Site Loader

Содержание

Функции алгебры логики — Учись Как На Парах!

Каждой операции над высказываниями из предыдущего параграфа отвечает операция над их истинностными значениями. Напомним, что истинностное значение высказывания есть элемент булева отрезка Á={0,1}.

Определение 2.2. Переменная Х, принимающая значения 0 и 1, Называется двоичной, или булевой Переменной.

Таким образом, каждой N-местной операции над высказываниями отвечает отображение NМерного булева куба в булев отрезок, которое называется Булевой функцией N булевых переменных (или Двоичной функцией, или Функцией алгебры логики).

Булева функция

задаётся таблицей её значений, которая в данном случае называется также таблицей истинности:

X1

X2

X3

Xn1

Xn

F(X1, X2, …, Xn)

0

0

0

0

0

F(0, 0, …, 0, 0)

0

0

0

0

1

F(0, 0, …, 0, 1)

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

1

1

1

1

0

F(1, 1, …, 1, 0)

1

1

1

1

1

F(1, 1, …, 1, 1)

Если отбросить последний столбец этой таблицы, то в её строках последовательно записаны в виде N-разрядных двоичных чисел номера 00…0=0, 00…1=1, …, 11…1=2N-1. Именно в таком порядке мы будем всегда перечислять точки (X1,…,Xn) булева куба ÁN. Таблицей истинности можно задать сразу несколько булевых функций — по одному столбцу для значений каждой функции.

Пусть F — булева функция N переменных. Выписывая по очереди её значения

, ,…, , получим битовую строку длины 2N , изображающую в двоичной записи некоторое число N(F), причём N Является биекцией множества всех булевых функций N переменных на множество , так что число N(F) можно рассматривать как код булевой функции F. Такая кодировка, в частности, делает очевидным следующий результат.

Теорема 2.3. Всего существует

Различных функций алгебры логики n переменных.

В частности, существует 4 булевы функции одной переменной:

Функции

называются (соответственно) нулём, отрицанием, единицей.

Имеется 16 булевых функций двух булевых переменных:

X1

X2


F0

0

F1

XX2

Или

Или

F2

F3

X1

F4

F5

X2

F6

XX2

F7

X1Úx2

F8 X1¯x2

F9

X1~X2

F10

F11 XX1

F13

XX2

F14 XX2

F15 1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

1

1

1

1

1

1

0

1

0

0

0

0

1

1

1

1

0

0

0

0

1

1

1

1

1

0

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

1

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

Названия функций: F1Конъюнкция, или умножение, F6 — сложение по модулю 2, F7Дизъюнкция, F8 — стрелка Пирса, F9Эквиваленция, или эквивалентность, F13Импликация, F14 — штрих Шеффера. Кроме приведенных в таблице, используют ещё следующие обозначения для булевых операций: & — для конъюнкции; Þ и É — для импликации; « и º — для эквивалентности; Å, +, T, D — для сложения по модулю 2. Все соотношения между высказываниями, перечисленные в теоремах 2.1, 2.2, сохраняются для соответствующих булевых функций с заменой равносильности на равенство.

Отметим ещё один способ задания булевых функций. Характеристическим множеством Функции

Называют прообраз единицы относительно отображения F: . Задавая характеристическое множество булевой функции списком его элементов, часто записывают вместо булевой строки число, двоичной записью которого оно является. Например, сложение по модулю два принимает значение 1 в двух точках двумерного булева куба: (0, 1) и (1, 0). Так как 01 является двоичной записью числа 1, а 10 — числа 2, то пишем .

Записи по теме

ФУНКЦИИ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ (продолжение) — PDF Free Download

Глава III.

АЛГЕБРА ЛОГИКИ

Глава III АЛГЕБРА ЛОГИКИ Функцией алгебры логики называется отображение f: E2, где x i E 2, i =, 2,, Функции алгебры логики также называются булевыми функциями (в честь английского математика Дж Буля)

Подробнее

5. БУЛЕВЫ ФУНКЦИИ(примеры доказательств)

5. БУЛЕВЫ ФУНКЦИИ(примеры доказательств) 1. Двоичные векторы Любое положительное целое число имеет единственное двоичное представление (представление в виде суммы неповторяющихся степеней числа 2). Например:

Подробнее

Дискретная математика

Дискретная математика Часть 2 ВЕ Алексеев 2016 Глава 6 Логические функции Алгебра логики 61 Булевы функции Существенные и фиктивные переменные Функция, у которой каждая переменная принимает значения из

Подробнее

Дискретная математика

Дискретная математика Часть 4 ВЕ Алексеев 2014 Глава 6 Логические функции Алгебра логики 61 Булевы функции Существенные и фиктивнык переменные Функция, у которой каждая переменная принимает значения из

Подробнее

Глава III.

Алгебра логики

Глава III. Алгебра логики Современная алгебра логики делится на алгебру высказываний и алгебру предикатов. Под высказыванием понимается имеющее смысл языковое выражение, относительно которого можно утверждать,

Подробнее

Решения задач по двузначной логике

Решения задач по двузначной логике Ф.Г. Кораблев Задача 1. Для функции f(x, y, z) = ((x y) (x z)) (z x) найти существенные и фиктивные переменные, произвести операцию исключения фиктивных переменных. Решение.

Подробнее

II. АЛГЕБРА ЛОГИКИ. 1. Понятие алгебры

II АЛГЕБРА ЛОГИКИ Понятие алгебры n Функция типа ϕ: M M называется n -арной операцией на множестве M ; n называется арностью операции Множество M вместе с заданной на нем совокупностью операций = { ϕ,,

Подробнее

Полные системы связок

Математическая логика и теория вычислимости Лекция 2. Кафедра математических и информационных технологий Санкт-Петербургского академического университета 20.02.2017 План лекции 1 Полнота системы связок

Подробнее

Тема 9. Логические основы ЭВМ.

Тема 9. Логические основы ЭВМ. 1. Логика. Информация, обрабатываемая в ЭВМ, представляется с помощью физических величин, которые могут принимать только два устойчивых состояния и называются «двоичные переменные».

Подробнее

Основы алгебры логики

Основы алгебры логики Максименкова Ольга Вениаминовна, ст. преподаватель департамента программной инженерии ФКН НИУ ВШЭ, м.н.с. МНУЛ ИССА Чуйкин Николай Константинович, выпускник образовательной программы

Подробнее

1 Дизъюнкция, конъюнкция и др.

1 Дизъюнкция, конъюнкция и др. 1. Таблица истинности дизъюнкции, стрелка Пирса 1. p q p q p q 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 2. Таблица истинности. Конъюнкция, штрих Шеффера 2 p q p q p q 0 0 0 1 0 1

Подробнее

1.Основные сведения из алгебры логики

Тема 4. Логические основы ЭВМ 1.ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ… 1 2. ЗАКОНЫ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ… 4 3. ПОНЯТИЕ О МИНИМИЗАЦИИ ЛОГИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ… 6 4.ТЕХНИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ЛОГИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ…

Подробнее

X 1 X 2 F(X 1, X 2 ) X X 1

Лекция 6 — Минимизация логических функций (часть 3) Метод диаграмм Карно графический способ минимизации булевых функций, обеспечивающий простое и быстрое нахождение решения для небольшого числа переменных

Подробнее

Сборник задач по высшей математике

Сборник задач по высшей математике àñòü 2 Учебное пособие Под редакцией À. Ñ. Ïîñïåëîâà Рекомендовано Министерством образования и науки РФ в качестве учебного пособия для студентов вузов, обучающихся по

Подробнее

ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА Часть ЛОГИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ Учебное пособие по дисциплинам «Дискретная математика»

Подробнее

Функции алгебры логики

Математическая логика Функции алгебры логики Лектор: к. ф.-м.н., доцент кафедры прикладной информатики и теории вероятностей РУДН Зарипова Эльвира Ринатовна [email protected] Курс математической логики Наименование

Подробнее

2 Перечень технических средств обучения

Практическая работа 6 Решение логических задач с применением законов алгебры логики Цель работы: закрепление умений преобразовывать логические выражения с использованием законов алгебры логики, вычислять

Подробнее

Нормальные формы булевых функций

Нормальные формы булевых функций Основные изучаемые понятия Слово «нормальный» здесь означает «стандартный», соответствующий нормам Проблема Есть только «классические» булевы функции: отрицание конъюнкция

Подробнее

Основы математической логики.

Основы математической логики. Киселев Александр Сергеевич Аничков лицей, 6 класс, первый год обучения январь-февраль 2012/13 учебный год 1 Высказывания и предикаты 1. 1 Высказывания Определение 1.1. Определение:

Подробнее

1.1. Основные определения

III. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА ГЛАВА 1. ПЕРЕКЛЮЧАТЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 1.1. Основные определения Переключательными (логическими) функциями называют функции, область значений которых есть подмножество двухэлементного

Подробнее

Лекция 3 Булевы алгебры и булевы функции

Лекция 3 Булевы алгебры и булевы функции Булевы алгебры Понятие об алгебраических системах Алгебраическая система или алгебраическая структура множество символов некоторого алфавита (носитель) с заданным

Подробнее

Задачи по дискретной математике

Министерство образования Российской федерации Донской государственный технический университет Кафедра «Высшая математика» Задачи по дискретной математике Ростов-на-Дону 2001 УДК 517 Составители: Баранов

Подробнее

Основы алгебры логики

Расчетная работа 4 Основы алгебры логики Поскольку в цифровых устройствах используются только два символа 0 и 1, алгебра логики использует логические переменные и функции от них, которые также принимают

Подробнее

ПРИКЛАДНАЯ ТЕОРИЯ ЦИФРОВЫХ АВТОМАТОВ

О. М.Картвелишвили, М.О.Картвелишвили ПРИКЛАДНАЯ ТЕОРИЯ ЦИФРОВЫХ АВТОМАТОВ «ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» 1 О.М.Картвелишвили, М.О.Картвелишвили Прикладная теория цифровых автоматов Утверждено Редакционноиздательским

Подробнее

Задачи по дискретной математике

Задачи по дискретной математике Ф.Г. Кораблев 1 Комбинаторика 1.1. Найти число подмножеств X множества {A, B, C, D, E, F, G, H, I, J}, обладающие следующими свойствами: 1. X = 3 2. X = 5, A X 3. X = 6,

Подробнее

Раздел 2. Основы логики высказываний.

Лекция 2 Раздел 2. Основы логики высказываний. Высказывание. Операции над высказываниями: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность. Истинностные таблицы. Пропозициональные буквы,

Подробнее

сайты:

Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Булевы и логические функции Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 3-е, испр.

Подробнее

ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Лектор Селезнева Светлана Николаевна

Лекция 1. Конечнозначные функции. Элементарные k-значные функции. Способы задания k-значных функций: таблицы, формулы, 1-я и 2-я формы, полиномы. Полнота. Теорема о полноте системы Поста. Функция Вебба.

Подробнее

Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Булевы и логические функции Раздел электронного учебника для сопровождения лекции e-mail: [email protected] ru,

Подробнее

Тождества Булевой алгебры

Тождества Булевой алгебры Основная задача математической логики на основании ложности или истинности простых высказываний определить значение сложного высказывания. Логические операции алгебре высказываний

Подробнее

МНОЖЕСТВО ГЛАВА 1. Задача 1. Пусть A множество делителей числа 6. Определить, принадлежат ли множеству A числа 3 и 4.

ГЛАВА 1 МНОЖЕСТВО Собрание предметов, родственных по некоторому признаку, часто рассматривается как самостоятельный объект. Пример 1. А, Б, В, Г,… это алфавит. Пример 2. 1, 2, 3, 4,… это натуральные

Подробнее

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ АВТОМАТИКИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Курганский государственный университет» Кафедра «Автоматизация

Подробнее

Вопросы по дискретной математике.

Вопросы по дискретной математике Понятие множества Операции над множествами Диаграммы Эйлера-Венна Мощность множества Счетные множества 3 Прямое произведение множеств Понятие -местного отношения 4 Соответствия

Подробнее

Логические основы работы ЭВМ

Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тихоокеанский государственный университет» Логические основы работы

Подробнее

Пример решения: данному уравнению. Здесь

Задание : Постройте таблицу истинности логической функции F A B C F Вычислите десятичный номер функции по формуле: Значения функции удовлетворяют системе линейных уравнений в поле, эквивалентной уравнению

Подробнее

B4 (высокий уровень, время 10 мин)

B4 (высокий уровень, время 1 мин) Тема: Преобразование логических выражений. Про обозначения К сожалению, обозначения логических операций И, ИЛИ и НЕ, принятые в «серьезной» математической логике (,, ),

Подробнее

Функции алгебры логики. Логический базис (Реферат)

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

Кафедра радиотехнических устройств

РЕФЕРАТ

На тему:

«Функции алгебры логики. Логический базис»

МИНСК, 2008

1. Функции алгебры логики (ФАЛ)

Радиоэлектроника в настоящее время во многом определяет научно- технический прогресс и объединяет ряд отдельных областей науки и техники, развившихся из радиотехники и электроники.

Радиотехника  область науки и техники, связанная с разработкой устройств и систем, обеспечивающих генерирование, усиление, преобразование, хранение, а также излучение и прием электромагнитных колебаний радиочастотного диапазона, используемых для передачи информации.

В современных радиотехнических системах и комплексах до 90% разрабатываемых устройств реализуется на элементах цифровой и вычислительной техники и используются цифровые методы обработки сигналов.

В настоящее время бурно развивается по экспоненциальному закону вычислительная техника и ее элементная база. А не так давно первые интегральные микросхемы (1958 год) содержали до десяти транзисторов. Сегодня современные микропроцессоры содержат до 10 миллионов транзисторов на один кристалл, и менее чем через десять лет это число достигнет 100 миллионов транзисторов.

Уже отошла в историю дискретная схемотехника, когда различные узлы строились на печатных платах с использованием отдельных навесных радиоэлектронных компонентов: транзисторов, резисторов, конденсаторов и других элементов. Ранее соединения выполнялись с помощью внешнего печатного монтажа, теперь соединения и монтаж осуществляется внутри кристалла. Поэтому современный инженер электронной техники должен владеть передовыми методами и технологиями, чтобы уметь приспособить их завтра к вычислительной технике будущих поколений, овладеть практическими приемами проектирования устройств на программируемых логических интегральных схемах.

Логические выражения n двоичных переменных с помощью конечного числа логических операций можно рассматривать как некоторую функцию, отражающую взаимную связь между входными и выходными переменными. Логические операции конъюнкции и дизъюнкции можно представить простейшими функциями вида: и . Эти функции называются аналогично логическим операциям – функциями И и ИЛИ.

Такие ФАЛ подобно логическим выражениям могут быть заданы аналитическим и табличным способами.

При аналитическом способе ФАЛ задается в виде логических выражений, получаемых путем логических преобразований с помощью законов и правил Булевой алгебры.

При табличном способе ФАЛ задается таблицей истинности, где число всех возможных наборов (комбинаций) аргументов конечно. Если число аргументов ФАЛ равно n, то число их возможных наборов , а число различных функций , тогда при n=2, F=16. Составим таблицу истинности для функций двух аргументов.

Таблица 1.

Аргументы

Функции

.

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

1

1

1

1

1

1

0

1

0

0

0

0

1

1

1

1

0

0

0

0

1

1

1

1

1

0

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

1

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

В таблице 1 приведены элементарные ФАЛ двух аргументов. В левой части таблицы перечислены все возможные наборы аргументов и , в правой части приведены значения ФАЛ на соответствующих входных наборах. Значения всей совокупности этих наборов переменных представлены в таблице последовательностью чисел в двоичной системе счисления.

Каждая ФАЛ обозначает одну из 16 возможных логических операций над двумя переменными и , имеет свою таблицу истинности, собственное название и условное обозначение.

Основные сведения об элементарных функциях даны в таблице 2. Таблицы истинности для каждой ФАЛ составляются отдельно по таблице 1.

Таблица 2

Аналитическое представление функций алгебры логики

Существует много способов задания логических функций. Ранее был рассмотрен табличный способ, при котором каждому набору значений переменных в таблице истинности указывается значение самой логической функции. Этот способ нагляден и может быть применен для записи функций от любого количества переменных. Однако при анализе свойств функций алгебры логики (ФАЛ) такая запись не является компактной. Проще выглядит аналитическая запись в виде формул.

Рассмотрим фиксированный набор переменных {х1, х2,…, xn}, на котором задана функция алгебры логики. Так как любая переменная хi={0,1}, то набор значений переменных фактически представляет собой некоторое двоичное число. Представим, что номером набора будет произвольное двоичное число i, получаемое следующим образом:

i=2n-1×1+2n-2×2+…+xn.

Пусть имеется функция Фi(х1, х2,…, xn):

Функцию Фiназывают термом.

Дизъюнктивный терм (макстерм) – терм, связывающий все переменные, представленные в прямой или инверсной форме, знаком дизъюнкции (иногда в литературе используется термин “конституэнта нуля”).

Например: Ф7=1234; Ф2=12.

Конъюнктивный терм (минтерм) – терм, связывающий переменные, представленные в прямой или инверсной форме, знаком конъюнкции (иногда в литературе используется термин “конституэнта единицы”). Обозначается минтерм следующим образом:

Например F1=1234; F0=123.

Ранг терма r определяется количеством переменных, входящих в данный терм. Например, для минтерма F10= 12345r = 5, и для макстерма Ф2=1+2+3r = 3.

На основании вышесказанного можно сформулировать следующую теорему.

Теорема 1.1. Любая таблично заданная ФАЛ может быть представлена аналитически в виде:

f(x1, x2…xn)=F1 F2…  Fn= Fi ,

где i – номера наборов, на которых функция равна 1; — знак дизъюнкции, объединяющий все термы Fi, равные единице. Таким образом, каждому набору i, для которого fi=1, соответствует элемент Fi=1, а наборам i, на которых fi=0, не соответствует ни одного элемента fi=1. Поэтому таблица истинности однозначно отображается приведенной аналитической записью, которую в дальнейшем будем называть объединением термов.

Нормальная дизъюнктивная форма (НДФ) – объединение термов, включающее в себя минтермы переменного ранга.

Количество всех термов, входящих в состав аналитической записи, равно количеству единичных строк таблицы.

Пример. Записать в аналитическом виде функцию, заданную таблицей 1.9.

Таблица 1.9

Решение. На основании теоремы эту функцию можно записать в аналитической форме:

f(1,2,3)=F(0,0,0)+F(0,1,1)+F(1,0,0)=123+123+123.

Ответ: f(1,2,3)= 123+123+123.

Для представления ФАЛ используется совокупность термов, объединенных знаками дизъюнкции ( или +). Можно использовать также другую элементарную логическую операцию. Сформулируем основные требования к этой операции.

Требование 1: если какой-либо терм Fi=1, то функция f должна быть равна единице.

Требование 2: если какой-либо терм Fi=0, то функция f может быть равна единице.

Необходимо, чтобы при значениях термов Fi= 0 функция f была равна нулю.

Табличное представление искомой логической операции имеет вид таблиц 1.9 и 1.10.

Таблица 1.10 Таблица 1.11

Таким образом, получили, что искомой функцией, кроме функции ИЛИ, может быть функция разноименности и при этом справедливым становится такое следствие из теоремы 1. 1:

Следствие: любая таблично заданная ФАЛ может быть представлена в следующей аналитической форме:

f(x1, x2…xn) = F1f2 …  fk,

где знак  обозначает операции  , .

Требования 1 и 2 можно обобщить и потребовать, чтобы аналитическое представление нулевых и единичных строчек таблицы различалось и чтобы выполнялось взаимно-однозначное соответствие между нулевой единичной строкой и термом.

Требование 3: если какой-либо терм Фi= 0, то функция f должна быть равна нулю.

Требование 4: если все термы Фi= 0, то функция f=1.

Выполняя эти требования, можно прийти к двум другим возможным функциям, конъюнкции и равнозначности (табл. 1.12 и 1.13).

