Site Loader

Содержание

Глава 31. Двоичная система исчисления . Введение в электронику

ЦЕЛИ

После изучения этой главы студент должен быть в состоянии:

• Описать двоичную систему счисления.

• Перечислить значения разрядов для каждого бита двоичного числа.

• Преобразовывать двоичные числа в десятичные.

• Преобразовывать десятичные числа в двоичные.

• Преобразовывать десятичные числа в двоично-десятичный код.

• Преобразовывать числа в двоично-десятичном коде в десятичные.

Система счисления — это не более, чем код. Для каждой отдельной величины существует приписанный ей символ. Когда код известен, можно выполнять вычисления. Это возможно с помощью арифметики и высшей математики.

Простейшей системой счисления является двоичная. Двоичная система содержит только две цифры — 0 и 1. Эти цифры имеют такое же значение, как и в десятичной системе счисления.

Двоичная система счисления используется в цифровых и микропроцессорных цепях благодаря ее простоте. Двоичные данные представляются двоичными цифрами, называемыми битами. Термин бит означает двоичная цифра (разряд) (binary digit).

31-1. ДВОИЧНЫЕ ЧИСЛА

Десятичная система счисления называется системой с основанием 10, поскольку она использует десять цифр от 0 до 9. Двоичная система — это система с основанием два, поскольку она использует две цифры, 0 и 1. Положение 0 или 1 в двоичном числе показывает их значение в числе и называется значением разряда или его весом. Значения разрядов двоичного числа увеличиваются как степени 2.

Счет в двоичной системе начинается с чисел 0 и 1. Как и в десятичной системе счисления, каждая двоичная цифра отличается от предыдущей на единицу. Сумма единицы и нуля дает единицу, а сумма двух единиц дает нуль, и при этом прибавляется единица в старшем разряде. На рис. 31-1 показана последовательность двоичных чисел, образованная по описанному алгоритму.

Рис. 31-1. Десятичные числа и эквивалентные двоичные числа.

Для определения наибольшего значения, которое может быть представлено данным количеством разрядов с основанием 2, используйте следующую формулу:

Наибольшее число = 2n — 1,

где n — число битов (или число использованных значений разрядов).

ПРИМЕР: два бита могут быть использованы для счета от 0 до 3, так как

2n — 1 = 22 — 1 = 4–1 = 3.

Четыре бита необходимы для счета от 0 до 15, так как

2n

— 1 = 24 — 1 = 16 — 1 = 15.

31-1. Вопросы

1.  В чем преимущество двоичной системы счисления перед десятичной при использовании в цифровых цепях?

2. Как определить наибольшее значение двоичного числа при заданном числе разрядов?

3. Каково наибольшее значение двоичного числа с:

а. 4 битами,

б. 8 битами,

в. 12 битами,

г. 16 битами.

31-2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДВОИЧНЫХ ЧИСЕЛ В ДЕСЯТИЧНЫЕ И НАОБОРОТ

Как установлено, двоичное число представляет собой число с весом каждого разряда. Значение двоичного числа может быть определено суммированием произведений каждой цифры на вес ее разряда. Метод вычисления двоичного числа показан на следующем примере:

ПРИМЕР: 

Число 45 является десятичным эквивалентом двоичного числа 101101.

Дробные числа также могут быть представлены в двоичной форме путем размещения двоичных цифр справа от двоичной запятой, так же как и десятичные цифры размещаются справа от десятичной запятой.

Все цифры справа от запятой имеют вес, представленный отрицательными степенями 2 или дробными значениями разрядов.

Степень 2 ∙ Значение разряда

25 = 32

24 = 16

23 = 8

22 = 4

21 = 2

20 = 1

десятичная запятая

2

-1 = 1/21 = 1/2 = 0,5

2-2 = 1/22 = 1/4 = 0,25

2-3 = 1/23 = 1/8 = 0,125

2-4 = 1/24 = 1/16 = 0,0625

ПРИМЕР: Определить десятичное значение двоичного числа 111011,011.

При работе с цифровым оборудованием часто бывает необходимо преобразовывать числа из двоичной системы в десятичную, и наоборот. Наиболее популярный способ преобразования десятичных чисел в двоичные — это последовательное деление десятичного числа на 2, с записью остатка после каждого деления. Остатки, взятые в обратном порядке, образуют двоичное число.

ПРИМЕР: Преобразовать 11 в двоичное число последовательным делением на 2. (Самый Младший Разряд).

(1/2 = 0 означает, что 1 не делится на 2, так что 1 является остатком). Десятичное число 11 равно 1011 в двоичной системе.

Этот процесс может быть упрощен путем записи чисел упорядоченным образом, как это показано на примере преобразования 25 в двоичное число.

ПРИМЕР:

Десятичное число 25 равно двоичному числу 11001. Дробные числа преобразовываются по другому: число умножается на 2 и целая часть записывается как двоичная дробь.

ПРИМЕР: Преобразовать десятичную дробь 0,85 в двоичную дробь последовательным умножением на 2.

Умножение на 2 продолжается до тех пор, пока не будет достигнута необходимая точность. Десятичная дробь 0,85 равна 0,110110 в двоичной форме.

ПРИМЕР: Преобразовать десятичное число 20,65 в двоичное число. Разделите 20,65 на целую часть 20 и дробную 0,65 и примените описанные выше методы.

Десятичное 20 — двоичному 10100

и

Комбинируя два числа, получим 20,6510 = 10100,10100112.

Это 12-разрядное число является приближенным, потому что преобразование дроби было прервано после получения 7 разрядов.

31-2. Вопросы

1. Чему равно значение каждого разряда 8-разрядного двоичного числа?

2. Чему равно значение каждого разряда для 8 разрядов правее десятичной точки?

3. Преобразуйте следующие двоичные числа в десятичные:

а. 1001;

б. 11101111;

в. 11000010;

г. 10101010,1101;

д. 10110111,0001.

4. В чем состоит процесс преобразования десятичных чисел в двоичные?

5. Преобразуйте следующие десятичные числа в двоичные:

а. 27;

б. 34,6;

в. 346;

г. 321,456;

д. 7465.

31-3. КОД 8421

Код 8421 — это двоично-десятичный код (ДДК), состоящий из четырех двоичных разрядов. Он используется для представления цифр от 0 до 9. Обозначение 8421 относится к двоичному весу 4 разрядов.

Степени 2: 23 22 21 20

Двоичный вес: 8 4 2 1

Основным достоинством этого кода является то, что он допускает легкое преобразование из десятичной формы в двоичную, и наоборот. Поэтому двоично-десятичный код используется всегда, если не оговорено другое.

Каждая десятичная цифра (от 0 до 9) представляется двоичной комбинацией следующим образом:

Хотя с помощью четырех двоичных разрядов можно представить 16 чисел (24), шесть кодовых комбинаций для чисел, больших 9 (1010,1011,1100, 1101, 1110 и 1111), в коде 8421 не используются.

Для того чтобы выразить любое десятичное число с помощью кода 8421, замените каждую десятичную цифру соответствующим 4-разрядным кодом.

ПРИМЕР: Преобразовать следующие десятичные числа в двоично-десятичный код: 5, 13, 124, 576, 8769.

Для преобразования числа из двоично-десятичного кода в десятичную систему, разбейте число на группы по 4 разряда. После этого запишите десятичные цифры, соответствующие каждой 4-разрядной группе.

ПРИМЕР: Преобразуйте числа, записанные двоично-десятичным кодом в десятичную систему: 10010101, 1001000, 1100111, 1001100101001, 1001100001110110.

Замечание: Если в крайней группе слева не хватает разрядов до четырех, то к ней добавляются нули.

31-3. Вопросы

1. Что такое код 8421 и как он используется?

2. Преобразуйте следующие десятичные числа в двоично-десятичный код:

а. 17;

б. 100;

в. 256;

г. 778;

д. 8573.

3.  Преобразуйте следующие двоично-десятичные коды в десятичные числа:

а. 1000 0010;

б. 0111 0000 0101;

в. 1001 0001 0011 0100;

г. 0001 0000 0000 0000;

д. 0100 0110 1000 1001.

