Site Loader

Содержание

Сила тертя: визначення, формули — просте і дохідливе пояснення

Визначення
  • Види

  • Як знайти

  • Формула

  • Рекомендована література та корисні посилання

  • Відео
  • Сила тертя виникає з зіткнення поверхонь двох фізичних тіл, що перебувають в русі по відношенню один до одного. Теорія тертя здавна хвилювала уми людства, стародавні інженери: будівельники єгипетських пірамід, Стоунхенджу в Англії або таємничих кам’яних істуканів на острові Пасхи, всі вони (як втім, і їх сучасні колеги) вирішували нагальну проблему, пов’язану з тертям і тим як його максимально зменшити. Адже саме сила тертя робить важким переміщення масивних вантажів по землі (тих же каменів для пірамід або Стоунхенджу), і щоб полегшити це завдання, нашими далекими предками був придуманий такий корисний винахід як колесо і зроблено безліч інших важливих відкриттів. У нашій статті ми подивимося на силу тертя у фізичному аспекті, розберемо, як діє вона на ті чи інші тіла, які є її види і формули розрахунку.

    Визначення

    Що таке сила тертя? Класичне визначення звучить так: сила тертя – це сила, що з’являється при дотиканні двох тіл під час руху і перешкоджає цьому самому руху. Іншими словами, чим більше сила тертя між тілами, тим важче їх рухати відносно один одного. Що ж стосується самої фізичної природи тертя, то воно з’являється як результат взаємодії між атомами і молекулами тіл, дотичних між собою.

    Також варто зауважити, що при терті двох тіл на них діє третій закон Ньютона: сила тертя, що діє на перше тіло (тіло А), дорівнює силі тертя, що діє на друге тіло (тіло Б), тільки по модулю ці сили мають протилежний напрямок.

    На цій картинці, сила тертя, що діє на холодильник, дорівнює силі тертя, що діє на підлогу, але спрямовані ці сили в протилежні сторони.

    Види

    Залежно від характеру руху тіл розрізняють такі види сил тертя як:

    • Спокою. Сила тертя спокою виникає при дотику двох тіл, які, однак, не рухаються відносно один одного, і має нульове значення.
    • Ковзання. Сила тертя ковзання – найбільш класична ілюстрація дії тертя, виникає при ковзанні тіл відносно один одного. На її величину впливає маса тіла (чим вона більше, тим більше сила тертя), характер поверхні (зрозуміло, при ковзанні по льоду сила тертя буде в рази менше ніж при ковзанні по землі).
    • Кочення. Сила тертя кочення з’являється, коли одне тіло котиться по поверхні іншого, наприклад, при їзді на велосипеді або автомобілі. При коченні сила тертя набагато менше, ніж при ковзанні. Це досвідченим, емпіричним шляхом встановили ще ті далекі наші предки, які винайшли колесо – найбільший винахід в історії науки і техніки.
    • Вертіння. Сила тертя вертіння проявляється при обертанні одного тіла по поверхні іншого.

    Що ж стосується самого тертя то і воно буває декількох видів:

    • Сухе – проявляється при дотику твердих поверхонь.
    • В’язке, також подібне тертя називають рідинним, з’являється при дотику твердого тіла з рідиною або газом.
      Наприклад, на корабель, що пливе по воді, як і на поверхню води, діє в’язке (рідинне) тертя. Сила в’язкого тертя зазвичай набагато менше сили сухого тертя.
    • Змішане, виникає, коли між поверхнями, які стикаються, є шар мастила.

    Цікавий факт: при облозі Константинополя в 1453 році турки, щоб обійти спеціальний ланцюг, що перегороджував шлях турецьким кораблям в затоку Золотий Ріг перетягнули їх по суші. А для того, щоб зменшити силу тертя при переміщенні великих важких військових кораблів зробили настил з дерев’яних рейок, який рясно змастили салом. Таким чином, завдяки мастилу і змішаному тертю, сила якого набагато менше, ніж при терті сухому, турки вдало втілили свій задум, привівши захисників Константинополя в справжнє сум’яття.

    Султан Мехмед II спостерігає за перевезенням своїх човнів.

    Як бачите, знання законів фізики і механіки не раз і не два знаходило своє практичне втілення в реальному житті.

    Але повернімося від історії знову до фізики, тертя також поділяють на зовнішнє і внутрішнє. Зовнішнє тертя характерно для взаємодії виключно твердих тіл. Внутрішнє тертя характеризується в’язкістю і виникає при взаємодії рідин або газів, а така взаємодія може відбуватися всередині умовно одного тіла. Наприклад, у водах Світового океану є різні течії, з більш холодною або більш теплою водою, при взаємодії цих течій між ними і виникає внутрішнє тертя.

    Як знайти?

    Щоб розрахувати силу тертя необхідно знати коефіцієнт тертя k, який залежить від характеру поверхні. Коефіцієнт тертя – постійна величина і його значення можна дізнатися зі спеціальної таблиці.

    Крім коефіцієнта тертя необхідно знати силу опору N, яка, по суті, дорівнює силі тяжіння (гравітації) залежить від маси тіла (m) і прискорення вільного падіння. Її формула матиме наступний вигляд:

    N = m * g

    Де m – маса тіла, а g – прискорення вільного падіння, це постійна величина рівна 9,8 м/с

    2.

    Формула

    Сила тертя вираховується шляхом добутку реакції опори N і коефіцієнта тертя k. Формула сили тертя матиме наступний вигляд:

    Fтр = k * N.

    У деяких формулах коефіцієнт тертя k позначається символом µ.

    Написані вище розрахунки справедливі в найпростішому випадку, коли тіло лежить на строго горизонтальній поверхні.

    Якщо ж рух відбувається по похилій площині, то розрахунки сили тертя дещо ускладнюються. На тіло, як і раніше, діє сила гравітації і реакція опори поверхні, але не в одному напрямку.

    Таким чином, формула сили тертя для тіла, яке рухається по похилій поверхні, матиме наступний вигляд:

    Fтр = k * m * g * cosα.

    Де k – коефіцієнт тертя, m – маса тіла, g гравітаційна постійна (пам’ятаємо, що вона дорівнює 9,8 м/с2), cosα – відношення катета, прилеглого до кута, до гіпотенузи трикутника (косинус).

    При визначенні сили тертя на похилих поверхнях яскраво проявляється зв’язок між фізикою і геометрією.

    Рекомендована література та корисні посилання

    • Вплив тертя на концентрацію напружень та міцність деталей машин: [монографія] / О. М. Римар. — Л. : Сполом, 2013. — 378, [2] с. : іл., табл. — Бібліогр.: с. 356—378 (248 назв). — ISBN 978-966-665-835-0
    • Закалов О. В. Основи тертя і зношування в машинах: Навчальний посібник / О. В. Закалов, І. О. Закалов. — Тернопіль: Видавництво ТНТУ ім. І.Пулюя, 2011. — 322 с.
    • Теорія механізмів і машин/ А. С. Кореняко; Під ред. М. К. Афанасьєва. — К. : Вища шк. Головне вид-во, 1987. — 206 с.
    • Чолпан П. П. Фізика. К.: Вища школа. 2003. — 507 с. – ISBN 966-642-112-7
    • Попов С.В., Бучинський М.Я., Гнітько С.М., Чернявcький А.М. Теорія механізмів технологічних машин: підручник для студентів механічних спеціальностей закладів вищої освіти. Харків: НТМТ, 2019. 268 с.

    Відео

    І в завершенні освітнє відео по темі нашої статті.


    Автор: Павло Чайка, головний редактор журналу Пізнавайка

    При написанні статті намагався зробити її максимально цікавою, корисною та якісною. Буду вдячний за будь-який зворотний зв’язок та конструктивну критику у вигляді коментарів до статті. Також Ваше побажання/питання/пропозицію можете написати на мою пошту [email protected] або у Фейсбук.


    Як обчислити коефіцієнт тертя — Наука

    Тертя відбувається двома способами: кінетичним і статичним. Кінетичне тертя діє про предмет, який ковзає по поверхні, тоді як статичне тертя виникає, коли тертя перешкоджає переміщенню об’єкта. Проста, але ефективна модель тертя полягає в тому, що сила тертя, f, дорівнює добутку нормальної сили, N, і число, що називається коефіцієнтом тертя, мк. Коефіцієнт різний для кожної пари матеріалів, які контактують один з одним, включаючи матеріал, який взаємодіє між собою. Нормальна сила — це сила, перпендикулярна межі між двома ковзаючими поверхнями — іншими словами, наскільки сильно вони підштовхуються одна до одної.

    TL; DR (занадто довго; не читав)

    Формула для обчислення коефіцієнта тертя μ = f ÷ N. Сила тертя, f, завжди діє в протилежному напрямку від наміченого або фактичного руху, але лише паралельно поверхні.

    Виміряйте час руху

    Для вимірювання сили тертя встановіть експеримент, в якому блок, натягнутий струною, що проходить через шків і прикріплений до підвісної маси, ковзає по доріжці. Запустіть блок якомога далі від шківа, відпустіть блок та запишіть час, t, щоб пройти відстань, L, вздовж доріжки. Коли підвісна маса невелика, вам, можливо, доведеться натиснути блок дуже злегка, щоб він перемістився. Повторіть це вимірювання з різними висячими масами.

    Обчисліть силу тертя

    Обчисліть силу тертя. Для початку спочатку обчисліть Fnet, чисту силу на блок. Рівняння — Fnet = 2ML ÷ t 2, де M — маса блоку в грамах.

    Прикладена сила на блок, що застосовується, — це тягнення від струни через вагу висячої маси, м. Обчисліть прикладену силу, прикладається = мг, де g = 9, 81 метр на секунду в квадраті, постійна гравітаційного прискорення.

    Обчисліть N, нормальна сила — вага блоку. N = Mg.

    Тепер обчисліть силу тертя, f, різницю між прикладеною силою та силою нетто. Рівняння f = Fapplied — Fnet.

    Графік сили тертя

    Графікуйте силу тертя, f, на вісь y відносно нормальної сили, N, на вісь x. Нахил дасть вам коефіцієнт кінетичного тертя.

    Запишіть дані рампи

    Помістіть об’єкт на доріжку в один кінець і повільно підніміть його, щоб зробити пандус. Запишіть кут, θ, при якому блок просто починає ковзати. Під цим кутом ефективна сила тяжіння, що діє вниз по рампі, ледве перевищує силу тертя, що запобігає блоку починати ковзати. Включення фізики тертя з геометрією похилої площини дає просту формулу для коефіцієнта статичного тертя: μ = tan (θ), де μ — коефіцієнт тертя, а θ — кут.

    Тертя. Сила тертя. Коефіцієнт тертя ковзання. Тертя в природі і техніці.

    Задача 40.5. Якою є маса тіла, на яке діє сила тяжіння 350 Н?

    Задача 40.6. З якою силою діє хлопець на підлогу, коли тримає в руках повне п’ятилітрове відро з водою? маса хлопчика становить 43 кг, маса відра — 2 кг.


    2. Тертя. Коефіцієнт тертя ковзання. Тертя в природі й техніці.  

    Міркуємо разом. Тертя — явище, яке супроводжує нас завжди і всюди. В одних випадках воно корисне, і його намагаються збільшити. В інших — шкідливе, і його намагаються зменшити. Тертя руйнує поверхні (зношування механізмів), дозволяє зрушити з місця та гальмувати. Від тертя залежить швидкість руху рідин в судинах рослин та живих істот. За рахунок тертя обертається колесо й добувають вогонь…

        

    Сила тертя. Сила тертя — це сила, яка виникає під час руху одного тіла по поверхні іншого і перешкоджає цьому руху. Сила тертя є проявом електромагнітної взаємодії між атомами. Діють сили тертя вздовж поверхонь тіл під час їх безпосереднього дотику.

      

    Розрізняють декілька різновидів сил тертя: сила тертя спокою, сила тертя ковзання, сила тертя кочення, рідке тертя.

    Строгої теорії сил тертя спокою, як і сил сухого тертя, ще не створено.  

    Сила тертя спокою. Покладемо масивний брусок на горизонтальну кришку стола і спробуємо зрушити з місця, діючи в будь-якому горизонтальному напрямі. Для вимірювання сили, з якою ми діємо на брусок, помістимо між рукою і бруском пружинний динамометр. Дослід показує, що брусок залишається в спокої навіть тоді, коли на нього діє певна сила. А це означає, що крім зовнішньої сили виникає сила, що протидіє рухові.

    Сила тертя спокою виникає при спробі зрушити одне із стичних тіл відносно іншого. Спрямована вона вздовж стичних поверхонь так, що перешкоджає відносному рухові тіл.

       Під час збільшення сили брусок залишається в спокої доти, поки зовнішня сила  не досягне певного значення, при якому брусок почне рівномірно ковзати по поверхні стола. Таким чином, до виникнення ковзання сила тертя спокою може набувати будь-якого значення від 0 Н до певного максимального значення, яке дорівнює зовнішній силі, що спричиняє ковзання.

    • Демонстрація. Залежність сили тертя спокою від прикладеної сили ( динамометр, дерев’яна лінійка, дерев’яний брусок з гачком)

    Якими б гладенькими не здавалися поверхні дотику, вони насправді завжди шорсткі: на них є горбики й западини, добре видимі під мікроскоп.  Чим більша сила прагне привести тіло в рух, тим більша й деформація маленьких виступів на поверхні. Ось чому сила тертя спокою завжди дорівнює зовнішній силі.

          

    Силу тертя спокою, що дорівнює за модулем зовнішній силі, яка спричиняє ковзання даного тіла по поверхні іншого, називаютьмаксимальною силою тертя спокою.

    Сила тертя спокою має винятково важливе значення в житті людини, в її практичній діяльності. Свого часу, коли не дуже добре розуміли здатність  сили тертя спокою набувати різних значень, висловлювали сумніви в тому , чи потяг зможе їхати по гладеньких рейках, тому пропонували навіть робити ведучі колеса зубчастими і прокладати для них спеціальні зубчасті рейки.

    а)    б)

    Мал. а) зубчасте ведуче колесо, що рухається по зубчастій рейці; б) конічні зубчасті колеса в приводі засувки дамби.

    Сила тертя спокою є рушійною і гальмівною силою для всіх наземних колісних видів транспорту, забезпечує можливість ходіння по землі.

     

    Сила тертя ковзання.  Ковзання виникає лише тоді, коли зовнішня сила дорівнює, або перевищує за модулем максимальну силу тертя спокою. Ця особливість притаманна лише сухому тертю. Ви, мабуть, помічали, що масивний ящик важко зрушити з місця, а потім рухати його стає легше. Це пояснюється зменшенням сили тертя під час виникнення ковзання з малою швидкістю. Зменшення сили тертя ковзання при невеликих швидкостях можна пояснити  тим, що під час руху тіла наявні на його поверхні мікроскопічні виступи не встигають так глибоко западати в заглиблення поверхні другого тіла, як у спокої. Деформуються лише “верхівки” виступів, і тому сила пружного опору зменшується.

    а)  б)

    Мал. а) Графік залежності сили тертя від прикладеної сили

    Лише згодом, у міру збільшення швидкості, вона зростає і перевищує максимальну силу тертя спокою. Для невеликих відносних швидкостей руху сила тертя ковзання майже не відрізняється від максимальної сили тертя спокою. Отже, при малих швидкостях цим фактором можна нехтувати.

    Ще геніальний Леонардо да Вінчі в далекому 1500 році дуже цікавився тим, від чого залежить сила тертя і що вона собою являє?

    Перші дослідження тертя, про які ми знаємо, були проведені Леонардо да Вінчі приблизно в 1500 році. Дивні досліди, які він проводив, викликали чималий подив у його учнів, а чого ще можна було очікувати від людей, які бачать, як талановитий вчений тягає по підлозі мотузку, то розмотану у всю довжину, то щільно звиту. Ці та інші подібні експерименти дозволили йому трохи пізніше (в 1519 році) зробити висновок: сила тертя, яка з’являється при контакті одного тіла з поверхнею іншого, безпосередньо залежить від навантаження (сили притиснення), не залежить від площі взаємодії і спрямована в протилежний від руху бік.

    Минуло 180 років, і модель Леонардо була наново відкрита Г. Амонтоном, а в 1781 році Ш. О. Кулон у своїх роботах дав їй остаточне формулювання. Заслуга цих двох вчених у тому, що вони ввели таку фізичну константу, як коефіцієнт тертя, тим самим дозволивши вивести формулу, за якою можна вирахувати, чому дорівнює сила тертя для конкретно взятої пари взаємодіючих матеріалів.

    Дослідним шляхом було встановлено три закони тертя:

    1.  Сила тертя не залежить від величини площі тертьових поверхонь.
    2.  Сила тертя ковзання пропорційна силі  нормального тиску, з яким одне тіло діє на інше:

    тер=, де — коефіцієнт  тертя ковзання.

    Коефіцієнт тертя ковзання  характеризує обидві тертьові поверхні, визначається експериментально: тер, є безвимірною величиною. Коефіцієнт тертя ковзання залежить від матеріалу стичних поверхонь, стану обробки поверхонь тіл. Коефіцієнт тертя ковзання не залежить від маси тіла та площі стичних поверхонь.

    Якщо поверхня ковзання горизонтальна і зовнішня сила тяги прикладена теж горизонтально, то сила тиску на неї рівна вазі тіла:

     тер.

    1.  Сила тертя залежить від матеріалу тіл, стану обробки тертьових поверхонь, наявності і виду мастила. 

