Site Loader

Содержание

Разбор задания 2 ЕГЭ. Построение таблиц истинности логических выражений. Часть 2. | Учи Урок информатики

Основано на: демонстрационных вариантах ЕГЭ по информатике за 2015 год, на учебнике Босовой Людмилы Леонидовны

В предыдущей части 1 мы разобрали с вами логические операции Дизъюнкция и Конъюнкция, нам с вами осталось разобрать инверсию и перейти к решению задания ЕГЭ.

Инверсия

Инверсия — логическая операция, которая каждому высказыванию ста­вит в соответствие новое высказывание, значение которого противопо­ложно исходному.

Для записи инверсии используются следующие знаки: НЕ, `¯` , `¬`

Инверсия определяется следующей таблицей истинности:

Инверсию иначе называют логическим отрицанием.

Любое сложное высказывание можно записать в виде логического выражения — выражения, содержащего логические переменные, знаки логических операций и скобки. Логические операции в логи­ческом выражении выполняются в следующей очерёдности: инвер­сия, конъюнкция, дизъюнкция. Изменить порядок выполнения опе­раций можно с помощью расстановки скобок.

Логические операции имеют следующий приоритет: инверсия, конъюнк­ция, дизъюнкция.

И так, перед нами задание №2 из ЕГЭ по информатике 2015 года

Задание: 

Александра заполняла таблицу истинности для выражения F. Она успела заполнить лишь небольшой фрагмент таблицы:

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 F
0 1 0
1 0 1
1 1 1

Каким выражением может быть F?

1) x1 /\ ¬x2 /\ x3 /\ ¬x4 /\ x5 /\ x6 /\ ¬x7 /\ ¬x8
2) x1 \/ x2 \/ x3 \/ ¬x4 \/ ¬x5 \/ ¬x6 \/ ¬x7 \/ ¬x8
3) ¬x1 /\ x2 /\ ¬x3 /\ x4 /\ x5 /\ ¬x6 /\ x7 /\ x8
4) x1 \/ ¬x2 \/ x3 \/ ¬x4 \/ ¬x5 \/ ¬x6 \/ ¬x7 \/ ¬x8

Значительно облегчает решение задания то, что в каждом варианте сложного выражения F только одна логическая операция: умножение или сложение. В случае умножения /\ если хотя бы одна переменная будет равна нулю, то значение всего выражения F так же должно быть равно нулю. А в случае со сложением V если хотя бы одна переменная будет равна единице, то значение всего выражения F должно быть равно 1.

Тех данных, которые есть в таблице по каждой из 8 переменных выражения F, нам вполне достаточно для решения.

Проверим выражение номер 1:

  • по первой строчке таблицы x2=0, х8=1 мы с вами видим что F=0 (? /\
    1
    /\ ? /\ ? /\ ? /\ ? /\ ? /\ 0)
  • по второй строчке таблицы x1=1, х4=0 мы с вами видим что F возможно и может быть равным = 1, если все остальные переменные равны 1 (1 /\ ? /\ ? /\ 1 /\ ? /\ ? /\ ? /\ ?)
  • по третьей строчке таблицы x4=1, х8=1 мы с вами видим что F=0 (? /\ ? /\ ? /\ 0 /\ ? /\ ? /\ ? /\ 0), а в таблице у нас F=1, и это значит, что выражение под номером один нам ТОЧНО НЕ ПОДХОДИТ.

Проверим выражение номер 2:

  • по первой строчке таблицы x2=0, х8=1 мы с вами видим что F возможно и может быть равным = 0, если все остальные переменные равны 0 (
    ?
     V 0 V ? V ? V ? V ? V ? V 0)
  • по второй строчке таблицы x1=1, х4=0 мы с вами видим что F = 1 (1 V ? V ? V 1 V ? V ? V ? V ?)
  • по третьей строчке таблицы x4=1, х8=1 мы с вами видим что F возможно и может быть равным = 1, если хотя бы одна из оставшихся переменных будет равна 1 (? V ? V ? V 0 V ? V ? V ? V 0)

Проверим выражение номер 3:

  • по первой строчке таблицы x2=0, х8=1 мы с вами видим что F=0 (? /\ 0 /\ ? /\ ? /\ ? /\ ? /\ ? /\ 1)
  • по второй строчке таблицы x1=1, х4=0 мы с вами видим что F =0 (0 /\ ? /\ ? /\ 0 /\ ? /\ ? /\ ? /\ ?), а в таблице у нас F=1, и это значит, что выражение под номером три нам ТОЧНО НЕ ПОДХОДИТ.

Проверим выражение номер 4:

  • по первой строчке таблицы x2=0, х8=1 мы с вами видим что F=1 (? V 1 V ? V ? V ? V ? V ? V 0), а в таблице у нас F=0, и это значит, что выражение под номером четыре нам 
    ТОЧНО НЕ ПОДХОДИТ
    .

В решении задания на едином государственном экзамене вам нужно поступать точно таким же образом: отбрасывать те варианты, которые точно не подходят по тем данным, которые есть в таблице. Оставшийся возможный вариант (как в нашем случае вариант номер 2) и будет правильным ответом.


Пожалуйста, оцените статью

4.01 из 5. (Всего голосов:325)



Все статьи раздела


Рассмотрим несколько задач, которые решаются построением таблиц истинности сложных высказываний.

Задача 1.

Составить таблицу истинности высказывания

Решение.

Данное высказывание состоит из двух операндов A и B. Для его вычисления необходимо сначала вычислить отрицание A, то есть Ā , затем , далее выполнить логическое умножение , затем сложение и, наконец, отрицание . Таким образом, в таблице истинности будет 7 столбцов и 5 строк.

A B Ā
             
             
     
 
     
             

Заполняем ячейки, соответствующие значению всем возможным сочетаниям значений высказываний A и B.

A B Ā
0 0        
 
0 1          
1 0          
1 1          

Далее заполняем третий и четвертый столбцы таблицы, соответственно, отрицая высказывания A и B.

A
B
Ā
0 0 1 1      
0 1 1 0      
1 0 0 1      
1 1 0 0    
 

При заполнении пятого столбца таблицы будьте внимательны. Операндами высказывания являются A и , значит, при заполнении пятого столбца смотреть нужно на первый и четвертый столбцы таблицы. Помните, что результат логического умножения имеет значение истина только в том случае, когда истинны оба операнда (единица будет только в четвертой строке пятого столбца).

A B Ā
0 0 1 1 0    
0 1 1 0 0    
1 0 0 1 1    
1 1 0 0 0    

При заполнении шестого столбца таблицы, следует обратить внимание на значения, стоящие в третьем и пятом столбцах, и выполнить операцию логического сложения.

A B Ā
0 0 1 1 0 1  
0 1 1 0 0 1  
1 0 0 1 1 1  
1 1 0 0 0 0  

Для получения результата осталось заполнить последний столбец, где отрицается высказывание, полученное в шестом столбце.

A B Ā
0 0 1 1 0 1 0
0 1 1 0 0 1 0
1 0 0 1 1 1 0
1 1 0 0 0 0 1

Ответ: Таблица истинности сложного высказывания следующая.

A B
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1

Задача 2.

Установить эквивалентность двух высказываний:

&nbsp&nbsp 1) A V B Λ C;

&nbsp&nbsp 2) (А V В) Λ (А V С).

Решение.

Для установления эквивалентности двух высказываний достаточно сравнить их таблицы истинности. Если таблицы совпадают, то высказывания эквивалентны.

Построим таблицу истинности первого высказывания. В выражении участвуют три высказывания. Для того чтобы рассмотреть все возможные сочетания их значений, будем использовать следующий прием: первые три столбца таблицы заполним двоичным представлением чисел 0, 1, 2, 3,…, 23-1, дополняя слева нужное количество нулей. Выражение не содержит скобок, следовательно, воспользуемся тем, что конъюнкция выполняется раньше, чем дизъюнкция. Получим следующую таблицу.

A B C B Λ C A V B Λ C
0 0 0 0 0
0 0 1 0 0
0 1 0 0 0
0 1 1 1 1
1 0 0 0 1
1 0 1 0 1
1 1 0 0 1
1 1 1 1 1

Аналогичным образом составим таблицу истинности второго высказывания.

A B C A V B A V C (А V В) Λ (А V С)
0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 1 0
0 1 0 1 0 0
0 1 1 1 1 1
1 0 0 1 1 1
1 0 1 1 1 1
1 1 0 1 1 1
1 1 1 1 1 1

Поскольку таблицы истинности совпадают, то высказывания 1 и 2 эквивалентны.

Ответ: высказывания эквивалентны

 

Задача 3.

Докажите тавтологию (X Λ Y) -› (X VY)

Решение.

Для доказательства тавтологии построим следующую таблицу истинности.
X Y X Λ Y X V Y (X Λ Y) -› (X VY)
0 0 0 0 1
0 1 0 1 1
1 0 0 1 1
1 1 1 1 1
Ответ: тавтология доказана.

Создание таблицы истинности для любого выражения в Python



Я пытаюсь создать программу, которая при запуске будет запрашивать логическое выражение, переменные, а затем создавать таблицу истинности для всего, что вводится. Мне нужно использовать класс, и это то, что у меня есть до сих пор. Я не знаю, куда идти дальше.

from itertools import product

class Boolean(object):

       def __init__(self, statement, vars):
           self.exp = statement
           self.vars = vars

       def __call__(self, statement, vars):

def main():
   expression = raw_input('Give an expression:')
   vars = raw_input('Give names of variables:')
   variables = vars.split(' ')
   b = Boolean(expression, variables)

if __name__ == "__main__":
   main()
python boolean
Поделиться Источник say786     09 апреля 2015 в 20:52

3 ответа


  • Как я могу построить генератор таблиц истинности?

    Я хочу написать генератор таблиц истинности в качестве личного проекта. Здесь и здесь есть несколько веб-сайтов . (Example screenshot of an existing Truth Table Generator ) У меня есть следующие вопросы: Как я должен разбирать такие выражения, как: ((P => Q) & (Q => R)) = > (P => R ) Должен ли…

  • Таблицы истинности из анонимных функций в Haskell

    Я пытаюсь сгенерировать таблицу истинности для данного логического выражения. Я мог бы сделать это с помощью создания нового типа данных BoolExpr, но я хочу сделать это с помощью анонимной функции. Это должно работать так: > tTable (\x y -> not (x || y)) output: F F | T F T | F T F | F T T |…



8

Вы можете просто определить любую булеву функцию прямо в python.

рассмотрим следующий пример:

def f(w,x,y,z):
    return (x and y) and (w or z)

Я написал фрагмент кода, который принимает любую функцию f и возвращает ее таблицу истинности:

import pandas as pd
from itertools import product

def truth_table(f):
    values = [list(x) + [f(*x)] for x in product([False,True], repeat=f.func_code.co_argcount)]
    return pd.DataFrame(values,columns=(list(f.func_code.co_varnames) + [f.func_name]))

Использование этого приведет к (в хорошо отформатированном html, если вы используете IPython ноутбук):

truth_table(f)

    w       x       y       z       f
0   False   False   False   False   False
1   False   False   False   True    False
2   False   False   True    False   False
3   False   False   True    True    False
4   False   True    False   False   False
5   False   True    False   True    False
6   False   True    True    False   False
7   False   True    True    True    True
8   True    False   False   False   False
9   True    False   False   True    False
10  True    False   True    False   False
11  True    False   True    True    False
12  True    True    False   False   False
13  True    True    False   True    False
14  True    True    True    False   True
15  True    True    True    True    True

Овации.

Поделиться OmerBA     16 мая 2015 в 15:39



8

У меня есть библиотека, которая делает именно то, что вы хотите! Проверьте репо github или найдите его здесь , на pypi.