РЕЗЮМЕ

• Двоичная система счисления — это простейшая система счисления.

• Двоичная система счисления содержит две цифры — 0 и 1.

• Двоичная система счисления используется для представления данных в цифровых и компьютерных системах.

• Двоичные данные представляются двоичными разрядами, которые называются битами.

• Термин бит происходит от названия двоичный разряд (binary digit)

• Значение каждого более высокого разряда двоичного числа увеличивается как степень 2.

• Наибольшее число, которое может быть представлено данным количеством разрядов в двоичной системе равно 2n — 1, где n — количество разрядов.

• Значение двоичного числа может быть определено суммированием произведений каждой цифры на вес ее разряда.

• Дробные числа представляются отрицательными степенями 2.

• Для преобразования десятичного числа в двоичное, десятичное число последовательно делится на 2, и после каждого деления записывается остаток. Эти остатки, расположенные в обратном порядке, образуют двоичное число.

• Код 8421 или двоично-десятичный код используется для представления цифр от 0 до 9.

• Достоинством двоично-десятичного кода является возможность легкого преобразования чисел из десятичной формы в двоичную и наоборот.

Глава 31. САМОПРОВЕРКА

1. Запишите в двоичной форме десятичные числа от 0 до 27.

2. Сколько двоичных разрядов нужно для представления десятичного числа 100?

3. Опишите процесс преобразования десятичного числа в двоичное число.

4. Преобразуйте следующие двоичные числа в десятичные:

а. 100101,001011;

б. 111101110,11101110;

в. 10000001,00000101.

5. Опишите процесс преобразования десятичных чисел в двоично-десятичный код.

6. Преобразуйте следующие двоично-десятичные коды в десятичные числа:

а. 0100 0001 0000 0110;

б. 1001 0010 0100 0011;

в. 0101 0110 0111 1000.

Двоичное счисление на пальцах | Журнал «Код»

Все знают, что компьютеры состоят из единиц и нулей. Но что это значит на самом деле?

Если у вас в школе была информатика, не исключено, что там было упражнение на перевод обычных чисел в двоичную систему и обратно. Маловероятно, что кто-то вам объяснял практический смысл этой процедуры и откуда вообще берётся двоичное счисление. Давайте закроем этот разрыв.

Эта статья не имеет практической ценности — читайте её просто ради интереса к окружающему миру. Если нужны практические статьи, заходите в наш раздел «Где-то баг», там каждая статья — это практически применимый проект.

Отличный план

Чтобы объяснить всё это, нам понадобится несколько тезисов:

  1. Система записи числа — это шифр.
  2. Мы привыкли шифровать десятью знаками.
  3. Но система записи чисел может быть любой. Это условность.
  4. Двоичная система — это тоже нормальная система.
  5. Всё тлен и суета.

Система записи — это шифр

Если у нас есть девять коров, мы можем записать их как 🐄🐄🐄🐄🐄🐄🐄🐄🐄 или как 9 × 🐄.

Почему 9 означает «девять»? И почему вообще есть такое слово? Почему такое количество мы называем этим словом? Вопрос философский, и короткий ответ — нам нужно одинаково называть числа, чтобы друг друга понимать. Слово «девять», цифра 9, а также остальные слова — это шифр, который мы выучили в школе, чтобы друг с другом общаться.

Допустим, к нашему стаду прибиваются ещё 🐄🐄🐄. Теперь у нас 🐄🐄🐄🐄🐄🐄🐄🐄🐄🐄🐄🐄 — двенадцать коров, 12. Почему мы знаем, что 12 — это «двенадцать»? Потому что мы договорились так шифровать числа.

Нам очень легко расшифровывать записи типа 12, 1920, 100 500 и т. д. — мы к ним привыкли, мы учили это в школе. Но это шифр. 12 ×🐄 — это не то же самое, что 🐄🐄🐄🐄🐄🐄🐄🐄🐄🐄🐄🐄. Это некая абстракция, которой мы пользуемся, чтобы упростить себе счёт.

Мы привыкли шифровать десятью знаками

У нас есть знаки 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9 — всего десять знаков. Этим числом знаков мы шифруем количество единиц, десятков, сотен, тысяч и так далее.

Мы договорились, что нам важен порядок записи числа. Мы знаем, что самый правый знак в записи означает число единиц, следующий знак (влево) означает число десятков, потом сотен и далее.

Например, перед нами число 19 547. Мы знаем, что в нём есть:

1 × 10 000

9 × 1000

5 × 100

4 × 10

7 × 1

Если приглядеться, то каждый следующий разряд числа показывает следующую степень десятки:

1 × 10⁴

9 × 10³

5 × 10²

4 × 10¹

7 × 10⁰

Нам удобно считать степенями десятки, потому что у нас по десять пальцев и мы с раннего детства научились считать до десяти.

Система записи — это условность

Представим бредовую ситуацию: у нас не 10 пальцев, а 6. И в школе нас учили считать не десятками, а шестёрками. И вместо привычных цифр мы бы использовали знаки ØABCDE. Ø — это по-нашему ноль, A — 1, B — 2, E — 5.

Вот как выглядели бы привычные нам цифры в этой бредовой системе счисления:

В этой системе мы считаем степенями шестёрки. Число ABADØ можно было бы перевести в привычную нам десятичную запись вот так:

A × 6⁴ = 1 × 1296 = 1296
B × 6³ = 2 × 216 = 432
A × 6² = 1 × 36 = 36
D × 6¹ = 4 × 6 = 24
Ø × 6⁰ = 0 × 1 = 0
1296 + 143 + 34 + 24 + 0 = 1497. В нашей десятичной системе это 1497, а у людей из параллельной вселенной это ABADØ, и это равноценно.

Выглядит бредово, но попробуйте вообразить, что у нас в сумме всего шесть пальцев. Каждый столбик — как раз шесть чисел. Очень легко считать в уме. Если бы нас с детства учили считать шестёрками, мы бы спокойно выучили этот способ и без проблем всё считали. А счёт десятками вызывал бы у нас искреннее недоумение: «Что за бред, считать числом AD? Гораздо удобнее считать от Ø до E!»

То, как мы шифруем и записываем числа, — это следствие многовековой традиции и физиологии. Вселенной, космосу, природе и стадам коров глубоко безразлично, что мы считаем степенями десятки. Природа не укладывается в эту нашу систему счёта.

Например, свет распространяется в вакууме со скоростью 299 792 458 метров в секунду. Ему плевать, что нам для ровного счёта хотелось бы, чтобы он летел со скоростью 300 тысяч километров в секунду. А ускорение свободного падения тела возле поверхности Земли — 9,81 м/с². Так и хочется спросить: «Тело, а ты не могло бы иметь ускорение 10 м/с²?» — но телу плевать на наши системы счисления.

Двоичная система (тоже нормальная)

Внутри компьютера работают транзисторы. У них нет знаков 0, 1, 2, 3… 9. Транзисторы могут быть только включёнными и выключенными — обозначим их 💡 и ⚫.

Мы можем научить компьютер шифровать наши числа этими транзисторами так же, как шестипалые люди шифровали наши числа буквами. Только у нас будет не 6 букв, а всего две: 💡 и ⚫. И выходит, что в каждом разряде будет стоять не число десяток в разной степени, не число шестёрок в разной степени, а число… двоек в разной степени. И так как у нас всего два знака, то получается, что мы можем обозначить либо наличие двойки в какой-то степени, либо отсутствие:

Если перед нами число 💡 ⚫💡⚫⚫ 💡💡⚫⚫, мы можем разложить его на разряды, как в предыдущих примерах:

💡 = 1 × 2⁸ = 256

⚫ = 0 × 2⁷ = 0

💡 = 1 × 2⁶ = 64

⚫ = 0 × 2⁵ = 0

⚫ = 0 × 2⁴ = 0

💡 = 1 × 2³ = 8

💡 = 1 × 2² = 4

⚫ = 0 × 2¹ = 0

⚫ = 0 × 2⁰ = 0

256 + 0 + 64 + 0 + 0 + 8 + 4 + 0 + 0 = 332

Получается, что десятипалые люди могут записать это число с помощью цифр 332, а компьютер с транзисторами — последовательностью транзисторов 💡⚫💡⚫⚫ 💡💡⚫⚫.