    Чим краща обробка поверхні — тим, менші сила тертя спокою та сила тертя ковзання. Проте, дослід показує, що в ідеальному випадку дзеркальних поверхонь дотичних тіл, в результаті взаємодії електричних зарядів частинок, відбувається прилипання (адгезія — зчеплення, злипання поверхонь притиснутих один до одного тіл), яке може виявитися таким міцним, як зварювання. Таким чином, можна сказати, що для грубо обробленої поверхні основну роль у виникненні сили тертя спокою і тертя ковзання відіграють зчеплення нерівностей і сили пружності, а при старанній обробці — взаємодія атомів та молекул під час дотику поверхонь.

    Сила тертя ковзання не залежить від напрямку сили, прикладеної вздовж тертьових поверхонь.

    Сила тертя кочення. Сила тертя кочення — це сила, що виникає при перекочуванні одного тіла по поверхні іншого.

        

    Виникає між елементами підшипників, між шиною колеса автомобіля і дорожнім полотном. Як правило, при малих швидкостях, зусилля тертя кочення набагато менші від зусиль тертя ковзання і тому, кочення є поширеним видом руху в техніці. 

     

    • Демонстарція. Тертя кочення (дерев ‘яний циліндр, дерев ‘яний брусок з гачком, олівці, динамометр)

    Коли швидкість кочення досягає дуже великих значень, тертя кочення різко зростає і навіть може перевищити тертя ковзання за аналогічних умов. Тертя кочення виникає на межі двох тіл, і тому воно класифікується як вид зовнішнього тертя.

    Зовнішнім тертям називають тертя, яке виникає при дотику двох тіл чи їх відносному переміщенню.

    Рідке тертя (в’язке тертя, сила опору середовища). В кінці XIX століття з’явилися нові досягнення у вивченні в’язкості, і стало зрозуміло, як діє сила тертя в рідинах і газах.

    Рідке тертя виникає при поступальному русі твердого тіла в рідині чи газі. 

    Головна особливість рідкого тертя полягає в повній відсутності сили тертя спокою. Яка завгодно мала сила може привести в рух тіло відносно рідини чи газу. Наприклад, зусиллям рук можна привести в рух масивну баржу, тоді як зрушити з місця потяг чи навіть вагон зусиллям рук просто неможливо. І навпаки — тіло, яке рухається повільно, не зазнає в газі чи рідині ніякого опору. Причина полягає в тому, що «труться» одна об одну фактично не шорсткі з западинами і виступами (звичайно, мікроскопічними) поверхні твердих тіл, зчепленням яких і визначається тертя спокою, а шари рідини чи газу.

    • Демонстрація. Рідке тертя (скляна посудина з водою, іграшковий кораблик, динамометр)

    Сила опору середовища залежить від розмірів, форми і стану поверхні тіла, властивостей самої рідини чи газу, в яких рухається тіло, від відносної швидкості руху тіла й середовища.  

    При малих швидкостях  сила опору середовища:  , при  великих швидкостях : , де  — швидкість тіла;  — коефіцієнт опору середовища.

       

    Внутрішнім тертям називають тертя між частинками одного і того ж тіла, наприклад, між різними шарами рідини або газу (вітер в атмосфері Землі, рух гарячих та холодних течій у водах океану…)

    Тертя в природі й техніці. У ХХ столітті дослідження в області тертя принесли так багато нової інформації, що її потрібно якось систематизувати. У результаті з’явилася ціла наука — трибологія — наука про тертя, зношування, змащування та контактну взаємодію поверхонь твердих тіл при їх відносному русі. 

    Кінцівки тварин схожі на робочі інструменти, що використовуються людиною. У багатьох рослин та тварин є різні органи, що служать для хватання ( вусики у рослин, хобот у слона, хвости у повзаючих тварин). Всі вони мають шорстку поверхню для збільшення сили тертя.

      

    Змії можуть ковзати по різних поверхнях, не порушуючи цілісності своєї шкіри, і цю особливість фахівці з Технологічного інституті Карлсруе використали для створення сталі зі структурованою поверхнею, що в деяких випадках дозволяє зменшити сили тертя і, як наслідок, знос  тертьових частин механізмів.

           

    Попередні оцінки збільшення зносостійкості показують, що текстурування поверхні лускатими структурами дозволить кардинально збільшити термін служби механізмів, які працюють в складних умовах, в яких неможливо застосувати мастильні матеріали. До таких механізмів відносяться і приводи сучасних жорстких дисків і, цілком імовірно, що в майбутньому жорсткі диски наших комп’ютерів зможуть стати набагато надійніші і тихіші, отримавши деякі деталі, покриті структурою типу «зміїної шкіри».

    У техніці сила тертя в багатьох випадках є причиною нагрівання поверхонь.  Пояснюється це тим, що під час зривання зачеплень виступи певний час коливаються, перетворюючи у внутрішню енергію набуту енергію пружної деформації. Цей та інші фактори спонукають до пошуку способів зміни сили тертя. На практиці доводиться як зменшувати, так і збільшувати сили тертя між поверхнями тіл.

    Щоб зменшити силу тертя: 

    • покращують якість обробки стичних поверхонь;
    • спеціально підбирають матеріали;
    • використовують підшипники;

    Для більшості поверхонь сила тертя кочення значно менша за силу тертя ковзання. Тому широко практикується заміна тертя ковзання тертям кочення (кулькові та роликові підшипники).

    • змащують стичні поверхні мастилом;

    У техніці для зменшення впливу сил сухого тертя між поверхнями вводять мастило — в’язку рідину, яка створює тонкий шар між твердими поверхнями. Вплив мастила полягає у тому, що між тертьові поверхні вводиться шар в’язкої рідини, яка заповнює всі нерівності поверхонь і, прилипаючи до них, утворює два тертьових шари рідини. В результаті тертя ковзання замінюється рідким тертям, яке набагато менше за тертя ковзання. Застосування мастил зменшує тертя в 8-10 разів.

         

    Хоча мастило між тертьовими поверхнями використовували з самого початку зародження техніки, лише в 1886 році завдяки О. Рейнольдсу з’явилася струнка теорія, присвячена мастилам.

    • у випадку рідкого тертя — надають тілу обтічної форми.

        

    При дуже великих швидкостях сухе тертя (тертя ковзання, тертя кочення)  переходить у в’язке, оскільки між поверхнями утворюється прошарок повітря.   В даний час широко застосовується такий спосіб зменшення тертя при русі транспортних засобів.

    Повітряна подушка — це шар стиснутого повітря під транспортним засобом, який піднімає його над поверхнею води або землі. Шар стисненого повітря створюється вентиляторами. Відсутність тертя об поверхню дозволяє знизити опір руху. Від висоти підйому залежить здатність такого судна рухатися над різними перешкодами на суші або над хвилями на воді. Першим ідею подібної машини на повітряній подушці висловив К.Е. Ціолковський в 1927 році, в роботі «Опір повітря і швидкий поїзд».

    Щоб збільшити силу тертя:

    • На стичних поверхнях створюють рельєфні малюнки.

     

    • Збільшують вагу тіла.
    • підбирають середовище з більшим коефіцієнтом тертя…

    Відео. Сили тертя (час показу 6:07 хв)


    4. Запитання до уроку.

    Запитання 41.1. Що таке сила тертя? Поясніть природу виникнення сил тертя.

    Запитання 41.2.  Які є види тертя? Чому тертя може бути і корисним, і шкідливим?

    Запитання 41. 3. Коли виникає сила тертя спокою? Охарактеризуйте цю силу.

    Запитання 41.4. Коли виникає сила тертя ковзання? Охарактеризуйте цю силу.

    Запитання 41.5. Коли виникає сила тертя кочення? Охарактеризуйте цю силу.

    Запитання 41.6. Коли виникає сила в’язкого тертя? Охарактеризуйте цю силу.

    Запитання 41.7. Від чого залежить значення сили тертя ковзання?

    Запитання 41.8. Як визначають коефіцієнт тертя ковзання? Вкажіть чинники від яких він залежить, а від яких — не залежить?

    Запитання 41.9. Як на практиці збільшують чи зменшують силу тертя?

    Запитання 41.10. Рибалка витягує на берег човен. Чому в міру того, як човен витягається рибалці потрібно все більших зусиль?

    Запитання 41.11. Чому човни та кораблі не можуть розвинути таку велику швидкість, яку розвивають літаки?

    Запитання 41.12. Як змії допомогли науковцям зменшити силу тертя в механізмах?


    5. Домашнє завдання.

    Підручник: параграф 21 (ст. 73-76).

    Письмове опитування по запитаннях до уроку.   Сили тертя 


    7. Перевір себе.

    Тестові завдання Сили тертя

    Запитання 41.1.Т. Значення сили тертя залежить від:

    А. фізичної природи стичних поверхонь;

    Б. площі стичних поверхонь;

    В. якості обробки стичних поверхонь;

    Г. відносної швидкості стичних поверхонь;

    Д. ваги тіла.

    Запитання 41.2. Значення коефіцієнта тертя залежить від:

    А. фізичної природи стичних поверхонь;

    Б. площі стичних поверхонь;

    В. якості обробки стичних поверхонь;

    Г. відносної швидкості стичних поверхонь;

    Д. ваги тіла.

    Запитання 41.3. Щоб зменшити силу тертя потрібно:

    А. Стичні поверхні зробити гладенькими;

    Б. Зменшити площу стичної поверхні;

    В. Надати тілу обтічної форми;

    Г. Збільшити відносну швидкість руху стичних поверхонь;

    Д. Між стичні поверхні ввести мастило.

    Запитання 41.4. Щоб збільшити силу тертя потрібно:

    А. на стичних поверхня створити рельєфний малюнок;

    Б. збільшити вагу тіла;

    В.  використати підшипники;

    Г. використати матеріали, що мають більший коефіцієнт тертя;

    Д. збільшити площу стичних поверхонь.

    Запитання 41.5. Вкажіть правильні твердження:

    А. сила реакції опори утворюється в результаті дії на тіло сили тяжіння;

    Б. на початку ковзання, коли відносна швидкість мала, сила тертя ковзання стає дещо меншою за максимальну силу тертя спокою;

    В. при ідеальній дзеркальній обробці стичних поверхонь сила тертя зникає;

    Г. будь-яка зовнішня сила здатна викликати ковзання;

    Д. максимальна сила тертя ковзання прямо пропорційна до ваги тіла.

    Запитання 41.6. Вкажіть правильні твердження:

    А. до моменту ковзання сила тертя спокою може набувати будь-якого значення від 0 до певного максимального;

    Б. значення сили тертя ковзання не залежить від напрямку прикладеної сили;

    В. сила, менша за максимальну силу тертя спокою, може викликати ковзання;

    Г. рідке тертя виникає при будь-якій прикладеній до тіла зовнішній силі;

    Д.  сила тертя ковзання діє вздовж поверхні контакту двох тіл.

    Запитання 41. 7. Встановіть відповідність.

    Запитання 41.8. Встановіть відповідність.


    8. Для допитливих.

    Цікаві факти про тертя.

    • Вогонь з кресала. Можна отримувати вогонь, завдаючи по твердому каменю удари якимось металевим предметом, наприклад, ножем. Такий пристрій з витягання вогню існував з давніх часів і пізніше став називатися «кресалом». Добування вогню кресалом теж супроводжується тертям!

    Кресало — це пристосування для отримання вогню, що широко застосовувалося до появи сірників. Воно складається з кресала, «кременя» і трута. Сніп висікаються при ударі кременя про кресало іскор запалює труть.

    Кресало (від слова «різати») являє собою смужку сталі з рискою, необхідної для відколювання від кременя дрібних частинок. При цьому температура підвищується до 900-1100 °С, і розігріті частинки спалахують. Це схоже на шліфування сталевого предмета на точильному камені, коли навколо утворюється багато іскор.

    Згодом кресало перетворилося на коліщатко з рискою, яке знайшло своє застосування спочатку в вогнепальній зброї, а потім у запальничці.

    • Сірники. Перші сірники були винайдені в 1830 році 19-річним французьким хіміком Шарлем Сориа. Це були фосфорні сірники. Ці сірники спалахували навіть від взаємного тертя в коробці і при терті об будь-яку тверду поверхню, наприклад, підошву чобота. Ці сірники не мали запаху, але були шкідливі для здоров’я, оскільки білий фосфор дуже отруйний.

    У 1855 році шведський хімік Лундстрем почав використовувати для виробництва сірників нешкідливий червоний фосфор. Такі сірники легко запалювалися об заздалегідь приготовлену поверхню і практично не самозаймалися. Перший «шведський сірник» Лундстрема дійшов практично до наших днів.

    • Звук, народжений смичком. При рівномірному русі смичка скрипкова струна захоплюєть­ся ним і натягується. З натягом струни збільшується сила тертя спокою між смичком і струною. Коли сила тертя спокою досягає максимального значення, струна починає просковзувати відносно смичка і набуває коливального руху. .. Так народжується звук.
    • Кататися на ковзанах. žЧому ковзани, з легкістю сковзаючи по поверхні льоду, не сков­зають по поверхні більш гладенького скла? При ковзанні ковзана по льоду виділяється тепло, і лід під ковзаном злегка підтаює, утво­рюючи змащення, що полегшує ковзання. Тому в сильний мороз ковзатися стає складніше — виділюваної енергії недостатньо для того, щоб розтопити лід, а отже створити необхідне змащення.

    Урок «Сила тертя, коефіцієнт тертя ковзання.»

    Тема: Сила тертя. Коефіцієнт тертя ковзання.

    Мета: з’ясувати природу сили тертя розглянути способи зменшення й збільшення тертя.

    І Актуалізація опорних знань

    Кросворд

    Питання до кросворда

    1. Прилад для вимірювання сили? (динамометр)
    2. Стан у якому перебувають космонавти у космосі ?(невагомість)
    3. Основний елемент динамометра? (пружина)
    4. Одиниця вимірювання сили? (Ньютон)
    5. Яка сила змушує яблуко падати на землю? (тяжіння)

    ІІ Мотивація навчальної діяльності

     Автомобіль, вимкнувши двигун, через певний час зупиняється. Шайба, рухаючись по льоду, також згодом зупиниться. Зупиняється і велосипед, якщо припинити крутити педалі. Що ж є причиною зменшення швидкості руху тіл? На сьогоднішнім уроці ми і відповімо на це питання.

    ІІІ Основний зміст уроку

    Сила тертя виникає під час взаємодії між твердими тілами в місцях їх дотику і перешкоджає їх відносному переміщенню.

    Fтер – сила тертя.

    Тертя

    Тертя спокою тертя ковзання                  тертя кочення

      Чим більша сила притискає тіло до поверхні, тим більша сила тертя виникає при цьому.

       Сила тертя залежить від матеріалу і якості обробки поверхні, по якій рухається тіло.

    Fтер = µ·N –сила тертя ковзання

    Fтер – сила тертя ковзання;

    µ  — коефіцієнт тертя ковзання;

    N – сила реакції опори.

    N=P=m·g

    Fтер=µ·g·m

    g=9.81 Н/кг

        При однакових навантаженнях сила тертя кочення завжди менша за силу тертя ковзання.

        Сила тертя, які виникають під час руху тіл у рідині або газі, називають силами опору середовища.

    ІV Закріплення нового матеріалу

    Задачі з підручника ст. 113

    V Д. §29

    § 29. Тертя. Сили тертя. Коефіцієнт тертя ковзання » Народна Освіта

    Спостереження 1. Автомобіль, вимкнувши двигун, через певний час зупиняється. Шайба, рухаючись по льоду, також згодом зупиниться. Зупиняється і велосипед, якщо припинити крутити педалі.

    Що ж є причиною зменшення швидкості руху тіл?

    З раніше вивченого ви знаєте, що причиною зміни швидкості руху тіл є дія одного тіла на інше. тер.

    Сила тертя виникає під час взаємодії між твердими тілами в місцях їх дотику і перешкоджає їх відносному переміщенню.

    Однією з причин виникнення сили тертя є шорсткість стичних поверхонь тіл. Навіть гладенькі на вигляд поверхні тіл мають нерівності, горбики і подряпини. На малюнку 135 ці нерівності зображено у збільшеному вигляді. Коли одне тіло ковзає по поверхні іншого, ці нерівності зачіплюються одна за одну, що створює силу, яка заважає руху.

    Друга причина тертя — взаємне притягання молекул стичних поверхонь тіл. Якщо поверхні тіл дуже добре відполіровано, то їх молекули розміщуються так близько одна до одної, що помітно починає проявлятися притягання між ними.

    Розрізняють кілька видів тертя залежно від того, як взаємодіють тертьові тіла: тертя спокою, тертя ковзання, тертя кочення.

    Дослід 1. Покладемо брусок на похилу дошку. Брусок перебуває в стані спокою. Що утримує його від зісковзування вниз? Тертя спокою забезпечує зчеплення бруска й дошки.

    Дослід 2. Притисніть свою руку до зошита, що лежить на столі, і пересуньте його. Зошит буде рухатися відносно стола, але перебуває у спокої відносно вашої долоні. За допомогою чого ви примусили цей зошит рухатися? За допомогою тертя спокою зошита об руку.

    Тертя спокою переміщує вантажі, що розміщуються на рухомій стрічці транспортера, запобігає розв’язуванню шнурків, утримує шурупи і цвяхи в дошці тощо.

    Якщо одне тіло ковзає по іншому, то тертя, що виникає при цьому, називають тертям ковзання. Таке тертя виникає під час руху саней або лиж по снігу, підошв по землі.

    Якщо одне тіло котиться по іншому, то говорять про тертя кочення. Під час кочення коліс вагона, автомобіля, воза, під час перекочування бочок по землі проявляється тертя.

    А від чого залежить сила тертя?

    Дослід 3. Прикріпимо до бруска динамометр і будемо тягнути його, надаючи бруску рівномір-

    ного руху (мал. 136). При цьому динамометр буде показувати силу, з якою ми тягнемо брусок, а отже, і силу тертя, яка виникає під час руху бруска по поверхні стола. gm, де g = 9,81 Н/кг; т -маса тіла.