В readme описано, как все работает, но вот краткий пример:

from truths import Truths
print Truths(['a', 'b', 'x', 'd'], ['(a and b)', 'a and b or x', 'a and (b or x) or d'])
+---+---+---+---+-----------+--------------+---------------------+
| a | b | x | d | (a and b) | a and b or x | a and (b or x) or d |
+---+---+---+---+-----------+--------------+---------------------+
| 0 | 0 | 0 | 0 |     0     |      0       |          0          |
| 0 | 0 | 0 | 1 |     0     |      0       |          1          |
| 0 | 0 | 1 | 0 |     0     |      1       |          0          |
| 0 | 0 | 1 | 1 |     0     |      1       |          1          |
| 0 | 1 | 0 | 0 |     0     |      0       |          0          |
| 0 | 1 | 0 | 1 |     0     |      0       |          1          |
| 0 | 1 | 1 | 0 |     0     |      1       |          0          |
| 0 | 1 | 1 | 1 |     0     |      1       |          1          |
| 1 | 0 | 0 | 0 |     0     |      0       |          0          |
| 1 | 0 | 0 | 1 |     0     |      0       |          1          |
| 1 | 0 | 1 | 0 |     0     |      1       |          1          |
| 1 | 0 | 1 | 1 |     0     |      1       |          1          |
| 1 | 1 | 0 | 0 |     1     |      1       |          1          |
| 1 | 1 | 0 | 1 |     1     |      1       |          1          |
| 1 | 1 | 1 | 0 |     1     |      1       |          1          |
| 1 | 1 | 1 | 1 |     1     |      1       |          1          |
+---+---+---+---+-----------+--------------+---------------------+

Надеюсь, это поможет!

Поделиться penchant     12 июля 2016 в 23:41



2

Вы, вероятно, хотите сделать что-то вроде этого:

from itertools import product
for p in product((True, False), repeat=len(variables)):
    # Map variable in variables to value in p
    # Apply boolean operators to variables that now have values
    # add result of each application to column in truth table
    pass

Но внутри for loop-самая трудная часть, так что удачи.

Это пример того, что вы будете повторять в случае трех переменных:

>>> list(product((True, False), repeat=3))
[(True, True, True), (True, True, False), (True, False, True), (True, False, False), (False, True, True), (False, True, False), (False, False, True), (False, False, False)]

Поделиться Shashank     09 апреля 2015 в 21:08



Похожие вопросы:


Haskell, генерация значений для таблицы истинности

Как вы можете сгенерировать значения истинности таблицы для ввода символов? Input : [A, B] Output: [(A, True), (B, False)], [(A, True), (B, True)], [(A, False), (B, True)], [(A, False), (B, False)]…


Создание таблицы истинности

Если у меня есть некоторые значения A B C, можно ли сгенерировать список всех их возможных истинностных значений: входные данные [X, Y, Z] , например, список содержит 8 списков (строк таблицы) [ […


Таблица истинности для выражения( в виде строки )

Я хочу вычислить таблицу истинности для выражения (допустимого логического выражения), введенного пользователем в виде строки. Может ли кто-нибудь опубликовать существующее решение этой проблемы или…


Как я могу построить генератор таблиц истинности?

Я хочу написать генератор таблиц истинности в качестве личного проекта. Здесь и здесь есть несколько веб-сайтов . (Example screenshot of an existing Truth Table Generator ) У меня есть следующие…


Таблицы истинности из анонимных функций в Haskell

Я пытаюсь сгенерировать таблицу истинности для данного логического выражения. Я мог бы сделать это с помощью создания нового типа данных BoolExpr, но я хочу сделать это с помощью анонимной функции….


Создание таблицы истинности с Python IndexError:list вне диапазона

Пытаясь создать таблицу истинности через Python с помощью itertools, но продолжая получать ту же ошибку Вот мой код до сих пор import sys import itertools def gen_constants(numvar): l = [] for i in…


Ищу консультацию по проекту. Синтаксический анализ логического выражения

Мне нужен совет по моему школьному проекту. Я должен создать программу, которая берет логическое выражение и выводит для него таблицу истинности. На самом деле создание таблицы истинности для меня…


Динамическое создание JTable (булевых таблиц истинности)

У меня есть код, который генерирует таблицу истинности для данного логического выражения. Например, рассмотрим введенное пользователем выражение (A+B)+(C+D) . У меня есть строковый массив headers[]…


Генерация Таблицы Истинности

У кого-нибудь есть мысли о создании строки таблицы истинности без создания всей таблицы. Например, пользователь вводит номер строки, и эта строка таблицы истинности генерируется. Кроме того, это…


Преобразование таблицы истинности HCL

Мне было поручено преобразовать следующую таблицу истинности в логическое выражение H и максимально упростить это выражение.з)…

Исправление переопределенных и недоопределенных таблиц истинности

Исправление переопределенных и недоопределенных таблиц истинности

При программировании таблицы истинности вы можете программировать чрезмерно определенную или underspecified таблицу истинности. Чрезмерно определенная таблица истинности содержит по крайней мере одну истинную или ложную комбинацию, которая задана другим столбцом решения. Когда это происходит, действие, сопоставленное с тем столбцом решения никогда, не выполняется. underspecified таблица истинности происходит, когда ваша таблица истинности не имеет достаточного количества столбцов решения с учетом всех возможных истинных или ложных комбинаций.

По умолчанию Stateflow® сообщает об ошибке для чрезмерно определенных и underspecified таблиц истинности. Чтобы настроить ошибочные настройки для таблиц истинности, откройте свою таблицу истинности. После открытия таблицы истинности, во вкладке Modeling, нажимают Table Properties и изменяют настройки для Underspecification или Overspecification.

Таблицы истинности поддерживаются только в модели Simulink®. Для получения дополнительной информации см. Таблицы истинности Использования к Комбинаторной логике Модели.

Пример чрезмерно определенной таблицы истинности

Чрезмерно определенная таблица истинности содержит по крайней мере одно решение, которое никогда не выполняется, потому что предыдущее решение задает его в Condition Table. Следующий пример показывает Condition Table чрезмерно определенной таблицы истинности.

Решение в столбце D3 (-TT) задает решения FTT и TTT. Эти решения являются копиями решений D1 (FTT) и D2 (TTT и TFT). Поэтому столбец D3 является сверхспецификацией.

Следующий пример показывает Condition Table таблицы истинности, которая, кажется, чрезмерно определена, но не является.

В этом случае решение D4 задает два решения (TTT и FTT). FTT также появляется в решении D1, но TTT не копия. Поэтому этот Condition Table не чрезмерно определен.

Пример таблицы истинности Underspecified

underspecified таблица истинности включает неопределенное поведение, потому что это испытывает недостаток в решениях, которые покрывают каждую комбинацию заданных условий.. Следующий пример показывает Condition Table underspecified таблицы истинности.

Полный обзор условий в предыдущей таблице истинности требует Condition Table с каждым возможным решением:

Чтобы избежать underspecification задают действие для всех других возможных решений посредством решения по умолчанию, названного DA:

Последний столбец решения, D4, является решением по умолчанию для таблицы истинности. Решение по умолчанию покрывает любые остающиеся решения, не протестированные в предыдущих столбцах решения. См. Столбец Решения По умолчанию для примера и больше полного описания столбца решения по умолчанию для Condition Table.

Похожие темы

23 задание ЕГЭ по информатике

ЕГЭ по информатике выбирают будущие работники ИТ-сферы. Но для сдачи экзамена нужно не только уметь программировать. Многие задачи связаны с математикой, анализом данных, логикой. Чтобы без проблем решить их на экзамене, необходимо много практиковаться. Вы можете учиться самостоятельно, а можете записаться на курсы подготовки к ЕГЭ и ОГЭ, где преподаватели будут объяснять все сложные моменты. В статье мы разберем тему «Логические выражения». Она встречается в 23 номере ЕГЭ по информатике. 

Алгебра логики

Прежде чем приступить к разбору заданий, нужно изучить теорию. Алгеброй логики называют один из разделов математической логики. Его особенность в том, что логические выражения анализируются с использованием алгебраических законов и правил. Создание науки связано с именем Дж. Буля (1815-1864). Ученый разработал собственный математический язык, записывал с его помощью уравнений. Истинность и ложность выражений доказывал с помощью алгебраических операций. Несмотря на то, что алгебра логики продолжает развиваться, принцип остается прежним. 

Основой алгебры логики (и 23 задания ЕГЭ) являются логические высказывания — не вопросительные предложения, по поводу которых можно однозначно сказать, являются они истинными или ложными. Например, высказывание «снег белый» истинно, «солнце светит ночью» — ложно. Предложение «мороженое вкусное» не является логическим высказыванием, нельзя однозначно сказать о его правдивости. Если заменить его на «я люблю мороженое», то оно может принимать как истинное, так и ложное значение, это зависит от предпочтений человека. 

В 23 задании по информатике встречаются двузначные высказывания, принимающие значения «правда» и «неправда». Но алгебра логики рассматривает также многозначные, имеющие значения «вероятно», «невозможно», «возможно». Элементарные высказывания обозначают латинскими буквами (например, A = «осенью деревья сбрасывают листву»). Сложные высказывания составляются из элементарных с использованием частиц «и», «или», «тогда и только тогда», «если.. то» (например, А и В = «осенью деревья сбрасывают листву и некоторые птицы улетают на юг»). В цифровом представлении истине соответствует число 1, а лжи число 0. Для вычисления примеров обычно используются таблицы истинности. 

Основные операции алгебры логики

Для решения номера 23 по информатике нужно знать основные операции:

  • инверсия (отрицание). Операция называется унарной, так как преобразует одну величину: «переворачивает» выражение, меняет истину на ложь и наоборот. Обозначается чертой над буквой, символом ᆨ, словом «not». В результате преобразования числа A получается высказывание ᆨA. Читается «не А», «отрицание А», «А ложно». Пример: A = 1 больше 0; Ā = 1 не больше 0. На рисунке А — множество точек, Ā — все точки, не принадлежащие множеству; 

  • конъюнкция (умножение). Обозначает величины (2 или больше), объединенные союзом И. Для математической записи используются знаки ∧, •, &, and. Иногда знак опускают, по аналогии с математикой. Высказывание истинно, когда все его части правдивы, например, A∧B = «химия изучает вещества и молекулы». На рисунке изображается множествами, их пересечение соответствует A∧B;

  • дизъюнкция (сложение). Связывает 2 и более выражения союзом ИЛИ. Обозначается знаками ∨, +, |, or. Выражение истинно, если правдива одна часть или сразу обе. Пример: А∨В = «звезды состоят из газа или плазмы». На рисунке изображается объединением множеств; 

  • строго-разделительная (исключающая) дизъюнкция. Связывает высказывания союзом ИЛИ. Особенность в том, что союз является исключающим, то есть выражение истинно, когда правдива одна из его частей. Обозначают через ∨∨, ⊕, а читают «либо А, либо В». Пример: А⊕В = «валентность серы II или IV»;

  • импликация. Соединяет выражения, указывающие на причину и следствие. Обозначается ⟶, ⊃, читается «из А следует В», «если А, то В», «А влечет В». Пример является ложью, когда причина правдива, а следствие  — неправда. Пример: А⟶В = «если число делится только на себя и на 1, то оно сложное». 

  • эквивалентность. Операция объединяет высказывания связками ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, РАВНОСИЛЬНО, НЕОБХОДИМО И ДОСТАТОЧНО. Обозначается ~, ↔️, читается «А эквивалентно В». Выражение истинно, когда обе части одинаковы. Например: А~В = «число делится на 5 тогда, когда его последняя цифра 0 или 5». Эквивалентность противоположна строго-разделительной дизъюнкции.