Если теперь заменить включённые транзисторы на единицы, а выключенные на нули, получится запись 1 0100 1100. Это и есть наша двоичная запись того же самого числа.

Почему говорят, что компьютер состоит из единиц и нулей (и всё тлен)

Инженеры научились шифровать привычные для нас числа в последовательность включённых и выключенных транзисторов.

Дальше эти транзисторы научились соединять таким образом, чтобы они умели складывать зашифрованные числа. Например, если сложить 💡⚫⚫ и ⚫⚫💡, получится 💡⚫💡. Мы писали об этом подробнее в статье о сложении через транзисторы.

Дальше эти суммы научились получать супербыстро. Потом научились получать разницу. Потом умножать. Потом делить. Потом всё это тоже научились делать супербыстро. Потом научились шифровать не только числа, но и буквы. Научились их хранить и считывать. Научились шифровать цвета и координаты. Научились хранить картинки. Последовательности картинок. Видео. Инструкции для компьютера. Программы. Операционные системы. Игры. Нейросети. Дипфейки.

И всё это основано на том, что компьютер умеет быстро-быстро складывать числа, зашифрованные как последовательности включённых и выключенных транзисторов.

При этом компьютер не понимает, что он делает. Он просто гоняет ток по транзисторам. Транзисторы не понимают, что они делают. По ним просто бежит ток. Лишь люди придают всему этому смысл.

Когда человека не станет, скорость света будет по-прежнему 299 792 458 метров в секунду. Но уже не будет тех, кто примется считать метры и секунды. Такие дела.

Как перевести число в двоичную систему исчисления. Перевод чисел из десятичной системы двоичную и обратно

В одном из наших материалов мы рассмотрели определение . Оно имеет самый короткий алфавит. Только две цифры: 0 и 1. Примеры алфавитов позиционных систем счисления приведены в таблице.

Позиционные системы счисления

Название системы

Основание

Алфавит

Двоичная

Троичная

Четверичная

Пятеричная

Восьмеричная

Десятичная

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

Двенадцатеричная

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,А,В

Шестнадцатеричная

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,А,В,С,D,E,F

Тридцатишестиричная

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,А,В,С,D,E,F,G, H,I,J,K,L,M,N,O,P,R,S,T,U,V,X,Y,Z

Для перевода небольшого числа из десятичного в двоичное, и обратно, лучше пользоваться следующей таблицей.

Таблица перевода десятичных чисел от 0 до 20 в двоичную систему счисления.

десятичное

число

двоичное число

десятичное

число

двоичное число

Однако таблица получится огромной, если записать туда все числа. Искать среди них нужное число будет уже сложнее. Гораздо проще запомнить несколько алгоритмов перевода чисел из одной позиционной системы счисления в другую.

Как сделать перевод из одной системы счисления в другую? В информатике существует несколько простых способов перевода десятичных чисел в двоичные числа. Рассмотрим два из них.

Способ №1.

Допустим, требуется перевести число 637 десятичной системы в двоичную систему.

Делается это следующим образом: отыскивается максимальная степень двойки, чтобы два в этой степени было меньше или равно исходному числу.

В нашем случае это 9, т.к. 2 9 =512 , а 2 10 =1024 , что больше нашего начального числа. Таким образом, мы получили число разрядов результата. Оно равно 9+1=10. Значит, результат будет иметь вид 1ххххххххх, где вместо х может стоять 1 или 0.

Найдем вторую цифру результата. Возведем двойку в степень 9 и вычтем из исходного числа: 637-2 9 =125. Затем сравниваем с числом 2 8 =256 . Так как 125 меньше 256, то девятый разряд будет 0, т.е. результат уже примет вид 10хххххххх.

2 7 =128 > 125 , значит и восьмой разряд будет нулём.

2 6 =64 , то седьмой разряд равен 1. 125-64=61 Таким образом, мы получили четыре старших разряда и число примет вид 10011ххххх.

2 5 =32 и видим, что 32

2 4 =16 — пятый разряд 1 => 1001111ххх. Остаток 29-16=13.

2 3 =8 => 10011111хх. 13-8=5

2 2 =4 => 10011111хх, остаток 5-4=1.

2 1 =2 > 1 => 100111110х, остаток 2-1=1.

2 0 =1 => 1001111101.

Это и будет конечный результат.

Способ №2.

Правило перевода целых десятичных чисел в двоичную систему счисления, гласит:

  1. Разделим a n−1 a n−2 …a 1 a 0 =a n−1 ⋅2 n−1 +a n−2 ⋅2 n−2 +…+a 0 ⋅2 0 на 2.
  2. Частное будет равно an−1 ⋅2n−2+…+a1 , а остаток будет равен
  3. Полученное частное опять разделим на 2, остаток от деления будет равен a1.
  4. Если продолжить этот процесс деления, то на n-м шаге получим набор цифр: a 0 ,a 1 ,a 2 ,…,a n−1 , которые входят в двоичное представление исходного числа и совпадают с остатками при его последовательном делении на 2.
  5. Таким образом, для перевода целого десятичного числа в двоичную систему счисления нужно последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на 2 до тех пор, пока не получим частное, которое будет равно нулю.

Исходное число в двоичной системе счисления составляется последовательной записью полученных остатков. Записывать его начинаем с последнего найденного.

Переведём десятичное число 11 в двоичную систему счисления. Рассмотренную выше последовательность действий (алгоритм перевода) можно изобразить так:

Получили 11 10 =1011 2 .

Пример:

Если десятичное число достаточно большое, то более удобен следующий способ записи рассмотренного выше алгоритма:


363 10 =101101011 2

1. Порядковый счет в различных системах счисления.

В современной жизни мы используем позиционные системы счисления, то есть системы, в которых число, обозначаемое цифрой, зависит от положения цифры в записи числа. Поэтому в дальнейшем мы будем говорить только о них, опуская термин «позиционные».

Для того чтобы научиться переводить числа из одной системы в другую, поймем, как происходит последовательная запись чисел на примере десятичной системы.

Поскольку у нас десятичная система счисления, мы имеем 10 символов (цифр) для построения чисел. Начинаем порядковый счет: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Цифры закончились. Мы увеличиваем разрядность числа и обнуляем младший разряд: 10. Затем опять увеличиваем младший разряд, пока не закончатся все цифры: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. Увеличиваем старший разряд на 1 и обнуляем младший: 20. Когда мы используем все цифры для обоих разрядов (получим число 99), опять увеличиваем разрядность числа и обнуляем имеющиеся разряды: 100. И так далее.

Попробуем сделать то же самое в 2-ной, 3-ной и 5-ной системах (введем обозначение для 2-ной системы, для 3-ной и т.д.):

0 0 0 0
1 1 1 1
2 10 2 2
3 11 10 3
4 100 11 4
5 101 12 10
6 110 20 11
7 111 21 12
8 1000 22 13
9 1001 100 14
10 1010 101 20
11 1011 102 21
12 1100 110 22
13 1101 111 23
14 1110 112 24
15 1111 120 30

Если система счисления имеет основание больше 10, то нам придется вводить дополнительные символы, принято вводить буквы латинского алфавита. Например, для 12-ричной системы кроме десяти цифр нам понадобятся две буквы ( и ):

0 0
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
7 7
8 8
9 9
10
11
12 10
13 11
14 12
15 13

2.Перевод из десятичной системы счисления в любую другую.

Чтобы перевести целое положительное десятичное число в систему счисления с другим основанием, нужно это число разделить на основание. Полученное частное снова разделить на основание, и дальше до тех пор, пока частное не окажется меньше основания. В результате записать в одну строку последнее частное и все остатки, начиная с последнего.

Пример 1. Переведем десятичное число 46 в двоичную систему счисления.

Пример 2. Переведем десятичное число 672 в восьмеричную систему счисления.

Пример 3. Переведем десятичное число 934 в шестнадцатеричную систему счисления.

3. Перевод из любой системы счисления в десятичную.

Для того, чтобы научиться переводить числа из любой другой системы в десятичную, проанализируем привычную нам запись десятичного числа.
Например, десятичное число 325 – это 5 единиц, 2 десятка и 3 сотни, т.е.