    У таблиці 5 вказано коефіцієнти тертя ковзання для деяких матеріалів.

    Таблиця 5

    Матеріал

    Коефіцієнт тертя

    Сталь по сталі

    0,17

    Залізо по залізу

    0,30

    Залізо по чавуну і бронзі

    0,18

    Дуб по дубу при паралельних волокнах

    0,20

    Дуб по дубу при перпендикулярних волокнах

    0,40

    Сталь по льоду

    0,02

    Сталь по твердому ґрунту

    0,20-0,40

    Дерево по льоду

    0,035

    Дослід 4. Покладемо дерев’яний брусок на круглі олівці (мал. 137). Потягнемо брусок динамометром, олівці за рахунок тертя між ними і бруском з дошкою почнуть обертатися, а брусок — рухатися. Сила тертя кочення буде меншою від сили тертя ковзання.

    При однакових навантаженнях сила тертя кочення завжди менша від сили тертя ковзання.

    Якщо розглянете швацьку голку, то відразу помітите, що вона гладко відполірована. Для чого потрібне таке полірування? А чи легко шити заіржавілою голкою? Тут ви безпосередньо пересвідчуєтеся, яку роль відіграє в побуті тертя.

    У природі й техніці тертя може бути і корисним, і шкідливим. Коли воно корисне, його намагаються збільшити, а коли шкідливе — зменшити.

    Через тертя зношуються механізми і машини, стираються підошви взуття і шини автомобілів, ускладнюється пересування різних вантажів.

    Але уявіть на хвилину, що тертя зникло. Тоді рухомий автомобіль не зміг би зупинитися, а нерухомий — зрушити з місця; пішоходи впали б на дорогу і не змогли б піднятися; тканини розпалися б на нитки, тому що нитки в них утримуються тертям; ви навіть не змогли б перегорнути сторінки цього підручника.

    Ви, мабуть, неодноразово помічали, що на автомобільних шинах є рельєфні малюнки (так звані протектори), які розміщені вздовж і впоперек шини (мал. 138). Вони зроблені для збільшення тертя, тобто сили зчеплення коліс з полотном дороги. Поперечні смуги збільшують зчеплення колеса з полотном дороги, а поздовжні смуги, а також виступи, розташовані під кутом, перешкоджають зміщенню, зісковзуванню автомобіля вбік.

    В усіх машинах унаслідок тертя нагріваються і спрацьовуються рухомі частини. Щоб зменшити тертя, стичні поверхні роблять гладенькими і між ними вводять мастило, оскільки тертя між поверхнею твердого тіла й рідиною значно менше, ніж між поверхнями твердих тіл. Обертові вали машин і верстатів установлюють на підшипниках.

    Підшипники кочення бувають кулькові й роликові (мал. 139). Вони дають змогу зменшити силу тертя у 20-30 разів порівняно з підшипниками ковзання.

    Відомо, що змащування тертьових поверхонь значно зменшує тертя між

    ними. Чому ж важче утримувати топорище сокири сухою рукою, ніж вологою? Виявляється, що при змащуванні дерева дрібні волокна на його поверхні набрякають, тому тертя між рукою і топорищем збільшується, що й допомагає утримувати сокиру в руках.

    Спостереження 2. Коли ви намагаєтеся бігти у воді басейну, річки або озера, то відчуваєте великий опір з боку води і не можете швидко бігти.

    Переносячи легкі великі предмети у вітряну погоду, ви відчуваєте такий опір з боку вітру, що вам дуже важко йти.

    Коли в безвітряну погоду ви стоїте біля дороги і повз вас проїжджає вантажний автомобіль на великій швидкості, то ви обов’язково відчуєте вітер, що супроводжує рух автомобіля. Що більша швидкість автомобіля, то більша сила цього вітру.

    Сили тертя, які виникають під час руху тіл у рідині або газі, називають силами опору середовища.

    Сила опору залежить від форми тіла. Ракетам, літакам, підводним човнам, кораблям і автомобілям надають обтічної форми, тобто форми, за якої сила опору найменша.

    Дослід 5. Візьмемо два вимірювальних циліндри, наповнимо один з них водою, а другий — олією або машинним маслом. Кинемо одночасно в них однакові металеві кульки. У результаті досліду побачимо, що кулька у воді впаде на дно швидше, ніж у маслі, тобто сила опору руху кульки в маслі більша, ніж у воді.

    Човни, кораблі не можуть розвинути такої швидкості, яку розвивають літаки, тому що сила опору руху у воді набагато більша, ніж у повітрі.

    ЗАПИТАННЯ ДО ВИВЧЕНОГО

    1.    Які є види тертя?

    2.    Які причини виникнення тертя?

    3.    Як визначають силу тертя ковзання?

    4.    Чому тертя може бути і корисним, і шкідливим?

    5.    Якими способами можна зменшити силу тертя?

    6.    Які сили називають силами опору?

    Лабораторна робота № 9

    Визначення коефіцієнта тертя ковзання

    Мета роботи: на дослідах визначити коефіцієнт тертя ковзання.

    Прилади і матеріали: динамометр, дерев’яний брусок, дерев’яна лінійка, набір важків.

    Хід роботи

    1.    Визначте динамометром масу бруска і одного важка.

    2.    Покладіть брусок на горизонтально розміщену дерев’яну лінійку. На брусок поставте важок.

    3.    Прикріпіть до бруска з важком динамометр і тягніть його вздовж лінійки зі сталою швидкістю (мал. 140). Запишіть покази динамометра в таблицю.

    4.    До першого важка додайте другий, а потім — третій, щоразу зважуючи брусок і важки та вимірюючи силу тертя. Для кожного досліду визначте силу реакції опори, значення якої в умовах кожного досліду дорівнює вазі бруска й важків, за формулою N = gm. Результати вимірювань і розрахунків запишіть у таблицю.

    5.    Визначте коефіцієнт тертя ковзання

    для кожного випадку за формулою

    6. Зробіть висновки.

    Для допитливих

    За результатами вимірювань і розрахунків побудуйте графік залежності сили тертя від сили реакції опори і, користуючись ним, визначте середнє значення коефіцієнта тертя ковзання рс. Зробіть висновки.

     

    Це матеріал з підручника Фізика 7 клас Сиротюк

     

    Теоретична механіка. Коефіцієнт тертя ковзання Формула для визначення коефіцієнта тертя ковзання

    Якщо брусок тягнуть за допомогою динамометра з постійною швидкістю, то динамометр показує модуль сили тертя ковзання (F тр). Тут сила пружності пружини динамометра врівноважує силу тертя ковзання.

    З іншого боку, сила тертя ковзання залежить від сили нормальної реакції опори (N), яка виникає в наслідок дії ваги тіла. Чим вага більше, тим більше сила нормальної реакції. І чим більше сила нормальної реакції, тим більше сила тертя. Між цими силами існує пряма пропорційна залежність, Яка вміщується у формулу:

    Тут μ — це коефіцієнт тертя. Він показує, як саме сила тертя ковзання залежить від сили нормальної реакції (або, можна сказати, від ваги тіла), яку частку від неї становить. Коефіцієнт тертя — безрозмірна величина. Для різних пар поверхонь μ має різне значення.

    Так, наприклад, дерев’яні предмети труться одна об одну з коефіцієнтом від 0,2 до 0,5 (в залежності від виду дерев’яних поверхонь). Це означає, що якщо сила нормальної реакції опори 1 Н, то при русі сила тертя ковзання може скласти значення, що лежить в проміжку від 0,2 Н до 0,5 Н.

    З формули F тр \u003d μN слід, що знаючи сили тертя і нормальної реакції, можна визначити коефіцієнт тертя для будь-яких поверхонь:

    Сила нормальної реакції опори залежить від ваги тіла. Вона дорівнює йому по модулю, але протилежна за напрямком. Вага тіла (P) можна обчислити, знаючи масу тіла. Таким чином, якщо не враховувати векторність величин, можна записати, що N \u003d P \u003d mg. Тоді коефіцієнт тертя знаходиться за формулою:

    μ \u003d F тр / (mg)

    Наприклад, якщо відомо, що сила тертя тіла масою 5 кг, що рухається по поверхні, дорівнює 12 Н, то можна знайти коефіцієнт тертя: μ \u003d 12 Н / (5 кг ∙ 9,8 Н / кг) \u003d 12 Н / 49 Н ≈ 0,245.

    Глава 15. Теорема про зміну кінетичної енергії.

    15.3. Теорема про зміну енергії кінетичної точки і твердого тіла при поступальному русі.

    15.3.1. Яку роботу здійснюють діючі на матеріальну точку сили, якщо її кінетична енергія зменшується з 50 до 25 Дж? (Відповідь -25)

    15.3.2. Вільне падіння матеріальної точки масою m починається зі стану спокою. Нехтуючи опором повітря, визначити шлях, пройдений точкою до моменту часу, коли вона має швидкість 3 м / с. (Відповідь 0,459)

    15. 3.3. Матеріальна точка масою m \u003d 0,5 кг кинута з поверхні Землі з початковою швидкістю v о \u003d 20 м / с і в положенні М має швидкість v \u003d 12 м / с. Визначити роботу сили тяжіння при переміщенні точки з положення М про в положення М (Відповідь -64)

    15.3.4. Матеріальна точка масою m кинута з поверхні Землі під кутом α \u003d 60 ° до горизонту з початковою швидкістю v 0 \u003d 30 м / с. визначити найбільшу висоту h підйому точки. (Відповідь 34,4)

    15.3.5. Тіло масою m \u003d 2 кг від поштовху піднімається по похилій площині з початковою швидкістю v о \u003d 2 м / с. Визначся роботу сили тяжіння на шлях, пройдений тілом до зупинки. (Відповідь -4)

    15.3.6. Матеріальна точка М масою m, підвішена на нитці довжиною ОМ \u003d 0,4 м до нерухому точку О, відведена на кут α \u003d 90 ° від положення рівноваги і відпущена без початкової швидкості. Визначити швидкість цієї точки під час її проходження через положення рівноваги. (Відповідь 2,80)

    15.3.7. Кабіна гойдалок підвішена на двох стрижнях завдовжки l \u003d 0,5 м. Визначити швидкість кабіни під час проходження нею нижнього положення, якщо в початковий момент стрижні були відхилені на кут φ \u003d 60 ° і відпущені без початкової швидкості. (Відповідь 2,21)

    15.3.8. Матеріальна точка М масою m рухається під дією сили тяжіння по внутрішній поверхні напівциліндра радіуса r \u003d 0,2 м. Визначити швидкість матеріальної точки в точці В поверхні, якщо її швидкість в точці A дорівнює нулю. (Відповідь 1,98)

    15.3.9. За дроті АВС, розташованої у вертикальній площині і зігнутої у вигляді дуг кіл радіусів r 1, \u003d 1 м, r 2 \u003d 2 м, може ковзати без тертя кільце D масою m. Визначити швидкість кільця в точці С, якщо його швидкість в точці А дорівнює нулю. (Відповідь 9,90)

    15.3.10. По горизонтальній площині рухається тіло масою m \u003d 2 кг, з яким була повідомлена початкова швидкість v 0 \u003d 4 м / с. До зупинки тіло пройшло шлях, рівний 16 м. Визначити модуль сили тертя ковзання між тілом і площиною. (Відповідь 1)

    15.3.11. Тіло масою m \u003d 100 кг починає рух зі стану спокою по горизонтальній шорсткою площині під дією постійної сили F. Пройшовши шлях, рівний 5 м, швидкість тіла стає рівною 5 м / с. Визначити модуль сили F, якщо сила тертя ковзання F тр \u003d 20 Н. (Відповідь 270)

    15.3.12. Хокеїст, перебуваючи на відстані 10 м від воріт, ключкою повідомляє шайбі, що лежить на льоду, швидкість 8 м / с. Шайба, ковзаючи по поверхні льоду, влітає у ворота зі швидкістю 7,7 м / с. Визначити коефіцієнт тертя ковзання між шайбою і поверхнею льоду.
    (Відповідь 2,40 10 -2)

    15.3.13. за похилій площині спускається без початкової швидкості тіло масою m \u003d 1 кг. Визначити кінетичну енергію тіла в момент часу, коли воно пройшло шлях, рівний 3 м, якщо коефіцієнт тертя ковзання між тілом і похилою площиною f \u003d 0,2. (Відповідь 9,62)

    15. 3.14. По похилій площині спускається без початкової швидкості вантаж масою m. Яку швидкість v матиме вантаж, пройшовши шлях, рівний 4м від початку руху, якщо коефіцієнт тертя ковзання між вантажем і похилою площиною дорівнює 0,15? (Відповідь 5,39)

    15.3.15. До повзуна 1 масою m \u003d 1 кг прикріплена пружина 2. Пружину стискають з вільного стану на величину 0,1 м, після чого вантаж відпускають без початкової швидкості. Визначити жорсткість пружини, якщо вантаж, пройшовши шлях, рівний 0,1 м, набуває швидкість 1 м / с.
    (Відповідь 100)

    2.2.4. Сила тертя

    Сила тертя діє не тільки на тіло, що рухається, а й на тіло, що знаходиться в спокої, якщо існують сили, які прагнуть цей спокій порушити. На тіло, яке котиться по опорі, також діє сила тертя.

    Сила тертя спокою чисельно дорівнює складової сили, спрямованої уздовж поверхні, на якій знаходиться дане тіло, і прагне зрушити його з місця (рис. 2.7):

    F тр.пок \u003d F x.

    Мал. 2.7

    При досягненні зазначеної складової деякого критичного значення (F x \u003d F крит) тіло починає рухатися. Критичне значення сили, яке відповідає початку руху, визначається формулою

    F x \u003d F крит \u003d μ пок N,

    де μ пок — коефіцієнт тертя спокою; N — модуль сили нормальної реакції опори (ця сила чисельно дорівнює вазі тіла).

    У момент початку руху сила тертя спокою досягає максимального значення:

    F тр. пок max \u003d μ пок N.

    Сила тертя ковзання постійна і визначається твором:

    F тр.ск \u003d μ ск N,

    де μ ск — коефіцієнт тертя ковзання; N — модуль сили нормальної реакції опори.

    При вирішенні завдань вважають, що коефіцієнти тертя спокою μ пок і ковзання μ ск рівні між собою:

    μ пок \u003d μ ск \u003d μ.

    На рис. 2.8 зображений графік залежності величини сили тертя F тр від проекції сили F x, що прагне зрушити тіло, на вісь, направлену уздовж поверхні передбачуваного руху.

    Мал. 2.8

    Для того щоб визначити, чи буде дане тіло перебувати в спокої або почне рухатися під дією прикладеної сили певної величини і напрямки, необхідно:

    F крит \u003d μN,

    де μ — коефіцієнт тертя; N — модуль сили нормальної реакції опори;

    3) порівняти значення F крит і F x:

    • якщо F x\u003e F крит, то тіло рухається під дією прикладеної сили; в цьому випадку сила тертя ковзання розраховується як

    F тр. ск \u003d μN;

    F тр.пок \u003d F x.

    модуль сили тертя коченняF тр.кач пропорційний коефіцієнту тертя кочення μ кач, модулю сили нормальної реакції опори N і обернено пропорційний радіусу R котиться тіла:

    F тр. кач \u003d μ кач N R.

    Приклад 13. До тіла масою 6,0 кг, який лежить на горизонтальній поверхні, прикладена сила 25 Н, спрямована уздовж поверхні. Знайти силу тертя, якщо коефіцієнт тертя дорівнює 0,5.

    Рішення. Зробимо оцінку величини сили, здатної викликати рух тіла, по формулі

    F кр \u003d μN,

    де μ — коефіцієнт тертя; N — модуль сили нормальної реакції опори, чисельно рівній вазі тіла (P \u003d mg).

    Величина критичної сили, достатньої для початку руху тіла, становить

    F кр \u003d μ m g \u003d 0,5 ⋅ 6,0 ⋅ 10 \u003d 30 Н.

    Проекція сили, прикладеної до тіла в горизонтальному напрямку, на вісь передбачуваного руху Ox (див. Малюнок) дорівнює

    F x \u003d F \u003d 25 Н.

    F x

    тобто величина доданої до тіла сили менше величини сили, здатної викликати його рух. Отже, тіло знаходиться в стані спокою.

    Шукана сила тертя — сила тертя спокою — дорівнює зовнішньої горизонтальної силі, яка прагне цей спокій порушити:

    F тр.пок \u003d F x \u003d 25 Н.

    Приклад 14. Тіло знаходиться на похилій площині з кутом при підставі 30 °. Обчислити силу тертя, якщо коефіцієнт тертя дорівнює 0,5 3. Маса тіла дорівнює 3,0 кг.

    Рішення. На малюнку стрілкою показано напрямок передбачуваного руху.

    З’ясуємо, чи залишиться тіло в спокої або почне рухатися. Для цього розрахуємо величину критичної сили, здатної викликати рух, тобто

    F кр \u003d μN,

    де μ — коефіцієнт тертя; N \u003d mg cos α — величина сили нормальної реакції похилій площині.

    Розрахунок дає значення зазначеної сили:

    F кр \u003d μ m g cos 30 ° \u003d 0,5 3 ⋅ 3,0 ⋅ 10 ⋅ 3 2 \u003d 22,5 Н.

    Зі стану спокою тіло прагне вивести проекція сили тяжіння на вісь Ox, величина якої становить

    F x \u003d mg sin 30 ° \u003d 15 Н.

    Таким чином, має місце нерівність

    F x

    тобто проекція сили, яка прагне викликати рух тіла, менше величини сили, здатної це зробити. Отже, тіло зберігає стан спокою.

    Шукана сила — сила тертя спокою — дорівнює

    F тр \u003d F x \u003d 15 Н.

    Приклад 15. Шайба знаходиться на внутрішній поверхні півсфери на висоті 10 см від нижньої точки. Радіус півсфери становить 50 см. Обчислити коефіцієнт тертя шайби об сферу, якщо відомо, що зазначена висота є максимально можливою.

    Рішення. Проілюструємо умову задачі малюнком.

    Шайба, згідно з умовою завдання, знаходиться на максимально можливій висоті. Отже, сила тертя спокою, що діє на шайбу, має максимальне значення, що збігається з проекцією сили тяжіння на вісь Ox:

    F тр. пок max \u003d F x,

    де F x \u003d mg cos α — модуль проекції сили тяжіння на вісь Ox; m — маса шайби; g — модуль прискорення вільного падіння; α — кут, показаний на малюнку.

    Максимальна сила тертя спокою збігається з силою тертя ковзання:

    F тр. пок max \u003d F тр. ск,

    де F тр.ск \u003d μN — модуль сили тертя ковзання; N \u003d mg sin α — величина сили нормальної реакції поверхні півсфери; μ — коефіцієнт тертя.

    Коефіцієнт тертя визначимо, записавши вказане рівність в явному вигляді:

    mg cos α \u003d μmg sin α.

    Звідси випливає, що шуканий коефіцієнт тертя визначається тангенсом кута α:

    Зазначений кут визначимо з додаткового побудови:

    tg α \u003d R — h 2 h R — h 2,

    де h — гранична висота, на якій може перебувати шайба; R — радіус півсфери.

    Розрахунок дає значення тангенса:

    tg α \u003d 0,5 — 0,1 2 ⋅ 0,1 ⋅ 0,5 — (0,1) 2 \u003d 4 3

    і дозволяє обчислити шуканий коефіцієнт тертя.

    фізичний практикум

    Завдання № 3

    Визначення коефіцієнта тертя ковзання

    При підготовці до виконання цього завдання слід ознайомитися з теорією по навчальних посібниках:

    1. Глава 2, І.В. Савельєв «Курс загальної фізики», Т.1, М.,« Наука ».

    2. § 1 і 2. П.К. Кашкаров, А.В. Зотєєв, А.Н. Невзоров, А.А. Склянкін «Завдання по курсузагальної фізики з рішеннями. « Механіка. Електрика і магнетизм » , М., изд. МГУ.

    1. Мета роботи

    Експериментально перевірити закони кінематики і динаміки на прикладі поступального руху твердого тіла при наявності сухого тертя. Познайомитися з методом визначення коефіцієнта тертя ковзання — трибометр. На підставі досвідчених даних провести розрахунок коефіцієнта тертя ковзання.

    2. Експериментальне обладнання, прилади та приладдя

    Л
    абораторний стенд (рис. 3.1) включає похилу направляючу лаву (1) з прикріпленою до неї вимірювальною лінійкою, рухливий брусок (2) (2 шт.), оптичні датчики (3) (3 шт.), транспортир для виміру кута нахилу направляючої лави і модуль збору сигналів від оптичних датчиків (4).

    До приладів і приладдя відносяться комп’ютер з необхідним програмним забезпеченням і концентратор для підключення модуля збору сигналів до комп’ютера.

    3. Теоретична частина

    А. Загальні положення

    При аналізі руху тіл з використанням законів Ньютона доводиться мати справу з такими видами сил:

        Сила тяжіння — прояв гравітаційного взаємодії тіл;

        Сила натягу ниток, пружин, реакції опор і підвісів, і т.д. ( «Сили реакції зв’язків») — прояв сил пружності, що виникають при деформації тіл;

        Сила тертя . розрізняють сили сухого і в’язкого тертя. Сухе тертя виникає при можливості руху твердого тіла по поверхні іншого твердого тіла.

      В умовах, коли на тіло, стикається з деякою поверхнею, діють сили, але воно не рухається відносно цієї поверхні, з боку останньої на тіло діє сила тертя спокою . Її величина знаходиться з умови відсутності відносного руху:

    (3.1),

    де — сили, прикладені до тіла, за винятком
    . Тобто поки тіло знаходиться в спокої, сила тертя спокою в точності дорівнює за величиною і протилежна за напрямком дотичної складової результуючої сил
    . Максимальне значення сили тертя п окоя одно
    , де N нормальна (тобто перпендикулярна поверхонь) складова сили реакції опори *), — коефіцієнт тертя ковзання. Коефіцієнт тертя залежить від матеріалу і стану поверхонь дотичних тіл. Для шорстких поверхонь коефіцієнт тертя більше, ніж для відшліфованих. На рис. 3.2 показано як змінюється сила сухого тертя при наростанні величини сили F . Похила ділянка графіка ( F тр  N) Відповідає покоїться тіла ( F тр пок \u003d F ), А горизонтальний — ковзанню.

    . (3.2)

    * За своєю природою сили сухого тертя обумовлені електромагнітним взаємодією молекул поверхневих шарів дотичних твердих тіл. Незалежність сили тертя від швидкості дотримується лише при не дуже великих швидкостях, Не для всіх тіл і не при всіх аспектах обробки поверхонь.

    Сила тертя ковзання завжди направлена \u200b\u200bпротилежно вектору швидкості тіла. Цьому відповідає векторна запис закону для сили тертя ковзання, встановленого досвідченим шляхом французькими фізиками Ш. Кулоном і Г. Амонтоном:

    . (3.3)

    тут — швидкість відносного руху тіл, v — її модуль.

      При русі тіл в рідких або газоподібних середовищах виникає сила в’язкого тертя . При малих швидкостях вона пропорційна швидкості руху тіла відносно середовища:

    , (3.4)

    де rкоефіцієнт в’язкого тертя (залежить від розмірів і форми тіла, від вузьких властивостей середовища).

    Система методів вимірювання сил, коефіцієнтів тертя і зносостійкості тертьових тіл становить зміст особливого розділу механіки — трибометр.У даній роботі для експериментального визначення коефіцієнта тертя ковзання використовується трибометр у вигляді похилій площині з можливістю регулювання кута нахилу і системою оптичних датчиків для реєстрації кінематичних характеристик тіла, зісковзує з неї.

    Б. Висновок «розрахункової формули»

    Б русок, що знаходиться на похилій площині направляє лави лабораторного стенду (рис. 3.1) відчуває дію двох сил: сили тяжіння
    і сили реакції опори з боку клина. Останню, як зазвичай, зручно відразу представити у вигляді двох складових — сили тертя
    уздовж поверхні і «нормальної» складової (тобто перпендикулярної до поверхні) — (Див. Рис. 3.3). У загальному випадку сила тертя може виявитися спрямованої як вгору, так і вниз вздовж похилій площині. Однак нас буде цікавити випадок, коли брусок або ковзає, або знаходиться на межі зісковзування вниз по похилій площині. Тоді сила тертя спрямована похило вниз.

    Будемо припускати, що стенд нерухомий щодо інерціальної системи відліку, пов’язаної з Землею. Тоді, поки брусок НЕ зісковзує, сума діючих на нього сил дорівнює нулю. зручно осі ПроX і ПроY системи координат вибирається нами інерціальної системи відліку розташувати уздовж похилій площині і перпендикулярно до неї відповідно (див. рис. 3.3). Умови рівноваги для бруска покоїться на похилій площині мають вигляд:

    0 = Nmgcos . (3.5)

    0 = mgsin F тр . (3.6)

    Поки кут нахилу направляючої малий складова сили тяжіння вздовж неї ( «скочується сила») врівноважується силою тертя спокою (!). З ростом кута вона також росте (по «закону синуса»). Однак її зростання не безмежний. Її максимальне значення, як ми знаємо, так само

    = N. (3.7)

    Цим і визначається максимальне значення кута, при якому брусок НЕ зісковзує з похилої площини. Спільне рішення рівнянь (3.5) — (3.7) приводить до умови:


    . (3.8)

    Інакше кажучи, коефіцієнт тертя дорівнює тангенсу кута нахилу площини до горизонту, при якому починається зісковзування тіла з похилій площині. На цьому заснований принцип дії одного з можливих варіантів трибометр.

    Однак встановити з достатньою точністю граничний кут початку зісковзування тіла з похилій площині ( «статичний метод») досить складно. Тому в даній експериментальній роботі використовується динамічний метод визначення коефіцієнта тертя ковзання при поступальному русі твердого тіла (бруска) по похилій площині з прискоренням.

    При сковзанню бруска вниз по похилій площині рівняння руху (другий закон Ньютона) в проекціях на координатні осі буде виглядати наступним чином:

    ma\u003d mgsin F тр , (3.9)

    0 \u003d N mgcos . (3.10)

    Сила тертя ковзання дорівнює при цьому

    F тр = N . (3.11)

    Ці рівняння динаміки дозволяють знайти прискорення тіла:

    a \u003d (Sin cos )g. (3.12)

    Координата тіла, зісковзує по похилій площині, змінюється за законом рівноприскореного руху:

    . (3.13)

    Оптичні датчики, розміщені на фіксованих відстанях на шляху руху бруска, дозволяють вимірювати часи проходження тілом відповідних ділянок шляху. Використовуючи рівність (3.13), шляхом чисельної апроксимації експериментальних даних, можна знайти величину прискорення a.

    За значенням розрахованого прискорення, використовуючи рівність (3. 12), можна отримати «розрахункову формулу» для визначення коефіцієнта тертя :

    (3.14)

    Таким чином, для експериментального визначення коефіцієнта тертя необхідно виміряти дві величини: кут нахилу площини і прискорення тіла а.

    1. Опис лабораторної установки

    Д

    Мал. 3.4

    Еревянние брусок 1 (рис. 3.4) з приклеєною до нього візирної планкою (2) довжиною , Ковзає по похилій площині, перетинаючи оптичні осі датчиків (3), які фіксують моменти початку і завершення перекриття їх оптичних осей ковзаючим по похилій площині бруском. Передній фронт імпульсу оптичної осі датчика пов’язаний з початком перекриття оптичної осі візирної планкою, а задній фронт — із завершенням перекриття планкою оптичної осі. За цей час брусок переміщається на відстань . Таким чином, при послідовному припиненні бруском оптичних осей трьох датчиків, фіксуються часи проходжень 6 координатних відміток на осі ОХ(Див. Рис. 3.5): x 1 , x 1 +, x 2 , x 2 +, x 3 , x 3 +. Експериментально виміряні значення часу їх проходжень t 1 , t 2 , t 3 , t 4 , t 5 , t 6 служать основою для апроксимації кривої квадратичної залежності (3.13). У програму апроксимації необхідно закласти значення координат цих точок x 1 , x 1 +, x 2 , x 2 +, x 3 , x 3 +, Які вносяться в таблицю 1 після фіксації положень 3-х оптичних датчиків.

    1. Порядок проведення роботи

    Параметри установки:

    Довжина візирної планки бруска: = (110  1) мм;

    Кути нахилу направляючої лави для брусків №1 і №2:

    α 1 \u003d (24 ± 1) град;

    α 2 \u003d (27 ± 1) град.

    Таблиця 1

    координата

    1-го датчика

    x 1 , мм

    x 1 +,

    координата

    2-го датчика

    x 2 , мм

    x 2 +,

    координата

    3-го датчика

    x 3 , мм

    x 3 +,


    Вправа 1 (брусок №1)

    1. Зібрати лабораторну установку, Встановивши направляючу лаву під кутом α 1 = 24 (контролюється за допомогою транспортира) і помістивши 3 оптичних датчика на шляху переміщення бруска уздовж направляючої лави.

    2. Встановити брусок №1 на похилу направляючу і утримувати його в верхньому, початковому, положенні.

    Запустити вимірювання, натиснувши кнопку (Ctrl + S) (запустити вимірювання для обраних датчиків) і відразу, безпосередньо слідом за запуском, відпустити брусок, після чого він почне ковзати по похилій площині з верхнього положення.

    3. Після проходження бруском всій похилій площині, зупинити вимірювання, натиснувши кнопку (Ctrl + T) (зупинити вимірювання). На екрані буде видно три імпульсу, що показують моменти перекриття оптичних осей 3-х датчиків при ковзанні дерев’яного бруска по похилій площині (рис. 3.6) (цифри умовні).

    Р

    ис. 3.6

    4. Провести обробку отриманих даних відповідно до сценарію:

      праву колонку таблиці, позначену « x, м», Необхідно заповнити вручну. Якщо три датчика встановлені на відмітках 15 см, 40 см і 65 см відповідно (дані беруться з таблиці 1), то, після введення всіх шести значень координат датчиків, таблиця на екрані буде виглядати наступним чином:

    цифра в центральній колонці таблиці (під позначенням «А») дорівнює подвоєному коефіцієнту при квадратичної ступеня в рівнянні (3.13), тобто
    , Тому в даному випадку величина прискорення дорівнюватиме a 1 \u003d 2A \u003d 0,13 × 2 \u003d 0,26 м/з 2. Записати це значення в таблицю 2.

    5. Повторити експеримент по пп. 2-4 ще чотири рази. Всі результати записати в таблицю 2.

    6. Встановити направляючу лаву під кутом α 2 = 27 , помістивши три оптичних датчика на шляху переміщення бруска уздовж направляючої лави. Повторити весь експеримент по пп. 2-4. Всі результати записати в таблицю 3.

    Таблиця 2, брусок №1 ( α 1 = 24)

    досвіду

    а 1 i ,

    м/з 2

    μ 1 i , од.

    μ 1 i , од.

    1

    2

    3

    4

    5

    Таблиця 3, брусок №1 ( α 2 = 27)

    досвіду

    а 2 i ,

    м/з 2

    μ 2 i , од.

    μ 2 i , од.

    1

    2

    3

    4

    5

    Після таблиць залишити місце для запису розрахункових результатів (приблизно половину сторінки).

    Вправа 2 (брусок №2)

    1. Взяти брусок №2 з іншим матеріалом опорної поверхні ковзання і повторити для нього весь експеримент по пп. 1-6. Всі результати записати в таблиці 4 і 5 відповідно.

    Таблиця 4, брусок №2 ( α 1 = 24)

    досвіду

    а 3 i ,

    м/з 2

    μ 3 i , од.

    μ 3 i , од.

    1

    2

    3

    4

    5

    Таблиця 5, брусок №2 ( α 2 = 27)

    досвіду

    а 4 i ,

    м/з 2

    μ 4 i , од.

    μ 4 i , од.

    1

    2

    3

    4

    5

    Після таблиць залишити місце для розрахункових результатів (приблизно половину сторінки).

    6. Обробка результатів вимірювань

      Використовуючи отримані результати і розрахункове співвідношення (3.14), знайти середнє значення коефіцієнта тертя I\u003e μ\u003e для кожного бруска і умов проведення досліду (кута нахилу площини):

    Приватні відхилення записати в таблиці 2-4. Знайти похибку вимірювань для кожного випадку

    Для бруска №1:

    1 > =…; 2 > = …;

    Для бруска №2:

    3 > = …; 4 > = …

    2. Оцінити похибка експерименту (похибка вимірювань + похибка методу).

    Похибка вимірювань (середня з модулів приватних відхилень):


    = …

    Δ µ 1 вим. = …;Δ µ 2 вим. = …;

    Δ µ 3 вим. = …;Δ µ 4 вим. =

    Похибка методу:

    / B\u003e a 1 > = м / с 2 ;Δ a 1 = м / с 2

    ε µ = Δ µ 1 мет. = ε µ · 1 > =

    Δ µ 1 =

    / B\u003e a 2 > = м / с 2 ;Δ a 2 = м / с 2

    ε µ = Δ µ 2 мет. = ε µ · 2 > =

    Δ µ 2 =

    / B\u003e a 3 > = м / с 2 ;Δ a 3 = м / с 2

    ε µ = Δ µ 3 мет. = ε µ · 3 > =

    Δ µ 3 =

    / B\u003e a 4 > = м / с 2 ;Δ a 4 = м / с 2

    ε µ = Δ µ 4 мет. = ε µ · 4 > =

    Δ µ 4 =

      Записати результат експериментального визначення коефіцієнта тертя μ для бруска №1 і для бруска №2 в стандартній формі:

    7. Контрольні питання

      Що таке сила тертя?

      Які види сил тертя ви знаєте?

      Що таке сила тертя спокою? Чому дорівнює сила тертя спокою?

      Намалюйте графіки залежності сили сухого тертя від дотичній до поверхні опори складової результуючої інших сил, що діють на тіло.

      Від чого залежить коефіцієнт тертя ковзання?

      Як можна експериментально визначити коефіцієнт тертя ковзання з умов рівноваги тіла на похилій площині?

      Як в даній роботі експериментально визначається коефіцієнт тертя ковзання?

      Що являє собою лабораторний стенд?

      Розкажіть про порядок виконання роботи і проведенні вимірювань.

      Як оцінити похибку непрямого вимірювання коефіцієнта тертя ковзання?

    8. Правила техніки безпеки

      Перед виконанням роботи отримати інструктаж у лаборанта.

      дотримуватися загальні правила техніки безпеки роботи в лабораторії «; Фізика» ;.

    9. Додатки

    Додаток 1. Оцінка похибки ізмереній.коеффіціентамі урок

    Числі з метою набору статистичних даних): визначеннякоефіцієнтатертяковзання тіла по використовуваної поверхні (використовувати … нами завдання? — Прискорення тіла має дорівнювати нулю. — При якому значенні коефіцієнтатертя

  • програма

    Прямолінійний рух »1. 3 Рішення графічних задач 1 4 Рішення задач

  • Як знайти коефіцієнт тертя, якщо відомо прискорення. Як визначити коефіцієнт тертя ковзання? Одиниці виміру сили тертя

    Визначення

    Силою тертяназивають силу, що виникає при відносному переміщенні (або спробі переміщення) тіл і є результатом опору руху довкіллячи інших тел.

    Сили тертя виникають тоді, коли тіла, що стикаються (або їх частини), переміщуються відносно один одного. При цьому тертя, яке з’являється при відносному переміщенні тіл, що стикаються, називають зовнішнім. Тертя, що виникає між частинами суцільного тіла (газ, рідина) названо внутрішнім.

    Сила тертя – це вектор, який має напрямок уздовж дотичної до поверхонь (шарів), що труться. При цьому ця сила спрямована у бік протидії відносного зміщення цих поверхонь (шарів). Так, якщо два шари рідини переміщуються один по одному, при цьому рухаються з різними швидкостями, то сила, яка прикладена до шару, що переміщається з більшою швидкістю, має напрямок у бік, що протилежна руху. Сила ж, яка впливає на шар, що рухається з меншою швидкістю, спрямована рухом.

    Види тертя

    Тертя, що виникає між поверхнями твердих тіл, називають сухим. Воно виникає як при ковзанні поверхонь, а й за спробі викликати переміщення поверхонь. У цьому виникає сила тертя спокою. Зовнішнє тертя, яке з’являється між тілами, що рухаються, називають кінематичним.

    Закони сухого тертя говорять про те, що максимальна сила тертя спокою і сила тертя ковзання не залежать від площі поверхонь дотику тіл, що стикаються, схильних до тертя. Ці сили пропорційні модулю сили нормального тиску (N), яка притискає поверхні, що труться:

    де – безрозмірний коефіцієнт тертя (спокою чи ковзання). Даний коефіцієнт залежить від природи і стану поверхонь тіл, що труться, наприклад від наявності шорсткостей. Якщо тертя виникає як наслідок ковзання, то коефіцієнт тертя є функцією швидкості. Досить часто замість коефіцієнта тертя застосовують кут тертя, який дорівнює:

    Кут дорівнює мінімальному куту нахилу площини до горизонту, при якому тіло, що лежить на цій площині, починає ковзати під вплив сили тяжіння.

    Більш точним вважають закон тертя, який бере до уваги сили тяжіння між молекулами тіл, які піддаються тертю:

    де S – Загальна площаконтакту тіл, p 0 – додатковий тиск, що викликається силами молекулярного тяжіння – справжній коефіцієнт тертя.

    Тертя між твердим тіломі рідиною (або газом) називають в’язким (рідким). Сила в’язкого тертя дорівнює нулю, якщо швидкість відносного руху тіл перетворюється на нуль.

    При русі тіла в рідині або газі з’являються сили опору середовища, які можуть стати значно більшими, ніж сили тертя. Величина сили тертя ковзання залежить від форми, розмірів та стану поверхні тіла, швидкості руху тіла щодо середовища, в’язкості середовища. При невеликих швидкостях сила тертя обчислюється за допомогою формули:

    де знак мінус означає, що сила тертя має напрямок убік протилежний напрямшвидкість вектор. При збільшенні швидкостей руху тіл у в’язкому середовищі лінійний закон (4) перетворюється на квадратичний:

    Коефіцієнти і суттєво залежні від форми, розмірів, стану поверхонь тіл, в’язкості середовища.

    Крім цього виділяють тертя кочення. У першому наближенні тертя кочення розраховують, застосовуючи формулу:

    де k — Коефіцієнт тертя кочення, який має розмірність довжини і залежить від матеріалу тіл, схильних до контакту і якостей поверхонь і т.д. N – сила нормального тиску, r – радіус тіла, що котиться.

    Одиниці виміру сили тертя

    Основною одиницею виміру сили тертя (як і будь-якої іншої сили) у системі СІ є: [P]=H

    У СГС: [P] = дін.

    Приклади розв’язання задач

    приклад

    Завдання.На горизонтальному диску лежить маленьке тіло. Диск обертається навколо осі, яка проходить через його центр, перпендикулярно до площини з кутовою швидкістю . На якій відстані від центру диска може бути в стані рівноваги тіло, якщо коефіцієнт тертя між диском і тілом дорівнює ?

    Рішення.Зобразимо на рис.1 сили, які діятимуть на тіло, покладене на диск, що обертається.

    Відповідно до другого закону Ньютона маємо:

    У проекції на вісь Yз рівняння (1.1) отримаємо:

    У проекції на вісь X маємо:

    де прискорення руху маленького тіла дорівнює модуль нормальної складової повного прискорення. Силутрування спокою знайдемо як:

    візьмемо до уваги вираз (1.2), тоді маємо:

    прирівняємо праві частини виразів (1.3) та (1.5):

    де маленьке тіло (оскільки воно перебуває у стані спокою на диску) рухається зі швидкістю, що дорівнює.

    Тертя є тим фізичним процесом, без якого не міг би існувати сам рух у нашому світі. У фізиці для обчислення абсолютного значення сили тертя необхідно знати спеціальний коефіцієнт для аналізованих поверхонь, що труться. На це запитання дасть відповідь ця стаття.

    Тертя у фізиці

    Перш ніж відповідати питанням, як коефіцієнт тертя знаходити, необхідно розглянути, що таке тертя і який силою воно характеризується.

    У фізиці виділяють три види цього процесу, що протікає між жорсткими об’єктами. Це ковзання та кочення. Тертя спокою виникає завжди, коли зовнішня сила намагається зрушити з місця об’єкт. Ковзання тертя, судячи з назви, виникає при ковзанні однієї поверхні по іншій. Нарешті, кочення тертя з’являється, коли круглий об’єкт (колесо, кулька) котиться деякою поверхнею.

    Поєднує всі види той факт, що вони перешкоджають будь-якому руху і точка застосування їх сил знаходиться в області контакту поверхонь двох об’єктів. Також усі ці види переводять механічну енергію у тепло.

    Причинами сил тертя ковзання та спокою є шорсткість мікроскопічного масштабу на поверхнях, що труться. Крім того, ці види обумовлені диполь-дипольним та іншими видами взаємодій між атомами і молекулами, які утворюють тіла, що труться.

    Причина кочення тертя пов’язана з гістерезисом пружної деформації, яка з’являється в точці контакту об’єкта, що котиться, і поверхні.

    Сила тертя та коефіцієнт тертя

    Усі три виду сил твердого тертя описуються виразами, що мають одну й ту саму форму. Наведемо її:

    Тут N — сила, що діє перпендикулярно поверхні на тіло. Вона називається реакцією опори. Розмір t — називається коефіцієнтом відповідного виду тертя.

    Коефіцієнти для тертя ковзання та спокою є величинами безрозмірними. Це можна зрозуміти, якщо подивитися на рівність сили тертя та тертя коефіцієнта. Ліва частина рівності виявляється у ньютонах, права частина також виявляється у ньютонах, оскільки величина N — це сила.

    Що стосується кочення тертя, то коефіцієнт для нього теж буде величиною безрозмірною, проте він визначається у вигляді відношення лінійної характеристики пружної деформації до радіусу об’єкта, що котиться.

    Слід сказати, що типовими значеннями коефіцієнтів тертя ковзання та спокою є десяті частки одиниці. Для цього коефіцієнт відповідає сотим і тисячним часткам одиниці.

    Як знаходити коефіцієнт тертя?

    Коефіцієнт µ t залежить від ряду факторів, які складно врахувати математично. Перерахуємо деякі з них:

    • матеріал тертьових поверхонь;
    • якість обробки поверхні;
    • наявність на ній бруду, води тощо;
    • температури поверхонь.

    Тому формули для µ t немає, і його доводиться вимірювати експериментально. Щоб зрозуміти, як коефіцієнт тертя знаходити, слід виразити його з формули для F t . Маємо:

    Виходить, що для знання µ t необхідно знайти тертя силу та реакцію опори.

    Відповідний експеримент виконують таким чином:

    1. Беруть тіло та площину, наприклад, виготовлені з дерева.
    2. Чіпляють динамометр до тіла і рівномірно переміщують його поверхнею.

    При цьому динамометр показує деяку силу, що дорівнює F t . дорівнює вазі тіла на горизонтальній поверхні.

    Описаний спосіб дозволяє зрозуміти, чому дорівнює коефіцієнт тертя спокою та ковзання. Аналогічно можна експериментально визначити µ t кочення.

    Інший експериментальний метод визначення µ t наводиться у формі завдання наступного пункту.

    Завдання на обчислення µt

    Дерев’яний брус знаходиться на скляній поверхні. Нахиляючи плавно поверхню, встановили, що ковзання бруса починається при куті нахилу 15 o . Чому дорівнює коефіцієнт тертя спокою для пари дерево-скло?

    Коли брус знаходився на похилій площиніпри 15 o то спокою сила тертя для нього мала максимальне значення. Вона дорівнює:

    Сила N визначається за такою формулою:

    Застосовуючи формулу для µ t отримуємо:

    µ t = F t /N = m*g*sin(α)/(m*g*cos(α)) = tg(α).

    Підставляючи кут α, приходимо до відповіді: µ t = 0,27.

    Сила тертя – величина, з якою взаємодіють дві поверхні під час руху. Вона залежить від характеристики тіл, напрямки руху. Завдяки тертю швидкість тіла зменшується, і незабаром воно зупиняється.

    Сила тертя – спрямована величина, яка залежить від площі опори і предмета, оскільки під час руху і збільшення площі підвищується сила реакції опори. Ця величина бере участь у розрахунку сили тертя. Через війну Fтр=N*m. Тут N — реакція опори, а m — коефіцієнт, який є постійною величиною, якщо немає потреби в дуже точних розрахунках. За допомогою цієї формули можна визначити силу тертя ковзання, яку обов’язково варто враховувати при вирішенні завдань, пов’язаних з рухом. Якщо тіло обертається на поверхні, то до формули необхідно включити силу кочення. Тоді тертя можна знайти за формулою Fтркач = f*N/r. Відповідно до формули, при обертанні тіла має значення його радіус. Величина f — коефіцієнт, який можна знайти, знаючи, з якого матеріалу виготовлено тіло та поверхню. Це коефіцієнт, що знаходиться за таблицею.

    Існують три сили тертя:

    • спокою;
    • ковзання;
    • кочення.
    Тертя спокою дозволяє рухатися предмету, до руху якого прикладається зусилля. Відповідно цвяхи, забиті на дерев’яну поверхню, не випадають. Найцікавіше, що людина ходить завдяки тертю спокою, яке спрямоване у бік руху, це виняток із правил. В ідеалі при взаємодії двох абсолютно гладких поверхонь не повинно виникати сили тертя. Насправді неможливо, щоб предмет перебував у стані спокою чи руху без опору поверхонь. Під час руху в рідині виникає в’язкий опір. На відміну від повітряного середовища, тіло в рідині не може перебувати у стані спокою. Воно під впливом води починає рух, відповідно в рідині немає тертя спокою. Під час переміщення у воді опір руху виникає завдяки різній швидкості потоків, що оточують тіло. Щоб знизити опір при переміщенні в рідинах, надають тілу обтічну форму. У природі для подолання опору у воді на тілі риб є мастило, що знижує тертя під час руху. Пам’ятайте, що при русі одного тіла в рідинах виникає різне значення опору.


    Щоб знизити опір переміщенню предметів у повітрі, тіла надають обтічну форму. Саме тому літаки виготовляють із гладкої сталі із округлим корпусом, звуженим спереду. На тертя рідини впливає її температура. Для того, щоб автомобіль під час морозу нормально їздив, його необхідно попередньо розігріти. В результаті цього в’язкість олії зменшується, що знижує опір і зменшує знос деталей. Під час переміщення рідини опір може збільшуватися через виникнення турбулентних потоків. У такому разі напрямок руху стає хаотичним. Тоді формула набуває вигляду: F=v2*k. Тут v – швидкість, а k – коефіцієнт, що залежить від властивостей тіла та рідини.


    Знаючи Фізичні властивостітіл та супутні сили, що впливають на предмет, вам легко вдасться розрахувати силу тертя.

    Лабораторна робота№ 3 «Вимірювання коефіцієнтатертя ковзання»

    Мета роботи: знайти коефіцієнт тертя деревного бруска, що ковзає по деревній лінійці, використовуючи формулу F тр = = μР. За допомогою динамометра визначають силу, з якої потрібно тягнути брусок з вантажами по горизонтальній поверхні те щоб він рухався рівномірно. Ця сила дорівнює за модулем силою тертя F тp , що діє на брусок. За допомогою того ж динамометра можна знайти вагу бруска з вантажем. Ця вага по модулю дорівнює силі звичайного тиску N бруска на поверхню, якою він ковзає. Визначивши таким чином значення сили тертя при різних значенняхсили звичайного тиску, потрібно побудувати графік залежності F тр від Р і знайтисереднє значення коефіцієнта тертя(Див. роботу № 2).

    Коефіцієнт тертя — Фізика в дослідах та експериментах

    Головним вимірювальним пристроєм у роботі є динамометр. Динамометр має похибку Δ д =0,05 Н. Вона дорівнює похибці вимірювання, якщо покажчик збігається зі штрихом шкали. Якщо покажчик у процесі виміру не збігається зі штрихом шкали (чи коливається), то похибка виміру сили дорівнює ΔF = = 0,1 Н.

    Засоби виміру: динамометр.

    Матеріали: 1) дерев’яний брусок; 2) дерев’яна лінійка; 3) набір вантажів.

    Порядок виконання.

    1. Покладіть брусок на горизонтальну деревну лінійку. На брусок поставте вантаж.

    2. Прикріпивши до бруска динамометр, якомога помірніше тягніть його вздовж лінійки. Заміряйте при цьому показ динамометра.

    3. Зважте брусок та вантаж.

    4. До першого вантажу додайте другий, третій вантажі, щоразу зважуючи брусок і вантажі і вимірюючи силу тертя.

    За результатами вимірів заповніть таблицю:

    5. За результатами вимірювань побудуйте графік залежності сили тертя від сили тиску та, користуючись ним, зумовіть середнє значення коефіцієнтатертя μ ср (див. роботу № 2).

    6. Вирахуйте найвищу відносну похибку вимірювання коефіцієнта тертя. Тому що.

    (Див. формулу (1) роботи № 2).

    З формули (1) випливає, що з більшою похибкою виміряний коефіцієнт тертя в досвіді з одним вантажем (бо в даному випадкузнаменники мають менше значення).

    7. Знайдіть абсолютну похибку.

    і запишіть відповідь у вигляді:

    Потрібно знайти коефіцієнт тертя ковзання деревного бруска, що ковзає по деревній лінійці.

    Сила тертя ковзання.

    де N – реакція опори; μ — до.

    ефект тертя ковзання, звідки μ = F тр / N;

    Сила тертя по модулю дорівнює силі, спрямованій паралельно поверхні ковзання, яка потрібна для рівномірного переміщення бруска з вантажем. Реакція опори по модулю дорівнює вазі бруска з вантажем. Вимірювання обох сил проводять за допомогою шкільного динамометра. При переміщенні бруска по лінійці важливо досягти рівномірного його руху, щоб показання динамометра залишалися постійними і їх можна було точніше визначити.

    Вага бруска з вантажем Р, Н.

    Розрахуємо відносну похибку:

    Видно, що велика відносна погрішністьбуде у досвіді з мінімальним вантажем, т.к. знаменник менший.

    Розрахуємо абсолютну похибку.

    Отриманий в результаті дослідів коефіцієнт тертя ковзання можна записати як: μ = 0,35 ± 0,05.

    Виділіть її мишкою та натисніть CTRL ENTER.

    Велике дякую всім, хто допомагає робити веб-сайт краще! =)

    Тези

    Як знайти силу тертя ковзання f тертя формули. Формула сили тертя. Вона існує завжди, тому що абсолютно гладких тіл не буває. Знайти силу тертя. Коефіцієнт тертя. Знаходимо силу тертя. Формула сили тертя. Деталі автомобілів без мастила Перед тим як знайти силу тертя, Коефіцієнта тертя. Сила тертя. Сили тертя, як і в багатьох випадках приблизно силу тертя ковзанняможна, можливо. КОЕФІЦІЄНТ ТРЕННЯ — це Що таке КОЕФІЦІЄНТ ТРЕННЯ? Якщо позначити вагу предмета як N, а коефіцієнт ТРЕННЯ m спокою визначає силу. Коефіцієнт тертя Цю силуНеобхідно подолати різної товщини — як. Лабораторна робота №3 «Вимірювання коефіцієнта тертя. ГДЗ до Лабораторна робота № 3 «Вимірювання коефіцієнта тертя як можна силутертя. Відповіді Лаб. Визначення коефіцієнта тертяЯк за допомогою лінійки, силу важкості у напрямках. Не будь тертя — начебто ми З урахуванням коефіцієнта тертяОбчислюємо нормальну чинність f.

    Вимірювання коефіцієнта тертя ковзання необхідно провести двома способами.

    1-й спосіб полягає у вимірі за допомогою динамометра сили, з якої потрібно тягнути брусок з вантажами по горизонтальній поверхні, щоб він рухався рівномірно. Ця сила дорівнює за абсолютною величиною силою тертя, що діє на брусок. За допомогою того ж динамометра можна знайти вагу бруска про вантажі Р. Ця вага дорівнює силі нормального тиску бруска на поверхню, по якій він ковзає. Визначивши в такий спосіб можна знайти коефіцієнт тертя. Він дорівнює:

    2-й спосіб вимірювання коефіцієнта тертя дозволяє визначати досвіді не сили, а довжини відрізків. Для цього використовують рівновагу бруска, що знаходиться на похилій площині.

    Якщо брусок знаходиться в рівновазі на похилій площині, то сила нормального тиску бруска на площину дорівнює складовій сили тяжіння перпендикулярної похилій площині (рис. 213). А сила тертя по абсолютній величині дорівнює складовій сили тяжіння, паралельній похилій площині.

    Досвід полягає в тому, щоб, поступово збільшуючи кут нахилу площини, знайти такий кут, при якому брусок тільки «чіпається з місця». При цьому сила тертя буде дорівнювати максимальній силі тертя спокою:

    де — Сила тиску бруска на площину Так як при цьому т. е.

    Неважко показати, що

    Це випливає з подоби трикутників. Тому коефіцієнт тертя дорівнює:

    З цієї формули видно, що для того, щоб знайти коефіцієнт тертя, достатньо виміряти висоту і основу похилої площини, якими визначається нахил площини, при якому починається ковзання бруска.

    Прилади та матеріали: 1) лінійка, 2) вимірювальна стрічка,

    3) динамометр; 4) дерев’яний брусок; 5) набір вантажів; 6) штатив з муфтами та лапкою.

    Порядок виконання роботи

    1. Покласти брусок на горизонтальну дерев’яну лінійку. На брусок поставити вантаж.

    2. Прикріпивши до бруска динамометр, якомога рівномірніше тягнути його вздовж лінійки. Помітити показання динамометра.

    3. Зважити брусок та вантаж.

    4. За формулою визначити коефіцієнт тертя.

    5. Повторити досвід, поклавши на брусок кілька вантажів.

    6. Знайти середнє арифметичне значеннякоефіцієнтів тертя, знайдених у різних дослідах.

    7. Знайти помилку кожного з дослідів — різницю між і значеннями отриманими в різних дослідах.

    8. Визначити середнє арифметичне помилок дослідів

    9. Скласти таблицю результатів дослідів:

    10. Записати результат вимірів у вигляді

    11. Поклавши лінійку на брусок з вантажами, повільно змінювати її нахил, піднімаючи її кінець, доки брусок не почне ковзати вздовж лінійки.

    Помощь со статистикой Уравнения — Статистические инструкции

    Справочник по статистике > Помощь с уравнениями статистики

    Нужна помощь с уравнениями статистики? Вы найдете ответы здесь.
    Нужна помощь по статистике? Если вы похожи на большинство людей, вам будет сложно разобраться с гигантскими статистическими уравнениями. Они занимают так много времени, и одна крошечная ошибка на этом пути сводит все на нет. Супер разочарование! Вот шесть способов получить помощь по уравнениям статистики:

    Помощь со статистическими уравнениями № 1: онлайн-репетиторы.

    Нужна помощь сейчас с конкретной домашней задачей или сложным вопросом подготовки к тесту? Посетите нашу страницу обучения.

    Помощь со статистическими уравнениями № 2: Книга статистики практических обманов.

    Это книга, которую ваш профессор не хочет, чтобы вы видели! Ушли в прошлое раздутые объяснения в вашей традиционной книге статистики. Вы получаете простые пошаговые решения задач, а также использование калькулятора TI-83 в классе. Нажмите здесь, чтобы узнать больше о справочнике по статистике практических махинаций.
    Справочник по статистике практического мошенничества поможет вам с очень простыми пошаговыми инструкциями для каждой формулы статистики. Вот пример того, как это просто:

    Страшная формула:

    Easy Answer — пошаговые инструкции — из Справочника:

    Зачем биться головой о стол, пытаясь решить неприятные проблемы, когда можно выбрать легкий путь?

    Книжный магазин колледжа Цена: 96 долларов США Распродажа Только 19 долларов США.93

    Хотите знать, что еще может сделать для вас Справочник по статистике практических махинаций? Нажмите здесь, чтобы узнать больше!

    Статистическая справка №3: ​​Сотни статей с инструкциями.

    Мы рассмотрели сотни тем с пошаговыми объяснениями на простом английском языке. Вот скриншот из одной из наших статей. Видишь, как легко?

    Если вы хотите просмотреть такие категории, как доверительные интервалы или нормальное распределение, перейдите к основному указателю вероятностей и статистики.Вы найдете список основных разделов справки по статистике.

    Если вы точно знаете, что ищете (например, «Как сделать гистограмму»), введите свой запрос в пользовательский поиск Google на боковой панели (или вверху страницы). Это выполнит поиск по сайту и даст вам именно ту статью, которая вам нужна.

    Справка по статистике №4: Глоссарий статистики.

    Вам нужны простые, понятные объяснения того, что означают статистические термины, такие как межквартильный размах, стандартное отклонение и дисперсия? Ознакомьтесь с нашими определениями статистики, в которых есть сотни объяснений всего, что вы хотели бы знать о вероятности и статистике.

    Статистика Справка №5: Наш канал на YouTube.

    На нашем канале YouTube можно найти десятки разделов статистики с простым объяснением. Подписывайтесь и следите за видео по мере их публикации. Вы найдете помощь по базовым понятиям, таким как межквартильный диапазон, и есть широкий выбор видеороликов Excel для статистики, которые помогут вам с анализом данных и графиками.

    Справка по статистике №6: Онлайн-калькуляторы.

    У нас есть множество бесплатных онлайн-калькуляторов статистики. Большинство из них не просто дадут вам ответ, они также покажут вам работу! Например, вот скриншот из нашего калькулятора дисперсии и стандартного отклонения.Обратите внимание на расчет ниже:

    ————————————————— ————————-

    Нужна помощь с домашним заданием или контрольным вопросом? С Chegg Study вы можете получить пошаговые ответы на свои вопросы от эксперта в данной области. Ваши первые 30 минут с репетитором Chegg бесплатны!

    Комментарии? Нужно опубликовать исправление? Пожалуйста, оставьте комментарий на нашей странице в Facebook .

    Ковариация в статистике: что это такое? Пример

    Содержание (Нажмите, чтобы перейти к этому разделу):

    1. Определение и формула
    2. Пример
    3. Проблемы с интерпретацией
    4. Преимущества
    5. Ковариация в Excel

    Ковариация — это мера того, насколько две случайные величины изменяются вместе.Это похоже на дисперсию, но там, где дисперсия говорит вам, как изменяется одна переменная , дисперсия co говорит вам, как две переменные изменяются вместе.

    Изображение из Университета Висконсина.

    Формула ковариации

    Посмотрите видео для примера:

    Определение ковариации и пример

    посмотреть видео? Нажмите здесь, чтобы посмотреть его на YouTube.

    Формула:
    Cov(X,Y) = Σ E((X – μ) E(Y – ν)) / n-1, где:

    • X — случайная величина
    • E(X) = μ — ожидаемое значение (среднее) случайной величины X, а
    • E(Y) = ν — ожидаемое значение (среднее) случайной величины Y
    • n = количество элементов в наборе данных.
    • Σ обозначение суммирования.

    Наверх

    Пример


    Рассчитать ковариацию для следующего набора данных:
    x: 2,1, 2,5, 3,6, 4,0 (среднее = 3,1)
    y: 8, 10, 12, 14 (среднее = 11)

    Подставьте значения в формулу и решите:
    Cov(X,Y) = ΣE((X-μ)(Y-ν)) / n-1
    = (2,1-3,1)(8-11) +(2,5-3,1)(10-11)+(3,6-3,1)(12-11)+(4,0-3,1)(14-11) /(4-1)
    = (-1)(-3) + (-0,6)(-1)+(,5)(1)+(0,9)(3)/3
    = 3 + 0,6 + 0,5 + 2,7/3
    = 6.8/3
    = 2,267

    Положительный результат означает, что переменные положительно связаны.

    Примечание о делении на n или n-1:
    При работе с образцами существует n-1 членов, которые могут изменяться (см. Степени свободы). Нам известны только выборочные средние для обеих переменных, поэтому мы используем n – 1, чтобы сделать оценку несмещенной. для очень больших выборок n и n – 1 будут примерно равны (т. е. для очень больших выборок мы приблизимся к среднему значению генеральной совокупности).
    Вернуться к началу

    Проблемы с интерпретацией


    Большая ковариация может означать сильную связь между переменными.Однако вы не можете сравнивать отклонения наборов данных с разными шкалами (например, в фунтах и ​​дюймах). Слабая ковариация в одном наборе данных может быть сильной в другом наборе данных с разными масштабами.

    Основная проблема с интерпретацией заключается в том, что широкий диапазон результатов, которые она принимает, затрудняет ее интерпретацию. Например, ваш набор данных может вернуть значение 3 или 3000. Такой широкий диапазон значений вызван простым фактом; Чем больше значения X и Y, тем больше ковариация. Значение 300 говорит нам о том, что переменные коррелированы, но, в отличие от коэффициента корреляции, это число не говорит нам точно, насколько сильна эта связь. Проблема может быть решена путем деления ковариации на стандартное отклонение, чтобы получить коэффициент корреляции.
    Corr(X,Y) = Cov(X,Y) / σ X σ Y
    Наверх


    Преимущества коэффициента корреляции


    Коэффициент корреляции имеет несколько преимуществ по сравнению с ковариацией для определения силы отношений:

    • Ковариация может принимать практически любые значения, в то время как корреляция ограничена: от -1 до +1.
    • Из-за численных ограничений корреляция более полезна для определения насколько сильной связи между двумя переменными.
    • Корреляция не имеет единиц измерения. Ковариация всегда имеет единицы
    • На корреляцию не влияют изменения центра (т.е. среднего) или масштаба переменных

    Наверх

    Посмотрите видео или выполните следующие шаги (это для Excel 2013, но шаги такие же для Excel 2016):

    Как найти корреляцию в Excel 2013

    Ковариация в Excel: обзор

    Ковариация дает положительное число, если переменные положительно связаны.Вы получите отрицательное число, если они отрицательно связаны. Высокая ковариация в основном указывает на сильную связь между переменными. Низкое значение означает слабую связь.

    Ковариация в Excel: Шаги

    Шаг 1: Введите данные в два столбца в Excel. Например, введите значения X в столбец A и значения Y в столбец B.

    Шаг 2: Перейдите на вкладку «Данные», а затем нажмите «Анализ данных». Откроется окно анализа данных.

    Шаг 3: Выберите «Ковариация» и нажмите «ОК».

    Шаг 4: Нажмите «Входной диапазон», а затем выберите все свои данные. Включите заголовки столбцов, если они у вас есть.

    Шаг 5. Установите флажок «Ярлыки в первой строке», если вы включили заголовки столбцов в выборку данных.

    Шаг 6: Выберите «Выходной диапазон», а затем выберите область на рабочем листе. Хорошим местом для выбора является область справа от вашего набора данных.

    Шаг 7: Нажмите «ОК». Ковариация появится в области, выбранной на шаге 5.

    Вот и все!

    Совет: Запустите функцию корреляции в Excel после запуска ковариации в Excel 2013.Корреляция даст вам значение отношения. 1 — идеальная корреляция, 0 — отсутствие корреляции. Все, что вы действительно можете сказать по ковариации, — это положительная или отрицательная связь.

    Посетите наш канал YouTube, чтобы получить дополнительные советы и помощь по Excel!

    Наверх

    Ссылки

    Додж, Ю. (2008). Краткая энциклопедия статистики. Спрингер.
    Эверитт, Б.С.; Скрондал, А. (2010), Кембриджский статистический словарь, издательство Кембриджского университета.
    Гоник, Л. (1993). Мультяшный путеводитель по статистике. HarperPerennial.

    ————————————————— ————————-

    Нужна помощь с домашним заданием или контрольным вопросом? С Chegg Study вы можете получить пошаговые ответы на свои вопросы от эксперта в данной области. Ваши первые 30 минут с репетитором Chegg бесплатны!

    Комментарии? Нужно опубликовать исправление? Пожалуйста, оставьте комментарий на нашей странице в Facebook .


    Линейная регрессия: простые шаги, видео. Найти уравнение, коэффициент, наклон

    Комплектация:

    Что такое простая линейная регрессия?

    Как найти уравнение линейной регрессии:

    1. Как найти уравнение линейной регрессии вручную .
    2. Найдите уравнение линейной регрессии в Excel .
    3. TI83 Линейная регрессия.
    4. ТИ 89 Линейная регрессия

    Поиск связанных предметов:

    1. Как найти коэффициент регрессии.
    2. Найдите наклон линейной регрессии.
    3. Найдите значение теста линейной регрессии.

    Кредитное плечо:

    1. Кредитное плечо в линейной регрессии.

    Наверх

    Посмотрите видео с кратким введением в линейную регрессию:

    Введение в линейную регрессию


    Видео не видно? Кликните сюда.

    Если вы только начинаете изучать регрессионный анализ, простая линейная регрессия — это первый тип регрессии, с которым вы столкнетесь в классе статистики.

    Линейная регрессия является наиболее широко используемым статистическим методом ; это способ моделирования связи между двумя наборами переменных. Результатом является уравнение линейной регрессии, которое можно использовать для прогнозирования данных.

    Большинство программных пакетов и калькуляторов могут рассчитывать линейную регрессию. Например:

    Вы также можете найти линейную регрессию вручную.

    Перед тем, как приступить к вычислениям, вы всегда должны построить точечную диаграмму, чтобы увидеть, укладываются ли ваши данные примерно в линию. Почему? Потому что регрессия всегда даст вам уравнение, и оно может не иметь никакого смысла, если ваши данные следуют экспоненциальной модели. Если вы знаете, что взаимосвязь нелинейна, но не знаете точно, что это за взаимосвязь, одним из решений является использование моделей линейных базисных функций, которые популярны в машинном обучении.

    Этимология

    «Линейный» означает линейный. Слово регрессия произошло от ученого 19-го века, сэра Фрэнсиса Гальтона, который ввел термин «регрессия к посредственности» (на современном языке это регрессия к среднему значению).Он использовал этот термин для описания феномена того, как природа стремится ослабить избыточные физические черты из поколения в поколение (например, чрезмерный рост).

    Зачем использовать линейные отношения?

    С линейными отношениями, т. е. с линиями, легче работать, и большинство явлений естественным образом связаны линейно. Если переменные не связаны между собой линейно, то некоторая математика может преобразовать эту связь в линейную, чтобы исследователю (то есть вам) было легче ее понять.


    Что такое простая линейная регрессия?

    Вы, вероятно, знакомы с построением линейных графиков с одной осью X и одной осью Y. Переменную X иногда называют независимой переменной, а переменную Y — зависимой переменной. Простая линейная регрессия отображает одну независимую переменную X против одной зависимой переменной Y. Технически, в регрессионном анализе независимая переменная обычно называется переменной-предиктором, а зависимая переменная называется переменной-критерием.Однако многие люди просто называют их независимыми и зависимыми переменными. Более продвинутые методы регрессии (например, множественная регрессия) используют несколько независимых переменных.

    Регрессионный анализ может дать линейных или нелинейных графиков. Линейная регрессия — это когда отношения между вашими переменными можно описать прямой линией. Нелинейные регрессии дают изогнутые линии. ( ** )

    Простая линейная регрессия для количества осадков за год.

    Регрессионный анализ почти всегда выполняется с помощью компьютерной программы, поскольку вычисления уравнений вручную требуют очень много времени.

    **Поскольку это вводная статья, я сделал ее простой. Но на самом деле между линейным и нелинейным существует важное техническое различие, которое станет еще более важным, если вы продолжите изучать регрессию. Подробнее см. в статье о нелинейной регрессии.
    Вернуться к началу


    Регрессионный анализ используется для поиска уравнений, соответствующих данным.Получив уравнение регрессии, мы можем использовать модель для прогнозирования. Одним из видов регрессионного анализа является линейный анализ. Когда коэффициент корреляции показывает, что данные, вероятно, могут предсказывать будущие результаты, а точечная диаграмма данных выглядит как прямая линия, вы можете использовать простую линейную регрессию, чтобы найти прогностическую функцию. Если вы помните из элементарной алгебры, уравнение для линии y = mx + b . В этой статье показано, как брать данные, вычислять линейную регрессию и находить уравнение y’ = a + bx . Примечание : Если вы берете статистику AP, вы можете увидеть уравнение, написанное как b 0 + b 1 x, что то же самое (вы просто используете переменные b 0 + b 1 вместо a+b

    Посмотрите видео или прочитайте приведенные ниже шаги, чтобы найти уравнение линейной регрессии вручную.

    Найти уравнение линейной регрессии (вручную)


    Видео не видно? Кликните сюда.

    Уравнение линейной регрессии

    Линейная регрессия — это способ моделирования связи между двумя переменными.Вы также можете узнать это уравнение как формулу наклона . Уравнение имеет вид Y= a + bX, где Y — зависимая переменная (переменная, которая идет по оси Y), X — независимая переменная (т. е. она отложена по оси X), b — наклон кривой линия и a — это точка пересечения с осью y.

    Первым шагом в поиске уравнения линейной регрессии является определение наличия связи между двумя переменными. Это часто является призывом к суждению для исследователя. Вам также понадобится список ваших данных в формате x-y (т.е. два столбца данных — независимые и зависимые переменные).

    Предупреждения:

    1. То, что две переменные связаны, не означает, что одна вызывает другую. Например, хотя существует связь между высокими баллами GRE и лучшей успеваемостью в аспирантуре, это не означает, что высокие баллы GRE обеспечивают хорошую успеваемость в аспирантуре.
    2. Если вы попытаетесь найти уравнение линейной регрессии для набора данных (особенно с помощью автоматизированной программы, такой как Excel или TI-83), вы найдете его, но это не обязательно означает, что уравнение является хорошим подходит для ваших данных.Один из методов состоит в том, чтобы сначала построить точечную диаграмму, чтобы увидеть, соответствуют ли данные примерно линии до , когда вы пытаетесь найти уравнение линейной регрессии.

    Как найти уравнение линейной регрессии: шаги

    Шаг 1: Составьте диаграмму ваших данных, заполнив столбцы так же, как если бы вы находили коэффициент корреляции Пирсона.

    Тема Возраст x Уровень глюкозы y ху х 2 г 2
    1 43 99 4257 1849 9801
    2 21 65 1365 441 4225
    3 25 79 1975 625 6241
    4 42 75 3150 1764 5625
    5 57 87 4959 3249 7569
    6 59 81 4779 3481 6561
    Σ 247 486 20485 11409 40022

    Из приведенной выше таблицы Σx = 247, Σy = 486, Σxy = 20485, Σx2 = 11409, Σy2 = 40022.n — размер выборки (6 в нашем случае).

    Шаг 2: Используйте следующие уравнения, чтобы найти a и b.

    а = 65,1416
    б = .385225

    Щелкните здесь, если вам нужны простые пошаговые инструкции по решению этой формулы.

    Найти :

    • ((486 × 11 409) – ((247 × 20 485)) / 6 (11 409) – 247 2 )
    • 484979 / 7445
    • = 65,14

    Найти б :

    • (6(20 485) – (247 × 486)) / (6 (11409) – 247 2 )
    • (122 910 – 120 042) / 68 454 – 247 2
    • 2 868 / 7 445
    • = .385225

    Шаг 3: Вставьте значения в уравнение .
    y’ = a + bx
    y’ = 65,14 + 0,385225x

    Вот как найти уравнение линейной регрессии вручную!

    Нравится объяснение? Ознакомьтесь со Справочником по статистике практического мошенничества, в котором есть еще сотни пошаговых решений, таких как это!

    * Обратите внимание, , что этот пример имеет низкий коэффициент корреляции и, следовательно, не слишком хорошо предсказывает что-либо.
    Вернуться к началу

    Посмотрите видео или прочитайте шаги ниже:

    Как найти регрессию в Excel 2013

    Уравнение линейной регрессии Microsoft Excel: шаги

    Шаг 1: Установите пакет инструментов анализа данных , если он еще не установлен. Инструкции по загрузке пакета инструментов анализа данных см. здесь.

    Шаг 2: Введите данные в два столбца в Excel. Например, введите данные «x» в столбец A, а данные «y» — в столбец b.Не оставляйте пустых ячеек между вашими записями.

    Шаг 3: Перейдите на вкладку «Анализ данных» на панели инструментов Excel.

    Шаг 4: Нажмите «регрессия» во всплывающем окне, а затем нажмите «ОК».

    Всплывающее окно анализа данных содержит множество параметров, включая линейную регрессию.

    Шаг 5: Выберите входной диапазон Y. Вы можете сделать это двумя способами: либо выбрать данные на листе, либо ввести местоположение ваших данных в поле «Ввод диапазона Y».Например, если ваши данные Y находятся в диапазоне от A2 до A10, введите «A2: A10» в поле «Входной диапазон Y».

    Шаг 6: Выберите диапазон ввода X , выбрав данные на листе или введя местоположение ваших данных в поле «Диапазон ввода X».

    Шаг 7: Выберите место, куда вы хотите, чтобы ваш диапазон вывода попал, выбрав пустую область на листе или введя местоположение, куда вы хотите, чтобы ваши данные попали в поле «Диапазон вывода».

    Шаг 8: Нажмите «ОК». Excel рассчитает линейную регрессию и заполнит лист результатами.

    Совет. Информация об уравнении линейной регрессии содержится в последнем наборе выходных данных (столбец коэффициентов). Первая запись в строке «Пересечение» — это «а» (пересечение по оси Y), а первая запись в столбце «Х» — это «b» (наклон).

    Вернуться к началу

    Посмотрите видео с шагами:


    Видео не видно? Кликните сюда.

    Две линии линейной регрессии.

    TI 83 Линейная регрессия: обзор

    Линейная регрессия утомительна и подвержена ошибкам, когда выполняется вручную, но вы можете выполнить линейную регрессию за время, необходимое для ввода нескольких переменных в список. Линейная регрессия даст разумный результат только в том случае, если ваши данные выглядят как линия на точечной диаграмме, поэтому, прежде чем найти уравнение для линии линейной регрессии , вы можете сначала просмотреть данные на точечной диаграмме. См. эту статью, чтобы узнать, как сделать точечную диаграмму на TI 83.

    TI 83 Линейная регрессия: шаги

    Пример задачи: Найдите уравнение линейной регрессии (в форме y = ax + b) для значений x 1, 2, 3, 4, 5 и значений y 3, 9, 27, 64 и 102.

    Шаг 1: Нажмите STAT, затем нажмите ENTER, чтобы открыть экран списков. Если у вас уже есть данные в L1 или L2, очистите данные: переместите курсор на L1, нажмите CLEAR и затем ENTER. Повторите для L2.

    Шаг 2: Введите x-переменные по одной за раз. Следуйте за каждым числом, нажимая клавишу ENTER. Для нашего списка введите:
    1 ENTER
    2 ENTER
    3 ENTER
    4 ENTER
    5 ENTER

    Шаг 3: С помощью клавиш со стрелками перейдите к следующему столбцу L2.

    Шаг 4: Введите переменные Y по одной за раз. Следуйте за каждым числом, нажимая клавишу ввода. Для нашего списка введите:
    3 ENTER
    9 ENTER
    27 ENTER
    64 ENTER
    102 ENTER

    Шаг 5: Нажмите кнопку STAT, затем с помощью клавиши прокрутки выделите «CALC».

    Шаг 6: Нажмите 4, чтобы выбрать «LinReg(ax+b)». Нажмите ENTER, а затем снова ENTER. TI 83 вернет переменные, необходимые для уравнения. Просто вставьте заданные переменные (a, b) в уравнение линейной регрессии (y=ax+b).Для приведенных выше данных это y = 25,3x – 34,9 .

    Вот как выполнить линейную регрессию TI 83!

    Наверх

    Помните из алгебры, что наклон — это «m» в формуле y = mx + b .
    В формуле линейной регрессии наклон равен a в уравнении y’ = b + ax .
    По сути, это одно и то же. Итак, если вас попросят найти наклон линейной регрессии, все, что вам нужно сделать, это найти b таким же образом, как вы нашли бы m .
    Вычисление линейной регрессии вручную, мягко говоря, сложно. Есть лот суммирования (это символ Σ, что означает складывать). Основные шаги приведены ниже, или вы можете посмотреть видео в начале этой статьи. В видео более подробно рассказывается о суммировании. Поиск уравнения также даст вам наклон. Если вы не хотите находить наклон вручную (или хотите проверить свою работу), вы также можете использовать Excel.

    Как найти наклон линейной регрессии: шаги

    Шаг 1: Найдите следующие данные из предоставленной информации: Σx, Σy, Σxy, Σx 2 , Σy 2 .Если вы не помните, как получить эти переменные из данных, см. эту статью о том, как найти коэффициент корреляции Пирсона. Следуйте указанным там шагам, чтобы создать таблицу и найти Σx, Σy, Σxy, Σx 2 и Σy 2 .

    Шаг 2: Вставьте данные в формулу b (нет необходимости находить a ).

    Если вас пугают формулы, более подробные инструкции по работе с формулой можно найти здесь: Как найти уравнение линейной регрессии: обзор.

    Как найти наклон регрессии в Excel 2013

    Как найти регрессию в Excel 2013

    Подпишитесь на наш канал Youtube, чтобы узнать больше советов и рекомендаций по статистике.

    Наверх

    Коэффициент регрессии — это то же самое, что наклон линии уравнения регрессии . Уравнение для коэффициента регрессии, которое вы найдете в тесте AP Statistics, выглядит следующим образом: (х i – х) 2 ].«у» в этом уравнении — это среднее значение у, а «х» — это среднее значение х.

    Коэффициент регрессии можно найти вручную (как указано в разделе вверху этой страницы).
    Однако вам не придется рассчитывать коэффициент регрессии вручную в тесте AP — вы будете использовать свой калькулятор TI-83. Почему? Вычисление линейной регрессии вручную требует очень много времени (выделите себе около 30 минут, чтобы выполнить расчеты и проверить их), и из-за огромного количества вычислений, которые вам нужно сделать, очень вероятно, что вы сделаете математические ошибки.Когда вы найдете уравнение линейной регрессии на TI83, вы получите коэффициент регрессии как часть ответа.

    Пример задачи : Найдите коэффициент регрессии для следующего набора данных:
    x: 1, 2, 3, 4, 5.
    y: 3, 9, 27, 64, 102.

    Шаг 1: Нажмите STAT, затем нажмите ENTER для входа в LISTS. Вам может потребоваться очистить данные, если у вас уже есть номера в L1 или L2. Чтобы очистить данные: переместите курсор на L1, нажмите CLEAR и затем ENTER. Повторите для L2, если вам нужно.

    Шаг 2: Введите x-данные в список. Нажимайте клавишу ENTER после каждого ввода.
    1 ВВОД
    2 ВВОД
    3 ВВОД
    4 ВВОД
    5 ВВОД

    Шаг 3: Перейдите к следующему столбцу, L2, используя клавиши со стрелками в правом верхнем углу клавиатуры.

    Шаг 4: Введите y-данные:
    3 ВВЕДИТЕ
    9 ВВЕДИТЕ
    27 ВВЕДИТЕ
    64 ВВЕДИТЕ
    102 ВВЕДИТЕ

    Шаг 5: Нажмите кнопку STAT, затем прокрутите, чтобы выделить «CALC.” Нажмите ВВОД

    Шаг 6: Нажмите 4, чтобы выбрать «LinReg(ax+b)». Нажмите Ввод. TI 83 вернет переменные, необходимые для уравнения линейной регрессии. Значение, которое вы ищете > коэффициент регрессии >, равно b, что составляет 25,3 для этого набора данных.

    Вот и все!
    Наверх

    Две линии линейной регрессии.


    Значения теста линейной регрессии используются в простой линейной регрессии точно так же, как значения теста (например, z-показатель или T-статистика) используются при проверке гипотез.Вместо работы с z-таблицей вы будете работать с t-таблицей распределения. Значение теста линейной регрессии сравнивается со статистикой теста, чтобы помочь вам подтвердить или отвергнуть нулевую гипотезу.

    Значение теста линейной регрессии: Шаги

    Пример вопроса : Для набора данных с размером выборки 8 и r = 0,454 найдите значение теста линейной регрессии.

    Примечание : r — коэффициент корреляции.

    Шаг 1: Найдите r, коэффициент корреляции, , если он уже не был указан в вопросе.В этом случае задано значение r (r = 0,0454). Не знаете, как найти r? См. Коэффициент корреляции, чтобы узнать, как найти r.

    Шаг 2: Используйте следующую формулу для вычисления тестового значения ( n — размер выборки):

    Как решить формулу:

    1. Замените переменные своими числами:
      T = 0,454√((8 – 2)/(1-[0,454] 2 ))
      • Вычесть 2 из n:
        8 – 2 = 6
      • Квадрат r:
        .454 × 0,454 = 0,206116
      • Вычесть шаг (3) из 1:
        1 – .206116 = .793884
      • Разделить шаг (2) на шаг (4):
        6 / 0,793884 = 7,557779
      • Извлеките квадратный корень из шага (5):
        √7,557779 = 2,744
      • Умножить r на шаг (6):
        .454 × 2,744 = 1,24811026

     

    Значение теста линейной регрессии, T = 1,24811026

    Вот оно!

    Нахождение тестовой статистики

    Значение теста линейной регрессии бесполезно, если вам не с чем его сравнивать.Сравните свое значение с тестовой статистикой. Статистика теста также представляет собой t-показатель (t), определяемый следующим уравнением:
    t = наклон выборочной линии регрессии / стандартная ошибка наклона.
    См.: Как найти наклон линейной регрессии / Как найти стандартную ошибку наклона (TI-83).

    Рабочий пример расчета значения теста линейной регрессии (с уровнем альфа) можно найти здесь: Коэффициенты корреляции.

    Наверх

    Точки данных, имеющие рычаги, могут сместить линию линейной регрессии.Они склонны быть аутсайдерами. Выброс — это точка, которая является либо чрезвычайно высоким, либо чрезвычайно низким значением.

    Очки влияния

    Если оценки параметров (выборочное стандартное отклонение, дисперсия и т. д.) значительно изменяются при удалении выброса, эта точка данных называется влиятельным наблюдением .

    Чем больше точка данных отличается от среднего значения других x-значений, тем больше рычагов она имеет. Чем больше кредитное плечо у точки, тем выше вероятность того, что эта точка будет влиятельной (т.е. это может изменить оценки параметров).

    Кредитное плечо в линейной регрессии: как оно влияет на графики

    В линейной регрессии влиятельная точка (выброс) будет пытаться стянуть линию линейной регрессии на себя. На приведенном ниже графике показано, что происходит с линией линейной регрессии при включении выброса А:

    .

    Две линии линейной регрессии. Влиятельная точка A включена в верхнюю линию, но не включена в нижнюю линию.

    Выбросы с экстремальными значениями X (значения, которые не находятся в диапазоне других точек данных) имеют большее значение в линейной регрессии, чем точки с менее экстремальными значениями x.Другими словами, экстремальных выбросов значения x сместят линию на больше, чем менее экстремальные значения.

    На следующем графике показана точка данных, выходящая за пределы диапазона других значений. Значения варьируются от 0 до примерно 70 000. Эта точка имеет значение x около 80 000, что выходит за пределы диапазона. Это влияет на линию регрессии намного больше, чем точка на первом изображении выше, которая находилась внутри диапазона других значений.

    Выброс с высоким кредитным плечом. Точка сдвинула график больше, потому что она находится вне диапазона других значений.

    Как правило, выбросы, значения которых близки к среднему значению x, будут иметь меньшее кредитное плечо, чем выбросы ближе к краям диапазона. Выбросы со значениями x за пределами диапазона будут иметь большее влияние. Экстремальные значения по оси Y (по сравнению с другими значениями) будут иметь большее влияние, чем значения, расположенные ближе к другим значениям Y.

    Нравятся видео? Подпишитесь на наш Youtube-канал.

    Подключение к аффинной трансформации

    Линейная регрессия бесконечно связана с аффинным преобразованием.Формула y′ = b + ax на самом деле не является линейной… это аффинная функция, которая определяется как линейная функция плюс преобразование. Так что это действительно следует называть аффинной регрессией, а не линейной!

    Ссылки

    Эдвардс, А. Л. Введение в линейную регрессию и корреляцию. Сан-Франциско, Калифорния: WH Freeman, 1976.
    Эдвардс, А. Л. Множественная регрессия и анализ дисперсии и ковариации. Сан-Франциско, Калифорния: WH Freeman, 1979.

    . ————————————————— ————————-

    Нужна помощь с домашним заданием или контрольным вопросом? С Chegg Study вы можете получить пошаговые ответы на свои вопросы от эксперта в данной области.Ваши первые 30 минут с репетитором Chegg бесплатны!

    Комментарии? Нужно опубликовать исправление? Пожалуйста, оставьте комментарий на нашей странице в Facebook .


    Формула коэффициента корреляции. Что такое формула коэффициента корреляции? Примеры

    В статистике корреляция — это способ установления взаимосвязи/ассоциации между двумя переменными. Другими словами, формула коэффициента корреляции помогает вычислить коэффициент корреляции, который измеряет зависимость одной переменной от другой переменной.Корреляция измеряется численно с использованием коэффициента корреляции. Коэффициент корреляции находится в диапазоне от -1 до 1. Отрицательный коэффициент корреляции указывает на то, что связь между двумя переменными является обратной. Положительный коэффициент корреляции указывает на то, что значение одной переменной напрямую зависит от другой переменной. Нулевой коэффициент корреляции указывает на отсутствие корреляции между обеими переменными. Существует много типов коэффициентов корреляции, среди них коэффициент корреляции Пирсона (ПКП) является наиболее распространенным.Давайте рассмотрим, как рассчитать формулу коэффициента корреляции для данной совокупности или выборки ниже.

    Что такое формула коэффициента корреляции?

    Коэффициент корреляции является статистическим понятием. Он устанавливает связь между прогнозируемыми и фактическими значениями, полученными в конце статистического эксперимента. Формула коэффициента корреляции помогает рассчитать взаимосвязь между двумя переменными, и, таким образом, полученный таким образом результат объясняет точность между прогнозируемыми и фактическими значениями.{N}\left(X_{i}-\bar{X}\right)\left(Y_{i}-\bar{Y}\right)}{N}\) , σ X  является стандартным отклонение X   и σ Y  является стандартным отклонением Y.

    Даны X и Y две случайные величины.

    2. Коэффициент корреляции населения

    Формула для коэффициента корреляции Пирсона для выборки размером n (записывается как r xy ) задается как:

    \(r_{x, y}=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)\left(y_{i}-\bar {y}\right)}{\sqrt{\Sigma}_{\Sigma_{i}=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2} \sqrt {\sum}_{\Sigma_{i}=1}^{n}\left(y_{i}-\bar{y}\right)^{2}}\)

    Где N — размер выборки, x I 161 I I — это точки образца I ,
    8 и и ȳ — это выборка средств для случайных величин X и Y соответственно.{2}\справа]}}\) 

    Где N — размер выборки, x I 161 I I — это точки образца I ,
    8 и и ȳ — это выборка средств для случайных величин X и Y соответственно.

    Знак r указывает на силу линейной зависимости между переменными.

    • Если r близко к 1, то две переменные имеют сильную линейную зависимость.
    • Если r близко к 0, то между двумя переменными нет линейной зависимости.
    • Если r близко к -1, то две переменные имеют слабую (отрицательную) линейную связь.

    Разберитесь со сложными концепциями с помощью простых визуальных средств.

    Математика больше не будет сложным предметом, особенно когда вы понимаете концепции с помощью визуализаций с помощью Cuemath.

    Забронируйте бесплатный пробный урок

    Рассмотрим применение формулы коэффициента корреляции в следующем разделе.

    Примеры использования формулы коэффициента корреляции

    Пример 1. Учитывая следующие данные о населении. Найдите коэффициент корреляции Пирсона между x и y для этих данных. (Примите 1√7 за 0,378)

    х 600 800 1000
    у 1200 1000 2000

    Решение:

    Для упрощения вычислений мы разделим x и y на 100.{2}\) \((x_i — \bar{x})(y_i — \bar{y})\) 6 12 -2 -2 4 4 4 8 10 0 -4 0 16 0 10 20 2 6 4 36 12 \(\ полоса {х}=8\) \(\бар{у}=14\)     \(\Sigma\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}=8\) \(\Sigma\left(y_{i}-\bar{y}\right)^{2}=56\) \(\Sigma(x_i-\bar{x})(y_i — \bar{y}) = 16\)

    Используя формулу коэффициента корреляции,

    Коэффициент корреляции Пирсона для населения = \(\ frac{\Sigma\left(x_{i}-\bar{x}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)}{\sqrt {\ Sigma \ left (x_ {i} — \ bar {x} \ right) ^ {2} \ sum \ left (y_ {i} — \ bar {y} \ right) ^ {2}}} \) = \(\frac{16}{\sqrt{8} \sqrt{56}}\) = \(\frac{2}{\sqrt{7}}\) = 0.756

    Ответ:  Коэффициент корреляции Пирсона = 0,756

    Пример 2.  В вашем городе был проведен опрос. Даны следующие образцы данных, содержащие возраст человека и его соответствующий доход. Выясните, влияет ли увеличение возраста на доход, используя формулу коэффициента корреляции. (Используйте 1√181 как 0,074 и 1√2091 как 0,07)

    Возраст 25 30 36 43
    Доход 30000 44000 52000 70000

    Решение:

    Для упрощения вычислений делим y на 1000.{2}\) \((x_i — \bar{x})(y_i — \bar{y})\) 25 30 -8,5 -19 72,25 361 161,5 30 44 -3,5 -5 12,25 25 17,5 36 52 2.{2}}}\) = \(\frac{386}{\sqrt{181} \sqrt{836}}\) = \(\frac{193}{\sqrt{181} \sqrt{209}}\ ) = 0,99

    Ответ:  Да, с увеличением возраста увеличивается и доход человека, так как коэффициент корреляции Пирсона между возрастом и доходом очень близок к 1.

    Пример 3:  Рассчитать коэффициент корреляции заданных данных.

    х 41 42 43 44 45
    и 3.2 3,3 3,4 3,5 3,6

    Решение:

    Здесь n = 5

    Найдем ∑x , ∑y, ∑xy, ∑x 2 , ∑y 2

    х и ху х 2 г 2
    41 3.2 131,2 1681 10,24
    42 3,3 138,6 1764 10,89
    43 3,4 146,2 1849 11,56
    44 3,5 154 1936 12.25
    45 3,6 162 2025 12,96
    ∑x = 215 ∑у = 17 ∑ху = 732 ∑x 2  = 9255 ∑y 2  = 57,9

     значения:

    ∑х = 215

    ∑x 2  = 9255

    х̄  = 43

    ∑(x — x̄) 2  = σσ = 10  

    значения Y:

    ∑у = 17

    ∑y 2  = 57.9

    ∑(y — ȳ) 2  =σσ = 0,1

    Комбинация X и Y

    Н = 5

    ∑((х — х̄)(у — ȳ)) = 1

    ∑ху = 732

    Р расчет:

    r = ∑((x — x̄)(y — ȳ))/√((σσ x )(σσ y ))

    г = 1/√((10)(0,1)) = 1

    Поскольку r = 1, это указывает на значительную связь между x и y.

    Часто задаваемые вопросы о формуле коэффициента корреляции

    Что такое формула коэффициента корреляции в статистике?

    Формула коэффициента корреляции определяет связь между двумя переменными в наборе данных и, таким образом, проверяет точность между прогнозируемыми и фактическими значениями.

    Как использовать формулу коэффициента корреляции?

    Мы можем использовать формулу корреляции коэффициентов для расчета корреляции Пирсона произведение-момент,

    • Шаг 1: Определите ковариацию двух заданных переменных.
    • Шаг 2: Рассчитайте стандартное отклонение каждой переменной.
    • Шаг 3. Разделите ковариацию на произведение стандартных отклонений двух переменных.

    Что такое n в формуле коэффициента корреляции?

    В формуле коэффициента корреляции n относится к размеру выборки.{2}\справа]}}\) 

    Каковы применения формулы коэффициента корреляции?

    Ниже приведены наиболее важные применения формулы корреляции коэффициентов:

    • Формула коэффициента корреляции помогает в анализе данных путем количественной оценки степени, в которой две переменные связаны, что дополнительно отображает линейную связь между двумя переменными.
    • Он используется для финансового анализа, поскольку определяет взаимосвязь между наборами данных в бизнесе и, таким образом, поддерживает принятие решений.
    • Это очень помогает при принятии решений в различных областях, поскольку помогает понять силу взаимосвязи между двумя разными переменными.

    Как рассчитать коэффициент корреляции: формула и шаги

    1. Карьерный рост
    2. Как рассчитать коэффициент корреляции: формула и шаги
    Автор: редакция Indeed

    30 августа 2021 г.

    Если вы работаете в сфере финансов или экономики, расчеты коэффициент корреляции может помочь вам лучше проанализировать и понять набор переменных.Если вы владелец бизнеса, определение этого значения может помочь вам определить будущие продажи вашей компании, а также общие тенденции рынка. В этой статье мы определяем, что такое коэффициент корреляции, и представляем вам шаги для его расчета.

    Связанный: Ваше руководство по карьере в области финансов

    Что такое коэффициент корреляции?

    Коэффициент корреляции относится к измерению силы между двумя отдельными переменными. В то время как корреляция определяет отношение между этими двумя переменными, коэффициент корреляции связан с состоянием отношения.Коэффициент корреляции часто обозначается как r. Как только вы узнаете, какие переменные или данные вы используете, вы сможете выбрать наиболее подходящий тип коэффициента корреляции. Существует три типа коэффициентов корреляции, и они следующие:

    • Корреляция Пирсона: эта корреляция измеряет линейную связь между двумя переменными. Тем не менее, он не может определить разницу между независимыми и зависимыми переменными. Чем сильнее корреляция между этими двумя наборами данных, тем ближе она будет к +1 или -1.Это наиболее часто используемый тип коэффициента корреляции.

    • Корреляция Спирмена: Корреляция Спирмена используется для определения монотонной зависимости между двумя наборами данных. Это измерение основано на ранжированных значениях для каждого набора данных и использует искаженные или порядковые переменные, а не те, которые имеют нормальное распределение.

    • Корреляция Кендалла: Корреляция Кендалла измеряет силу зависимости между двумя наборами данных.

    По мере того, как вы начинаете понимать коэффициент корреляции, важно учитывать значение его значений как таковых:

    • Коэффициент корреляции представляет собой значение от -1 до 1. вблизи нуля связь между этими переменными считается слабой.

    • Если значения положительные, корреляция положительная.

    • Аналогично, если значения отрицательные, корреляция будет отрицательной.

    • Корреляция -1 и корреляция 1 считаются идеальной корреляцией.

    Связанные: Типы графиков и диаграмм

    Как рассчитать коэффициент корреляции

    Если вы хотите измерить силу связи между двумя переменными, вы можете сделать это с помощью расширенного или онлайн-калькулятора. Вы также можете использовать свои математические способности и вычислить его вручную. При вычислении коэффициента корреляции вручную помните о следующих представлениях:

    • (x(i), y(i)) = пара данных

    • x̅ = среднее значение x(i)

    • ȳ = среднее значение y(i)

    • s(x) = стандартное отклонение первых координат x(i)

    • s(y) = стандартное отклонение вторых координат y (i)

    Ниже приведены шаги, необходимые для расчета коэффициента корреляции:

    1. Определите наборы данных.

    2. Рассчитайте стандартизированное значение для ваших переменных x.

    3. Рассчитайте стандартизированное значение для ваших переменных y.

    4. Умножьте и найдите сумму.

    5. Разделите сумму и определите коэффициент корреляции.

    1. Определите наборы данных.

    Начните расчет, определив, какими будут ваши переменные. Как только вы узнаете свои наборы данных, вы сможете включить эти значения в свое уравнение.Разделите эти значения переменными x и y.

    2. Рассчитайте стандартизированное значение для ваших переменных x.

    После того, как вы определили свои наборы данных, используйте следующее уравнение для расчета стандартизированного значения для каждой переменной x(i):

    (z(x))(i) = (x(i) — x̅) / s (x)

    3. Рассчитайте стандартизированное значение для ваших переменных y.

    Теперь, когда вы определили стандартизированное значение для каждого x(i), сделайте то же самое для каждого y(i) с помощью следующего уравнения:

    (z(y))(i) = (y(i) — ȳ) / с(у)

    4.Умножьте и найдите сумму.

    Теперь, когда у вас есть стандартизированные значения, перемножьте их. Например:

    (z(x))(i) * (z(y))(i)

    После перемножения значений сложите их, чтобы найти сумму.

    5. Разделите сумму и определите коэффициент корреляции.

    На следующем шаге мы будем использовать n для представления общего количества точек в этой паре данных. Разделите сумму из четвертого шага на n — 1. Получится коэффициент корреляции.

    Связано: Руководство по точечным диаграммам

    Пример коэффициента корреляции

    Чтобы лучше понять коэффициент корреляции, рассмотрим следующий пример:

    Допустим, вы владеете магазином одежды и пытаетесь определить, не продашь больше купальных костюмов летом. Хотя ваш магазин открыт круглый год, вы можете предположить, что в более жаркие дни купальных костюмов будет продано больше. С другой стороны, покупатели могут быть более склонны покупать купальные костюмы зимой, когда на них, скорее всего, будет скидка.Чтобы рассчитать коэффициент корреляции, вам нужно определить набор данных о среднем количестве продаж купальных костюмов и самых высоких температурах в течение лета. Тем не менее, продажи купальных костюмов и температура будут двумя переменными, которые вы будете использовать в своих расчетах.

    Теперь, когда мы знаем переменные, рассмотрим следующие данные:

    • Вы продали 5 купальных костюмов при температуре 70 градусов.

    • Вы совершили 10 продаж купальных костюмов, когда температура достигла 80 градусов.

    • Вы совершили 15 продаж купальных костюмов, когда температура достигла 90 градусов.

    • Вы продали 20 купальных костюмов, когда температура достигла 100 градусов.

    • Вы продали 15 купальных костюмов при температуре 110 градусов.

    Вы можете назначить x для продаж купальных костюмов и y для температурных переменных. Среднее значение ваших значений x в этом примере равно 15, а среднее значение ваших значений y равно 90.2}}\)

    Если x — это рост человека, измеренный в дюймах, а y — это вес человека, измеренный в фунтах, то единицами измерения числителя являются дюймы × фунты.2}}\раз b_1\)

    Из этой версии формулы легко увидеть, что:

    • Расчетный наклон \(b_{1}\) линии регрессии и коэффициент корреляции r всегда имеют один и тот же знак. Если вы не понимаете, почему это должно быть правдой, посмотрите видео.

    • Коэффициент корреляции r является безразмерной мерой. Если вы не понимаете, почему это должно быть правдой, посмотрите видео.

    • Если расчетный наклон \(b_{1}\) линии регрессии равен 0, то коэффициент корреляции r также должен быть равен 0.

    Довольно формул! Как всегда, мы позволим статистическим программам, таким как Minitab, делать за нас грязные расчеты. Вот как выглядит вывод Minitab для примера смертности от рака кожи и широты (данные по раку кожи):

    Корреляция: Морт, Широта

    Корреляция Пирсона Mort и Lat = -0,825

    Выход говорит нам, что корреляция между смертностью от рака кожи и широтой составляет -0,825 для этого набора данных. Обратите внимание, что не имеет значения порядок, в котором вы указываете переменные:

    Корреляция: Широта, Морт

    Корреляция Пирсона Mort и Lat = -0.{2}\). Вы можете использовать только r , чтобы сделать утверждение о силе линейной зависимости между x и y . Всего:

    • Если r = -1, то существует совершенная отрицательная линейная зависимость между x и y .
    • Если r = 1, то существует совершенная положительная линейная зависимость между x и y .
    • Если r = 0, то между x и y нет линейной зависимости.{2}\), что считается большим значением коэффициента корреляции r , сильно зависит от области исследования.

      Итак, о чем говорит нам корреляция -0,825 между смертностью от рака кожи и широтой? Он говорит нам:

      • Отношение отрицательное. С увеличением широты смертность от рака кожи снижается (линейно).
      • Связь довольно сильная (поскольку значение довольно близко к -1)

      Вычисление коэффициента корреляции


      Формула коэффициента корреляции выборки:

      , где Cov(x,y) — ковариация x и y, определенная как

      .

      и являются выборочными отклонениями x и y, определенными следующим образом:

      и

      Дисперсия x и y измеряет изменчивость показателей x и показателей y относительно их соответствующих выборочных средних значений X и Y, рассматриваемых отдельно.Ковариация измеряет изменчивость пар (x, y) вокруг среднего значения x и среднего значения y, рассматриваемых одновременно.

       

       

      Чтобы вычислить коэффициент выборочной корреляции, нам необходимо вычислить дисперсию гестационного возраста, дисперсию массы тела при рождении, а также ковариацию гестационного возраста и массы тела при рождении.

      Сначала мы суммируем данные о гестационном возрасте. Средний срок беременности:

      Чтобы вычислить дисперсию гестационного возраста, нам нужно просуммировать квадраты отклонений (или различий) между каждым наблюдаемым гестационным возрастом и средним гестационным возрастом.Вычисления суммированы ниже.

       

      Удостоверение личности младенца №

      Срок беременности (недель)

      1

      34,7

      -3,7

      13,69

      2

      36.0

      -2,4

      5,76

      3

      29,3

      -9,1

      82,81

      4

      40,1

      1,7

      2.89

      5

      35,7

      -2,7

      7,29

      6

      42,4

      4,0

      16,0

      7

      40.3

      1,9

      3,61

      8

      37,3

      -1,1

      1,21

      9

      40,9

      2,5

      6.25

      10

      38,3

      -0,1

      0,01

      11

      38,5

      0,1

      0,01

      12

      41.4

      3,0

      9,0

      13

      39,7

      1,3

      1,69

      14

      39,7

      1,3

      1.69

      15

      41.1

      2,7

      7,29

      16

      38,0

      -0,4

      0,16

      17

      38.7

      0,3

      0,09

       

      Разница гестационного возраста составляет:

       

      Далее мы суммируем данные о массе тела при рождении. Средний вес при рождении:

      Дисперсия массы тела при рождении рассчитывается так же, как и для гестационного возраста, как показано в таблице ниже.

      Детский ID#

      Вес при рождении

      1

      1895

      -1007

      1 014 049

      2

      2030

      -872

      760 384

      3

      1440

      -1462

      2 137 444

      4

      2835

      -67

      4 489

      5

      3090

      188

      35 344

      6

      3827

      925

      855 625

      7

      3260

      358

      128 164

      8

      2690

      -212

      44 944

      9

      3285

      383

      146 689

      10

      2920

      18

      324

      11

      3430

      528

      278 764

      12

      3657

      755

      570 025

      13

      3685

      783

      613 089

      14

      3345

      443

      196 249

      15

      3260

      358

      128 164

      16

      2680

      -222

      49 284

      17

      2005

      -897

      804 609

       

      Дисперсия массы тела при рождении составляет:

       

      Далее вычисляем ковариацию:

      Чтобы вычислить ковариацию гестационного возраста и веса при рождении, нам нужно умножить отклонение от среднего гестационного возраста на отклонение от среднего веса при рождении для каждого участника, то есть:

      Расчеты приведены ниже.Обратите внимание, что мы просто копируем отклонения от среднего гестационного возраста и массы тела при рождении из двух таблиц выше в таблицу ниже и умножаем.

      Детский ID#

      1

      -3,7

      -1007

      3725.9

      2

      -2,4

      -872

      2092,8

      3

      -9,1

      -1462

      13 304,2

      4

      1.7

      -67

      -113,9

      5

      -2,7

      188

      -507,6

      6

      4,0

      925

      3700.0

      7

      1,9

      358

      680,2

      8

      -1,1

      -212

      233,2

      9

      2.5

      383

      957,5

      10

      -0,1

      18

      -1,8

      11

      0,1

      528

      52.8

      12

      3,0

      755

      2265,0

      13

      1,3

      783

      1017,9

      14

      1.3

      443

      575,9

      15

      2,7

      358

      966,6

      16

      -0,4

      -222

      88.8

      17

      0,3

      -897

      -269,1

      Итого = 28 768,4

      Ковариация гестационного возраста и массы тела при рождении:

       

      Наконец, мы можем вычислить коэффициент корреляции выборки:

      Неудивительно, что коэффициент корреляции выборки указывает на сильную положительную корреляцию.

      Как мы уже отмечали, выборочные коэффициенты корреляции колеблются от -1 до +1. На практике значимые корреляции (т. е. корреляции, которые имеют клиническое или практическое значение) могут составлять всего 0,4 (или -0,4) для положительных (или отрицательных) ассоциаций. Существуют также статистические тесты для определения того, является ли наблюдаемая корреляция статистически значимой или нет (т. е. статистически значимо отличной от нуля). Процедуры проверки того, свидетельствует ли наблюдаемая выборочная корреляция о статистически значимой корреляции, подробно описаны у Кляйнбаума, Куппера и Мюллера.

    alexxlab

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.