На самом деле, для решения номеров достаточно трех операций: сложения, умножения, отрицания. Строго-разделительную дизъюнкцию можно представить как (ᆨА∧B)∧(А∧ᆨВ), импликацию — ᆨА∨B, эквивалентность (ᆨA∧ᆨB)∨(A∧B). Порядок выполнения действий при вычислении: 

  1. инверсия;
  2. конъюнкция;
  3. дизъюнкция;
  4. остальные. 

Примеры решения задач

Переходим к разбору 23 задания по информатике. Решим несколько задач. 

Задача 1. Вычислите логическое значение: (ᆨ(15 < 3))∧(10 > 20).

Решение: Составим таблицу.

15 < 3

10 > 20

ᆨ(15 < 3)

ᆨ(15 < 3)∧(10 > 20)

0

1

1

0

Ответ: ложь. 

Задача 2. Запишите высказывание с помощью логических операций, определите его значение: «если часы неправильно показывают время, то вы не успеете на занятия».  

Решение: Пусть «часы неправильно показывают время» = А, «успеете на занятия» = В, а «не успеете на занятия» = ᆨВ. Логическое выражение: А⟶ᆨВ. Из причины сделал верный вывод, поэтому выражение является истинным. 

Ответ: истина. 

Задача 3. Определить значение ((х > 10) ∨ (х < 15)) → (х < 5) для 1) x = 9 и 2) х = 4.

Решение: Для х = 9:  ((9 > 10) ∨ (9 < 15)) → (9 < 5) = ложь ∨ истина → ложь = истина → ложь = ложь. 

Для х = 4: ((4 > 10) ∨ (4 < 15)) → (4 < 5) = ложь ∨ истина → истина = истина → истина = истина.

Ответ: 1) ложь; 2) истина. 

Мы изучили основную теорию алгебры логики и разобрались, как решать 23 номер в ЕГЭ. Эта тема очень важна, поэтому не забывайте ее и постоянно практикуйтесь, чтобы подготовиться к экзамену лучше. Желаем вам легких вариантов и высоких баллов! 

Решение задач типа 2 (теория)


В качестве примера рассмотрим решение задачи 2 из демоверсии ГИА 2013 года:


Для какого из приведённых чисел истинно высказывание:
НЕ (Первая цифра чётная) И (Последняя цифра нечётная)?

1) 1234       2) 6843       3) 3561       4) 4562


Решение: 

В данной задаче у нас два высказывания и две логические операции — отрицание и конъюнкция. Обозначим первое высказывание буквой A, а второе — буквой B:

A = «Первая цифра чётная»

B = «Последняя цифра нечётная»

Представим высказывание из условия задачи в виде логического выражения:

¬A/\B

AB¬A¬A/\B
0010
0111
1000
1100

Как видно из таблицы, логическое выражение принимает истинное значение только в одном случае (он выделен цветом) — когда высказывание A ложно, а высказывание B истинно. Высказывание A у нас звучит так — «Первая цифра чётная«. Но оно должно быть ложным — т. е. получим «Первая цифра нечётная«. Высказывание B должно быть истинным, т. е. будет звучать так — » Последняя цифра нечётная«. Осталось найти из предложенных ответов число, у которого первая цифра нечетная и последняя цифра нечетная. И это число  3561, т. е. правильный ответ — 3. 

Рассмотрим решение задачи 2 демоверсии ГИА по информатике 2012:


Для какого из приведённых имён истинно высказывание:
НЕ(Первая буква гласная) И НЕ(Последняя буква согласная)?

1) Емеля       2) Иван       3) Михаил       4) Никита


 Решение

Алгоритм решения аналогичен предыдущей задаче. У нас есть два простых высказывания и две логические операции — отрицание и конъюнкция (отрицание используется дважды). Обозначим высказывания:

A = «Первая буква гласная»

B = «Последняя буква согласная»

Построим логическое выражение:

¬A /\ ¬B

 Строим таблицу истинности:

AB¬A¬B¬A /\ ¬B
00111
01100
10010
11000

Как мы видим выражение принимает истинное значение только когда оба исходных высказывания ложные. Т. е. нужно взять отрицание исходных высказываний и получим, что первая буква должна быть согласной, а последняя — гласной. Это условие удовлетворяет только слово Никита — правильный ответ 4.

Дополнение (ГИА 2014)

Для какого из приведённых чисел ложно высказывание:
НЕ (число > 50) ИЛИ (число чётное)?

1) 123       2) 56       3) 9       4) 8

Решение:

Вспомним, что такое отрицание и дизъюнкция. Итак, наше высказывание состоит из двух простых. Обозначим их A и B:

A = «число > 50″

B = «число чётное»

Тогда высказывание можно записать в виде

¬A \/ B

AB¬A¬A \/ B
0011
0111
1000
1101

Как мы видим, исходное высказывание ложно только в одном случае (выделено зеленым) — когда первое высказывание истинно, а второе ложно. Т. е. число должно быть больше 50 (т. к. высказывание А истинно) инечетное (так как высказывание B ложное). Из предложенных вариантов подходит только 123. Правильный ответ: 1


Предлагаю продолжить подготовку к ГИА разбором еще одной похожей задачи. На этот раз это задача из диагностической работы от 18.10.2013 года

Для какого из данных слов истинно высказывание:
НЕ (третья буква гласная) И (последняя согласная)?
1) слива    2) инжир    3) ананас    4) киви

AB¬A¬A /\ B
0010
0111
1000
1100

Зеленым цветом я выделил интересующий нас вариант когда высказывание истинно. Как видим, оно будет истинным если высказывание A ложное, а высказывание B истинное. Т. е. третья буква должна быть согласная, и последняя согласная. Из предложенных вариантов подходит только инЖиР. Это и есть правильный вариант.Ответ — 2.


Задача 2 Диагностической работы 19 декабря 2013 года (вариант ИНФ90301)

Для какого из приведённых значений числа X ложно высказывание:
(X = 9) ИЛИ НЕ (X < 10)?
1) 8       2) 9       3) 10       4) 11


Решение:

Давайте попробуем решить эту задачу без использования таблиц истинности. Итак, нужное число должно быть таким, что оно

(равно 9) ИЛИ НЕ (меньше 10).

НЕ меньше 10 заменим на больше или равно 10. Тогда получим

(равно 9) ИЛИ (больше или равно 10)

Чтобы это высказывание было ложным, необходимо, чтобы оба высказывания, входящие в него были ложными (смотрим дизъюнкцию). Т. е. число не должно равняться 9 и при этом не должно быть больше или равно 10. Такое число одно — это 8. Правильный ответ 1.

Логические выражения | Равносильные логические выражения

Логическое выражение может включать в себя логические переменные и константы, знаки логических операций, скобки, определяющие порядок выполнения логических операций.

Любое логическое высказывание можно записать в виде логического выражения (логической формулы). Например,
(x ⇒ y) ∧ z.
Простейшим вариантом логической формулы является одна логическая константа или одна логическая переменная.

Для формализации логических высказываний будем учитывать следующие положения:

Определение. Логической переменной называется переменная, значением которой может быть любое высказывание.

Логические переменные обозначаются латинскими буквами, которые могут снабжаться индексами, например: х, у, хk, yk, и т. п..

Существует две логические константы: 0 (ложь) и 1 (истина).

В логических выражениях операции имеют следующий приоритет:

  1. действия в скобках;
  2. инверсия;
  3. конъюнкция;
  4. дизъюнкция и строгая дизъюнкция;
  5. импликация;
  6. эквивалентность.

Построение таблицы истинности логического выражения

Для любого логического выражения можно построить таблицу истинности, в которой определяется его истинность или ложность при всех наборах исходных значений логических переменных.

Пример. Построить таблицу истинности для логического выражения: ¬ x ∧ ( y ⇒ z )

При построении таблиц истинности будем использовать следующий алгоритм:

  1. Определим количество строк в таблице истинности: = 2n (для нашего случая = 23),
    где n — число логических переменных, входящих в логическое выражение.
  2. Определим количество столбцов в таблице истинности: = n + p (для нашего случая 3 + 3),
    где p — количество логических операций в логическом выражении.
  3. Заполним все возможные наборы значений логических переменных
    (будем рассматривать набор значений логических переменных как двоичное число и расположим такие двоичные числа в порядке возрастания).
  4. Выполним логические операции в необходимой последовательности.
xyz¬ xy ⇒ z¬ x ∧ ( y ⇒ z )
000111
001111
010100
011111
100010
101010
110000
111010

Равносильные логические выражения.

Определение. Формулы А и В, зависящие от одного и того же набора переменных х1 х2, х3, …, хn, называют равносильными или эквивалентными, если на любом наборе значений переменных х1 х2, х3, …, хn они имеют одинаковые значения.

Для обозначения равносильности формул используется знак равенства, например А = В.

Любую формулу можно преобразовать к равносильной ей, в которой используются только базовые логические операции ∧, ∨ и ¬.

Представим через базовый набор эквивалентность:
x ⇔ y = ¬ x ∧ ¬ y ∨ x ∧ y

Докажем равносильность логических формул с помощью построения таблицы истинности.

xyx ⇔ y¬ x¬ y¬ x ∧ ¬ yx ∧ y¬ x ∧ ¬ y ∨ x ∧ y
00111101
01010000
10001000
11100111

Заметим, что результирующие столбцы в таблице истинности для левой и правой формулы совпали. Таким образом, формулы равносильные.

Таблица истинности: определение, правила и примеры — видео и стенограмма урока

Входные значения

Давайте возьмем утверждение: «На улице идет дождь». Это утверждение, которое мы можем представить с помощью переменной p , истинно или ложно.

p = На улице дождь

Если идет дождь, то p верно. Если не идет дождь, то p ложно.

Отрицание утверждения, называемого , а не p , является утверждением, которое противоречит p и имеет противоположное значение истинности.

не p = На улице нет дождя

Если на улице дождь, то not p является ложным. Если на улице нет дождя, то , а не p , верно.

Вот как обе эти возможности представлены в таблице истинности, в которой T представляет истину, а F представляет ложь:

Конъюнкция

Конъюнкция — это составное выражение, представляющее слово «и».Например, у нас есть следующие два утверждения:

p = На улице идет дождь
q = Футбольный матч отменен

Соединение p и q — это ‘На улице дождь, и футбольный матч отменен ». Это утверждение будет верным только в том случае, если верны и p , и q ; то есть, если на улице идет дождь и футбольный матч отменен. Если либо p , либо q ложно, то соединение ложно.

Вот таблица истинности, показывающая возможности конъюнкции:

Дизъюнкция

Дизъюнкция — это составное выражение, представляющее слово «или». Чтобы дизъюнкция была истинной, одно или оба исходных утверждения должны быть истинными. Разъединение приведенных выше утверждений p или q : «На улице идет дождь или футбольный матч отменен». Это утверждение верно, если истинны p или q или оба утверждения.

Вот как выглядит таблица истинности:

Следствие

Импликация — это условное выражение «если-то», например: «Если на улице идет дождь, футбольный матч отменяется». Поначалу импликации могут показаться сложными, поскольку они ложны только тогда, когда антецедент (часть «если») истинен, а следствие (часть «тогда») ложно.

Итак, вывод: «Если на улице идет дождь, то футбольный матч отменяется.’будет ложным, только если p истинно, а q ложно. То есть на улице идет дождь, но футбольный матч не отменяют. Смысл ложен, потому что обещание импликации было нарушено. Однако, если дождь не идет ( p ложно), то обещание импликации не может быть нарушено, поскольку первая часть (часть «если») никогда не происходила, поэтому импликация верна. Подразумевается, что не говорится, что произойдет, если на улице не будет дождя!

Вот как выглядит таблица истинности импликации:

Построение таблиц истинности

Теперь, когда вы ознакомились с некоторыми из основных таблиц истинности, вы можете начать создавать свои собственные для оценки более сложных составных утверждений.Полезно получить несколько советов по составлению таблиц организованным образом, чтобы не упустить ни одной возможности.

Шаг 1: Подсчитайте, сколько у вас утверждений, и сделайте столбец для каждого утверждения.

Шаг 2: Введите различные возможные значения истинности для каждого столбца. Если есть только один оператор, то в первом столбце будет только два случая (TF). Если есть два оператора, то есть четыре различных возможных случая: первый столбец будет (TTFF), а второй будет чередоваться (TFTF).Если есть три утверждения, то есть восемь различных возможных случаев: первый столбец будет (TTTTFFFF), второй будет (TTFFTTFF), а третий будет чередоваться (TFTFTFTF).

Шаг 3: Добавьте столбец для каждого отрицательного утверждения и введите значения истинности.

Шаг 4: Добавьте столбцы для любых союзов, дизъюнкций или импликаций, заключенных в круглые скобки или любых группирующих символов.

Шаг 5: Добавьте последний столбец для полного составного оператора.

Противопозитивный пример

Используя два предыдущих утверждения, давайте построим таблицу истинности для составного утверждения: «Если футбольный матч не отменен, то на улице не будет дождя». Это противоположность первоначальной импликации.

Отзыв:

p = На улице идет дождь
q = Футбольный матч отменен

Мы можем записать контрпозитив как not q then not p .

Шаг 1. У нас есть два оператора ( p и q ), поэтому нам нужны два столбца.

Шаг 2: Поскольку есть два утверждения, у нас будет четыре разных случая. Первый столбец будет (TTFF), а второй столбец будет (TFTF).

Шаг 3: Добавьте два столбца: один для , а не p , и один для , но не q .

Шаг 4: Добавьте последний столбец для , не q , затем , а не p .

Резюме урока

Мы можем использовать таблицу истинности как организованный способ увидеть все возможности при оценке того, является ли составное утверждение истинным или ложным.Буква или переменная обычно представляют утверждения. Чтобы выяснить, является ли утверждение истинным или ложным, мы используем правила логического рассуждения, такие как отрицание , конъюнкция , дизъюнкция и импликация . Эти правила также можно использовать для создания столбцов в таблице истинности, которая обычно включает два столбца case для каждого оператора и отдельные столбцы для каждого отрицательного оператора и полного составного оператора.

Введение в таблицы истинности и булеву алгебру | Бретт Берри | Math Hacks

Таблица истинности — это удобный небольшой логический прибор, который используется не только в математике, но также в компьютерных науках и философии, что делает его отличным междисциплинарным инструментом.Обозначения могут отличаться в зависимости от того, в какой дисциплине вы работаете, но основные концепции остаются теми же.

Этот учебник даст вам знания, необходимые для понимания символической логики. Мы начнем с определения общих операторов, а в следующей статье я покажу вам, как анализировать более сложное логическое утверждение.

→ Для получения дополнительных уроков по математике, посетите Math Hacks на YouTube!

Булева алгебра — это ветвь алгебры, которая включает в себя логические значения или истинные и ложные значения.Обычно они обозначаются как T или 1 для истинного и F или 0 для ложного . Используя эту простую систему, мы можем свести сложные утверждения в удобоваримые логические формулы.

Унарные операторы — это самые простые операции, поскольку они могут применяться к одному значению True или False.

Идентификатор

Идентификатор — наш тривиальный случай. В нем указано, что True — это правда, а False — это ложь.

Отрицание

Оператор отрицания обычно обозначается тильдой (~) или символом ¬ .Он отрицает или меняет истинную ценность чего-либо.

Мы можем показать эту взаимосвязь в таблице истинности. Таблица истинности — это способ организации информации для перечисления всех возможных сценариев.

Назовем первый столбец p для предложения. Во втором столбце мы применяем оператор к p, в данном случае это ~ p (читай: не p). Итак, как вы можете видеть, если наша посылка начинается как Истина, и мы отрицаем ее, мы получаем Ложь, и наоборот.

Таблица истинности для логического отрицания в обозначениях TF и ​​01

Logical True и Logical False

Это довольно странные операции.Логическая истина всегда приводит к Истине, а логическая ложь всегда приводит к Ложи, независимо от посылки. Эти операции часто называют «всегда истинными» и «всегда ложными».

Logical True (он же «всегда верно») в нотациях TF и ​​01 Логический False (он же «всегда false») в нотациях TF и ​​01

Для двоичных операторов требуются два предложения. Мы будем использовать p и q в качестве примеров предложений.

AND

Оператор AND (символически: ∧), также известный как логическое соединение требует, чтобы как p, так и q были истинными, чтобы результат был истинным.Все остальные случаи приводят к ложному результату. Логически это то же самое, что пересечение двух множеств в диаграмме Венна.

Раздел 1.1

Раздел 1.1 Логические формы и эквиваленты

Логическая форма и логика Эквивалентность | Определения | Сложный Заявления | Таблицы истинности

Логическая эквивалентность | Законы ДеМоргана | Таблица логических эквивалентов

Логический Форма и логическая эквивалентность

Содержание утверждения не совпадает с его логической формой.Например, рассмотрите 2 следующих утверждения:

    Если Салли просыпается поздно или опаздывает на автобус, она опоздает на работу. Поэтому, если Салли приходит на работу вовремя, она не просыпалась поздно и не опаздывала на автобус.

    Если x — действительное число такое, что x <-2 или x> 2, то x 2 > 4. Следовательно, если x 2 < 4, то x > -2 и x < 2.

Логический анализ не помогает определить достоинства аргумента.Вместо это помогает проанализировать форму аргумента, чтобы определить, правда ли Вывод следует из истинности предыдущих утверждений. В то время как содержание двух приведенных выше утверждений различно, их логическая форма похожий.

Пусть p означает утверждения «Салли поздно просыпается». и «x — действительное число такое, что x <-2».
Пусть q означает утверждения «Салли опаздывает на автобус». и «x — действительное число такое, что x> -2».
Пусть r для утверждений «Салли опаздывает на работу». и «x 2 > 4».


Тогда общая форма для обоих приведенных выше аргументов:

        Если p или q, то r.
        Следовательно, если не r, то не p и не q.

Практические упражнения


Д Е Ф И Н И Т И О Н С
Аргумент: последовательность утверждений, направленных на доказательство истины утверждения или утверждения.
Заявление: предложение, которое истинно или ложно, но не то и другое. Это также называется предложением.
Отрицание: , если p — переменная оператора, отрицание p — это «не p », обозначенное ~ p . Если p верно, то ~ p ложно.
Соединение: , если p и q — переменные инструкции, то соединение p и q составляет « p и q «, обозначено pq . Конъюнкция истинна только тогда, когда истинны обе переменные. Если 1 или обе переменные ложны, pq ложно.
Дизъюнкция: , если p и q — переменные инструкции, то дизъюнкция p и q составляет « p или q », обозначено pq . Дизъюнкция истинна, если истинны одна или обе переменные. шт. ложно, только если обе переменные ложны.
Тавтология: Форма утверждения, которая всегда верна. Правда делает не полагаться на значения отдельных утверждений, замененных на переменные оператора, но от логической структуры самого оператора. (т.е. вы получите пятерку в этом классе или нет).
Противоречие: Форма заявления, которая всегда ложна. Как тавтология, ложность заключается не в отдельных переменных утверждения, а в логическая структура самого высказывания.(т.е. я всегда вру.)


Составные отчеты

используйте символы (логические И), (логическое ИЛИ), и ~ (НЕ) для построения сложных логических операторов из более простых.

Пусть p = «жарко» и пусть q = «солнечно» Тогда заявление «Не жарко, но солнечно». можно написать символически:

~ п q
Практические упражнения


Однако утверждения должны иметь четко определенные значения истинности — они должны быть либо истинными, либо ложными.Истинность утверждения может быть выражена по Таблице истинности . А таблица истинности для данного утверждения отображает результирующие значения истинности для различных комбинации значений истинности для переменных. Правда соединения утверждение может быть логически выведено с использованием известных значений истинности для различных части заявления.
Таблица истинности для ~ п. Таблица истинности для pq Таблица истинности для pq
п ~ стр. п кв шт. п q шт.
т Ф т т т т т т
Ф т т Ф Ф т Ф т
Ф т Ф Ф т т
Ф Ф Ф Ф Ф Ф
Практические упражнения

Логическая эквивалентность:

Два оператора логически эквивалентны тогда и только тогда, когда их результирующие формы логически эквивалентны, когда идентичны переменные оператора используются для представления операторов компонентов.

Две формы операторов логически эквивалентны тогда и только тогда, когда их результирующие таблицы истинности идентичны для каждого варианта переменных утверждения.

p кв шт. qp
т т т т
т Ф Ф Ф
Ф т Ф Ф
Ф Ф Ф Ф

шт. и qp имеют одинаковые значения истинности, поэтому они логически эквивалентны .

Другие логически эквивалентные утверждения включают:

Чтобы проверить логическую эквивалентность 2 утверждений, постройте таблица истинности, которая включает в себя каждую переменную, которая должна быть оценена, а затем проверить чтобы увидеть, эквивалентны ли результирующие значения истинности двух утверждений.




Законы ДеМоргана

Отрицание конъюнкции (логическое И) двух операторов. логически эквивалентен дизъюнкции (логическое ИЛИ) каждого оператора отрицание.Похоже, что это не так, но это означает, что «не (A и B) « логически эквивалентно », а не А или нет Б ».

Аналогично отрицание дизъюнкции 2 утверждений логически эквивалентен конъюнкции отрицания каждого утверждения. Ставить просто «не (A или B)» логически эквивалент «не A и не B» . Символически это можно записать как

.

Эти два утверждения логически эквивалентны (щелкните здесь для определения), и это можно проверить используя таблицу истинности.




Таблица логики Эквиваленты:

Следующая таблица может быть использована для сокращения составных операторов до более простые формы. Для заданных переменных оператора p, q, и r , тавтология t и противоречие c, следующее правила логического удержания:

Логические эквиваленты могут использоваться для упрощения форм выписок и подтверждения или опровергнуть эквивалентность, чтобы создать эффективный и логически правильный компьютер программ или для помощи в проектировании цифровых логических схем.

Чтобы упростить эквивалентность, начните с одной стороны уравнения и попытайтесь чтобы заменить его части эквивалентными выражениями. Продолжайте делать это до тех пор, пока вы достигли желаемой формы выписки.

Практические упражнения

Преобразование таблиц истинности в логические выражения | Булева алгебра

При проектировании цифровых схем разработчик часто начинает с таблицы истинности, описывающей, что схема должна делать.

Задача проектирования в основном состоит в том, чтобы определить, какой тип схемы будет выполнять функцию, описанную в таблице истинности.

В то время как некоторые люди, кажется, обладают естественной способностью взглянуть на таблицу истинности и сразу же представить необходимые логические схемы или схемы релейной логики для решения задачи, для остальных из нас доступны процедурные методы.

Здесь булева алгебра наиболее убедительно доказывает свою полезность.

Чтобы проиллюстрировать этот процедурный метод, мы должны начать с реалистичной задачи дизайна.

Предположим, нам дали задание разработать схему обнаружения пламени для установки для сжигания токсичных отходов.

Сильный огонь предназначен для нейтрализации токсичности отходов, вводимых в мусоросжигательную печь.

Такие методы сжигания обычно используются для нейтрализации медицинских отходов, которые могут быть заражены смертельными вирусами или бактериями:

Пока в печи для сжигания поддерживается пламя, можно безопасно закачивать в нее отходы для нейтрализации.

Однако, если бы пламя было потушено, было бы небезопасно продолжать впрыскивать отходы в камеру сгорания, поскольку они выходили бы из выхлопной трубы не нейтрализованными и представляли бы угрозу для здоровья любого, кто находится в непосредственной близости от выхлопной трубы.

Что нам нужно в этой системе, так это надежный способ обнаружения наличия пламени и возможность впрыскивания отходов только в том случае, если наличие пламени «подтверждается» системой обнаружения пламени.

Существует несколько различных технологий обнаружения пламени: оптическая (обнаружение света), тепловая (обнаружение высокой температуры) и электропроводность (обнаружение ионизированных частиц на пути пламени), каждая из которых имеет свои уникальные преимущества и недостатки.

Предположим, что из-за высокой степени опасности, связанной с потенциальным выходом ненейтрализованных отходов из выхлопа этой установки для сжигания отходов, было решено сделать систему обнаружения пламени избыточной (несколько датчиков), чтобы отказ одного датчика не приводил к привести к выбросу токсинов из выхлопных газов.

Каждый датчик снабжен нормально разомкнутым контактом (разомкнут, если пламя отсутствует, замкнутым, если пламя обнаружено), который мы будем использовать для активации входов логической системы:

Наша задача сейчас состоит в том, чтобы спроектировать схему логической системы для открытия сливного клапана тогда и только тогда, когда есть хорошее пламя, подтвержденное датчиками.

Однако сначала мы должны решить, каким должно быть логическое поведение этой системы управления.

Хотим ли мы, чтобы клапан открывался, если только один из трех датчиков обнаруживает пламя? Вероятно, нет, потому что это противоречило бы цели наличия нескольких датчиков.

Если какой-либо из датчиков выйдет из строя таким образом, что будет ложно указывать на наличие пламени, когда его нет, логическая система, основанная на принципе «любой из трех датчиков, показывающих пламя», даст такой же выходной сигнал. что система с одним датчиком будет с таким же отказом.

Гораздо лучшим решением было бы спроектировать систему так, чтобы клапан открывался тогда и только тогда, когда все три датчика обнаруживают хорошее пламя.

Таким образом, любой отдельный неисправный датчик, ложно показывающий пламя, не может удерживать клапан в открытом положении; скорее, для возникновения этого опасного состояния потребовалось бы, чтобы все три датчика вышли из строя одним и тем же способом — крайне маловероятный сценарий.

Таким образом, наша таблица истинности будет выглядеть так:

Не требуется особого понимания, чтобы понять, что эта функциональность может быть сгенерирована с помощью логического элемента И с тремя входами: выход схемы будет «высоким», если и только если вход A И вход B И вход C все «высокие»:

При использовании релейной схемы мы могли бы создать эту функцию И, подключив три контакта реле последовательно или просто подключив три контакта датчика последовательно, так что единственный способ подачи электроэнергии для открытия сливного клапана — это если все три контакта датчики показывают пламя:

Хотя эта стратегия проектирования максимизирует безопасность, она делает систему очень восприимчивой к отказам датчиков противоположного типа.

Предположим, что один из трех датчиков должен был выйти из строя таким образом, что он показал отсутствие пламени, когда действительно было хорошее пламя в камере сгорания печи для сжигания.

Эта единичная неисправность приведет к излишнему перекрытию сливного клапана, что приведет к потере производственного времени и потере топлива (разжигание огня, который не использовался для сжигания отходов).

Было бы неплохо иметь логическую систему, которая учитывала бы этот вид сбоя без ненужного отключения системы, но все же обеспечивала бы резервирование датчика, чтобы поддерживать безопасность в случае, если какой-либо отдельный датчик выйдет из строя «на высоком уровне» (показывая пламя вообще раз, независимо от того, был ли он обнаружен).

Стратегия, которая удовлетворит обе потребности, — это логика датчика «два из трех», при которой сливной клапан открывается, если хотя бы два из трех датчиков показывают хорошее пламя.

Таблица истинности для такой системы будет выглядеть так:

Использование суммы произведений

Здесь не обязательно очевидно, какая логическая схема удовлетворяет таблице истинности.

Однако простой метод проектирования такой схемы находится в стандартной форме логического выражения, называемой формой Sum-Of-Products или SOP .

Как вы могли догадаться, логическое выражение суммы произведений — это буквально набор логических терминов, сложенных ( в сумме ) вместе, каждый член представляет собой мультипликативную ( произведение ) комбинацию логических переменных.

Пример выражения SOP может быть примерно таким: ABC + BC + DF, сумма произведений «ABC», «BC» и «DF».

Выражения суммы произведений легко сгенерировать из таблиц истинности.

Все, что нам нужно сделать, это проверить таблицу истинности для любых строк, где выход является «высоким» (1), и написать логический член произведения, который будет равен значению 1 с учетом этих входных условий.

Например, в четвертой строке ниже в таблице истинности для нашей логической системы два из трех, где A = 0, B = 1 и C = 1, термин продукта будет A’BC, поскольку это термин будет иметь значение 1 тогда и только тогда, когда A = 0, B = 1 и C = 1:

Три другие строки таблицы истинности имеют выходное значение 1, поэтому эти строки также нуждаются в логических выражениях произведения для их представления:

Наконец, мы соединяем эти четыре логических выражения продукта вместе путем сложения, чтобы создать одно логическое выражение, описывающее таблицу истинности в целом:

Теперь, когда у нас есть логическое выражение суммы произведений для функции таблицы истинности, мы можем легко спроектировать логический вентиль или релейную логическую схему на основе этого выражения:

К сожалению, обе эти схемы довольно сложны и нуждаются в упрощении.

Используя методы булевой алгебры, выражение можно значительно упростить:

В результате упрощения теперь мы можем создавать гораздо более простые логические схемы, выполняющие ту же функцию, в форме ворот или реле:

Любая из этих цепей будет адекватно выполнять задачу по управлению сливным клапаном инсинератора на основе проверки пламени от двух из трех датчиков пламени.

Как минимум, это то, что нам нужно для безопасной системы сжигания отходов.

Однако мы можем расширить функциональные возможности системы, добавив к ней логическую схему, предназначенную для определения того, не согласуется ли один из датчиков с двумя другими.

Если все три датчика работают правильно, они должны обнаруживать пламя с одинаковой точностью.

Таким образом, все они должны регистрировать «низкий» (000: нет пламени) или все регистрировать «высокий» (111: хорошее пламя).

Любая другая комбинация выходов (001, 010, 011, 100, 101 или 110) представляет собой разногласие между датчиками и, следовательно, может служить индикатором потенциального отказа датчика.

Если мы добавим схему для обнаружения любого из шести состояний «несоответствия датчика», мы могли бы использовать выход этой схемы для активации тревоги.

Кто бы ни следил за мусоросжигательной установкой, он должен был бы принять решение либо продолжить работу с возможным неисправным датчиком (входы: 011, 101 или 110), либо выключить мусоросжигательный завод, чтобы быть абсолютно безопасным.

Также, если инсинератор выключен (нет пламени), и один или несколько датчиков по-прежнему показывают пламя (001, 010, 011, 100, 101 или 110), в то время как другие указывают на отсутствие пламени , будет известно, что существует определенная проблема с датчиком.

Первым шагом в разработке схемы обнаружения «несоответствия датчика» является создание таблицы истинности, описывающей ее поведение.

Поскольку у нас уже есть таблица истинности, описывающая выход логической схемы «хорошего пламени», мы можем просто добавить в таблицу еще один столбец выходных данных, чтобы представить вторую схему, и составить таблицу, представляющую всю логическую систему:

Хотя можно сгенерировать выражение суммы произведений для этого нового столбца таблицы истинности, для этого потребуется шесть членов по три переменные каждое!

Такое логическое выражение потребует много шагов для упрощения с большим потенциалом для совершения алгебраических ошибок:

Использование сумм

Альтернативой генерации выражения суммы произведений для учета всех «высоких» (1) выходных условий в таблице истинности является создание выражения произведение сумм или POS для учета вместо этого для всех «низких» (0) условий вывода.

Поскольку в последнем столбце таблицы истинности гораздо меньше экземпляров «низкого» вывода, результирующее выражение «произведение сумм» должно содержать меньше членов.

Как следует из названия, выражение «произведение сумм» представляет собой набор добавленных членов ( суммы, ), которые умножаются (, произведение ) вместе.

Примером POS-выражения может быть (A + B) (C + D), произведение сумм «A + B» и «C + D».

Для начала мы определяем, какие строки в последнем столбце таблицы истинности имеют «низкие» (0) выходы, и записываем логический член суммы, который будет равен 0 для условий ввода этой строки.

Например, в первой строке таблицы истинности, где A = 0, B = 0 и C = 0, член суммы будет (A + B + C), поскольку этот член будет иметь значение 0, если и только если A = 0, B = 0 и C = 0:

Только одна другая строка в последнем столбце таблицы истинности имеет «низкий» (0) вывод, поэтому все, что нам нужно, это еще один член суммы для завершения нашего выражения «произведение сумм».

Этот последний член суммы представляет выход 0 для условий входа A = 1, B = 1 и C = 1.

Следовательно, термин должен быть записан как (A ’+ B’ + C ’), потому что только сумма дополненных входных переменных будет равна 0 только для этого условия:

Завершенное выражение «произведение сумм», конечно же, представляет собой мультипликативную комбинацию этих двух элементов суммы:

В то время как выражение Sum-Of-Products может быть реализовано в виде набора логических элементов AND, выходы которых соединяются с одним логическим элементом OR, выражение Product-Of-Sums может быть реализовано как набор логических элементов OR, входящих в одиночные ворота И:

Соответственно, в то время как выражение Sum-Of-Products может быть реализовано как параллельный набор последовательно соединенных контактов реле, выражение Product-Of-Sums может быть реализовано как последовательный набор параллельно соединенных контактов реле:

Две предыдущие схемы представляют разные версии только логической схемы «несоответствие датчика», а не схемы (ей) обнаружения «хорошего пламени».

Вся логическая система будет представлять собой комбинацию цепей «хорошего пламени» и «несоответствия датчика», показанных на одной схеме.

, реализованная в программируемом логическом контроллере (ПЛК), вся логическая система может выглядеть примерно так:

Как видите, стандартные логические формы суммы произведений и произведений суммы являются мощными инструментами при применении к таблицам истинности.

Они позволяют нам вывести логическое выражение — и, в конечном счете, реальную логическую схему — из ничего, кроме таблицы истинности, которая представляет собой письменную спецификацию того, что мы хотим, чтобы логическая схема выполняла.

Возможность перехода от письменной спецификации к реальной схеме с использованием простых детерминированных процедур означает, что можно автоматизировать процесс проектирования цифровой схемы.

Другими словами, компьютер может быть запрограммирован на создание собственной логической схемы на основе спецификации таблицы истинности!

Шаги, которые нужно пройти от таблицы истинности до окончательной схемы, настолько однозначны и прямолинейны, что для их выполнения не требуется, если вообще требуется, творчества или другой оригинальной мысли.

ОБЗОР:

  • Sum-Of-Products или SOP , логические выражения могут быть сгенерированы из таблиц истинности довольно легко, путем определения, какие строки таблицы имеют выход 1, написания одного термина продукта для каждой строки и, наконец, суммирования все условия продукта. Это создает логическое выражение, представляющее таблицу истинности в целом.
  • Выражения
  • Sum-Of-Products хорошо подходят для реализации в виде набора логических элементов И (продуктов), подаваемых в один вентиль ИЛИ (сумма).
  • Произведение сумм или POS , логические выражения также можно довольно легко сгенерировать из таблиц истинности, определив, какие строки таблицы имеют выход 0, записав один член суммы для каждой строки и, наконец, умножив все условия суммы. Это создает логическое выражение, представляющее таблицу истинности в целом.
  • Выражения
  • «произведение сумм» хорошо подходят для реализации в виде набора логических элементов ИЛИ (сумм), поступающих в один вентиль И (произведение).