Точно так же обстоит дело и в других системах счисления, только умножать будем не на 10, 100 и пр., а на степени основания системы счисления. Для примера возьмем число 1201 в троичной системе счисления. Пронумеруем разряды справа налево начиная с нуля и представим наше число как сумму произведений цифры на тройку в степени разряда числа:

Это и есть десятичная запись нашего числа, т. е.

Пример 4. Переведем в десятичную систему счисления восьмеричное число 511.

Пример 5. Переведем в десятичную систему счисления шестнадцатеричное число 1151.

4. Перевод из двоичной системы в систему с основанием «степень двойки» (4, 8, 16 и т.д.).

Для преобразования двоичного числа в число с основанием «степень двойки» необходимо двоичную последовательность разбить на группы по количеству цифр равному степени справа налево и каждую группу заменить соответствующей цифрой новой системы счисления.

Например, Переведем двоичное 1100001111010110 число в восьмеричную систему. Для этого разобьем его на группы по 3 символа начиная справа (т.к. ), а затем воспользуемся таблицей соответствия и заменим каждую группу на новую цифру:

Таблицу соответствия мы научились строить в п.1.

0 0
1 1
10 2
11 3
100 4
101 5
110 6
111 7

Т. е.

Пример 6. Переведем двоичное 1100001111010110 число в шестнадцатеричную систему.

0 0
1 1
10 2
11 3
100 4
101 5
110 6
111 7
1000 8
1001 9
1010 A
1011 B
1100 C
1101 D
1110 E
1111 F

5.Перевод из системы с основанием «степень двойки» (4, 8, 16 и т.д.) в двоичную.

Этот перевод аналогичен предыдущему, выполненному в обратную сторону: каждую цифру мы заменяем группой цифр в двоичной системе из таблицы соответствия.

Пример 7. Переведем шестнадцатеричное число С3A6 в двоичную систему счисления.

Для этого каждую цифру числа заменим группой из 4 цифр (т.к. ) из таблицы соответствия, дополнив при необходимости группу нулями вначале:

Сдающим ЕГЭ и не только…

Странно, что в школах на уроках информатики обычно показывают ученикам самый сложный и неудобный способ перевода чисел из одной системы в другую. Это способ заключается в последовательном делении исходного числа на основание и сборе остатков от деления в обратном порядке.

Например, нужно перевести число 810 10 в двоичную систему:

Результат записываем в обратном порядке снизу вверх. Получается 81010 = 11001010102

Если нужно переводить в двоичную систему довольно большие числа, то лестница делений приобретает размер многоэтажного дома. И как тут собрать все единички с нулями и ни одной не пропустить?

В программу ЕГЭ по информатике входят несколько задач, связанных с переводом чисел из одной системы в другую. Как правило, это преобразование между 8- и 16-ричными системами и двоичной. Это разделы А1, В11. Но есть и задачи с другими системами счисления, как например, в разделе B7.

Для начала напомним две таблицы, которые хорошо бы знать наизусть тем, кто выбирает информатику своей дальнейшей профессией.

Таблица степеней числа 2:

2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 7 2 8 2 9 2 10
2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024

Она легко получается умножением предыдущего числа на 2. Так, что если помните не все эти числа, остальные нетрудно получить в уме из тех, которые помните.

Таблица двоичных чисел от 0 до 15 c 16-ричным представлением:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

Недостающие значения тоже нетрудно вычислить, прибавляя по 1 к известным значениям.

Перевод целых чисел

Итак, начнем с перевода сразу в двоичную систему. Возьмём то же число 810 10 . Нам нужно разложить это число на слагаемые, равные степеням двойки.

  1. Ищем ближайшую к 810 степень двойки, не превосходящую его. Это 2 9 = 512.
  2. Вычитаем 512 из 810, получаем 298.
  3. Повторим шаги 1 и 2, пока не останется 1 или 0.
  4. У нас получилось так: 810 = 512 + 256 + 32 + 8 + 2 = 2 9 + 2 8 + 2 5 + 2 3 + 2 1 .
Далее есть два способа, можно использовать любой из них. Как легко увидеть, что в любой системе счисления её основание всегда 10. Квадрат основания всегда будет 100, куб 1000. То есть степень основания системы счисления — это 1 (единица), и за ней столько нулей, какова степень.

Способ 1 : Расставить 1 по тем разрядам, какие получились показатели у слагаемых. В нашем примере это 9, 8, 5, 3 и 1. В остальных местах будут стоять нули. Итак, мы получили двоичное представление числа 810 10 = 1100101010 2 . Единицы стоят на 9-м, 8-м, 5-м, 3-м и 1-м местах, считая справа налево с нуля.

Способ 2 : Распишем слагаемые как степени двойки друг под другом, начиная с большего.

810 =

А теперь сложим эти ступеньки вместе, как складывают веер: 1100101010 .

Вот и всё. Попутно также просто решается задача «сколько единиц в двоичной записи числа 810?».

Ответ — столько, сколько слагаемых (степеней двойки) в таком его представлении. У 810 их 5.

Теперь пример попроще.

Переведём число 63 в 5-ричную систему счисления. Ближайшая к 63 степень числа 5 — это 25 (квадрат 5). Куб (125) будет уже много. То есть 63 лежит между квадратом 5 и кубом. Тогда подберем коэффициент для 5 2 . Это 2.

Получаем 63 10 = 50 + 13 = 50 + 10 + 3 = 2 * 5 2 + 2 * 5 + 3 = 223 5 .

Ну и, наконец, совсем лёгкие переводы между 8- и 16-ричными системами. Так как их основанием является степень двойки, то перевод делается автоматически, просто заменой цифр на их двоичное представление. Для 8-ричной системы каждая цифра заменяется тремя двоичными разрядами, а для 16-ричной четырьмя. При этом все ведущие нули обязательны, кроме самого старшего разряда.

Переведем в двоичную систему число 547 8 .

547 8 = 101 100 111
5 4 7

Ещё одно, например 7D6A 16 .

7D6A 16 = (0)111 1101 0110 1010
7 D 6 A

Переведем в 16-ричную систему число 7368. Сначала цифры запишем тройками, а потом поделим их на четверки с конца: 736 8 = 111 011 110 = 1 1101 1110 = 1DE 16 . Переведем в 8-ричную систему число C25 16 . Сначала цифры запишем четвёрками, а потом поделим их на тройки с конца: C25 16 = 1100 0010 0101 = 110 000 100 101 = 6045 8 . Теперь рассмотрим перевод обратно в десятичную. Он труда не представляет, главное не ошибиться в расчётах. Раскладываем число на многочлен со степенями основания и коэффициентами при них. Потом всё умножаем и складываем. E68 16 = 14 * 16 2 + 6 * 16 + 8 = 3688 . 732 8 = 7 * 8 2 + 3*8 + 2 = 474 .

Перевод отрицательных чисел

Здесь нужно учесть, что число будет представлено в дополнительном коде. Для перевода числа в дополнительный код нужно знать конечный размер числа, то есть во что мы хотим его вписать — в байт, в два байта, в четыре. Старший разряд числа означает знак. Если там 0, то число положительное, если 1, то отрицательное. Слева число дополняется знаковым разрядом. Беззнаковые (unsigned) числа мы не рассматриваем, они всегда положительные, а старший разряд в них используется как информационный.

Для перевода отрицательного числа в двоичный дополнительный код нужно перевести положительное число в двоичную систему, потом поменять нули на единицы и единицы на нули. Затем прибавить к результату 1.

Итак, переведем число -79 в двоичную систему. Число займёт у нас один байт.

Переводим 79 в двоичную систему, 79 = 1001111. Дополним слева нулями до размера байта, 8 разрядов, получаем 01001111. Меняем 1 на 0 и 0 на 1. Получаем 10110000. К результату прибавляем 1, получаем ответ 10110001 . Попутно отвечаем на вопрос ЕГЭ «сколько единиц в двоичном представлении числа -79?». Ответ — 4.

Прибавление 1 к инверсии числа позволяет устранить разницу между представлениями +0 = 00000000 и -0 = 11111111. В дополнительном коде они будут записаны одинаково 00000000.