Таблица 1.12

Таблица 1.13

Теорема 1.2. Любая таблично заданная ФАЛ может быть задана в аналитической форме:

f(x1, x2…xn)=Ф1Ф2…Фk,

где k – количество двоичных наборов, для которых Ф=0.

Нормальная конъюнктивная форма (НКФ) –объединение термов, включающее в себя макстермы разных рангов.

Следствие. Любая таблично заданная ФАЛ может быть представлена в аналитической форме:

f(x1, x2…xn)=Ф1Ф2…Фk,

где k – количество нулевых значений функции.

Статьи к прочтению:

Алгебра 7 класс. Повторение — bezbotvy


Похожие статьи:

Функции алгебры логики — Контрольная работа

Задание 1. Функции алгебры логики.

– представить ФАЛ f3 в ДСНФ и в КСНФ;

– построить реализующую данную функцию, схему на бесконтактных логических элементах в базисе “и”, “или”, “не”;

– задать ФАЛ табличным, аналитическим, координатным и цифровым способами;

– используя основные законы и тождества АЛ, произвести минимизацию заданной ФАЛ;

– построить схемы, реализующие полученную после минимизации функцию, на контактных реле и бесконтактных логических элементах: в базисе “и”, “или”, “не”, в базисе “и-не”, в базисе “или-не”.

    Таблица 1

Аргументы

ФАЛ

a

b

c

f3

0

0

0

1

0

0

1

1

0

1

0

0

0

1

1

0

1

0

0

1

1

0

1

1

1

1

0

0

1

1

1

0

Решение.

Находим:

ДСНФ: .[pic 1]

КСНФ: [pic 2]


На рисунке 1 изображена схема ДСНФ на бесконтактных логических элементах в базисе «и», «или», «не»:

[pic 3]

Рисунок 1

На рисунке 2 изображена схема КСНФ на бесконтактных логических элементах в базисе «и», «или», «не»:

[pic 4]

Рисунок 2

Задаем ФАЛ различными способами.

Табличный способ (табл.2 совпадает с табл.1):

Таблица 2

Номер набора

a

b

c

f3

0

0

0

0

1

1

0

0

1

1

2

0

1

0

0

3

0

1

1

0

4

1

0

0

1

5

1

0

1

1

6

1

1

0

0

7

1

1

1

0

Аналитический способ (в виде формализированного выражения, составленного с использованием математического аппарата АЛ):

[pic 5]

Цифровой способ (совокупности наборов аргументов, на которых функция принимает истинное значение):

[pic 6]

Координатный способ (в виде координатных карт состояний – карт Карно):

     ab

c

[pic 7]

00

[pic 8]

01

[pic 9]

11

[pic 10]

10

 0[pic 11]

1

0

0

1

  1[pic 12]

1

0

0

1

Рисунок 3


Минимизация ФАЛ

[pic 13]

[pic 14]

На рисунке 4 изображена схема минимальной ФАЛ на контактных реле:

[pic 15]

Рисунок 4

На рисунке 5 изображена схема минимальной ФАЛ на логических элементах в базисе “и”, “или”, “не”:

[pic 16]

Рисунок 5

Используя законы инверсии (двойственности) ([pic 17], [pic 18]) и двойного отрицания ([pic 19]), преобразуем выражение

Булевы функции в цифровой электронике

Двоичные переменные и логические операции используются в булевой алгебре. Алгебраическое выражение известно как Boolean Expression и используется для описания Boolean Function . Логическое выражение состоит из постоянных значений 1 и 0, символов логических операций и двоичных переменных.

Пример 1: F=xy’ z+p

Мы определили булевую функцию F=xy’ z+p в терминах четырех двоичных переменных x, y, z и p.Эта функция будет равна 1, когда x=1, y=0, z=1 или z=1.

Пример 2:

Выход Y представлен в левой части уравнения. Итак,

Помимо алгебраического выражения, булева функция также может быть описана в терминах таблицы истинности. Мы можем представить функцию, используя несколько алгебраических выражений. Они являются их логическими эквивалентами. Но для каждой функции у нас есть только одна уникальная таблица истинности.

В представлении таблицы истинности мы представляем все возможные комбинации входных данных и их результат. Мы можем преобразовать уравнения переключения в таблицы истинности.

Пример: F(A,B,C,D)=A+BC’+D

Выход будет высоким, когда A=1 или BC’=1 или D=1 или все они установлены в 1. Таблица истинности приведенного выше примера приведена ниже. 2 n — это количество строк в таблице истинности. n определяет количество входных переменных. Таким образом, возможные входные комбинации: 2 3 =8.

Методы упрощения булевой функции

Есть два метода, которые используются для упрощения булевой функции.Эти функции следующие:

Карно-карта или К-карта

Закон Де-Моргана очень полезен для манипулирования логическими выражениями. Логические элементы также могут реализовывать логическое выражение. Метод k-map используется для уменьшения логических элементов до минимально возможного значения, необходимого для реализации логического выражения. Метод К-карты будет реализован двумя разными способами, которые мы обсудим позже в разделе Упрощение логического выражения .

Реализация вентилей И-НЕ

Помимо К-карты, мы также можем использовать вентиль И-НЕ для упрощения булевых функций.п\) возможные комбинации переменных. Эти функции будут принимать на выходе только 0 или 1. Вот пример булевой функции: f(a,b,c) = a X b + c. Эти функции реализованы с помощью логических вентилей.

Цифровая схема f(a,b,c)

Таблица истинности функции

и б в ф(а,б,в)
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1

Существует способ реализации функций в канонической форме, минимальной форме функции. Например, если бы нам пришлось реализовать функцию с таблицей истинности функции f. Сначала мы бы сформировали термы, в которых функция имеет значение 1, с единственной возможной комбинацией для каждого терма. Термин будет равен 1 для одной комбинации записи и 0 для других. Для этого мы будем использовать вентиль И и сделать эту комбинацию со всеми входами, равными 1 в вентиле И. Тогда функция будет суммой всех членов. Таким образом, члены таблицы истинности будут:

.

Условия ∑

и б с ф(а,б,в) Условия ∑
0 0 0 0 0
0 0 1 1 !а Х !б Х в
0 1 0 0 0
0 1 1 1 !а Х б Х в
1 0 0 0 0
1 0 1 1 а Х !б Х в
1 1 0 1 а Х б Х !с
1 1 1 1 а Х б Х в

\[\begin{split}f (a,b,c) &= (!a X !b X c) + (!a X b X c) + (a X !b X c) + (a X b X !c) + (а X b X c) \\ &= !b X c X ( a + !a) + b X c X ( a + !a ) + a X b X !c \\ &= !b X c + b X c + a X b X !c \\ &= с + а Х б Х !с \\ &= (c + a X b) X ( c + !c) = a X b + c\end{split}\]

С помощью законов булевой алгебры сделано упрощение для реализации цифровой схемы с меньшим количеством вентилей. Есть еще один способ реализовать каноническую функцию, заключающийся в реализации инвертированной функции, а затем снова инвертировании и использовании законов Де Моргана для получения произведения термов. Это двойная форма обобщения. Теперь функция будет произведением терминов, и термины теперь будут иметь значение 0 для одной комбинации входных данных и 1 для каждой другой комбинации.

Условия ∏

и б в !f(а,б,в) Условия ф(а,б,в) Условия ∏
0 0 0 1 !а Х !б Х !с 0 а + б + в
0 0 1 0 0 1 1
0 1 0 1 !а Х б Х !с 0 а + !б + в
0 1 1 0 0 1 1
1 0 0 1 а Х !б Х !с 0 !а + б + в
1 0 1 0 0 1 1
1 1 0 0 0 1 1
1 1 1 0 0 1 1

\[!f (a,b,c) = !a X !b X !c + !a X b X !c + a X !b X !c\]

\[\begin{split}!!f = f &= !( !a X !b X !c + !a X b X !c + a X !b X !c) = !( !a X !b X !c) X !( !a X b X !c) X !( a X !b X !c) \\ &= (a + b + c) X (a X !b X c) X (!a X b X c) \\\end{split}\]

Работая с терминами, мы получаем основную форму: f = a X b + c.

Вывод состоит в том, что есть два способа получить каноническую форму функции, которая представляет собой сумму термов или ее двойственное произведение, являющееся произведением термов.

h3g2 — Универсальные функции булевой алгебры

Булева алгебра | Таблицы истинности | Выражения из таблиц истинности
Универсальные функции | Снижение функции | Функции Classified

Часто утверждается, что вентили И-НЕ могут выполнять любую логическую функцию. Хотя это и правильно, но не дает полной картины, которая здесь разворачивается.С помощью простых рассуждений и таблиц истинности определяются универсальных булевых функций. Эти универсальные функции могут выражать любую булеву функцию, какой бы сложной она ни была. Это сформулировано в терминах булевых функций и аргументов, а не в аппаратно-ориентированных терминах вентилей и входов, поскольку представленные факты являются свойствами булевой алгебры, а не конкретными устройствами.

Доказательства будут представлены для двух ключевых утверждений. Это:

  1. Все булевы функции с любым количеством аргументов могут быть выражены в терминах конкретной булевой функции с двумя аргументами, при условии, что это функция НЕ-И или НЕ-ИЛИ: никакая другая функция не подойдет.

  2. Все логические функции с любым числом аргументов могут быть выражены только в терминах функции НЕ-И или могут быть выражены только в терминах функции НЕ-ИЛИ.

Доказательство первого утверждения носит конструктивный характер, то есть это не просто теорема существования. Однако полезность доказательства ограничена из-за несколько произвольного характера процесса, используемого для сведения сложного выражения к выражению, включающему функции только двух аргументов.Доказательство второго утверждения действительно очень практично, позволяя записать выражение в терминах функции НЕ-И или в терминах функции НЕ-ИЛИ, более или менее путем проверки.

Доказательство первого утверждения

Все булевы функции с тремя или более аргументами могут быть выражены как функции только с двумя аргументами с помощью утомительного, но элементарного метода, как показано в разделе «Приведение булевых функций». Если обратиться к списку всех функций с двумя аргументами, такому как классифицированные логические функции, видно, что они включают все функции с меньшим количеством аргументов.Таким образом, достаточно рассмотреть только функции двух переменных, показать, что тогда существуют универсальные функции, и перечислить их.

Предположим, что функция возвращает значение true , когда оба аргумента равны true . Тогда, как бы ни были составлены такие функции, получить значение false будет невозможно. Таким образом, такая функция не может выражать другую, имеющую значение false , когда оба аргумента true , и поэтому не может быть универсальной.

Аналогично, функция, дающая значение false , когда оба аргумента равны false , не может выразить другую функцию, имеющую значение true , когда оба аргумента равны false , и поэтому не может быть универсальной.

Универсальная функция должна выдавать значение false , когда оба аргумента равны true , и значение true , если оба аргумента равны false . С этими двумя линиями из четырех линейных прав истины таблицы фиксированы, возможна таблицы правды

F F
аргументов функции
B не A не B НОР NAND
F F Т Т Т Т
F Т Т F F Т
T F F F T F T
T
T T T F F F F F
F

Два не функционируют только один аргумент, а также поэтому не может использоваться для учета двух аргументов, и единственными оставшимися кандидатами на универсальные функции являются НЕ-ИЛИ и НЕ-И. Остается показать, что каждая из них в отдельности может выполнять все остальные функции.

Каждую функцию можно выразить в терминах функций И, ИЛИ и НЕ, поэтому теперь нам нужно показать, что все эти функции могут быть выражены только в терминах НЕ-И или только в терминах НЕ-ИЛИ.

Использование только функции NAND ( A , B ) = Нет ( A и B ), Мы получены:

не функция 4 NAND ( A , A ) = Не ( A и A и A ) = не ( A )
, так что не ( A ) имеет NAND реализацию как NAND ( A , A ).
и функция
и функция 4 не (NAND ( A , B )) = нет ( A и B )) = A и B
  , так что A И B имеют реализацию И-НЕ как НЕ ( И-НЕ (  А  ,  В  ) ).
или функция
4 не ( A и B и B ) = Not ( A ) или нет ( B ), который является одним из законов De Morgan, так что
NAND (не ( A ), а не ( B )) = нет ( A ), а не ( B ))
4 = не (нет A )) или нет (не ( B )) = A или B или B
, так что A или B имеет реализацию NAND как NAND (не ( A ) , НЕ (  B  ) ).

Использование только функции и ( A , B ) = нет ( A или B ), мы имеем:

и ( A , ) = нет ( A или A или A ) = Not ( A )
0 , так что не имеет ( A ) имеет а также реализацию как ( A , A ) .
2
0 не (ни A , B )) = Нет (Not A или B )) = A или B
2
0
не функция
или функция
или функция
    , так что A ИЛИ B имеет реализацию ИЛИ-НЕ как НЕ ( НИ (  A B  ) ).
и функция
и функция не ( A или B ) = Not ( A ), а не ( B ), который является одним из законов De Morgan, так что
и (не ( A ), а не ( B )) = нет (Not A ) или нет ( B ))
= нет (не A )) И нет (не ( B )) = A и B и B
, так что A и B имеет а также реализацию как и (не ( A ), НЕ (  B  ) ).

Доказательство второго утверждения

Обе функции НЕ-И и НЕ-ИЛИ могут иметь более двух аргументов, и количество используемых аргументов может быть выбрано в зависимости от случая. Это упрощает реализацию общей функции, устраняя необходимость выражать функцию в терминах функций только двух переменных. Для любой функции, заданной в терминах таблицы истинности, логическое выражение может быть получено либо в форме суммы произведений, либо в форме произведения сумм.Обе формы всегда возможны.

Эти две формы имеют несколько общих черт. Аргументы данной функции используются буквально или в дополненной форме для определения терминов. Эти термины объединяются с помощью первичной логической связки, которая представляет собой функцию И в форме суммы произведений и функцию ИЛИ в форме произведения сумм. Полученные таким образом промежуточные значения объединяются с помощью вторичной логической связки, которая представляет собой функцию ИЛИ в форме суммы произведений и функцию И в форме произведения сумм. Эта дополнительная абстракция первичной и вторичной связок может показаться ненужным усложнением, но она принимает конкретную форму и упрощает описание, поскольку теперь эти две формы рассматриваются отдельно.

Сумма произведений Форма

Выражение функции в виде суммы произведений приводит непосредственно к выражению, использующему только функции И-НЕ. Первичная связка И образует логические продукты, затем вторичная связка ИЛИ образует логическую сумму этих продуктов. Термины, появляющиеся в произведениях, являются либо буквальными, либо дополненными аргументами исходной функции, но функция НЕ, необходимая для любого дополнения, получается из функции НЕ-И с использованием НЕ  A  = NAND ( A , A  ) как показано выше.

Можно считать, что функция НЕ-И дает дополнение произведения своих аргументов, так что при использовании в качестве первичной связки функция НЕ-И дает дополнение требуемого промежуточного значения. Согласно законам де Моргана, функция НЕ-И также может рассматриваться как дающая сумму дополнений своих аргументов, так что, если она используется в качестве вторичной связки, промежуточные значения должны быть дополнены. Это идеально согласуется с результатами, полученными при использовании функций И-НЕ в качестве основного связующего, так что сумма произведений может быть выражена как И-НЕ-И-НЕ-НЕ путем проверки.

Произведение сумм Форма

Выражение функции в виде произведения сумм приводит непосредственно к выражению, использующему только функции НЕ-ИЛИ. Первичная связка ИЛИ образует логические суммы, затем вторичная связка И образует логический продукт этих сумм. Члены, появляющиеся в суммах, являются либо буквальными, либо дополняемыми аргументами исходной функции, но функция НЕ, необходимая для любого дополнения, получается из функции НЕ-ИЛИ с помощью НЕ  A  = НЕ-ИЛИ ( A , A ) как показано выше.

Можно считать, что функция ИЛИ-ИЛИ дает дополнение суммы своих аргументов, так что при использовании в качестве первичной связки функция ИЛИ-ИЛИ дает дополнение требуемого промежуточного значения. По законам де Моргана можно также считать, что функция НЕ-ИЛИ дает произведение дополнений своих аргументов, так что при использовании в качестве вторичной связки промежуточные значения должны быть дополнены. Это идеально согласуется с результатами, полученными при использовании функций ИЛИ-ИЛИ в качестве основной связки, так что сумма произведений может быть выражена как ИЛИ-ИЛИ-НЕ-ИЛИ путем проверки.

Резюме

Суммируя вышеизложенное, было доказано, что:

Все логические функции с любым числом аргументов могут быть выражены только в терминах функции НЕ-И или могут быть выражены только в терминах функции НЕ-ИЛИ .

Практичность

Реализация функций с точки зрения функций И-НЕ или ИЛИ-НЕ может быть легко выполнена. Полученная реализация является правильной, но может быть не оптимальной. Например, реализации функции XOR (исключающее или) можно найти как в формах NAND, так и в формах NOR.Функция XOR может быть выражена в виде суммы произведений в виде ( A  И НЕ (  B ) ) ИЛИ ( НЕ (  A  ) И  B  ) или в виде произведения сумм в виде (  A  ИЛИ B  ) И ( НЕ (  A  ) ИЛИ НЕ (  B  ) ).

Для реализации функции И-НЕ обычно лучше всего использовать форму суммы произведений выражения, представляющего эту функцию. Функция имеет вид X ИЛИ Y , где в нашем примере X равно A И НЕ ( B ) и Y равно НЕ ( B 6 0 4 6 0 9 ).Сумма X ИЛИ Y формируется как НЕ-И (НЕ ( X ), НЕ ( Y )). Два дополняющих произведения, НЕ ( X ) и НЕ ( Y ), затем становятся функциями НЕ-И, используя только выражения, полученные выше. Например, НЕ ( A  И НЕ (  B  )) ) – это просто НЕ-И (  A , НЕ (  B  ) ). Таким образом, функция исключающее ИЛИ может быть реализована как НЕ-И (И-НЕ ( A , НЕ ( B )), И-НЕ (НЕ ( A ), B )), и после небольшой практики такую ​​реализацию можно реализовать. непосредственно из выражения суммы произведений.

Для реализации функции НЕ-ИЛИ обычно лучше всего использовать форму произведения сумм выражения, представляющего эту функцию. Функция имеет вид X  И  Y , где в нашем примере X равно A ИЛИ B  , а Y равно НЕ ( A  4(6 B 904 ) 90NOT 4 (6   ) 90NOT 4 (6 9004 )   . Произведение X  И  Y формируется как НЕ-ИЛИ ( НЕ (  X  ), НЕ (  Y  ) ). Две дополненные суммы, НЕ ( X ) и НЕ ( Y ), затем становятся функциями ИЛИ-НЕ, используя только выражения, полученные выше.Например, НЕ (  A ИЛИ  B  ) – это просто НЕ-ИЛИ (  A B  ). Таким образом, функция XOR может быть реализована как ИЛИ ( ИЛИ ( A , B ), ИЛИ ( НЕ ( A ), НЕ ( B ) ) ), и с небольшой практикой такая реализация может быть реализована непосредственно из произведения суммы выражений.

Приведенная выше реализация функции XOR не является «стандартным» решением, но была представлена ​​для демонстрации основного используемого метода.Функция XOR требуется так часто (например, в арифметических устройствах и генераторах четности), что ее сильно оптимизировали. В этом случае оптимальная форма получается, если терм А И НЕ ( Б ) разложить до А И ( НЕ ( А ) ИЛИ НЕ ( Б )) и терм 904 ( 5 НЕ A  ) И  B расширяется до ( НЕ (  A  ) ИЛИ НЕ (  B  ) ) И  B . Эти расширения противоречат интуиции, но оба расширения возвращаются к исходной форме при полной разработке, а избыточные термины устраняются.У них есть обычное выражение НЕ ( A ) ИЛИ НЕ ( B ), которое, конечно же, НЕ-И ( A , B ). В таком случае оптимизированная форма исключающего ИЛИ — это И-НЕ (И-НЕ ( A , И-НЕ ( А , В ))), И-НЕ ( В , И-НЕ ( А , 90 465 6 0 904).

Булева алгебра — практическая EE

Булева алгебра — это раздел математики, который устанавливает систему символов для логических функций, позволяющую записывать логические уравнения, и излагает правила, управляющие операциями над логическими переменными, которые могут иметь только два возможных значения: истина (1) или ложь ( 0). Булева алгебра была введена Джорджем Булем, английским математиком с 1815 по 1864 год.

Джордж Буль (1815-1864)

В современной булевой алгебре мы используем символ плюс (+) для обозначения ИЛИ, символ точки (•) для обозначения И и черту над переменной для обозначения НЕ. Обратите внимание, что иногда я буду использовать ! вместо bar означает НЕ, так как это намного проще сделать в HTML, и этот символ (восклицательный знак или челка) широко используется для обозначения НЕ в языках программирования. Логические переменные, которые могут принимать значения только 1 или 0, обычно обозначаются заглавными буквами, такими как A, B, C и т. д.

Приоритет оператора: НЕ > И > ИЛИ

Приоритет логического оператора НЕ > И > ИЛИ. Таким образом, выражение A + !B • C будет оцениваться следующим образом: инвертировать B, И это с C, а затем ИЛИ, что в результате с A. Вы можете добавить круглые скобки вокруг выражения, чтобы переопределить приоритет оператора по умолчанию. (например, (A + B) • C означает сначала выполнить A ИЛИ B, затем AND с C.) Обратите внимание, что этот порядок приоритета подобен математике с вещественными числовыми переменными, где AND похоже на умножение, OR на сложение, а NOT на унарный знаковый оператор (т.грамм. -8).

В приведенном ниже списке булевых законов подумайте о логике и значении И и ИЛИ, и я думаю, вы обнаружите, что большинство законов имеют смысл и довольно очевидны.

Законы булевой алгебры

Закон Описание
A + 1 = 1 A ИЛИ 1 всегда будет 1. ИСТИННЫЙ.
A + 0 = A A ИЛИ 0 равно A.0 всегда ЛОЖЬ, поэтому он не влияет на функцию ИЛИ, результат следует за переменной A.
A • 1 = A A AND 1 равно A. 1 всегда ИСТИНА, поэтому он не влияет на функция AND, результат следует за переменной A.
A • 0 = 0 A AND 0 равен 0. 0 всегда ЛОЖЬ, поэтому не имеет значения, с чем вы И с ним, результат всегда ЛОЖЬ.
A + A = A A ИЛИ A равно A. A равно 0 или 1. Если A равно 0, то 0 ИЛИ 0 равно 0, а если 1, то 1 ИЛИ 1 равно 1.
A • A = A A AND A равно A. A равно 0 или 1. Если A равно 0, то 0 AND 0 равно 0, а если 1, то 1 AND 1 равно 1.
НЕ А = А НЕ НЕ А есть А. Обратное к обратному — это…ммм…версия? Обратная функция отрицает другую обратную функцию.
А + А = 1 А ИЛИ НЕ А равно 1. Либо А равно 1, либо НЕ А равно 1, поэтому результат ИЛИ всегда равен 1.
А • А = 0 А И НЕ А равно 0.A и NOT A никогда не могут быть оба равны 1, поэтому результат AND всегда равен 0.
A + B = B + A A OR B такое же, как B OR A. Коммутативное свойство работает для OR функция.
A • B = B • A A AND B — это то же самое, что B AND A. Коммутативное свойство работает для функции AND.
А • (В + С) = А • В + А • С А И количество В ИЛИ С равно А И В ИЛИ А И С. Это распределительное свойство для ИЛИ.Обратите внимание на наличие и отсутствие скобок и приоритет И над ИЛИ.
А + (В • С) = (А + В) • (А + С) А ИЛИ количество В И С есть количество А ИЛИ В И количество А ИЛИ С. Это распределительное свойство для И. Обратите внимание на наличие и отсутствие скобок и приоритет И над ИЛИ.
A + B = A • B НЕ результата (A OR B) равно НЕ A И НЕ B. Это теорема Де Моргана.
A • B = A + B НЕ результата (A AND B) равно NOT A OR NOT B.Это также теорема Де Моргана.

Последние два закона составляют теорему Де Моргана, которая оказывается весьма полезной для упрощения логических уравнений и схем. Другой способ думать о теореме Де Моргана — думать о Де Моргане как о глаголе, а для ДеМоргана что-то — это сломать планку и переключить символ. Если у вас есть несколько столбцов в верхней части выражения, операция Де Моргана просто разбивает самый нижний столбец и не влияет на более высокие столбцы.

Теорема Де Моргана названа в честь Августа Де Моргана, британского математика, жившего в 1806–1871 годах.Вот фотография, на которой он делает Наполеона.

Август Де Морган (1806–1871)

Далее: Комбинаторная логика

логических функций | CircuitVerse

Оглавление

  1. Введение
  2. Математическое определение
  3. Важные понятия
  4. Дальнейшее чтение
  5. Каталожные номера

Введение

Математическое выражение, состоящее из булевых переменных, объединенных с помощью операторов булевой алгебры: логическое сложение (ИЛИ), умножение (И) и отрицание (НЕ), является булевой функцией.k\rightarrow{0,1}$

Важные концепции

Ниже приведен список определений основных понятий, используемых в логических функциях:

  • Литерал: Логическая переменная или ее дополнение $(x,\overline{x},y_0,\ldots)$.
  • Термин продукта: Выражение, в котором литералы объединяются логическим оператором И $(x\overline{y}z,\ldots)$.
  • Суммарный термин: Выражение, в котором литералы объединены логическим оператором ИЛИ $(y+\overline{z},\ldots)$.
  • Обычный термин: Термин (произведение или сумма) без повторяющихся переменных.
  • Сумма произведений (SoP): Сумма произведений $(\overline{x}+xwz+x\overline{y})$.
  • Произведение сумм (PoS): Произведение суммирования $((x+y+z)(z+\overline{w})(z+\overline{x}))$.

дальнейшее чтение

  • Раздел 3.2 «Функции переключения» в [1].
  • Раздел 1.3 «Булевы функции» в [2].
  • Глава 3 «Булевая алгебра и логика» в [3].

использованная литература

  • [1]З. Кохави и Н.К. Джа, Переключение и теория конечных автоматов . Издательство Кембриджского университета, 2010 [онлайн]. Доступно по адресу: https://books.google.cl/books?id=jZIxam8Rb9AC
  • .
  • [2] Г. Донцеллини, Л. Онето, Д. Понта и Д. Ангита, Введение в проектирование цифровых систем . Springer International Publishing, 2018 [онлайн]. Доступно по адресу: https://books.google.cl/books?id=va1qDwAAQBAJ
  • .
  • [3] М. Ferdjallah, Введение в цифровые системы: моделирование, синтез и симуляция с использованием VHDL .Wiley, 2011 [онлайн]. Доступно по адресу: https://books.google.cl/books?id=kJRoR8AAu1AC
  • .
  1. Каждая логическая функция может быть выражена как ________ ?
    1. Алгебраическое выражение
      • Выражение Лапласа
      • Биномиальное выражение
  2. SOP (Сумма продукта) обозначается как ________ ?
    1. (х+хвз+ху)
Включите JavaScript, чтобы просматривать комментарии с помощью Disqus.

Copyright © 2022 Contributors to CircuitVerse. Распространяется по лицензии [CC-by-sa].

Булева алгебра — MecatrónicaLATAM

ЧТО ТАКОЕ БУЛЕВА АЛГЕБРА?

Это специальный раздел алгебры, который используется в основном в цифровой электронике. Булева алгебра была изобретена в 1854 году английским математиком Джорджем Булем.

Булева алгебра — это метод упрощения логических схем (или иногда называемых логическими схемами переключения) в цифровой электронике.

Поэтому его также называют «Изменением алгебры». Мы можем представить работу логических схем с помощью чисел, следуя некоторым правилам, хорошо известным как «Законы булевой алгебры».

Мы также можем выполнять вычисления и логические операции схем еще быстрее, следуя некоторым теоремам, известным как «теоремы булевой алгебры». Булева функция — это функция, которая представляет отношение между входом и выходом логической схемы.

Булева логика допускает только два состояния схемы, например, истинное и ложное. Эти два состояния представлены 1 и 0, где 1 представляет собой «истинное» состояние, а 0 представляет «ложное» состояние.

Самое важное, что нужно помнить в булевой алгебре, это то, что она сильно отличается от обычной математической алгебры и ее методов. Прежде чем узнать о булевой алгебре, давайте немного поговорим об истории булевой алгебры, ее изобретении и развитии.


ИСТОРИЯ АЛГЕБРЫ БУЛЯ

Как упоминалось ранее, булева алгебра была изобретена в 1854 году английским математиком Джорджем Булем. Впервые идею булевой алгебры он изложил в своей книге «Исследование законов мышления».

После этого булева алгебра хорошо известна как идеальный способ представления цифровых логических схем.

В конце 19 века ученые Джевонс, Шородер и Хантингтон использовали это понятие для модернизированных терминов.В 1936 году М. Х. Стоун показал, что булева алгебра «изомофна» для множеств (функциональная область математики).

В 1930-х годах ученый по имени Клод Шеннон разработал новый метод алгебраического типа «Изменение алгебры», используя концепции булевой алгебры, для изучения коммутационных цепей.

Логический синтез современных электронных средств автоматизации эффективно представлен с помощью булевых функций, известных как «бинарные диаграммы решений».

Булева алгебра допускает только два состояния в логической схеме, например, истинное и ложное, высокое и низкое, да или нет, открыто и закрыто или 0 и 1.


ЗАКОНЫ И ТОЖДЕСТВА БУЛЕВОЙ АЛГЕБРЫ

При формулировании математических выражений для логических схем важно знать булеву алгебру, которая определяет правила выражения и упрощения бинарных логических утверждений.Черта на символе указывает на логическую операцию НЕ, которая соответствует инверсии сигнала.

Основные законы ORA + 0A + 1A + AA + A====A1A1ANDA + 0A + 1A + AA + A====0AA0NOTA=A

Коммутативные законы А + В = В + А
А ∙ В = В ∙ А

Ассоциативные законы (А + В) + С = А + (В + С)
(А ∙ В) ∙ С = А ∙ (В ∙ С)

Распределительные законы А ∙ (В + С) = (А ∙ В) + (А ∙ С)
А + (В ∙ С) = (А + В) ∙ (А + С)

Другие полезные идентификаторы А + (А ∙ В) = А
А ∙ (А + В) = А
А + (А ∙ В) = А + В
(А + В) ∙ (А + В) = А
(А + В) ) ∙ (А + С) = А + (В ∙ С)
А + В + (А ∙ В) = А + В
(А ∙ В) + (В ∙ С) + (В ∙ С) = (А ∙ B) + C
(A ∙ B) + (A ∙ C) + (B ∙ C) = (A ∙ B) + (B ∙ C)

УПРОЩЕНИЕ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ

Используя булевы теоремы и законы, мы можем упростить булевы выражения, с помощью которых мы можем уменьшить необходимое количество логических вентилей для реализации. Мы можем упростить булеву функцию, используя два метода:

  1. Алгебраический метод: через использование тождеств (булевых законов).
  2. Графический метод: метод карты Карно.

7: Булева алгебра — рабочая сила LibreTexts

  1. Последнее обновление
  2. Сохранить как PDF
Без заголовков

Все арифметические операции, выполняемые с булевыми величинами, имеют только один из двух возможных результатов: либо 1, либо 0.В булевом мире нет таких вещей, как «2», «-1» или «1/2». Это мир, в котором все другие возможности недействительны по распоряжению. Как можно догадаться, это не та математика, которую вы хотите использовать при балансировке чековой книжки или расчете тока через резистор. Однако Клод Шеннон из Массачусетского технологического института понял, как булеву алгебру можно применить к схемам включения и выключения, где все сигналы характеризуются либо как «высокий» (1), либо как «низкий» (0).

  • 7.1: Введение в булеву алгебру
  • 7.2: Булева арифметика
    В булевой математике сложение эквивалентно логической функции ИЛИ, умножение эквивалентно логической функции И, а дополнение эквивалентно логической функции НЕ.
  • 7.3: Булевы алгебраические тождества
    В математике тождество — это утверждение, истинное для всех возможных значений его переменной или переменных. Алгебраическое тождество x + 0 = x говорит нам, что все (x), добавленное к нулю, равняется исходному «чему угодно», независимо от того, какое значение может иметь это «что угодно» (x).Как и обычная алгебра, булева алгебра имеет свои уникальные тождества, основанные на бивалентных состояниях булевых переменных.
  • 7.4: Булевы алгебраические свойства
    Коммутативные, ассоциативные и дистрибутивные свойства применимы к булевой алгебре.
  • 7.5: Булевы правила упрощения
    Булева алгебра находит наиболее практическое применение при упрощении логических схем. Если мы переведем функцию логической схемы в символическую (булеву) форму и применим определенные алгебраические правила к полученному уравнению, чтобы уменьшить количество членов и/или арифметических операций, упрощенное уравнение можно перевести обратно в схемную форму для логической схемы, выполняющей ту же функцию с меньшим количеством компонентов.
  • 7.6: Примеры упрощения схемы как XOR. В то время как функция ИЛИ эквивалентна логическому сложению, функция И — логическому умножению, а функция НЕ (инвертор) — логическому дополнению, прямого логического эквивалента для исключающего ИЛИ не существует.

    alexxlab

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.