СВЯЗАННЫЕ РАБОЧИЕ ЛИСТЫ:

Таблицы истинности — условные и двусмысленные («подразумевает» и «если и только если»)

Практически каждая теорема в математике принимает форму «если, то» (условное) или «если и только если» (сокращение от «если и только если» — двусловное). Поэтому очень важно понимать смысл этих утверждений. В этом руководстве мы посмотрим на таблицу истинности для каждого из них и на то, почему она получается именно такой.

реклама

При анализе таблиц истинности помните, что идея состоит в том, чтобы показать значение истинности для утверждения, учитывая все возможные комбинации значений истинности для p и q. Поэтому порядок строк не имеет значения — правильными должны быть сами строки. Для каждой приведенной ниже таблицы истинности у нас есть два утверждения: p и q. Они могут либо быть истинными (первая строка), либо ложными (последняя строка), либо иметь одно истинное, а другое ложное (две средние строки). Написание этого — первый шаг любой таблицы истинности.

Условное — «p означает q» или «если p, то q»


Условное утверждение гласит, что если p истинно, то q сразу же последует и, следовательно, будет истинным. Итак, первая строка естественно следует этому определению. Точно так же вторая строка следует за этим, потому что если мы говорим «p подразумевает q», и тогда p истинно, но q ложно, тогда утверждение «p подразумевает q» должно быть ложным, поскольку q не сразу следует за p.

Трудно подумать о последних двух рядах. Итак, давайте посмотрим на них по отдельности.

  • Строка 3: p — ложь, q — истина.
    Подумайте о следующем утверждении. Если солнечно, я ношу солнцезащитные очки. Если p ложно, а q истинно, то это означает, что сейчас не солнечно, но я все равно носил свои солнцезащитные очки. Это ни в коем случае не отменяет моего первоначального утверждения, поскольку мне могут просто нравиться мои солнцезащитные очки. Таким образом, если p ложно, но q истинно, разумно думать, что «p подразумевает q» все еще верно.
  • Строка 4: p — ложь, q — ложь.
    Используя приведенный выше пример солнцезащитных очков, это будет эквивалентно тому, что сейчас не солнечно и я не ношу солнцезащитные очки.Опять же, это не отменяет моего утверждения о том, что «в солнечную погоду я ношу солнцезащитные очки». Следовательно, если p ложно, а q истинно, «p подразумевает q» по-прежнему верно.

Продолжая пример с солнцезащитными очками еще немного, единственный раз, когда вы сомневаетесь в справедливости моего утверждения, это если вы видели меня в солнечный день без солнцезащитных очков (p истинно, q ложно). Следовательно, вы можете просто помнить, что условное выражение истинно во всех случаях, кроме одного: когда передняя часть (первая инструкция) истинна, а обратная (вторая инструкция) ложна.

Двуусловное — «p, если и только если q» или «p тогда и только тогда, когда q»

Утверждения «если и только если», которые математики любят сокращать с помощью «если и только», очень действенны, поскольку они по существу говорят, что p и q взаимозаменяемы. Когда одно верно, вы автоматически узнаете, что и другое верно. Кроме того, если одно из них ложно, другое также должно быть ложным. Это отражено в таблице истинности. Всякий раз, когда два утверждения имеют одинаковое значение истинности, двусловное условие истинно.В противном случае это ложь.

В двояковом условном выражении используется двойная стрелка, потому что на самом деле оно означает «p подразумевает q», а также «q подразумевает p». Символически это эквивалентно:

\ (\ влево (п \ Стрелка вправо q \ вправо) \ клин \ влево (д \ Стрелка вправо р \ вправо) \)

Эта форма может быть полезна при написании доказательств или при демонстрации логических эквивалентностей.

объявление

Сводка

Чтобы помочь вам запомнить таблицы истинности для этих утверждений, вы можете подумать о следующем:

  • Условное выражение p подразумевает q, ложно только тогда, когда переднее значение истинно, а обратное — ложно.В противном случае это правда.
  • Двуусловное условие p, если и только если q, истинно, если два утверждения имеют одинаковое значение истинности. В противном случае это ложь.

Продолжить рассмотрение отдельных математических тем

Предыдущая: Таблицы истинности для «не», «и», «или» (отрицание, соединение, дизъюнкция)

Далее: Анализ сложных предложений с помощью таблиц истинности

Подпишитесь на нашу рассылку новостей!

Мы всегда публикуем новые бесплатные уроки и добавляем новые учебные пособия, руководства по калькуляторам и пакеты задач.

Подпишитесь, чтобы получать электронные письма (раз в пару или три недели) с информацией о новинках!

Связанные

Глава 5 Таблицы истинности | В поисках истины: руководство к критическому мышлению

Переводы в логике высказываний — это только средство для достижения цели. Наша цель — использовать переведенные формулы для определения обоснованности аргументов. Для этого мы будем использовать инструмент, называемый таблицей истинности. По сути, таблица истинности — это список всех различных комбинаций значений истинности, которые может иметь предложение или набор предложений.

Одиночные предложения

Прежде чем мы сможем анализировать аргументы с помощью таблиц истинности, нам нужно знать, как построить таблицы истинности для отдельных предложений. Начнем с таблицы истинности отрицания. Сначала напишите формулу для анализа вверху.

\ [ \ begin {array} {cc} & \ neg P \\ & \\ & \ end {массив} \]

Слева от формулы перечислите буквы простого предложения в алфавитном порядке. В этом случае у нас есть только одна буква предложения.

\ [ \ begin {array} {cc} P & \ neg P \\ & \\ & \ end {массив} \]

Теперь нарисуйте горизонтальную линию под всем этим и вертикальную линию, отделяющую формулу от букв предложения, например:

\ [ \ begin {array} {c | c} P & \ neg P \\ \ hline & \\ & \ end {массив} \]

Следующий шаг — перечислить все возможные комбинации истинностных значений букв простого предложения.В этом случае у нас есть только одна буква, и она может быть либо истинной, либо ложной.

\ [ \ begin {array} {c | c} P & \ neg P \\ \ hline Т & \\ F & \ end {массив} \]

Наконец, введите значения истинности формулы для каждой строки, учитывая значения истинности простых предложений в этой строке. Поскольку отрицание просто изменяет значение истинности простого предложения, наша таблица истинности будет выглядеть так:

\ [ \ begin {array} {c | c} P & \ neg P \\ \ hline Т & Ф \\ F&T \ end {массив} \]

Теперь давайте построим таблицу истинности для конъюнкции.Снова запишем формулу вверху:

\ [ \ begin {array} {cccccc} & & P & \ & & Q \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \ end {массив} \]

Затем мы напишем простую букву предложения слева и проведем линии.

\ [ \ begin {array} {cc | cccc} P & Q & P & \ & & Q \\ \ hline & & & & \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \ end {массив} \]

Затем нам нужно написать все возможные комбинации значений истинности этих простых букв предложения.Во-первых, они оба могут быть правдой.

\ [ \ begin {array} {cc | cccc} P & Q & P & \ & & Q \\ \ hline T & T & & & \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \ end {массив} \]

Тогда \ (P \) может быть истинным, а \ (Q \) — ложным.

\ [ \ begin {array} {cc | cccc} P & Q & P & \ & & Q \\ \ hline T & T & & & \\ Т & Ф & & & \\ & & & & \\ & & & & \ end {массив} \]

Для следующей строки \ (P \) может быть ложным, а \ (Q \) истинным.

\ [ \ begin {array} {cc | cccc} P & Q & P & \ & & Q \\ \ hline T & T & & & \\ Т & Ф & & & \\ Ф & Т & & & \\ & & & & \ end {массив} \]

Наконец, они оба могут быть ложными.

\ [ \ begin {array} {cc | cccc} P & Q & P & \ & & Q \\ \ hline T & T & & & \\ Т & Ф & & & \\ Ф & Т & & & \\ F & F & & & \ end {массив} \]

Теперь мы просто добавляем остальное.Конъюнкция истинна, когда оба конъюнкта истинны, и ложь в противном случае. Итак, завершенная таблица истинности выглядит так.

\ [ \ begin {array} {cc | cccc} P & Q & P & \ & & Q \\ \ hline T & T & & T & \\ T & F & & F & \\ F & T & & F & \\ F & F & & F & \ end {массив} \]

Вот таблица истинности дизъюнкции. Помните, что дизъюнкция истинна, когда хотя бы одна дизъюнкция истинна, и ложна в противном случае.Итак, дизъюнкция ложна только в нижней строке.

\ [ \ begin {array} {cc | cccc} P & Q & P & \ vee & Q \\ \ hline T & T & & T & \\ T & F & & T & \\ F & T & & T & \\ F & F & & F & \ end {массив} \]

Вот как выглядит таблица истинности условного выражения. Условные выражения ложны, когда антецедент истинен, а вывод ложен, но они истинны в любое другое время.

\ [ \ begin {array} {cc | cccc} P & Q & P & \ rightarrow & Q \\ \ hline T & T & & T & \\ T & F & & F & \\ F & T & & T & \\ F & F & & T & \ end {массив} \]

И, наконец, таблица истинности для двусмысленных.Двуусловные выражения истинны, если обе стороны имеют одинаковое значение истинности. Это будет первая строка, где они оба истинны, и последняя строка, где они оба ложны.

\ [ \ begin {array} {cc | cccc} P & Q & P & \ leftrightarrow & Q \\ \ hline T & T & & T & \\ T & F & & F & \\ F & T & & F & \\ F & F & & T & \ end {массив} \]

Давайте сделаем немного длиннее. Вот таблица истинности для \ (P \ mathbin {\ &} (Q \ vee R) \):

Мы продолжим и напишем буквы в формулах и предложениях и проведем линии.

\ [ \ begin {array} {ccc | ccccc} P & Q & R & P & \ & & (Q & \ vee & R) \\ \ hline & & & & & & & \\ & & & & & & & \\ & & & & & & & \\ & & & & & & & \\ & & & & & & & \\ & & & & & & & \\ & & & & & & & \\ & & & & & & & & \ end {массив} \]

По мере того, как таблицы становятся больше, становится все труднее заполнять комбинации значений истинности для букв предложения.Выполняйте по одной целой строке за раз, легко пропустить комбинацию. Лучше всего делать это по всей колонке за раз. Начните с крайнего правого столбца и чередуйте буквы «T» и «F.»

\ [ \ begin {array} {ccc | ccccc} P & Q & R & P & \ & & (Q & \ vee & R) \\ \ hline & & T & & & & & \\ & & F & & & & & \\ & & T & & & & & \\ & & F & & & & & \\ & & T & & & & & \\ & & F & & & & & \\ & & T & & & & & \\ & & F & & & & & \ end {массив} \]

Затем перейдите к следующему столбцу слева.Здесь чередуются пары Т и пары F.

\ [ \ begin {array} {ccc | ccccc} P & Q & R & P & \ & & (Q & \ vee & R) \\ \ hline & T & T & & & & & \\ & Т & Ф & & & & & \\ & F & T & & & & & \\ & F & F & & & & & \\ & T & T & & & & & \\ & Т & Ф & & & & & \\ & F & T & & & & & \\ & F & F & & & & & & \ end {массив} \]

Может быть, теперь вы видите узор.Затем мы перейдем к следующему столбцу и поставим четыре Т и четыре F.