Перевод дробных чисел

Дробные числа переводятся способом, обратным делению целых чисел на основание, который мы рассмотрели в самом начале. То есть при помощи последовательного умножения на новое основание с собиранием целых частей. Полученные при умножении целые части собираются, но не участвуют в следующих операциях. Умножаются только дробные. Если исходное число больше 1, то целая и дробная части переводятся отдельно, потом склеиваются.

Переведем число 0,6752 в двоичную систему.

0 ,6752
*2
1 ,3504
*2
0 ,7008
*2
1 ,4016
*2
0 ,8032
*2
1 ,6064
*2
1 ,2128

Процесс можно продолжать долго, пока не получим все нули в дробной части или будет достигнута требуемая точность. Остановимся пока на 6-м знаке.

Получается 0,6752 = 0,101011 .

Если число было 5,6752, то в двоичном виде оно будет 101,101011 .

Замечание 1

Если вы хотите перевести число из одной системы счисления в другую, то удобнее для начала перевести его в десятичную систему счисления, и уже только потом из десятичной перевести в любую другую систему счисления. 0 =61440 + 3840 + 160 + 2 = 65442_{10}$

Правила перевода чисел из десятичной системы счисления в другую

  • Для перевода числа из десятичной системы счисления в двоичную его необходимо последовательно делить на $2$ до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный $1$. Число в двоичной системе представить как последовательность последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

Пример 4

Число $22_{10}$ перевести в двоичную систему счисления.

Решение:

Рисунок 4.

$22_{10} = 10110_2$

  • Для перевода числа из десятичной системы счисления в восьмеричную его необходимо последовательно делить на $8$ до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный $7$. Число в восьмеричной системе счисления представить как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

Пример 5

Число $571_{10}$ перевести в восьмеричную систему счисления.

Решение:

Рисунок 5.

$571_{10} = 1073_8$

  • Для перевода числа из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную систему его необходимо последовательно делить на $16$ до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный $15$. Число в шестнадцатеричной системе представить как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

Пример 6

Число $7467_{10}$ перевести в шестнадцатеричную систему счисления.

Решение:

Рисунок 6.

$7467_{10} = 1D2B_{16}$

    Для того чтобы перевести правильную дробь из десятичной системы счисления в недесятичную, необходимо дробную часть преобразуемого числа последовательно умножить на основание той системы, в которую ее требуется перевести. Дробь в новой системе будет представлена в виде целых частей произведений, начиная с первого.

    Например: $0,3125_{(10)}$ в восьмеричной системе счисления будет выглядеть как $0,24_{(8)}$.

    В данном случае можно столкнуться с проблемой, когда конечной десятичной дроби может соответствовать бесконечная (периодическая) дробь в недесятичной системе счисления. В данном случае количество знаков в дроби, представленной в новой системе, будет зависеть от требуемой точности. Также нужно отметить, что целые числа остаются целыми, а правильные дроби — дробями в любой системе счисления.

Правила перевода чисел из двоичной системы счисления в другую

  • Чтобы перевести число из двоичной системы счисления в восьмеричную, его необходимо разбить на триады (тройки цифр), начиная с младшего разряда, в случае необходимости дополнив старшую триаду нулями, затем каждую триаду заменить соответствующей восьмеричной цифрой согласно таблице 4.

Рисунок 7. Таблица 4

Пример 7

Число $1001011_2$ перевести в восьмеричную систему счисления.

Решение . Используя таблицу 4, переведем число из двоичной системы счисления в восьмеричную:

$001 001 011_2 = 113_8$

  • Чтобы перевести число из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную, его следует разбить на тетрады (четверки цифр), начиная с младшего разряда, в случае необходимости дополнив старшую тетраду нулями, затем каждую тетраду заменить соответствующей восьмеричной цифрой согласно таблице 4.

Цели урока:

  • повторить изученный материал по теме система счисления;
  • научится переводить число из десятичной системы в любую другую позиционную систему счисления и наоборот;
  • освоить принципы перевода чисел из одной системы в другую;
  • развивать логическое мышление.

Ход урока

Вначале урока краткое повторение и проверка домашнего задания..

В каком виде представлена числовая информация в памяти компьютера?

Для чего используются системы счисления?

Какие виды систем счисления вы знаете? Привести свои примеры.

Чем отличаются позиционные системы от непозиционных?.

Цель нашего урока научится переводить число из десятичной системы в любую другую позиционную систему счисления и наоборот. Но в начале мы рассмотрим, как можно

представить любое целое неотрицательное чисело:

В позиционных системах значение записи целого числа определяется по следующему правилу: пусть a n a n-1 a n-2 …a 1 a 0 — запись числа A, а i – цифры, тогда

где p — целое число большее 1, которое называется основанием системы счисления

Для того, чтобы при заданном p любое неотрицательное целое число можно было бы записать по формуле (1) и притом единственным образом, числовые значения различных цифр должны быть различными целыми числами, принадлежащими отрезку от 0 до p-1.

1) Десятичная система

цифры: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

число 5735 = 5·10 3 +7·10 2 +3·10 1 +8·10 0

2) Троичная система

цифры: 0,1,2

число 201 3 = 2·3 2 +0·3 1 +1·3 0

Замечание: нижним индексом в записи числа обозначается основание системы счисления, в которой записано число. Для десятичной системы счисления индекс можно не писать.

Представление отрицательных и дробных чисел:

Во всех позиционных системах для записи отрицательных чисел так же как и в десятичной системе используется знак ‘–‘. Для отделения целой части числа от дробной используется запятая. Значение записи a n a n-1 a n-2 …a 1 a 0 , a -1 a -2 …a m-2 a m-1 a m числа A определяется по формуле, являющейся обобщением формулы (1):

75,6 = 7·10 1 +5·10 0 +6·10 –1

–2,314 5 = –(2·5 0 +3·5 –1 +1·5 –2 +4·5 –3)

Перевод чисел из произвольной системы счисления в десятичную:

Следует понимать, что при переводе числа из одной системы счисления в другую количественное значение числа не изменяется, а меняется только форма записи числа, так же как при переводе названия числа, например, с русского языка на английский.

Перевод чисел из произвольной системы счисления в десятичную выполняется непосредственным вычислением по формуле (1) для целых и формуле (2) для дробных чисел.

Перевод чисел из десятичной системы счисления в произвольную.

Перевести число из десятичной системы в систему с основанием p – значит найти коэффициенты в формуле (2). Иногда это легко сделать простым подбором. Например, пусть нужно перевести число 23,5 в восьмеричную систему. Нетрудно заметить, что 23,5 = 16+7+0,5 = 2·8+7+4/8 = 2·8 1 +7·8 0 +4·8 –1 =27,48. Понятно, что не всегда ответ столь очевиден. В общем случае применяется способ перевода отдельно целой и дробной частей числа.

Для перевода целых чисел применяется следующий алгоритм (полученный на основании формулы (1)):

1. Найдем частное и остаток от деления числа на p. Остаток будет очередной цифрой ai (j=0,1,2 …) записи числа в новой системе счисления.

2. Если частное равно нулю, то перевод числа закончен, иначе применяем к частному пункт 1.

Замечание 1. Цифры ai в записи числа нумеруются справа налево.

Замечание 2. Если p>10, то необходимо ввести обозначения для цифр с числовыми значениями, большими или равными 10.

Перевести число 165 в семеричную систему счисления.

165:7 = 23 (остаток 4) => a 0 = 4

23:7 = 3 (остаток 2) => a 1 = 2

3:7 = 0 (остаток 3) => a 2 = 3

Выпишем результат: a 2 a 1 a 0 , т.е. 3247.

Выполнив проверку по формуле (1), убедимся в правильности перевода:

3247=3·7 2 +2·7 1 +4·7 0 =3·49+2·7+4 = 147+14+4 = 165.

Для перевода дробных частей чисел применяется алгоритм, полученный на основании формулы (2):

1. Умножим дробную часть числа на p.

2. Целая часть результата будет очередной цифрой am (m = –1,–2, –3 …) записи числа в новой системе счисления. Если дробная часть результата равна нулю, то перевод числа закончен, иначе применяем к ней пункт 1.

Замечание 1. Цифры a m в записи числа располагаются слева направо в порядке возрастания абсолютного значения m.

Замечание 2. Обычно количество дробных разрядов в новой записи числа ограничивается заранее. Это позволяет выполнить приближенный перевод с заданной точностью. В случае бесконечных дробей такое ограничение обеспечивает конечность алгоритма.

Перевести число 0,625 в двоичную систему счисления.

0,625·2 = 1,25 (целая часть 1) => a -1 =1

0,25·2 = 0,5 (целая часть 0) => a- 2 = 0

0,5·2 = 1,00 (целая часть 1) => a- 3 = 1

Итак, 0,62510 = 0,1012

Выполнив проверку по формуле (2), убедимся в правильности перевода:

0,1012=1·2 -1 +0·2- 2 +1·2 -3 =1/2+1/8 = 0,5+0,125 = 0,625.

Перевести число 0,165 в четверичную систему счисления, ограничившись четырьмя четверичными разрядами.

0,165·4 = 0,66 (целая часть 0) => a -1 =0

0,66·4 = 2,64 (целая часть 2) => a -2 = 2

0,64·4 = 2,56 (целая часть 2) => a -3 = 2

0,56·4 = 2,24 (целая часть 2) => a -4 = 2

Итак, 0,16510 ” 0,02224

Выполним обратный перевод, чтобы убедиться, что абсолютная погрешность не превышает 4–4:

0,02224 = 0·4 -1 +2·4 -2 +2·4 -3 +2·4 -4 = 2/16+2/64+2/256 = 1/8+1/32+1/128 = 21/128 = 0,1640625

|0,1640625–0,165| = 0,00094

Перевод чисел из одной произвольной системы в другую

В этом случае сначала следует выполнить перевод числа в десятичную систему, а затем из десятичной в требуемую.

Особым способом выполняется перевод чисел для систем с кратными основаниями.

Пусть p и q – основания двух систем счисления. Будем называть эти системы системами счисления с кратными основаниями, если p = qn или q = pn, где n – натуральное число. Так, например, системы счисления с основаниями 2 и 8 являются системами счисления с кратными основаниями.

Пусть p = qn и требуется перевести число из системы счисления с основанием q в систему счисления с основанием p. Разобьем целую и дробную части записи числа на группы по n последовательно записанных цифр влево и вправо от запятой. Если количество цифр в записи целой части числа не кратно n, то надо дописать слева соответствующее количество нулей. Если количество цифр в записи дробной части числа не кратно n, то нули дописываются справа. Каждая такая группа цифр числа в старой системе счисления будет соответствовать одной цифре числа в новой системе счисления.

Переведем 1100001,111 2 в четверичную систему счисления.

Дописав нули и выделив пары цифр, получим 01100001,11102.

Теперь выполним перевод отдельно каждой пары цифр, пользуясь пунктом Перевод чисел из одной произвольной системы в другую.

Итак, 1100001,1112 = 01100001,11102 = 1201,324.

Пусть теперь требуется выполнить перевод из системы с большим основанием q, в систему с меньшим основанием p, т.е. q = p n . В этом случае одной цифре числа в старой системе счисления соответствует n цифр числа в новой системе счисления.

Пример: Выполним проверку предыдущего перевода числа.

1201,324 = 1100001,11102=1100001,1112

В шестнадцатеричной системе есть цифры с числовыми значениями 10,11,12, 13,14,15. Для их обозначения используют первые шесть букв латинского алфавита A, B, C, D, E, F.

Приведем таблицу чисел от 0 до 16, записанных в системах счисления с основаниями 10, 2, 8 и 16.

Число в десятичной системе счисления 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
В восьмеричной 0 1 2 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14 15 16 17 20
В двоичной 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 10000
В шестнадцатеричной 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10

Для записи шестнадцатеричных цифр можно использовать также строчные латинские буквы a-f.

Пример: Переведем число 110101001010101010100,11 2 в шестнадцатеричную систему счисления.

Воспользуемся кратностью оснований систем счисления (16=2 4). Сгруппируем цифры по четыре, дописав, слева и справа нужное количество нулей

000110101001010101010100,1100 2

и, сверяясь с таблицей, получим: 1A9554,C 16

Вывод:

В какой системе счисления лучше записывать числа – это вопрос удобства и традиций. С технической точки зрения, в ЭВМ удобно использовать двоичную систему, так как в ней для записи числа используются только две цифры 0 и 1, которые можно представить двумя легко различимыми состояниями “нет сигнала ” и “есть сигнал”.

А человеку, напротив, неудобно иметь дело с двоичными записями чисел из-за того, что они более длинные, чем десятичные и в них много повторяющихся цифр. Поэтому, при необходимости работать с машинными представлениями чисел используют восьмеричную или шестнадцатеричную системы счисления. Основания этих систем – целые степени двойки, и поэтому числа легко переводятся из этих систем в двоичную и обратно.

Записываем задание на дом:

а) Запишите дату рождения всех членов вашей семьи в различных системах счисления.

б) Переведите числа из двоичной системы в восьмеричную и шестнадцатеричную, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы:

а) 1001111110111,011 2 ;

Facebook

Twitter

Вконтакте

Одноклассники

Google+

binary – phrases – Multitran dictionary

EnglishRussian
be coded into a binary numberкодироваться в двоичном коде
binaryдвоякий
binaryдвоично-рациональный
binaryдвоичная цифра
binaryдвухместный
binaryдихотомический (binary variable Ellisa)
binary alphabetдвухсимвольный алфавит (стандартный)
binary alphabetдвоичный алфавит
binary approximationбинарное приближение
binary axisбинарная ось
binary baseоснование двоичной системы счисления
binary chainпоследовательность двоичных знаков (цепочка)
binary choiceдвоичный выбор (парный)
binary codeдвоичный код
binary codedдвоично-десятичный
binary coded decimal notationдвоично-десятичный код
binary coded representationпредставление в двоичном коде
binary collectionдвоичная совокупность
binary comparisonдвоичное сравнение
binary connectionбинарная связь
binary connectiveбинарная связка
binary correlationдвойная корреляция (бинарная)
binary correspondenceбинарное соответствие
binary coveringбинарное покрытие
binary cubicбикубическое уравнение
binary dataдихотомическая переменная
binary dataдвоичная переменная
binary-decade counterдвоично-десятичный счётчик
binary decisionальтернативное решение
binary designбинарный план
binary detectionдвоичное обнаружение
binary diffusion coefficientкоэффициент бинарной диффузии
binary diffusion coefficientбинарный коэффициент диффузии
binary digit bitдвоичный разряд
binary dividerдвоичное делительное устройство
binary dividerдвоичный делитель
binary divisionпарное деление
binary equationбинарное уравнение
binary erasure channelдвоичный стирающий канал
binary eventбинарное событие
binary expansionдвоичное разложение
binary experimentбинарный эксперимент
binary fanбинарный веер
binary fieldбинарное поле
binary functionдвуместная функция
binary functionбинарная функция
binary functional calculusбинарное исчисление предикатов
binary functional calculusбинарное функциональное исчисление
binary functional calculus of first orderбинарное функциональное исчисление первого порядка (ssn)
binary functorбинарный функтор
binary gratingбинарная решётка
binary groupбинарная группа
binary imageдвоичное изображение
binary inhibitory junctionбинарное тормозящее соединение
binary intervalдвоичный интервал
binary inversionинверсия двоичных цифр
binary latticeдвоичная решётка
binary Lie algebraбинарно лиева алгебра
binary logarithmлогарифм при основании два
binary logistic regressionбинарная логистическая регрессия
binary longitudinal dataбинарные продольные данные
binary machineбинарная машина
binary matrixбинарная матрица
binary matroidбинарный матроид
binary mixingдвойное перемешивание
binary noiseдвоичный шум
binary notationдвоичное представление (числа)
binary notationпредставление в двоичной системе (чисел)
binary numberдвоичная цифра
binary operationоперация с двоичными числами
binary operationдействие с двумя величинами
binary paramodulantбинарный парамодулянт
binary partitionдвоичное разбиение
binary polynomialдвоичный многочлен
binary populationбинарная совокупность
binary poweringдвоичное возведение в степень
binary predicateдвуместный предикат
binary problemбинарная задача
binary processбинарный процесс
binary productбинарное произведение
binary quadraticквадратное уравнение с двумя неизвестными
binary quanticформа от двух переменных
binary quarticуравнение четвёртого порядка от двух переменных
binary recognitionбинарное опознавание
binary regressionбинарная регрессия
binary relationдвухчленное отношение
binary relationдвоичное отношение
binary relationбинарное отношение
binary relational systemсистема с бинарными отношениями
binary representationдвоичное представление
binary resolventбинарная резольвента
binary responseдихотомический отклик
binary response modelмодель бинарной модели
binary ringдвоичное счётное кольцо
binary search methodметод двоичного поиска
binary search treeдвоичное дерево поиска
binary search treeбинарное дерево поиска
binary search treeдерево двоичного поиска
binary sexticуравнение шестой степени с двумя переменными
binary situationдихотомическая ситуация
binary splittingбинарное разделение
binary statisticбинарная статистика
binary storageдвоичное запоминающее устройство
binary symmetric channelдвоичный симметричный канал
binary symmetryдвойная симметрия
binary synchronous communicationsдвоичная синхронная связь
binary to analog conversionперевод из двоичной формы в аналоговую
binary-to-decimal converterпреобразователь двоичных чисел в десятичные
binary to octalперевод из двоичной системы в восьмеричную
binary transferдвоичная передача информации
binary tree searchingпоиск по бинарному дереву (alexeyaxim)
binary trinomialдвоичный трёхчлен
binary variableдихотомическая переменная (Vishera)
binary variableдвоичные данные
binary vectorбинарный вектор
category of binary relationsкатегория бинарных отношений
chinese binary codeпоколонный двоичный код
cubic binary formкубичная форма от двух переменных
cubic binary quanticкубическая форма от двух переменных
cubic binary quanticкубичная форма от двух переменных
decimal point or binary pointзапятая
equivalent binary digitдвоичный эквивалент основания системы счисления
extended binary coded decimal interchange codeкод ДКОИ
pure binaryпростой двоичный
reflected binary codeотражённый двоичный код
the binary numeration system has the advantage of having only two digit symbols but it also has a disadvantage of using many more digits. ..обладать преимуществом (недостатком)
uniform binary searchоднородный бинарный поиск (alexeyaxim)

ДВОИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ | ИЗ ИСТОРИИ ТЕХНОЛОГИЙ И НЕ ТОЛЬКО



ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ

Системой счисления называется совокупность приёмов обозначения чисел, алфавитом которого являются символы (цифры), а синтаксисом — правило, позволяющее сформулировать запись чисел однозначно. Запись числа в некоторой системе счисления называется кодом числа.

Отдельную позицию в изображении числа принято называть разрядом, а номер позиции — номером разряда. Число разрядов в записи числа называется разрядностью и совпадает с его длиной.

Число — 1 0 0 1 0 1 1 0 1

Разряд — 8 7 6 5 4 3 2 1 0

Порядковому номеру разряда соответствует его вес — множитель, на который надо умножить значение разряда в данной системе счисления.


ПРИМЕРЫ


число 111 в десятичной системе:

число 101110 в двоичной системе:

равно 46 в десятичной системе


Основанием системы счисления называется количество различных символов (цифр), используемых в каждом из разрядов числа для его изображения в данной системе счисления.

Двоичная: 0,1 (основание = 2)
Десятичная: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 (основание = 10)
Шестнадцатеричная: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F (основании = 16)


Различают позиционные и непозиционные системы счисления.

Непозиционные — которые содержат неограниченное количество символов, причём количественный эквивалент любой цифры постоянен, и зависит только от её начертания. Позиция цифр в числе значения не имеет.

Пример:

I = 1
II = 2
III = 3
XXXI = 31


Позиционными называются системы счисления, алфавит которых содержит ограниченное количество символов, причём значение каждой цифры в числе определяется не только ее начертанием, но и находится в строгой зависимости от позиции в числе.

Пример:

111 = 100 + 10 + 1


ДВОИЧНАЯ СИСТЕМА


Под двоичной системой исчисления понимают систему счисления, в которой для изображения чисел используется 2 символа — 0 и 1. Двоичная система счисления является позиционной системой счисления с основанием 2. Таким образом, многоразразрядные числа в двоичной системе представляются как суммы различных степеней двойки. Если какой–либо разряд двоичного числа равен 1, то он называется значащим разрядом.

ПРАВИЛА ПЕРЕВОДА ИЗ ДЕСЯТИЧНОЙ СИСТЕМЫ В ДВОИЧНУЮ СИСТЕМУ


Чтобы перевести целое число из 10-ой в 2-ую систему нужно выполнить последовательное деление десятичного числа на 2 с округлением до целого числа в сторону уменьшения, записывая в столбик все результаты деления; затем возле каждого нечётного результата деления поставить 1, а возле чётного — 0. Полученное двоичное число записываем в строчку, начиная с нижней строчки правого столбца.

Например, необходимо перевести деятичное число 46 в двоичный вид:

получаем число 101110


ПРАВИЛА ДВОИЧНОГО СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ


СЛОЖЕНИЕ

0+0=0
0+1=1
1+0=1
1+1=10


Результат последнего действия означает перенос единицы в высший разряд. То есть для увеличения или уменьшения двоичного числа на порядок применяются операция сдвига вправо или влево (SRR и SRL).

СЛОЖЕНИЕ В СТОЛБИК



УМНОЖЕНИЕ




УМНОЖЕНИЕ В СТОЛБИК



ПРАВИЛА ПЕРЕВОДА ИЗ ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЫ В ДЕСЯТИЧНУЮ СИСТЕМУ


Для перевода необходимо разложить число по основанию системы счисления и посчитать результат.

Например, число 101110 в двоичной системе равно 46 в десятичной системе.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ


Для преобразования цифровых данных из десятичной системы в двоичную, а также для обратного перевода, применяются специальные устройства — шифраторы и дешифраторы. Как и другие узлы цифровых вычислителей, они реализуются на элементах цифровой логики.

ПРИМЕРЫ:



Частично использовались материалы:

А.Б. Гордин. ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ КИБЕРНЕТИКА. изд. Энергия, Москва, 1974.
Харьковский Национальный политехнический университет, http://khpi-iip.mipk.kharkiv.edu

двоичная арифметика

двоичная арифметика

binary arithmetic

основы арифметики — the rudiments of arithmetic

посделовательная арифметика — serial arithmetic

арифметика «с насыщением» — saturated arithmetic

арифметика действительных чисел — real arithmetic

арифметика остаточных классов — residue arithmetic

Русско-английский большой базовый словарь. 2014.

  • двоичный
  • двоичный вход

Look at other dictionaries:

  • Двоичная система — счисления это позиционная система счисления с основанием 2. В этой системе счисления натуральные числа записываются с помощью всего лишь двух символов (в роли которых обычно выступают цифры 0 и 1). Двоичная система используется в цифровых… …   Википедия

  • Двоичная система счисления — Эта статья или раздел нуждается в переработке. Пожалуйста, улучшите статью в соответствии с правилами написания статей …   Википедия

  • Бинарный код — Двоичная система счисления это позиционная система счисления с основанием 2. В этой системе счисления натуральные числа записываются с помощью всего лишь двух символов (в роли которых обычно выступают цифры 0 и 1). Двоичная система используется в …   Википедия

  • Двоичные числа — Двоичная система счисления это позиционная система счисления с основанием 2. В этой системе счисления натуральные числа записываются с помощью всего лишь двух символов (в роли которых обычно выступают цифры 0 и 1). Двоичная система используется в …   Википедия

  • двоичное исчисление — двоичная арифметика — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом Синонимы двоичная арифметика EN binary arithmetic …   Справочник технического переводчика

  • Битовые операции — Не следует путать с булевой функцией. Битовая операция в программировании  некоторые операции над цепочками битов. В программировании, как правило, рассматриваются лишь некоторые виды этих операций: логические побитовые операции и… …   Википедия

  • Архитектура компьютера — Для улучшения этой статьи желательно?: Добавить иллюстрации. Викифицировать статью. Архитектура вычислительной машины (Архитектура …   Википедия

  • Битовый сдвиг — Битовый сдвиг  изменение позиций битов в слове на одну и ту же величину. Большинство компьютеров не могут напрямую адресовать биты, которые содержатся группами по 8, 16, 32 или 64 битов в словах. Для обеспечения работы с битами существует… …   Википедия

  • ТЕОРЕТИКО-МНОЖЕСТВЕННАЯ ЛОГИКА — (теоретико множественная логика п р е д и к а т о в) – логика, трактуемая с т. зр. теории множеств. К Т. м. л. в широком с м ы с л е можно отнести любые интерпретации логич. исчислений, в основу к рых положено объемное, экстенсиональное понимание …   Философская энциклопедия

  • Кипу — Тип: иное Языки: кечуа, аймара (в царстве Кольа), пукина (?) …   Википедия

  • Битовая маска — Битовая маска  определённые данные, которые используются для маскирования  выбора отдельных битов или полей из нескольких битов из двоичной строки или числа. Применение Например, для получения значения пятого бита (считая слева) числа… …   Википедия

План конспект урока для 6 класса на тему «двоичное кодирование»

Класс: 6

Тема урока: Системы счисления. Двоичное кодирование числовой информации.

Цели и задачи урока:

Образовательная:

  • Расширить представление школьников о позиционных системах счисления.

  • Сформировать навыки двоичного кодирования целых десятичных чисел.

  • Повысить интерес к предмету.

Развивающая:

  • Развитие познавательного интереса, речи и внимания учащихся.

  • Формирование информационной компетентности.

Воспитательная:

  • Воспитание у учащихся интереса к предмету, доброжелательности, умения работать в коллективе.

Тип урока: комбинированный.

Методы и приёмы работы: беседа, наглядный, практический, частично-проблемный, технология индивидуализации обучения.

Оборудование: компьютерный класс, оснащенный современной техникой и лицензированным программным обеспечением, графический редактор Paint ,проектор.

Ход урока

1. Приветствие. Отметка присутствия. Мотивация.

2. Актуализация опорных знаний. В начале проведем самостоятельную работу по итогам 5 класса.

3. Объяснение нового материала.

Мотивация рассмотрения двоичной системы счисления

Учитель: В повседневной жизни мы используем десятичную систему счисления, а компьютерная техника – двоичную.

Люди предпочитают десятичную систему счисления вероятно потому, что с древних времен они считали по пальцам, а пальцев у людей по 10 на руках и ногах. Десятичная система счисления пришла к нам из Индии.
Для общения с ЭВМ используют, кроме десятичной, двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.
Из всех систем счисления особенно проста и поэтому интересна для технической реализации в компьютере двоичная система счисления.

В компьютере используют двоичную систему, потому что она имеет ряд преимуществ перед другими системами:

  • для её реализации нужны технические устройства с двумя устойчивыми состояниями,

  • представление информации с помощью только двух состояний надежно и помехоустойчиво,

  • двоичная арифметика намного проще десятичной

Учитель: Сегодня на уроке мы познакомимся с переводом целых чисел из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления.

Учащиеся записывают в тетрадь тему урока.

Историческая справка:

Учитель: Начиная со студенческих лет и до конца жизни великий европеец, немецкий ученый Вильгельм Готфрид Лейбниц (1646-1716), занимался исследованием свойств двоичной системы счисления. Он придавал ей некий мистический смысл и считал, что на ее базе можно создать универсальный язык для объяснения явлений мира и использования во всех науках, в том числе в философии.

Сохранилось изображение медали, нарисованное В. Лейбницем в 1697 г., поясняющее соотношение между двоичной и десятичной системами исчисления. На ней была изображена табличка из двух столбцов, в одном числа от 0 до 17 в десятичной системе, а в другом – те же числа в двоичной системе счисления. Вверху была надпись: «2,3,4,5 и т.д. Для получения их всех из нуля достаточно единицы». Внизу же гласила надпись: «Картина создания. Изобрёл ВГЛ. МDС XCYII».

Учитель: Рассмотрим 2 способа перевода десятичных чисел в двоичный код.

Учащиеся: записывают подзаголовок в тетради «1 способ – метод разностей».

Учитель: Любое десятичное число можно представить в виде суммы слагаемых ряда: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048… (каждое следующее число получается умножением предыдущего на 2) – акцентировать внимание на том, что каждый член ряда вдвое больше предыдущего.

Учащиеся: записывают числовой ряд в тетрадь.

Делается это методом разностей (пример из презентации учащиеся вместе с учителем записывают в тетрадь).

Учитель: Берем любое число, например 75.

Берем ближайшее к 75 число из записанного нами ряда, но не превосходящее его и составим разность:
75 – 64 = 11
Берем ближайшее число к полученной разности, не превосходящего ее и составим новую разность:
11 – 8 = 3
Аналогично:
3 – 2 = 1
В итоге получим:

75 = 64 + 8 + 2 + 1 = 1*64 + 0*32 + 0*16 + 1*8 + 0*4 + 1*2 + 1*1.

Учитель: В результате получаем представление числа 121 в двоичной системе счисления – представление с помощью двух чисел – 0 и 1.

75 10 = 10010112.

Учащиеся: записывают подзаголовок в тетради «2 способ».

Учитель: Второй способ основан на записи остатков от деления на 2 исходного числа и получаемых неполных частных. (выполняем деление данного числа и неполных частных на основании 2 двоичной системы счисления до тех пор, пока не получим частное, равное 0). – алгоритм перевода и пример записываем с учащимися в тетрадь.

Задание: выполним перевод числа 75 из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления. Учащиеся вместе с учителем поэтапно делают записи в тетрадь (деление уголком исходного числа и получаемых неполных частных, остатки от деления – 0 и 1 обводим или выделяем цветом).

Обязательно акцентировать внимание на том, что запись числа в двоичной системе счисления выполняется с конца, начиная с последнего частного = 1) – стрелка.

Учащиеся: записывают результат и сравнивают его с результатом перевода того же числа методом разностей.

 4. Закрепление нового материала.

Группе учеников по 3 или 4 чел выдается карточка с заданием. (Приложение 1). Необходимо перевести числа в двоичную систему счисления. Затем на компьютере, открыть рисунок «Динозавр» в графическом редакторе Paint и приступают к выполнению задания.

Задание :

  • Выполните перевод чисел из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления.

  • Запишите полученные значения в строке «результат».

  • Откройте в графическом редакторе PAINT файл «Динозавр» (Приложения: динозавр.bmp ) .

  • Закрасьте каждую часть рисунка цветом, соответствующим в таблице данному результату.

  • Если останется время, добавьте к рисунку дополнительные элементы на свое усмотрение. Работа на компьютере 5-7 мин.

Сравните полученные результаты с результатом на слайде (слайд 13, 14)

 

Учитель: Для общения с компьютером нужна двоичная (восьмеричная, шестнадцатеричная) система счисления. В каких (кроме компьютера) приборах (и не только) применяется двоичная система счисления? Оправдано ли это применение? (демонстрируются часы с двоичной системой счисления).

Время в двоичной системе.

Учитель: В Японии поступили в продажу необычные электронные часы, отображающие время в двоичной системе счисления. Выглядят часы также довольно необычно. Они заключены в круглый металлический корпус, однако вместо циферблата со стрелками или индикатора с цифрами под стеклом находится печатная плата зеленого цвета с резисторами, конденсаторами и расположенными в два ряда десятью светодиодами. Именно они и показывают время. Каждый из светодиодов соответствует двоичному разряду. В верхнем ряду имеются четыре диода, соответствующих числам от одного (20) до восьми (23) и показывающих часы. Нижний ряд из шести светодиодов (разряды от 1 до 32) показывает минуты. Чтобы получить нужное значение нужно сложить числа, соответствующие горящим светодиодам. Для удобства владельца рядом со светодиодами указаны числа, которым те соответствуют. Цена часов составляет 8900 иен или около 80 долларов США.

Как вы считаете, насколько оправдано использование двоичной системы счисления в данном случае? Обсуждение ответов учащихся.

5. