методов. Например, самый простой, использовать магнитную стрелку. Она притянется к противоположному полюсу магнита. Если же известно направление тока в витке полюсы можно определить при помощи правила правого винта. Если вращать головку правого винта в направлении тока, то поступательное движение укажет направление поля в соленоиде. А зная, что поле направлено от северного полюса к южному и можно определить, где какой полюс находится.

1611143572-9d260122e1f7b937cc263fb9b1cd060d (Савченко 2008 Задачи по физике) — PDF, страница 52

НайдитеЭДС индукции в спирали. Расстояние между витками спирали одно и то же.11.2.14∗ . На непроводящем кольце массы m и радиуса r равномерно распределен заряд q. Кольцо может свободно вращаться вокруг своей оси. В начальный момент кольцо покоится.

В центральной области кольца радиуса l < rимеется перпендикулярное плоскости кольца магнитное поле, индукция которогоравномерно уменьшается до нуля. Какую угловую скорость приобретет кольцок моменту исчезновения поля? Изменится ли результат, если индукция B будетуменьшаться до нуля неравномерно? Индукцией магнитного поля, создаваемойвращающимся кольцом, пренебречь.♦ 11.2.15∗ . Вне цилиндра радиуса r0 индукция однородного магнитного полянарастает линейно во времени: B = αt. Как должна меняться во времени индукция однородного магнитного поля внутри цилиндра, чтобы электрон двигался поокружности радиуса r > r0 ? При t = 0 электрон покоится.11.2.16∗ . В однородном магнитном поле электрон движется по окружностиопределенного радиуса. Уменьшается или увеличивается радиус кривизны траектории электрона при медленном возрастании индукции магнитного поля?227♦ 11.2.17∗ .

Индукция магнитного поля направлена вдоль оси z и зависит отрасстояния до этой оси так, как изображено на рисунке. На каком расстоянии отоси z вращается электрон, который при возрастании поля остается на своей орбите? Во сколько раз увеличивается энергия этого электрона при десятикратномувеличении индукции поля? Как будут двигаться при возрастании поля электроны, которые двигались по другим круговым орбитам?11.2.18∗ .

На поверхности длинного сплошного непроводящего цилиндра радиуса r равномерно распределен заряд, поверхностная плотность которого σ.Внешнее однородное магнитное поле индукции B направлено вдоль оси цилиндра.Определите угловую скорость вращения цилиндра после «выключения» внешнего поля. Плотность вещества цилиндра ρ.11.2.19∗ . При ускорении зарядов возникают вихревые электрические поля,напряженность которых, если пренебречь излучением, пропорциональна ускорению. Поэтому на движущийся с ускорением a заряд со стороны этих электрических полей действует сила F = mэм a.

Коэффициент пропорциональности mэмможно назвать электромагнитной массой заряда.а. Во сколько раз электромагнитная масса электрона проводимости в длинном соленоиде радиуса 0,1 м с числом витков на единицу длины соленоида 103 м−1больше массы свободного электрона? Сечение провода соленоида 1 мм2 , числоэлектронов проводимости в единице объема материала соленоида 1023 см−3 .б. Какими параметрами должен обладать соленоид, чтобы электромагнитнаямасса электрона в нем была равна массе свободного электрона? Число электроновпроводимости в единице объема материала соленоида 1023 см−3 .11.2.20∗ . Определите электромагнитную массу плоского конденсатора емкости C, заряженного до потенциала V , при равномерно ускоренном движении еговдоль пластин.11.2.21∗ .

Эксперименты на встречных электрон-электронных пучках показали, что заряд электрона распределен в области, размеры которой меньше10−18 м. Оцените верхний предел электромагнитной массы электрона.§ 11.3. Взаимная индуктивность.Индуктивность проводников. Трансформаторы11.3.1. Внутри длинного соленоида с током I находится плоский замкнутыйконтур сечения S, плоскость которого расположена под углом α к оси соленоида.Число витков на единицу длины соленоида n.

Определите магнитный поток черезэтот контур и взаимную индуктивность контура и соленоида.♦ 11.3.2. Виток радиуса r согнули по диаметру под прямым углом и поместиливнутрь длинного соленоида так, что одна из плоскостей оказалась расположенной к оси соленоида под углом α, а другая — под углом π/2 − α. Число витковна единицу длины соленоида n. Чему равна взаимная индуктивность согнутоговитка и соленоида?22811.3.3.

Внутри длинного соленоида соосно ему расположен соленоид радиуса r. Число витков внутреннего соленоида N . Число витков на единицу длинывнешнего соленоида n. Чему равна взаимная индуктивность этих соленоидов?♦ 11.3.4∗ . Короткий соленоид радиуса R расположен вокруг длинного соленоида радиуса r. Оси соленоидов совпадают. Число витков на единицу длины длинного соленоида n, число витков короткого соленоида N . Через короткий соленоидтечет ток I = I0 sin ωt. Определите напряжение на концах длинного соленоида.11.3.5.

а. Чему равна индуктивность соленоида радиуса r и длины l r?Число витков на единицу длины соленоида n.б∗ . Получите формулу для индуктивности соленоида, не пренебрегая влиянием на индуктивность массы электрона me . Сечение провода соленоида S, числоэлектронов проводимости в единице объема проводника ne . Можно ли пренебречьэтим влиянием на индуктивность катушек, используемых в радиотехнике?11.3.6∗ . Внутренний радиус обмотки длинного соленоида r1 = 0,05 м, внешний радиус r2 = 0,1 м, число витков на единицу длины соленоида n = 10 000.Определите индуктивность единицы длины соленоида.11.3.7.

Объем длинного тонкостенного соленоида v = 10 л, индуктивностьL = 0,01 Гн. На соленоид подали напряжение V = 10 В. Через какое времяпосле подачи напряжения индукция магнитного поля в соленоиде станет равнойB = 0,1 Тл?11.3.8. Определите индуктивность единицы длины двухпроводной линии,состоящей из двух тонких плоских шин ширины d = 0,1 м, расположенных нарасстоянии h = 5 мм друг от друга. По шинам текут равные по модулю, нопротивоположно направленные токи.11.3.9∗ . Двухпроводная линия состоит из двух коаксиальных тонких цилиндрических оболочек радиуса r1 и r2 (r1 < r2 ). Пространство между ними заполнено веществом с магнитной проницаемостью µ. Найдите индуктивность линиина единицу длины.

По оболочкам текут равные по модулю, но противоположнонаправленные токи.♦ 11.3.10∗ . На оси тонкой проводящей цилиндрической оболочки радиуса r1 расположен провод радиуса r2 , магнитная проницаемость которого µ1 . Пространство между ними заполнено веществом с магнитнойпроницаемостью µ2 . Найдите индуктивность линии наединицу длины. Ток в проводе равномерно распределенпо сечению, равен по модулю и противоположен по направлению току цилиндрической оболочки.11.3.11∗ .

Найдите индуктивность на единицу длины двухпроводной линии. Линия состоит из двух параллельных прямых проводов радиуса r, расстояние между15∗229осевыми линиями которых h r. По проводам текут равные по модулю, но противоположно направленные токи. Магнитного поля внутри проводов нет.11.3.12. Все размеры проводника увеличили в k раз. Во сколько раз изменится индуктивность проводника?♦ 11.3.13.

Чему равна индуктивность двухдлинных соленоидов радиуса r1 и r2 , соединенныхтак, как показано на рисунке? Внутренний соленоид имеет длину l1 , внешний l2 . Число витков наединицу длины внутреннего соленоида n1 , внешнего n2 . Рассмотрите случаи, когда направления токов в витках обоих соленоидоводинаковы и противоположны.11.3.14. Цепь состоит из двух последовательно соединенных катушек индуктивности L1 и L2 .

Взаимная индуктивность катушек L12 . Найдите полнуюиндуктивность цепи.11.3.15∗ . На один сердечник намотаны две катушки. Индуктивность каждойиз катушек в отдельности L1 и L2 . Чему равна их взаимная индуктивность?Рассеянием магнитного поля пренебречь.♦ 11.3.16∗ . В первичной обмотке трансформатора течет ток I = I0 sin ωt. Магнитныйпоток, создаваемый этим током, практическиполностью проходит через железный сердечниктрансформатора. Магнитная проницаемостьсердечника µ. Определите ЭДС индукции вовторичной разомкнутой обмотке, если числовитков в первичной обмотке N1 , а во вторичной N2 .

Какое напряжение подается на первичную обмотку? Сечение сердечникатрансформатора S. Эффективная длина сердечника l.11.3.17. Ток в первичной обмотке трансформатора равномерно увеличивают. По какому закону меняется напряжение во вторичной обмотке?11.3.18. Покажите, что в идеальном трансформаторе с замкнутой накоротковторичной обмоткой имеет место соотношение I1 /I2 = N2 /N1 , где I1 и I2 — токи,а N1 и N2 — число витков в обмотках.11.3.19∗ .

а. Почему опасно замыкание хотя бы одного витка вторичной обмотки трансформатора?б. Замыкание витка вторичной обмотки приводит иногда к выходу из строяпервичной обмотки трансформатора. Почему это происходит?♦ 11.3.20. Объясните устройство лабораторногорегулировочного трансформатора, изображенного нарисунке. Как меняется напряжение на выходе трансформатора при перемещении контакта K влево?11.3.21.

Почему нагруженный трансформаторгудит? Какова основная частота звука, если трансформатор включен в промышленную сеть?11.3.22. Зачем сердечник трансформатора собирают из отдельных пластин?11.3.23. Для питания электрического звонка пользуются понижающимтрансформатором. Почему обычно кнопка звонкавключена во вторичную цепь, а первичная остается постоянно подключенной к сети?♦ 11.3.24. На железный сердечник намотаныдве катушки. Магнитный поток, создаваемыйкаждой катушкой, не выходит из сердечника и делится поровну в его разветвлениях. При включении катушки 1 в цепь переменного тока с напря230жением 40 В напряжение на катушке 2 равно 10 В.

Какое напряжение будет наразомкнутых зажимах катушки 1, если катушку 2 включить в цепь переменноготока с напряжением 10 В?11.3.25∗ . Имеются два одинаковых идеальных трансформатора с одинаковым коэффициентом трансформации 1 : 3. Первичная обмотка одного из нихсоединена последовательно со вторичной второго, и свободные концы этих обмоток включены в сеть переменного тока с напряжением 100 В. Вторичная обмоткапервого трансформатора последовательно соединена с первичной обмоткой второго.

§ 4. Длинный соленоид . Том 2. Электромагнетизм и материя

Еще пример. Рассмотрим опять бесконечно длинный соленоид с током по окружности, равным nI на единицу длины. (Мы считаем, что имеется n витков проволоки на единицу длины, несущих каждый ток I, и пренебрегаем небольшими зазорами между витками.)

Точно так же, как мы выводили «поверхностную плотность заряда» ?, определим здесь «поверхностную плотность тока» J, равную току на единице длины по поверхности соленоида (что, конечно, есть просто среднее j, умноженное на толщину тонкой намотки). Величина J здесь равна nI.

Фиг. 14.4. Длинный соленоид с поверхностной плотностью тока J.

Этот поверхностный ток (фиг. 14.4) имеет компоненты

Мы должны теперь найти А для такого распределения токов.

Прежде всего найдем Ахв точках вне соленоида. Результат такой же, как электростатический потенциал вне цилиндра с поверхностным зарядом:

где ?0=-J/c2. Мы не решали случай такого распределения заряда, но делали нечто похожее. Это распределение заряда эквивалентно двум жестким цилиндрам, состоящим из зарядов, один из положительных, другой из отрицательных, с малым относительным смещением их осей в направлении у. Потенциал такой пары цилиндров пропорционален производной по у от потенциала одного однородно заряженного цилиндра. Мы, конечно, можем вычислить константу пропорциональности, но пока не будем возиться с этим.

Потенциал заряженного цилиндра пропорционален lnr‘; потенциал пары тогда равен

Итак, мы знаем, что

(14.25)

где К — некоторая константа. Рассуждая точно так же, найдем

(14.26)

Хотя мы раньше говорили, что вне соленоида магнитного поля нет, теперь мы находим, что поле А существует и циркулирует вокруг оси z (см. фиг. 14.4). Возникает вопрос: равен ли нулю его ротор?

Очевидно, Вх и Вy равны нулю, а

Итак, магнитное поле вне очень длинного соленоида действительно равно нулю, хотя векторный потенциал нулю не равен.

Мы можем проверить наш результат, прибегнув к другим соображениям. Циркуляция векторного потенциала вокруг соленоида должна равняться потоку В внутри катушки [уравнение (14.11)]. Циркуляция равна А·2?r‘ или, поскольку А=К/r‘, она равна 2?К. Заметьте, что циркуляция не зависит от r’. Так и должно быть, если В вне соленоида отсутствует, потому что поток есть просто величина В внутри соленоида, умноженная на ?а2. Он один и тот же для всех окружностей с радиусом r’>а. Раньше мы нашли, что поле внутри равно nI/?0c2, поэтому мы можем определить константу К:

или

Итак, векторный потенциал снаружи имеет величину

(14.27)

и всегда перпендикулярен вектору r‘.

Мы говорили о соленоидальной катушке из проволоки, но такое же поле мы могли бы создать, вращая длинный цилиндр с электростатическим зарядом на поверхности. Если у нас есть тонкий цилиндрический слой радиуса а с поверхностным зарядом ?, то вращение цилиндра образует поверхностный ток J=?v, где v=a? — скорость поверхностного заряда. Внутри цилиндра тогда будет магнитное поле B=?a?/?0с2.

Теперь можно поставить интересный вопрос. Предположим, что перпендикулярно к оси цилиндра мы поместили короткий отрезок проволоки W от оси до поверхности и прикрепили ее к цилиндру так, что проволока вращается вместе с ним (фиг. 14.5).

Фиг. 14.5. Вращающийся заряженный цилиндр создает внутри себя магнитное поле. Короткая проволока, закрепленная вдоль радиуса, вращаясь вместе с цилиндром, приобретает на своих концах индуцированные заряды.

Эта проволока движется в магнитном поле, так что сила v?B приведет к тому, что концы проволоки зарядятся (они будут заряжаться до тех пор, пока поле Е зарядов не уравновесит силы v?B). Если цилиндр заряжен положительно, то конец проволоки вблизи оси будет иметь отрицательный заряд. Измеряя заряд на конце проволоки, мы могли бы определить скорость вращения системы. Мы получили бы «угловой скоростемер» (или «угловой ситометр»)!

Но вы, наверно, засомневаетесь: «А что, если я сам перейду,— скажете вы,— в систему координат вращающегося цилиндра? Там заряженный цилиндр покоится, а я знаю из электростатических уравнений, что внутри цилиндра никакого поля не будет, не будет и силы, толкающей заряды к центру. Поэтому здесь что-то не так?» Нет. Все правильно. «Относительности вращения» не существует. Вращающаяся система — не инерциальная система, и законы физики в ней другие. Мы должны пользоваться уравнениями электромагнетизма только в инерциальных системах координат.

Было бы здорово, если бы смогли измерить абсолютное вращение Земли с помощью такого заряженного цилиндра, но эффект, к несчастью, настолько мал, что его невозможно наблюдать даже с помощью самых тонких современных приборов.

Магнитное поле соленоида — презентация онлайн

1. 2.7. Магнитное поле соленоида

• Применим
теорему о циркуляции вектора B
( Bd l μμ 0 I i )
для вычисления
простейшего магнитного поля
– бесконечно длинного соленоида,
представляющего собой тонкий провод,
намотанный плотно виток к витку на
цилиндрический каркас

Соленоид можно представить в виде системы
одинаковых круговых токов с общей прямой осью.
Бесконечно длинный соленоид симметричен
любой, перпендикулярной к его оси плоскости.
Взятые попарно (рис. 2.12), симметричные
относительно такой
плоскости витки создают поле, в
котором вектор B перпендикулярен плоскости витка,
т.е. линии магнитной индукции имеют направление
параллельное оси соленоида внутри и вне его.
• Рис. 2.12
• Из параллельности вектора B оси соленоида
вытекает, что поле как внутри, так и вне
соленоида должно быть однородным.
• Возьмём воображаемый прямоугольный контур 1–
2–3–4–1 и разместим его в соленоиде, как
показано на рис. 2.13.
Рис. 2.13
2
3
4
1
1
2
3
4
Bl dl Bl dl Bl dl Bl dl Bl dl.
L
• Второй и четвёртый интегралы равны нулю, т.к.
вектор B перпендикулярен направлению обхода,
т.е . Bl 0
• Возьмём участок 3–4 – на большом
расстоянии от соленоида, где поле
стремится к нулю; и пренебрежём третьим
2
интегралом, тогда
B dl B dl I ,
l
l
0
i
1
• где Bl B – магнитная индукция на участке
1–2 – внутри соленоида,μ – магнитная
проницаемость вещества.
• Если отрезок 1–2 внутри соленоида, контур
охватывает ток:
nlI
I,
i
• где n – число витков на единицу длины, I – ток в
соленоиде (в проводнике).
• магнитная индукция внутри соленоида
• Вне соленоида:
и
B 0 nI .
B
d
l
Bl
0
I
0
l
i
, т.е. .B
0
• Бесконечно длинный соленоид аналогичен
плоскому конденсатору – и тут, и там поле
однородно и сосредоточено внутри.
• Произведение nI – называется число ампер
витков на метр.
• У конца полубесконечного соленоида, на его
оси магнитная индукция равна:
1
B μμ 0 nI .
2
(2.7.2)
Если же катушка короткая, что обычно и бывает
на практике, то магнитная индукция в любой
точке А, лежащей на оси соленоида, направлена
вдоль оси (по прав. буравчика) и численно равна
алгебраической сумме индукций магнитных полей
создаваемых в точке А всеми витками. В этом
случае имеем:
В точке, лежащей на середине оси конечного
соленоида магнитное поле будет
максимальным:
Bmax μ 0μnI
L
4R L
2
где L – длина соленоида, R – диаметр витков.
2
,
(2.7.3)
• В произвольной точке конечного соленоида
(рис. 2.14) магнитную индукцию можно найти по
формуле
1
B μ 0μnI (cosα1 cosα 2 ).
2
Рис. 2.14

На рис. 2.15 изображены
силовые линии
магнитного поля B : а) металлического стержня;
б) соленоида; в) железные опилки, рассыпанные
рассыпанные на листе бумаги, помещенной над
магнитом, стремятся вытянуться вдоль силовых
линий; г) магнитные полюсы соленоида.
Рис. 2.15
dA FA dx IBl dх
dA I ( B ldx cosα)
dA I dΦ

15. 2.9. Работа по перемещению проводника с током в магнитном поле


2.9. Работа по перемещению
проводника с током в магнитном поле
Рассмотрим контур с током, образованный
неподвижными проводами и скользящей по ним подвижной
перемычкой длиной l
Этот контур находится
во внешнем однородном
магнитном поле B , перпендикулярном к плоскости
контура. При показанном на рисунке направлении тока I,
вектор B сонаправлен с n.
Рис. 2.17
На элемент тока I (подвижный провод) длиной l
действует сила Ампера, направленная вправо:
F IlB.
Пусть проводник l переместится параллельно
самому себе на расстояние dx. При этом
совершится работа:
dA Fdx IBldx IBdS IdФ.
• Итак,
dA IdФ.
(2.9.1)
• Работа, совершаемая проводником с
током при перемещении, численно равна
произведению тока на магнитный
поток, пересечённый этим проводником.
• Формула остаётся справедливой, если
проводник любой формы движется под
любым углом к линиям вектора магнитной
индукции.
• Выведем выражение для работы по
перемещению замкнутого контура с током в
магнитном поле.
• Рассмотрим прямоугольный контур с током 1-2-3-41 (рис. 2.18). Магнитное поле направлено от нас
перпендикулярно плоскости контура.
Магнитный поток Ф1
,
пронизывающий контур,
направлен по нормали к
контуру, поэтому
.
Ф1 0
рис. 2.18
• Переместим этот контур параллельно самому себе
в новое положение 1′-2′-3′-4′-1′. Магнитное поле в
общем случае может быть неоднородным и новый
контур будет пронизан магнитным потоком Ф2 .
• Площадка 4-3-2′-1′-4, расположенная между старым и новым контуром, пронизывается потоком .
Ф’
• Полная работа по перемещению контура в
магнитном поле равна алгебраической
сумме работ, совершаемых при
перемещении каждой из четырех сторон
контура:
A A12 A23 A34 A41 ,
• Где A23 , A41 равны нулю, т.к. эти стороны не
пересекают магнитного потока, при своём
перемещение (очерчивают нулевую
площадку).
A34 I (Ф ‘ Ф2 )
• Провод 1–2 перерезает поток (Ф1 Ф’ ), но
движется против сил действия магнитного
поля.
А12 I (Ф1 Ф ‘ )
• Тогда общая работа по перемещению
контура:
А I (Ф2 Ф1 ), или А I Ф,
• Здесь Ф2 Ф1 ΔФ – это изменение
магнитного потока, сцепленного с
контуром.
• Работа, совершаемая при перемещении
замкнутого контура с током в магнитном
поле, равна произведению величины
тока на изменение магнитного потока,
сцепленного с этим контуром.
dA IdФ.
• Выражения (2.9.1) и (2.9.5) внешне
тождественны, но физический смысл
величины dФ различен.
(2.9.5)

Соотношение (2.9.5), выведенное нами для
простейшего случая, остаётся
справедливым для контура любой формы в
произвольном магнитном поле.
• Более того,
если контур неподвижен, а
меняется B , то при изменении магнитного
потока в контуре на величину dФ, магнитное
поле совершает ту же работу
dA IdФ.

24. 2.10. Эффект Холла


Одним из проявлений магнитной
составляющей силы Лоренца в веществе
служит эффект, обнаруженный в 1879 г.
американским физиком Э.Г. Холлом (1855–
1938).
Эффект Холла состоит в
возникновении на боковых гранях
проводника с током, помещенного в
поперечное магнитное поле, разности
потенциалов, пропорциональной
величине тока I и индукции магнитного
поля В.

25. Эффект Холла

f
Обусловлен действием Лоренцевой силы
на свободные заряды в проводнике.
Представим себе проводник в виде плоской ленты,
расположенной в магнитном поле с индукцией B
направленной от нас (Рис. 10.9).
В случае а) верхняя часть проводника будет
заряжаться отрицательно, в случае б) положительно.
• Это позволяет экспериментально определить
знак носителя заряда в проводнике.
• При равной концентрации носителей заряда
обоих знаков возникает холловская разность
потенциалов, если различна подвижность, т.е.
дрейфовая скорость носителей заряда.
• Подсчитаем величину холловской разности
потенциалов (Uх).
• Обозначим: Ex – напряженность
электрического поля, обусловленного ЭДС
Холла, h – толщина ленты проводника.
U x E x h.
(2.10.1)
• Перераспределение зарядов прекратится,
когда сила qEx уравновесит лоренцеву силу,
т.е.
или
qE x q B
E x B .
j
• Плотность тока j nυq , отсюда υ
.
nq
j
• Тогда E B
.
x
nq
• Подставим Ex в (2.10.1) и найдем Ux:
jBh
BhI BI RBI
или U x
,(2.10.2)
•U x
nq
nqS qna
a
• Где
R 1 / qn
– коэффициент Холла.
холловская разность потенциалов
BI RBI
Ux
a
qna
Где
R 1 / qn
– коэффициент Холла.
Исследования ЭДС Холла
привели к удивительным выводам:
Металлы могут обладать
проводимостью р –типа (Zn, Cd – у
них дырки более подвижные, чем
электроны).
• Это металлы с чуть
перекрывающимися знаками, т.е.
полуметаллы.
Из формулы 10.6.3 можно вывести
число носителей заряда.
IB
n
qaU x
(10.6.4)
Итак, измерение Холловской
разности потенциалов позволяет
определить:
1)знак заряда;
2)количество носителей.
Электрическое
поле
Формулы и
обозначения
Магнитное
поле
Точечный заряд
q
Ток
Электрическая
постоянная
ε0
Магнитная
постоянная
μ0
Диэлектрическая
проницаемость
ε
Магнитная
проницаемость
μ
χ ε 1
Магнитная
восприимчивость
i μ -1
q1q2
Взаимодействие
токов
μ 0μ 2 I1I 2
F
4π r
Диэлектрическая
восприимчивость
Взаимодействие
точечных зарядов
Силовая
характеристика
электрич. поля
Принцип
суперпозиции
F
1
4 0 r 2
F
E
q
Е Еk
k
Силовая
характеристика
магнитного поля
Принцип
суперпозиции
Формулы и
обозначения
I
M max
B
Pm
B Bk
k
Электрическое
поле
Формулы и
обозначения
Магнитное
поле
Поляризованностъ
P χε 0 E
Намагниченность
Электроемкость
проводника
q
C
φ
Индуктивность
катушки
Энергия
заряженного
конденсатора
2
Φ
L
I
2
CU
q
W
2
2C
Энергия катушки с
током
ED ε 0 E 2
w
2
2
q
Поток вектора E ФE EdS
ε0
сквозь поверхн. S
S
Объемная
плотность энергии
Объемная
плотность энергии
Циркуляция
вектора E
Edl 0
L
Поток вектора
сквозь
поверхность S
Циркуляция
Вектора В
Формулы и
обозначения
J
B
μ0
LI 2
W
.
2
BH μ 0 H 2
w
2
2
B
ФB BdS 0
S
Bdl μ 0 I
L

Физика для науки и техники II

от Office of Academic Technologies на Vimeo.

Пример. Магнитное поле идеального соленоида

Ранее мы рассчитали магнитное поле, создаваемое длинным прямым проводом с током. Когда мы рассматривали бесконечно длинный провод, по которому течет ток i, этот ток создавал магнитное поле на некотором расстоянии r от провода, и магнитное поле было равно Mu нулю i на протяжении 2 Pi r.Мы видели, что геометрия силовых линий магнитного поля была такова, что они имели форму концентрических окружностей, а затем ложились вдоль плоскостей, перпендикулярных проволоке. Таким образом, в этом месте магнитное поле, создаваемое этим током, было направлено в плоскость. Мы нашли в результате как закона [НЕРАЗБОРЧИВО], так и закона Ампера. Когда мы смотрим на этот результат здесь, мы видим, что магнитное поле прямо пропорционально току. Другими словами, если мы увеличим ток, то получим большее магнитное поле.Поэтому, если нашей целью является создание очень сильного магнитного поля в этой точке, мы просто увеличиваем ток, протекающий по проводу.

Очевидно, чтобы иметь возможность это сделать, чтобы увеличить ток, иначе говоря, через провод, мы прикладываем все большую и большую разность потенциалов между двумя концами провода. Проблема с этой операцией в том, что мы всегда получаем верхний предел. Другими словами, если мы применяем разность потенциалов выше некоторого определенного предельного значения для данной среды, мы можем легко разрушить электрические свойства этой среды.Следовательно, увеличивая ток, мы можем увеличить магнитное поле до некоторой определенной точки, но мы не можем превысить или выйти за пределы этого предельного значения.

Тогда возникает проблема с созданием очень сильного магнитного поля с использованием того же количества тока. Можем ли мы это сделать? И ответ на этот вопрос – да. На самом деле, это можно сделать очень просто, взяв проволоку и скрутив ее в спираль. Что-то вроде этого. Как пружина. Когда ток пропускают через эту систему, как мы видим, он будет входить в плоскость в этой точке, с точки зрения поперечного сечения, и выходить из плоскости из нижней части, и он будет течь и входить в самолет здесь и выходит из самолета в этой точке, и так далее, и тому подобное.

Если мы посмотрим на это изображение с точки зрения поперечного сечения, то мы получим примерно такую ​​систему. Когда мы срежем его вертикально с точки зрения поперечного сечения, мы получим верхнюю ветвь, что-то вроде этой, и нижнюю ветвь. Если верхняя ветвь переносит ток не в плоскости, то нижняя ветвь будет переносить ток в плоскости примерно так. Так что в трехмерном смысле ток выходит из плоскости здесь и входит в плоскость там.Ниже плоскости она движется в этом направлении, выходит и входит в плоскость вот так, и так далее, и тому подобное.

Поэтому, когда мы смотрим на систему, мы можем рассматривать ее как группу токовых петель, которые генерируют определенное магнитное поле. Если мы посмотрим на каждый из этих потоков отдельно и применим правило правой руки, удерживая большой палец правой руки, направленный вне плоскости, мы увидим, что пальцы правой руки будут вращаться вокруг большого пальца против часовой стрелки. Следовательно, на этой плоскости этот ток будет генерировать силовые линии магнитного поля, вращающиеся против часовой стрелки.Так и следующий, а затем следующий, следующий, и так далее, и так далее.

Если провести аналогичный анализ для нижних ветвей, по которым ток идет в плоскость, то удерживая большой палец, направленный в плоскость, и обведя вокруг большого пальца пальцы правой руки, мы увидим, что в этом В этом случае линии магнитного поля, создаваемые этим током, будут иметь форму концентрических окружностей, и они будут вращаться по часовой стрелке. Так и следующий, следующий, следующий и так далее и тому подобное.

Ну, конечно, эти витки расположены очень близко друг к другу, и в результате этого магнитное поле, создаваемое вот этим током, будет перекрываться со следующим, а затем оно будет перекрываться со следующим, а затем оно будет перекрываться. со следующим. В результате этого все магнитные поля, создаваемые каждым витком, будут добавляться к следующему, а затем возвращаться за пределы этой формации и замыкаться на себе. Поскольку мы знаем, что у нас не может быть открытых силовых линий магнитного поля, они всегда замыкаются сами на себя.Точно так же будет перекрываться нижняя ветвь. Магнитное поле, создаваемое каждым витком, будет добавляться к следующему и генерировать силовые линии примерно так. В результате этого формирования мы получим геометрию силовых линий магнитного поля, когда эти силовые линии в конце концов замыкаются друг на друга вдоль этих направлений.

Теперь мы можем видеть, что геометрия силовых линий такой текущей геометрии будет очень похожа на случай стержневых магнитов. Если мы вспомним простой стержневой магнит с северным полюсом здесь и южным полюсом здесь, то геометрия силовых линий такого магнита была очень похожа на геометрию силовых линий, которую мы получаем, если поместить провод в спиральную форму этого магнита. тип.Как вы помните, для магнитов мы сказали, что обычное направление силовых линий магнитного поля таково, что они выходят из северного полюса и входят в южный полюс.

В этом смысле формация здесь становится такой, что этот конец соответствует северному полюсу магнита, а затем этот конец соответствует южному полюсу. На самом деле мы можем легко определить, какой конец будет северным, а какой снова южным, применяя правило правой руки. Если мы просто согнем пальцы правой руки в направлении, в котором протекает ток, то есть в данном случае он будет входить и выходить перпендикулярно плоскости экрана, а ток будет течь против часовой стрелки, и удерживая большой палец снова в открытом положении, мы увидим, что большой палец будет указывать вправо.Поэтому правый конец формации будет соответствовать северному полюсу. Тогда другая рука будет естественно соответствовать южному полюсу такого магнитного устройства.

Мы называем такие системы соленоидами. Попробуем определить магнитное поле соленоида. Что-то вроде этого. Применяя закон Ампера. Магнитное поле, скажем, идеального соленоида. Под идеальным соленоидом мы подразумеваем магнитное поле, как вы помните, касательное к силовым линиям, проходящим через интересующую точку.Таким образом, внутри соленоида у нас будет самое сильное магнитное поле, потому что количество силовых линий, проходящих через единицу площади, связано с силой магнитного поля, и мы можем легко увидеть, что оно самое сильное на концах, а также внутри. соленоида, потому что эта числовая плотность будет одинаковой, пока мы находимся внутри соленоида. Как только мы покинем соленоид и уйдем от него, например, в этой области, мы увидим, что тангенс b будет примерно таким.По мере удаления от соленоида наружу напряженность магнитного поля будет уменьшаться, потому что количество линий, проходящих через единицу поверхности, будет становиться все меньше и меньше.

Если мы обозначим длину соленоида как l, а его диаметр как d, когда l намного больше, чем d, тогда b out становится очень маленьким, и мы можем рассматривать это так, как если бы оно стремилось к нулю. Если b out равно нулю, то мы называем этот тип соленоида идеальным соленоидом. Поэтому для идеального соленоида напряженность магнитного поля вне соленоида можно принять равной нулю.Для такого случая попробуем определить магнитное поле внутри этого идеального соленоида. Чтобы сделать это, мы применим закон Ампера, и, как мы помним, закон Ампера был проинтегрирован по замкнутому контуру e dot d l, равный нулю Mu, умноженному на i.

Хорошо. Скажем, снова l представляет длину соленоида, а заглавная буква N представляет количество витков соленоида. Малый n — это число витков, и это просто общее количество витков, деленное на общую длину соленоида.Чтобы иметь возможность применить этот закон, мы должны выбрать замкнутый контур. В этом случае предположим, что наша точка интереса находится в этом месте. Мы хотим определить магнитное поле в этой точке p, которая находится внутри соленоида, и мы выберем замкнутый контур в виде прямоугольника, проходящего через эту точку p и совпадающего с магнитным полем линия, проходящая через эту точку.

В этот момент соответствующая линия магнитного поля будет направлена ​​слева направо, примерно так.Поэтому мы выбираем нашу петлю так, чтобы одна сторона прямоугольной петли совпадала с линией магнитного поля в точке, и здесь магнитное поле будет касаться этой линии. Следовательно, вдоль этой линии в этой точке магнитное поле будет направлено слева направо вот так. Одна сторона петли, которую мы выбираем, совпадает с магнитным полем или с линией магнитного поля, а другая сторона петли находится вне соленоида.

d l, инкрементальный вектор смещения, находится вдоль контура, поэтому на этом отрезке он будет таким.На этом отрезке будет так. Вектор приращения смещения для внешнего сегмента указывает влево, а для этого сегмента будет направлен вниз.

Хорошо. Когда мы смотрим на эту петлю, мы видим, что она состоит из четырех сегментов. А именно, это сегмент 1, сегмент 2, сегмент 3, сегмент 4. Таким образом, это интегрирование с обратной связью e точка d l. Мы можем выразить это как интегралы по путям вдоль каждого из этих сегментов и, наконец, сложить их вместе, чтобы получить интегрирование с обратной связью.Другими словами, мы можем выразить этот интеграл, левую часть, как интеграл по первому сегменту b dot d l. Запишем это в явном виде. Для первого отрезка b указывает вправо, d l также указывает вправо, поэтому угол между ними равен нулю градусов, поэтому для этого отрезка мы имеем b d l, умноженный на косинус угла между ними, и это косинус нуля. Здесь я должен избавиться от этого круглого знака, потому что этот интеграл принимает открытый путь или открытую линию по сегменту 1.Другими словами, это не замкнутая интеграция с этой формой.

Плюс интеграл второго сегмента. Когда мы смотрим на интеграл по второму сегменту, некоторые части второго сегмента находятся внутри соленоида, тогда как некоторые части находятся снаружи соленоида. Поэтому мы можем разделить этот интеграл на два отрезка, сказав, что интеграл отсюда туда. Для этой части у нас есть магнитное поле, направленное вправо повсюду внутри соленоида, поэтому здесь оно указывает, например, вот так.d l направлен вверх, поэтому угол между ними составляет 90 градусов. В то время как снаружи у нас есть нулевое магнитное поле для идеального соленоида. Следовательно, у нас есть b d l косинус 90 для части внутри соленоида, поэтому мы можем назвать его b внутри для этой области. Тогда у нас также есть отрезок вне второго пути, и для этой части у нас есть b out dot dl, но для этой области b out равно нулю, а также внутри области, поскольку косинус 90 равен нулю, будет не должно быть вклада от интеграла по второму отрезку.

Двигаемся дальше, для интеграла по третьему сегменту, и это снова вне области соленоида, и для идеального соленоида магнитное поле в этой области равно нулю. Таким образом, мы обозначили b out вектором приращения смещения d l , и, поскольку b out равно нулю, интегрирование третьего сегмента также не даст никакого вклада.

Идем дальше, плюс интеграл по четвертому сегменту, а четвертый сегмент очень похож на второй сегмент. Часть его находится снаружи соленоида, а часть внутри соленоида.Внутри соленоида угол между вектором магнитного поля и d l составляет 90 градусов. Косинус 90 от скалярного произведения даст нам ноль. С внешней стороны этого сегмента магнитное поле равно нулю. Поэтому для этой области, опять же, для внутренней части имеем ddl косинус 90, а косинус 90 равен нулю, плюс для того же участка вне соленоида, так как магнитное поле равно нулю, вклада в магнитное поле опять же не будет. поле.

Теперь, если мы сложим эти интегралы по открытым путям по первому, второму, третьему и четвертому сегментам, то все эти интегралы по путям в сумме дадут интеграл по замкнутому контуру по этому прямоугольному контуру, и все это должно в сумме давать Mu, умноженное на 0, умноженное на i. .Если мы посмотрим на эти интегралы, выживет только первый. Косинус нуля равен 1 и пока мы находимся на этом первом отрезке, так как он совпадает с силовой линией магнитного поля, поэтому напряженность магнитного поля будет везде вдоль этой линии одинакова. Следовательно, величина магнитного поля для этой части постоянна, тогда мы можем вынести ее за пределы интеграла. Мы придем к тому, что интеграл от d l по первому сегменту, умноженный на b, будет равен Mu, умноженному на ноль, умноженному на i.

Теперь интеграл от d l по первому отрезку даст нам длину этого отрезка.Другими словами, если мы сложим все эти dl вместе, то есть интегрируем по этой длине, мы в конечном итоге придем к тому, какой будет эта длина. Поскольку это петля, которую мы выбираем, мы можем придать ей любые размеры, какие захотим, и назовем ее длину, например. В этом случае мы получаем b, умноженное на a, равно Mu, умноженное на i, умноженное на i. Итак, левая часть закона Ампера выполнена, теперь мы попытаемся вычислить правую часть, которую я приложил.

Теперь, чтобы это сделать, вернемся к нашей диаграмме.То, что мы подразумеваем под i вложенным, — это чистый ток, протекающий через область, окруженную этой петлей, которая является этой областью. Мы хотим выяснить, какой ток протекает через эту область. Чистый ток, протекающий через область, окруженную этой замкнутой петлей, амперной петлей, — это то, что мы называем замкнутым. Ну, конечно, этот ток будет равен количеству витков, проходящих через эту поверхность. Если мы можем выразить количество витков, проходящих через эту поверхность, поскольку каждый виток несет ток i, то это число витков, умноженное на ток i, даст нам чистый ток, протекающий через эту поверхность.

Итак, поскольку мы знаем общее количество витков, а также общую длину соленоида, то общее количество витков, разделенное на общую длину, даст нам плотность числа витков, которую мы определяем как немного n. Таким образом, у нас будет такое количество витков на единицу длины. Теперь, если мы умножим эту числовую плотность витков на длину интересующей нас области, которая является этой областью, то это даст нам общее количество витков по этой длине. Таким образом, умноженное на n, мы получим общее количество витков на этой длине.Поскольку каждый виток несет ток i, это число, умноженное на ток i, даст нам вложенное i. Следовательно, здесь мы имеем плотность числа витков, n, умноженную на а, что даст нам общее количество витков вдоль а. То есть в явном виде. Скажем, общее количество витков разделить на общую длину соленоида, а затем умножить на а, и все это даст нам общее количество витков по длине а.

Если мы умножим эту величину на i, то есть ток, протекающий через один виток, то мы получим общее количество токов, проходящих через интересующую область.Это ток через каждый виток. Отлично. Таким образом, заключенное i равно n, умноженному на i. Таким образом, левая часть была равна d a, а правая часть у нас будет Mu ноль раз, поскольку i заключено, мы имеем n раз a, умноженное на i. Как видите, длина петли, которую мы выбираем, будет сокращаться с обеих сторон, поэтому не имеет значения, насколько короткой или длинной мы выбираем длину этой петли. В конце концов они нейтрализуются, и магнитное поле идеального соленоида будет равно Mu, умноженному на нуль, умноженному на числовую плотность соленоида, умноженную на ток, протекающий через соленоид.

Мы также можем выразить это через общее количество витков соленоида и его длину. Другими словами, выражая маленькое n как большое N над l в этой форме. Mu ноль N в течение l раз i. Когда мы смотрим на этот результат, он интересен в том смысле, что Мю ноль — это проницаемость свободного пространства, то есть постоянная. Общее число витков соленоида является постоянной величиной. Длина соленоида является постоянной величиной, и ток, протекающий через соленоид, также является постоянной величиной.Поэтому магнитное поле внутри соленоида не зависит от положения и является постоянной величиной. Другими словами, куда бы мы ни пошли, пока мы находимся внутри соленоида, мы будем видеть одно и то же магнитное поле, создаваемое током, протекающим через соленоид.

Магнитные материалы — Физика соленоидов

< >

Мне всегда было интересно, как работает магнетизм на самом деле . Эта статья представляет собой краткое резюме физика соленоидов.Это дает ценные рекомендации о том, когда формулы , и обрисовывает в общих чертах ваши основные дизайнерские решения .

Соленоиды

«Один из наиболее практичных способов создания управляемого магнитного поля — это создание соленоид. Соленоид представляет собой длинный цилиндр, на который намотана однородная катушка проволоки. Когда ток посылается по проводу, внутри цилиндра создается магнитное поле.

Обычный соленоид имеет длину, в несколько раз превышающую его диаметр.Провод плотно намотан на снаружи длинный цилиндр в виде спирали с малым шагом. Магнитное поле создаваемое внутри цилиндра достаточно равномерно, особенно вдали от концов соленоида. То чем больше отношение длины к диаметру, тем равномернее поле вблизи середины.

Приблизительное значение магнитного поля определяется как B = u 0 nI , где B — магнитное поле, u 0 — магнитная проницаемость свободного пространства, n — число витков провода на единицу длины, а I ток через провод.Эти отношения бы выполняется точно, если бы соленоид был бесконечно длинным. Более точный расчет показывает, что выше соотношение находится в пределах 2 процентов от правильного значения в центре соленоида, если отношение длины к диаметру равно пяти и более.

Это уравнение показывает, что один из способов увеличить B — это увеличить I. Но, поскольку все провода имеют сопротивление, эта процедура требует увеличения напряжения на соленоиде и приводит к большему выделению тепла. создается сопротивлением провода.Другой способ увеличить B — увеличить n. Но это увеличение может быть достигнуто только за счет уменьшения сечения провода (если соленоид, как обычно корпус, витки намотаны как можно плотнее), что приводит к увеличению сопротивления и увеличение напряжения, необходимого для данного тока, а также увеличение выделяемого тепла по сопротивлению провода. Альтернативный способ увеличить n — намотать несколько слоев провод. Эта процедура увеличивает сопротивление провода, добавляет проблемы с изоляцией и уменьшает отношение длины к диаметру.Выбор подходящего компромисса является принципиальной проблемой это должен решить разработчик соленоида.

Если стержень из мягкого железа частично поместить внутрь соленоида и включить ток, стержень быть втянутым в соленоид результирующим магнитным полем. Это движение может быть использовано для приведения в действие рычаг, отпереть дверь или включить реле. Таким образом, работа небольшого электрического выключателя может произвести большое механическое воздействие в удаленном месте.Стоит отметить, что железо сердечник должен быть помещен в конце соленоида, где поле неоднородно для его движения. Кроме того, нет необходимости, чтобы ток протекал только в одном направлении. Чередование ток тоже будет работать.

Магнитное поле соленоида также можно использовать напрямую. Используется для отклонения луча электроны в телевизионной трубке. Соленоиды также используются для создания магнитного поля для магнитных резонансная томография.

В учебниках по физике соленоиды часто используются в задачах о магнитных полях, потому что поле, создаваемое соленоидом легко рассчитывается и легко визуализируется. »

Источник: «Энциклопедия физики Макмиллана», стр. 1459, Джон С. Подписано, авторское право 1996 г., ISBN 0-02-897359-3 (набор).

Zhi Hua Ren 1 и Shao Ying Huang 1


1 Разработка инженерных продуктов, Сингапурский университет технологий и дизайна, Сингапур, Сингапур

Краткий обзор

Короткий соленоид, который обеспечивает однородность поля с относительно низкой индуктивностью и малым отношением длины к радиусу, был успешно спроектирован и проверен для работы в портативном МРТ-сканере на основе матрицы Хальбаха.Оптимизация выполняется с применением генетического алгоритма и с использованием закона Био-Савара в качестве модели прямого расчета. Оптимизированная конструкция демонстрирует преимущества гораздо более высокой однородности при практически малом отношении длины к радиусу по сравнению с соленоидом с постоянным шагом.

Введение Массив Хальбаха

популярен для создания поперечного основного магнитного поля ($$$\bf{B_0}$$$) в канале портативного МРТ-сканера. В системе на основе Хальбаха в качестве передающей катушки обычно используется соленоид [1].Однако соленоид работает из-за большого отношения длины к радиусу, вызванного необходимой однородностью в $$$\bf{B_1}$$$ и, следовательно, высокой индуктивностью. Большая индуктивность приводит к относительно сильному консервативному электрическому полю, что делает соленоид чувствительным к образцу и окружающей среде. Кроме того, большая индуктивность затрудняет настройку и согласование катушки, поскольку требуются большие конденсаторы (свыше тысяч пФ). Существует потребность в коротком соленоиде, который обеспечивает однородность поля при относительно низкой индуктивности, особенно для системы, использующей массив магнитов, где пространство для размещения соленоида ограничено.Здесь мы представляем конструкцию и оптимизацию соленоида с переменным шагом, который демонстрирует преимущества высокой однородности с практически малым отношением длины к радиусу и низкой индуктивностью. Именно для низкопольного портативного МРТ-сканера длина массива магнитов мала. Для оптимизации использовался генетический алгоритм (ГА), а для прямого расчета применялся закон Био-Савара.

Методы

На рис. $$$\,1$$$ (a) и (b) показан массив магнитов Хальбаха, для которого предназначен короткий соленоид.Массив Хальбаха имеет длину 19 см по оси z. На рис.1 (в) показано измеренное магнитное поле, создаваемое массивом. Он направлен в плоскости $$$xy$$$ со средней напряженностью поля $$$67\,$$$мТл и неоднородностью $$$42000\,$$$ppm в центральной круговой области диаметром 12 см. Следовательно, резонансная частота составляет около 2,85 МГц, что соответствует квазистатическому режиму электромагнитных волн [2]. На рис. 2 (а) и (б) показаны вид сбоку и спереди проектируемого соленоида.j$$$ ($$$i=1,…12$$$, j=1…4) с общим числом витков, равным 12. Остальные параметры предварительно установлены, как показано на рис. 2. Критерием оптимизации являются $$$\bf{B_1}$$$ однородности в поле зрения (цилиндрический объем диаметром 12 см и длиной 5 см).

Результаты

Результат цикла оптимизации из 200 итераций показан на рис. $$ в FOV) с ходом шагов итерации можно наблюдать, что означает, что интеграция закона Био-Савара и ГА работает правильно.Лучшее решение-кандидат на рис. $$$\,3$$$(a) устанавливается в качестве начального решения-кандидата для следующего цикла оптимизации. Окончательное лучшее решение с точки зрения шага после нескольких циклов оптимизации показано на рис. $$$\,3$$$(b). Видно, что более короткие шаги находятся вблизи края для компенсации неоднородности. Лучший соленоид имеет общую длину 19,2 см. Он был смоделирован, построен и показан на рис. $$$\,4$$$(a)-(b). Моделируется эталонный соленоид той же длины с равномерным шагом. Это 12 оборотов, а шаг — 16 долларов.02 мм$$$. На рис. 4 (c) и (d) показано поле B1 (z-компоненты) оптимизированного и эталонного в FOV соответственно. Неоднородность поля в FOV оптимизированного соленоида значительно снижена примерно на $$$56\%$$$ с $$$88500$$$ ppm до $$$39000$$$ ppm эталонного соленоида, хотя среднее поле немного слабее (0,53 Гаусса по сравнению с 0,59 Гаусса эталонного соленоида).

Обсуждение

На рис. 5 показана зависимость неоднородности поля от числа витков для соленоида с постоянным шагом.Горизонтальная красная линия показывает неоднородность оптимизированного соленоида с переменным шагом. Как показано, для получения такой же неоднородности соленоид с постоянным шагом имеет длину на $$$50\%$$$ больше, чем оптимизированный соленоид с переменным шагом.

Заключение

Короткий соленоид успешно спроектирован со значительно улучшенной однородностью поля по сравнению с соленоидом с постоянным шагом той же длины в том же FOV. Для оптимизации используется генетический алгоритм.Он демонстрирует преимущества высокой однородности при практически малом отношении длины к радиусу по сравнению с соленоидом с постоянным шагом. Он может поместиться в массиве Хальбаха для портативного МРТ-сканера с гарантированной однородностью поля.

Подтверждения

Подтверждения не найдены.

Ссылки

[1] Cooley, C.Z., Stockmann, J.P., Armstrong, B.D., et al. Двумерная визуализация в легком портативном МРТ-сканере без градиентных катушек. Магнитный резонанс в медицине, 73(2) (2015): 872-883.

[2] Уэбб. А. Г. Разработка оборудования и компонентов системы магнитно-резонансной технологии, Королевское химическое общество, 2016.

Магнитное поле производного соленоида, приложения

Загрузите сейчас лучшее приложение для подготовки к экзаменам в Индии

Класс 9-10, JEE и NEET

Скачать приложение ЭСарал Соленоид представляет собой катушку с проволокой, которая действует как электромагнит, когда через нее проходит электрический ток. Электромагнитные соленоиды находят применение во всем мире. Вы вряд ли сможете взмахнуть битой, не задев соленоид.Динамики и микрофоны содержат соленоиды. На самом деле, динамик и микрофон — это практически одно и то же, только наоборот. Итак, в этой статье мы подробно изучим магнитное поле соленоида:

Магнитное поле соленоида

Соленоид представляет собой длинную цилиндрическую спираль. Его изготавливают путем плотной намотки большого количества витков изолированного медного провода на трубку из картона или фарфоровой глины. Когда через соленоид проходит электрический ток, вокруг соленоида и внутри него создается магнитное поле.

На рисунке показаны силовые линии магнитного поля, создаваемого соленоидом. Силовые линии внутри соленоида почти параллельны, что указывает на то, что магнитное поле «внутри» соленоида однородно и параллельно оси соленоида .

Магнитное поле соленоидного производного

Пусть имеется длинный соленоид радиуса «а», по которому течет ток I.{3 / 2}$ в уравнении.{2}} \frac{\delta \theta}{\sin \theta} $$

Магнитное поле $\mathrm{B}$ в $\mathrm{P}$, создаваемое всем соленоидом, может быть получено путем интегрирования приведенного выше выражения между пределами $\theta_{1}$ и $\theta_{2} ,$ где $\theta_{1}$ и $\theta_{2}$ — полувертикальные углы, образуемые в точке $P$ первым и последним витком соленоида соответственно. Таким образом

или $\quad \mathrm{B}=\frac{1}{2} \mu_{0} \mathrm{n} \mathrm{I}\left(\cos \theta_{1}-\cos \theta_{2}\right)$ ……….(ii)

Если , точка наблюдения P находится глубоко внутри очень длинного соленоида

Таким образом, магнитное поле на концах «длинного» соленоида вдвое меньше, чем в центре. Если соленоид достаточно длинный, поле внутри него (кроме краев) однородно. Оно не зависит от длины и площади поперечного сечения соленоида. Точно так же, как конденсатор с плоскими пластинами создает однородное и известное электрическое поле, соленоид создает однородное и известное магнитное поле.

«Однородное» магнитное поле внутри длинного соленоида параллельно оси соленоида.

Его направление вдоль оси задается правилом правой руки. «Если мы возьмем соленоид правой рукой так, чтобы наши пальцы следовали за направлением тока в обмотках, то вытянутый большой палец правой руки будет указывать в направлении осевого магнитного поля».

Нажмите здесь, чтобы просмотреть видеоуроки по магнитному эффекту класса тока 12

Об eSaral В eSaral мы предлагаем полную платформу для подготовки к IIT-JEE и NEET.Основная миссия eSaral состоит в том, чтобы предоставить образование каждому учащемуся в Индии, устранив географические и экономические факторы, поскольку прогресс и развитие страны зависят от доступности качественного образования для всех и каждого. Сочетая образование и технологии, команда eSaral сделала обучение персонализированным и адаптивным для всех.

Чтобы получить бесплатные видеолекции и полные учебные материалы, загрузите приложение eSaral.

Загрузите сейчас лучшее приложение для подготовки к экзаменам в Индии

Класс 9-10, JEE и NEET

Скачать приложение ЭСарал

Магнитное поле в токопроводящей катушке Лабораторный отчет — PHYS 2240 

Лабораторный отчет

Комментарии

  • Пожалуйста, войдите или зарегистрируйтесь, чтобы оставлять комментарии.

Предварительный текст

Физика 2240 11,6 Эксперимент 9 Магнитное поле в катушке с током Остин Сьерво Абстрактный Цель этого эксперимента состояла в том, чтобы использовать датчик магнитного поля и перемещать его через ток. несущий провод и сравнить осевое и радиальное изменение компонент их магнитного поля. Было обнаружено что замена положительного и отрицательного проводов в электрической цепи меняет направление магнитное поле. Мы также заметили, что при расчете напряженности магнитного поля использовалось уравнение для расчета напряженности магнитного поля короткого соленоида лучше представлял соленоид, используемый в эксперимент, а не уравнение для расчета напряженности магнитного поля длинного соленоида.Мы пришел к выводу, что магнитное поле и ток через соленоид однородны. Введение В этом эксперименте датчик магнитного поля перемещается через катушку с током. Это было тогда попросили сравнить изменения осевой и радиальной компонент магнитного поля. Аппарат 1 1 1 1 1 1 1 1 Лаборатория электроники переменного/постоянного тока Шкивная система 2-осевой датчик магнитного поля Короткие патч-корды Большая база удилища Стержень 90 см, нержавеющая сталь Универсальный интерфейс 850 ПАСКО Замковый камень Рисунок 1. Система шкивов Фигура 2.Соединения печатной платы по центру ручкой на север. Нажмите кнопку тары, чтобы обнулить датчик, затем нажмите кнопку «Обнулить датчик». Сейчас» в свойствах датчика поворотного движения. Затем откройте генератор сигналов, установите выход 1 на постоянный ток. напряжение 5В, затем нажмите Auto. Теперь датчик готов к записи данных. Вставьте датчик в соленоид насколько это возможно, затем нажмите запись. Затем медленно выдвиньте датчик из соленоида, удерживая его по центру и лицом на север, пока датчик не окажется на 10 см выше соленоида.Небольшие отклонения от центра допускается менее 3 см. Затем выберите инструмент координат, щелкните правой кнопкой мыши и измените значение цифры до 5. Измерьте пиковую амплитуду с помощью инструмента. Выполните именно этот процесс, но вместо этого запустите датчик вдоль восточного и западного края катушки. Затем для последней дорожки поменяйте местами положительный и отрицательный выводы, чтобы ток меняют на противоположный и проводят датчик вдоль восточного края катушки. Наконец, вычислить границу значения для соленоида путем расчета напряженности поля как для короткого, так и для длинного соленоида с использованием уравнение 1 и уравнение 2.Результат будет в Теслах (Т), которые нужно будет преобразовать в Микро. Тесла (мТл). Данные Тащить Центр Восток Запад Восток перевернутый Таблица 2: Ток через катушку Ток катушки (амперы) Осевая пиковая амплитуда (мТл) 0,875 -18 0,876 -19 0,874 -19 0,871 19 Таблица 3: Связанные значения Модель Сила магнитного поля (мТл) Короткий соленоид (уравнение 1) 21 Длинный соленоид (уравнение 2) 26 График 1. Осевой центр График 3. Аксель Уэст График 2. Осевой восток График 4. Осевой восток перевернут График 9. Радиальный восток перевернут График 10. Все радиальные испытания Обсуждение результатов и анализ ошибок Глядя на результаты из Таблицы 2, ток катушки во всех четырех испытаниях оставался относительно такая же, как и осевая амплитуда пика.Глядя на амплитуду осевого пика, можно заметить, что Центральное, восточное и западное испытания имеют отрицательное значение, в то время как восточно-обратный имеет положительное значение. То Причина, по которой эти значения возвращаются таким образом, заключается в том, что положительный и отрицательный выводы на AC/DC Лаборатория электроники изначально была перевернута. То, что мы должны были видеть, было Центром, Востоком и Западом возвращают положительные значения, а обратный восток возвращает отрицательное значение. Величина каждого значения была не влияет на эту ошибку. Графики 1-5 показывают точную кривую зависимости магнитного поля от магнитного поля. параллельно оси соленоидов.Результаты из таблицы 3 показывают граничные значения при использовании уравнений для расчета магнитное поле для одиночной катушки и длинного соленоида. Значения, возвращаемые теорией, точно не совпадают со значениями из таблицы 2, потому что соленоид, использованный в эксперименте, слишком длинный для Уравнение 1 для работы и слишком короткое для работы Уравнение 2. Однако оба теоретических значения говорят о том, что верхняя граница для магнитного поля. Графики 6-10 показывают точную кривую магнитного поля, перпендикулярного оси катушек, в зависимости от напряженность магнитного поля.Глядя на график 6, в идеале мы не должны видеть никаких отклонений магнитного поля. напряженность поля, потому что не должно быть перпендикулярного поля из-за симметрии системы. Мы делаем однако видим небольшое радиальное поле из-за невозможности удерживать датчик непосредственно на центральной оси. Глядя на график 7 радиального востока, мы видим положительное направление радиального поля. Причина по которой график 7 выглядит так, потому что ток в соленоиде течет по часовой стрелке, а нижняя соленоида есть положительное радиальное поле, в то время как в верхней части соленоида есть отрицательное радиальное поле поле.Для радиального запада, показанного на графике 8, причина, по которой он выглядит именно так, заключается в том, что ток в соленоиде течет против часовой стрелки, а внизу соленоида минус радиальное поле, в то время как в верхней части соленоида есть положительное радиальное поле. Теперь давайте сравним Запад. и восточно-обратные радиальные испытания. Замечено, что они кажутся похожими по форме, но отличаются пиком. величины. Первая вершина для запада меньше, чем первая вершина для востока, перевернутая и вторая вершина. для Запада больше, чем Второй Пик для Востока наоборот.Это потому, что текущие направления были переключались, поэтому значения радиальных полей переключались по величине. Выводы Результаты этого эксперимента подтверждают теорию, поскольку датчик смог обнаружить направление и величина аксиальной и радиальной составляющих поля, которые были обозначены положительными и отрицательные значения. В то время как величина амплитуды аксиального пика из таблицы 2 верна, знаки каждое значение должно быть переключено. Эта ошибка произошла из-за того, что положительный и отрицательный выводы на Лаборатория электроники AC/DC была перевернута.Из-за этого ток через соленоид был текущая против часовой стрелки, когда она должна была течь по часовой стрелке. Судя по данным таблицы 2, можно сделать вывод, что магнитное поле и ток однородны по всему соленоиду. Причина Обратный ход на восток отличался тем, что текущее направление было изменено на противоположное. значение знака. Данные из таблицы 3 показывают расчетные верхние границы магнитных полей. То измеренное значение соленоида по уравнению 1 получено лучше, чем по уравнению 2, поэтому его можно пришел к выводу, что использование уравнения для соленоида выстрела является более точным для соленоида, используемого в эксперимент.Результаты на графике 6 показывают радиальное поле, измеренное от центральной оси. Причина по которой было маленькое радиальное поле из-за того, что датчик все время не был отцентрирован на оси. То результаты Radial East заключают, что ток течет по часовой стрелке и что есть положительный радиальный поле внизу соленоида и отрицательное радиальное поле вверху. Результаты Radial West сделать вывод, что ток течет против часовой стрелки и что в точке имеется отрицательное радиальное поле. снизу соленоида и положительное радиальное поле вверху.Направление тока на радиальный восток реверс был переключен, поэтому он имеет форму, аналогичную радиальному западу.

Магнитные поля, создаваемые соленоидом

Соленоид состоит из провода с током, который намотан на серия витков (желательно витки как можно ближе друг к другу). Магнитное поле из-за прямая длина провода показана на рисунке 1 — поле окружает провод и его величина (или сила) уменьшается с радиальным расстоянием от провода.


Рис. 1: Магнитное поле от прямого провода

В соленоиде создается большое поле, параллельное оси соленоида. (в направлении z на рисунке 2). Компоненты магнитного поля в других направлениях компенсируются противоположные поля от соседних катушек. За пределами соленоида поле также очень слабое из-за этого эффекта компенсации и для соленоида которое длинно по сравнению с его диаметром, поле очень близко к нуль. Внутри соленоида поля отдельных катушек складываются в образуют очень сильное поле вдоль центра соленоида.


Рисунок 2: Магнитное поле в соленоиде

Для расчета величины поля в соленоиде использовался закон Ампера. Закон Ампера связывает циркуляцию В по замкнутому контуру с током поток через петлю x &micro o .

Это дает поле в центре соленоида.


Рисунок 3: Использование закона Ампера для расчета Bo

Обратите внимание, что поскольку величина тока изменяется во времени, то также делает B или , т.е.е., для синусоидально изменяющегося тока

См. рис. 4. |B или | = &micro o i o N/L – амплитуда (максимальное значение) поля. Вы также можете обратиться к «среднему» значению |B o | называется среднеквадратичным значением (RMS). B RMS = |B или |/кв.кв.(2).


Рис. 4. Изменение магнитного поля в соленоиде во времени, также показывающее Б СКЗ .

Однако это не говорит вам, каково поле вне соленоида.Для этого нужно использовать закон Био-Савара. Из-за симметрии вдоль оси z все компоненты поля из-за отмены контура тока, за исключением компонента в направлении z. Таким образом, B в положении z вдоль оси соленоида определяется выражением

Закон Био-Савара

где R = радиус петли. Третье уравнение показывает B как функцию z, когда z >> R. Обратите внимание, что B быстро уменьшается с увеличением z.


Рис. 5: изменение B по оси Z

Значительные многолетные поля Tesla в соленоиде, окруженном наноструктурой обмотки

векторы, используемые при анализе, определены как:

B = вектора плотности магнитного поля , h = магнитное поле Интенсивность вектор ,

,

E = = Электрическое поле интенсивности 4 , D = Электрическое поле интенсивности 40114

J = Электрический ток поверхности поверхности , ρ = Объем электрической плотности заряда ,

, где B = μ H и D = ε и Физические константы —

μ = Магнитная проницаемость ,

,

,

ε  =  электрическая проницаемость

Все величины, используемые в анализе, будут в единицах Мкс.

Допущения сделаны, что B R = B θ = E Z = R r = j R =  j z  =  ρ  = 0

и только r и t зависимости. Ток j θ обтекает соленоид диаметром d  = 2 r

, где r — радиус.

Из уравнений Максвелла в цилиндрических координатах (как показано на рис. 1) \,=\,-\,\,\frac{\partial {B}_{z}}{\partial t}$$

(1)

$$-\frac{\partial {H}_{z}}{\partial r}\,=\,{j}_{\theta}\,+\,\,\frac{\partial {D }_{\theta}}{\partial t}$$

(2)

Рисунок 1

Координаты r-θ-z и вектор магнитного поля B Z проиллюстрированы.{2} \, {\ mu } _ {0} \ varepsilon \, {E} _ {\ theta} $ $

и с E θ   =   A e θ iωt , удовлетворяющее дифференциальному уравнению Бесселя, решение для A θ равно

$${A}_{\theta}\,=\,{C}_{1 }\,{J}_{1}\,(\omega \sqrt{{\mu }_{0}\varepsilon}r)\,+\,{C}_{2}\,{N}_{ 1}(\omega \sqrt{{\mu }_{0}\varepsilon }r)$$

где \({J}_{1}\,(\omega \sqrt{{\mu }_{0 }\varepsilon }r)\) — функция Бесселя первого рода и \({N}_{1}\,(\omega \,\sqrt{{\mu }_{0}\varepsilon }r)\ ) это функция Бесселя второго рода

с E θ должно быть конечным для R = 0 и N 1 (0) → ∞, затем C 2 = 0 Следовательно,

$${A}_{\theta}\,=\,{C}_{1}\,{J}_{1}\,(\omega \,\sqrt{{\mu} _{0}\varepsilon}r)$$

(4)

При r  = \(\frac{d}{2}\), предполагая идеальную проводящую границу,

$${A}_{\theta}(\frac{d}{2})\, =\,{C}_{1}\,{J}_{1}\,(\frac{\omega \sqrt{{\mu}_{0}\varepsilon}d}{2})\,= \,0$$

(5)

Следовательно,

$${\omega }_{l}\,\sqrt{{\mu }_{0}\varepsilon}\,d\,=\,2{\delta }_{l}$ $

(6)

, где δ l — это l th корень из

$${J}_{1}(\frac{\omega \sqrt{{\mu }_{0}\ varepsilon}d}{2})\,=\,0$$

и \({\delta}_{l}\,=\,3.{-i\omega t}$$

(10)

Аппроксимация идеального проводника основана на предварительном учете значений, измеренных Subramanian, et al . 1 для их углерод-медных нанотрубок J θ = 6 (10) 12 A / M 2 и проводимость σ = 4,7 (10) 7 S / м. При использовании этих значений по закону Ома электрическое поле в витках катушки, охватывающей соленоид, составляет 1,3 (10) 5 В/м. Во-вторых, в (10) наименее благоприятный случай для B z 0 (0) = 2 T. Также в (10)

  1. (я)

    режим собственного значения поля первого порядка равен 3.832 14,15 , а максимум \(\,{J}_{1}(\omega \sqrt{{\mu }_{0}\varepsilon}r)\) приходится на 0,58. Соответствующий | E θ | = 3,5(10) 8 В/м, что более чем в тысячу раз превышает электрическое поле катушки. Далее, для \(\omega (\sqrt{{\mu }_{0}\varepsilon }r)\,=\,3.8\), \(\,{J}_{1}(\omega \sqrt{ {\ mu } _ {0} \ varepsilon } r) \, = \, 0,0128 \) и так | E θ | = 0,45(10) 7 В/м, что в 35 раз больше электрического поля катушки.Кроме того, эта оценка дает радиальное расстояние, которое составляет 99% от собственного значения расстояния в катушке. Переход от роли идеального проводника к электрическому полю соленоида чрезвычайно короток, шаг.

  2. (ii)

    собственное значение поля четвертого порядка равно 13,324, а максимум \({J}_{1}(\omega \sqrt{{m}_{0}\varepsilon }r)\) приходится на 0,23. Соответствующий | E θ | = 0.8(10) 8 В/м, что более чем в 600 раз превышает электрическое поле катушки. Кроме того, для \(\omega (\sqrt{{\mu}_{0}\varepsilon}r)=13,2\), \({J}_{1}\,(\omega \sqrt{{m}_ {0}\varepsilon}r)\,=\,0,0271\) и так | E θ | = 2,168(10) 6 В/м, что в 17 раз больше электрического поля катушки.

alexxlab

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.