\ [ \ begin {array} {ccc | ccccc} P & Q & R & P & \ & & (Q & \ vee & R) \\ \ hline T & T & T & & & & & \\ T & T & F & & & & & \\ T & F & T & & & & & \\ T & F & F & & & & & \\ Ф & Т & Т & & & & & \\ Ф & Т & Ф & & & & & \\ F & F & T & & & & & \\ F & F & F & & & & & & \ end {массив} \]

Обратите внимание, что у нас восемь строк.Если бы было четыре разных простых предложения, у нас было бы шестнадцать, тридцать два вместо пяти и так далее. Общая формула такова: если имеется n простых предложений, то будет 2 n строк.

Затем мы заполняем остальную часть таблицы истинности. В более длинных таблицах может быть проще сначала скопировать столбцы букв предложения, например:

\ [ \ begin {array} {ccc | ccccc} P & Q & R & P & \ & & (Q & \ vee & R) \\ \ hline T & T & T & T & & T & & T \\ T & T & F & T & & T & & F \\ T & F & T & T & & F & & T \\ T & F & F & T & & F & & F \\ F & T & T & F & & T & & T \\ F & T & F & F & & T & & F \\ F & F & T & F & & F & & T \\ F & F & F & F & & F & & F \ end {массив} \]

Затем мы начинаем работу в круглых скобках.Поскольку это дизъюнкция, оно будет истинным, если хотя бы одно из Q и R истинно, и ложным, если оба они ложны.

\ [ \ begin {array} {ccc | ccccc} P & Q & R & P & \ & & (Q & \ vee & R) \\ \ hline T & T & T & T & & T & T & T \\ T & T & F & T & & T & T & F \\ T & F & T & T & & F & T & T \\ T & F & F & T & & F & F & F \\ F & T & T & F & & T & T & T \\ F & T & F & F & & T & T & F \\ F & F & T & F & & F & T & T \\ F & F & F & F & & F & F & F \ end {массив} \]

Теперь мы можем игнорировать столбцы под Q и R .Мы сосредоточились на P и столбце под символом дизъюнкции. Чтобы было понятно, удалим остальные.

\ [ \ begin {array} {ccc | ccccc} P & Q & R & P & \ & & (Q & \ vee & R) \\ \ hline T & T & T & T & & & T & \\ T & T & F & T & & & T & \\ T & F & T & T & & & T & \\ T & F & F & T & & & F & \\ F & T & T & F & & & T & \\ F & T & F & F & & & T & \\ F & F & T & F & & & T & \\ F & F & F & F & & & F & \ end {массив} \]

Теперь мы завершаем столбец для соединения.Это правда, если оба \ (P \) и \ (Q \ vee R \) истинны.

\ [ \ begin {array} {ccc | ccccc} P & Q & R & P & \ & & (Q & \ vee & R) \\ \ hline T & T & T & T & T & & T & \\ T & T & F & T & T & & T & \\ T & F & T & T & T & & T & \\ T & F & F & T & F & & F & \\ F & T & T & F & F & & T & \\ F & T & F & F & F & & T & \\ F & F & T & F & F & & T & \\ F & F & F & F & F & & F & \ end {массив} \]

В конечном счете, меня действительно интересует столбец под основным соединительным элементом.Я сделаю это смелым, чтобы внести ясность. Наша полная таблица истинности со всеми столбцами выглядит так:

\ [ \ begin {array} {ccc | ccccc} P & Q & R & P & \ & & (Q & \ vee & R) \\ \ hline T & T & T & T & \ textbf {T} & T & T & T \\ T & T & F & T & \ textbf {T} & T & T & F \\ T & F & T & T & \ textbf {T} & F & T & T \\ T & F & F & T & \ textbf {F} & F & F & F \\ F & T & T & F & \ textbf {F} & T & T & T \\ F & T & F & F & \ textbf {F} & T & T & F \\ F & F & T & F & \ textbf {F} & F & T & T \\ F & F & F & F & \ textbf {F} & F & F & F \ end {массив} \]

Обратите внимание, что столбец главной связки состоит из букв «Т» и «F.»Это называется непредвиденным обстоятельством. Условное утверждение верно для одних строк и ложно для других. Некоторые предложения верны во всех строках. Их называют тавтологиями. Вот простой пример:

\ [ \ begin {array} {c | ccc} P & P & \ vee & \ neg P \\ \ hline T & T & \ textbf {T} & F \\ F & F & \ textbf {T} & T \ end {массив} \]

Если в предложении есть буква F в каждой строке таблицы, это противоречие.

\ [ \ begin {array} {c | ccc} P & P & \ & & \ neg P \\ \ hline Т & Т & \ textbf {F} & F \\ F & F & \ textbf {F} & T \ end {массив} \]

Тавтологии не могут быть ложными, противоречия не могут быть истинными, а случайности могут быть истинными или ложными.

Логическая эквивалентность

Иногда полезно поместить пару предложений в одну и ту же таблицу истинности. Если столбцы под их основными связками идентичны, то предложения будут логически эквивалентны . Это означает, что они всегда имеют одинаковое значение истинности.

Вот пример. Предложения разделяются косой чертой.

\ [ \ begin {array} {cc | cccccccc} P & Q & \ neg & (P & \ & & Q) & / & \ neg P & \ vee & \ neg Q \\ \ hline T & T & \ textbf {F} & T & T & T & F & \ textbf {F} & F \\ T & F & \ textbf {T} & T & F & F & & F & \ textbf {T} & T \\ F & T & \ textbf {T} & F & F & T & T & \ textbf {T} & F \\ F & F & \ textbf {T} & F & F & F & T & \ textbf {T} & T \ end {массив} \]

Неудивительно, что эти предложения эквивалентны.Первый, по сути, утверждает, что это не так, что P и Q оба истинны, а второй утверждает, что по крайней мере одно из них ложно. Это всего лишь два способа сказать одно и то же.

Таблицы истинности и действительности

Чтобы оценить аргумент с помощью таблицы истинности, поместите предпосылки в строку, разделенную одной косой чертой, а затем заключение, разделенное двумя косыми чертами.

Вот простой аргумент под названием Modus Ponens:

  1. P \ (\ rightarrow \) Q
  2. п.
  3. К

Начнем таблицу истинности так:

\ [ \ begin {array} {cc | ccccccc} P & Q & (P & \ rightarrow & Q) & / & P & // & Q \\ \ hline & & & & & & & & \\ & & & & & & & & \\ & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & \ end {массив} \]

Затем введите возможные значения истинности для простых предложений слева.

\ [ \ begin {array} {cc | ccccccc} P & Q & (P & \ rightarrow & Q) & / & P & // & Q \\ \ hline T & T & & & & & & & \\ Т & Ф & & & & & & & \\ Ф & Т & & & & & & & \\ F & F & & & & & & & & \ end {массив} \]

Мы можем легко заполнить столбцы для второй посылки и заключения, поскольку они включают просто копирование столбцов P и Q.

\ [ \ begin {array} {cc | ccccccc} P & Q & (P & \ rightarrow & Q) & / & P & // & Q \\ \ hline T & T & & & & & T & & T \\ T & F & & & & & T & & F \\ F & T & & & & & F & & T \\ F & F & & & & & F & & F \ end {массив} \]

Наконец, заполним столбец для первой посылки.Помните, что условие ложно только тогда, когда antecdent истинно, а следствие ложно. Итак, первая посылка ложна во второй строке и истинна в других строках.

\ [ \ begin {array} {cc | ccccccc} P & Q & (P & \ rightarrow & Q) & / & P & // & Q \\ \ hline T & T & & T & & & T & & T \\ T & F & & F & & & T & & F \\ F & T & & T & & & F & & T \\ F & F & & T & & & F & & F \ end {массив} \]

Итак, что говорит нам, что аргумент верен? Помните, что аргумент действителен, если посылки не могут быть истинными, а вывод — ложным.Итак, мы проверяем, есть ли в таблице истинности строка, содержащая все истинные посылки и ложное заключение. Если да, то мы знаем, что аргумент недействителен. В этом аргументе единственная строка, в которой все предпосылки верны, — это строка 1. Однако в этой строке заключение также верно. Итак, этот аргумент верен.

Часто нет необходимости заполнять всю таблицу истинности для определения достоверности. Давайте посмотрим на ярлык, используя тот же аргумент. Я сразу вижу, что действительно есть только один ряд, над которым мне нужно работать.Посмотрим, сможешь ли ты выяснить, какой именно.

\ [ \ begin {array} {cc | ccccccc} P & Q & (P & \ rightarrow & Q) & / & P & // & Q \\ \ hline T & T & & & & & & & \\ Т & Ф & & & & & & & \\ Ф & Т & & & & & & & \\ F & F & & & & & & & & \ end {массив} \]

Мне нужно сосредоточиться только на строках, где я знаю, что посылки могут быть верными, а заключение — ложным.Итак, я могу спокойно игнорировать строки 3 и 4, потому что вторая предпосылка для этих строк неверна. Когда я смотрю на строки 1 и 2, я вижу, что вывод верен для строки 1. Итак, единственная строка, у которой есть шанс показать, что этот аргумент недействителен, — это строка 2. Итак, я буду работать над этим.

\ [ \ begin {array} {cc | ccccccc} P & Q & (P & \ rightarrow & Q) & / & P & // & Q \\ \ hline T & T & & & & & & & \\ T & F & & F & & & T & & F \\ Ф & Т & & & & & & & \\ F & F & & & & & & & & \ end {массив} \]

Поработав, вижу, что одно из помещений оказалось ложным.Итак, я знаю, что не существует ряда, в котором были бы все истинные предпосылки и ложный вывод.

Теперь посмотрим, что произойдет, если мы заменим вторую посылку заключением. Как вы думаете, на каких строках нам следует сосредоточиться?

\ [ \ begin {array} {cc | ccccccc} P & Q & (P & \ rightarrow & Q) & / & Q & // & P \\ \ hline T & T & & & & & & & \\ Т & Ф & & & & & & & \\ Ф & Т & & & & & & & \\ F & F & & & & & & & & \ end {массив} \]

Обратите внимание, что вывод неверен только в строках 3 и 4.Однако в строке 4 вторая посылка неверна. Итак, единственная строка, которая может сделать это недействительным, — это строка 3. Давайте поработаем и посмотрим, что получится.

\ [ \ begin {array} {cc | ccccccc} P & Q & (P & \ rightarrow & Q) & / & Q & // & P \\ \ hline T & T & & & & & & & \\ Т & Ф & & & & & & & \\ F & T & & T & & & T & & F \\ F & F & & & & & & & & \ end {массив} \]

Поскольку условие с ложным антецедентом истинно, первая посылка истинна в строке 3.Вторая посылка также верна, но вывод неверен. Итак, этот аргумент неверен. Фактически, это настолько распространенный неверный аргумент, что у него есть название: «Предполагая, что следствие».

Вот еще один пример:

  1. P \ (\ rightarrow \) Q
  2. ¬ Q
  3. ¬ P

\ [ \ begin {array} {cc | ccccccc} P & Q & (P & \ rightarrow & Q) & / & \ neg Q & // & \ neg P \\ \ hline T & T & & & & & & & \\ Т & Ф & & & & & & & \\ Ф & Т & & & & & & & \\ F & F & & & & & & & & \ end {массив} \]

Мы просто заполним все:

\ [ \ begin {array} {cc | ccccccc} P & Q & (P & \ rightarrow & Q) & / & \ neg Q & // & \ neg P \\ \ hline T & T & & T & & & F & & F \\ T & F & & F & & & T & & F \\ F & T & & T & & & F & & T \\ F & F & & T & & & & T & & T \ end {массив} \]

Нет линии со всеми истинными предпосылками и ложным заключением, поэтому аргумент действителен.Этот тип аргумента называется латинским именем Modus Tollens . Давайте снова поменяем вторую посылку и заключение и посмотрим, что произойдет.

\ [ \ begin {array} {cc | ccccccc} P & Q & (P & \ rightarrow & Q) & / & \ neg P & // & \ neg Q \\ \ hline T & T & & T & & & F & & F \\ T & F & & F & & & F & & T \\ F & T & & T & & & T & & F \\ F & F & & T & & & & T & & T \ end {массив} \]

Третья строка содержит все истинные посылки и ложный вывод, поэтому этот аргумент неверен.Это называется «отрицанием предшествующего».

Давайте попробуем таблицу истинности для более сложного аргумента.

  1. A v B
  2. А → (В против С)
  3. ¬ (C&A)
  4. В

Таблица начинается так:

\ [ \ begin {массив} {ccc | cccccccccccccccc} A & B & C & A & \ vee & B & / & A & \ rightarrow & (B & \ vee & C) & / & \ neg & (C & \ & & A) & // & B \\ \ hline Т & Т & Т & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ Т & Т & Ф & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ Т & Ф & Т & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ Т & Ф & Ф & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ Ф & Т & Т & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ Ф & Т & Ф & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ Ф & Ф & Т & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ F & F & F & & & & & & & & & & & & & & & & & & \ end {массив} \]

Я расскажу вам первую строчку, а потом заполню остальные.В первой строке, поскольку A и B оба верны, первая посылка верна. Вторая посылка — это условное выражение с истинным antecdent и истинным консеквентом (B и C истинны, что делает \ (B \ vee C \) истинным). Итак, верна и вторая посылка. Третья посылка ложна, поскольку это отрицание истинного союза. Наконец, вывод верный.

\ [ \ begin {массив} {ccc | cccccccccccccccc} A & B & C & A & \ vee & B & / & A & \ rightarrow & (B & \ vee & C) & / & \ neg & (C & \ & & A) & // & B \\ \ hline T & T & T & T & T & T & & T & T & T & T & T & & F & T & T & T & & T \\ Т & Т & Ф & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ Т & Ф & Т & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ Т & Ф & Ф & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ Ф & Т & Т & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ Ф & Т & Ф & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ Ф & Ф & Т & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ F & F & F & & & & & & & & & & & & & & & & & & \ end {массив} \]

Заполненная таблица истинности выглядит так:

\ [ \ begin {массив} {ccc | cccccccccccccccc} A & B & C & A & \ vee & B & / & A & \ rightarrow & (B & \ vee & C) & / & \ neg & (C & \ & & A) & // & B \\ \ hline T & T & T & T & T & T & & T & T & T & T & T & & F & T & T & T & & T \\ T & T & F & T & T & T & & T & T & T & T & F & & T & F & F & T & & T \\ T & F & T & T & T & F & & T & T & F & T & T & & F & T & T & T & & F \\ T & F & F & T & T & F & & T & F & F & F & F & & T & F & F & T & & F \\ F & T & T & F & T & T & & F & T & T & T & T & & T & T & F & F & & T \\ F & T & F & F & T & T & & F & T & T & T & F & & T & F & F & F & & T \\ F & F & T & F & F & F & & F & T & F & T & T & & T & T & F & F & & F \\ F & F & F & F & F & F & & F & T & F & F & F & & T & F & F & F & & F \ end {массив} \]

Нет линии со всеми истинными предпосылками и ложным заключением, поэтому аргумент действителен.

Краткие таблицы истинности

Таблицы истинности могут использоваться для определения достоверности любого аргумента в логике высказываний. Если вы будете внимательно следовать правилам , не допуская ошибок по неосторожности , вы гарантированно получите правильный ответ. Единственный недостаток — они очень быстро становятся очень большими. Таблица истинности аргумента с шестью простыми предложениями состоит из 64 строк — это не то, чего большинство из нас с нетерпением ждало бы.

Было бы хорошо, если бы был способ перейти прямо к строке, показывающей, что аргумент недействителен, если он есть.К счастью, есть, хотя временами это может быть сложно.

Давайте попробуем этот аргумент:

  1. A&B
  2. ¬ [A → (C v D)]
  3. C против D

Первый шаг — настроить таблицу истинности, как мы делали это раньше, но нам понадобится только одна строка.

\ [ \ begin {array} {ccc | cccccccccccccc} A & B & C & A & \ & & B & / & \ neg & [A & \ rightarrow & (C & \ vee & D)] & // & C & \ vee & D \\ \ hline & & & & & & & & & & & & & & & & & \ end {массив} \]

Следующий шаг — поставить букву «Т» под основным оператором всех помещений и букву «Т» под основным оператором заключения.

\ [ \ begin {array} {ccc | cccccccccccccc} A & B & C & A & \ & & B & / & \ neg & [A & \ rightarrow & (C & \ vee & D)] & // & C & \ vee & D \\ \ hline & & & & T & & & T & & & & & & & & & F & \ end {массив} \]

Когда мы делаем это, мы предполагаем, что существует линия, на которой все предпосылки аргумента истинны, а вывод ложен.Теперь посмотрим, приводит ли это предположение к противоречию. Если да, то такой строки быть не может, и аргумент допустим. Если это не приведет к противоречию, то будет такая строчка, и аргумент будет недействительным.

Теперь мы начнем заполнять то, что должно быть правдой, если наши предположения верны. Первая посылка — истинное соединение, поэтому оба конъюнкта должны быть истинными.

\ [ \ begin {array} {ccc | cccccccccccccc} A & B & C & A & \ & & B & / & \ neg & [A & \ rightarrow & (C & \ vee & D)] & // & C & \ vee & D \\ \ hline & & & T & T & T & & T & & & & & & & & & F & \ end {массив} \]

Заключение — ложная дизъюнкция, поэтому оба дизъюнкта должны быть ложными.

\ [ \ begin {array} {ccc | cccccccccccccc} A & B & C & A & \ & & B & / & \ neg & [A & \ rightarrow & (C & \ vee & D)] & // & C & \ vee & D \\ \ hline & & & T & T & T & & T & & & & & & & F & F & F \ end {массив} \]

Теперь мы знаем, какими должны быть A, B, C и D. Давайте перенесем эти ценности во вторую предпосылку.

\ [ \ begin {array} {ccc | cccccccccccccc} A & B & C & A & \ & & B & / & \ neg & [A & \ rightarrow & (C & \ vee & D)] & // & C & \ vee & D \\ \ hline & & & T & T & T & & T & T & & F & & F & & F & F & F \ end {массив} \]

Теперь нам нужно закончить вторую предпосылку. Начнем с дизъюнкции в антецеденте условного.

Затем само условие:

Теперь проверим, нет ли проблем. Мы ищем что-то вроде письма с разными значениями истинности или ложного дизъюнкта с истинным дизъюнктом. Здесь каждая буква имеет одинаковое значение истинности, где бы она ни встречалась. У нас есть конъюнкция с двумя истинными союзами, двумя ложными дизъюнкциями, обе с двумя ложными дизъюнкциями, ложное условное выражение с истинным антецедентом и ложным следствием и истинное отрицание с ложным отрицанием предложения.Все выглядит нормально, а это значит, что может быть для аргумента, имеющего истинные посылки и ложный вывод, и определенно неверен. Проблемной строкой будет строка, в которой A истинно, B истинно, C ложно и D ложно. Это будет четвертая строка всей таблицы истинности.

Давай попробуем другой. Вот классический аргумент, называемый конструктивной дилеммой:

  1. A ⊃ B
  2. C ⊃ D
  3. А против С
  4. B против D

Начните с построения основного заголовка таблицы.

\ [ \ begin {массив} {cccc | ccccccccccccccc} A & B & C & D & A & \ rightarrow & B & / & C & \ rightarrow & D & / & A & \ vee & C & // & B & \ vee & D \\ & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \ end {массив} \]

Затем заполните T и F под основной соединительной частью помещения и вывода соответственно.

\ [ \ begin {массив} {cccc | ccccccccccccccc} A & B & C & D & A & \ rightarrow & B & / & C & \ rightarrow & D & / & A & \ vee & C & // & B & \ vee & D \\ & & & & & T & & & & T & & & & T & & & & F & \ end {массив} \]

Затем мы заполним то, что можем вычислить, исходя из этих предположений. Мы пока ничего не знаем о помещениях.Первые два являются истинными условными выражениями, и есть три разных способа, которыми условное выражение может стать истинным. То же самое и с истинной дизъюнкцией в третьей посылке. Итак, начнем с вывода. Поскольку это ложная дизъюнкция, то и B, и D должны быть ложными.

\ [ \ begin {массив} {cccc | ccccccccccccccc} A & B & C & D & A & \ rightarrow & B & / & C & \ rightarrow & D & / & A & \ vee & C & // & B & \ vee & D \\ & & & & & T & & & & T & & & & & T & & & F & F & F \ end {массив} \]

Затем мы можем заполнить эти значения везде, где встречаются B и D.

\ [ \ begin {массив} {cccc | ccccccccccccccc} A & B & C & D & A & \ rightarrow & B & / & C & \ rightarrow & D & / & A & \ vee & C & // & B & \ vee & D \\ & & & & & T & F & & & T & F & & & T & & & F & F & F \ end {массив} \]

Теперь мы можем сделать первые два предположения. Обратите внимание, что у нас есть истинные условные выражения с ложными следствиями.Это означает, что оба антецедента должны быть ложными.

\ [ \ begin {массив} {cccc | ccccccccccccccc} A & B & C & D & A & \ rightarrow & B & / & C & \ rightarrow & D & / & A & \ vee & C & // & B & \ vee & D \\ & & & & F & T & F & & F & T & F & & & T & & & & F & F & F \ end {массив} \]

Теперь мы можем заполнить то место, где встречаются A и C в третьей посылке.

\ [ \ begin {массив} {cccc | ccccccccccccccc} A & B & C & D & A & \ rightarrow & B & / & C & \ rightarrow & D & / & A & \ vee & C & // & B & \ vee & D \\ & & & & F & T & F & & F & T & F & & F & T & F & & F & F & F \ end {массив} \]

Теперь у нас проблема. У нас есть истинная дизъюнкция в третьей посылке с двумя ложными дизъюнкциями.Это противоречие. Это означает, что мы не можем сделать этот аргумент имеющим истинные посылки и ложный вывод. Мы доказали, что аргумент верен.

Формы аргумента

Прежде чем мы оставим логику высказываний, вот несколько важных форм аргументации, которые могут быть полезны.

Действителен

Modus Ponens

  1. P \ (\ rightarrow \) Q
  2. п.
  3. К

Modus Tollens

  1. P \ (\ rightarrow \) Q
  2. ¬ Q
  3. ¬ P

Дизъюнктивный силлогизм

  1. A v B
  2. ¬ B
  3. А

Гипотетический силлогизм

  1. A ⊃ B
  2. B C
  3. A ⊃ C

Конструктивная дилемма

  1. A ⊃ B
  2. C ⊃ D
  3. А против С
  4. B против D

Деструктивная дилемма

  1. A ⊃ B
  2. C ⊃ D
  3. ¬B v ¬ D
  4. ¬A v ¬ C

Неверно

Подтверждение утверждения

  1. P \ (\ rightarrow \) Q
  2. Q
  3. -п

Отказ от предшествующего

  1. P \ (\ rightarrow \) Q
  2. ¬ П
  3. ¬

Таблицы истинности — Символьная логика

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или несколько ваших авторских прав, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в виде ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; и Ваше заявление: (а) вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

.

alexxlab

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *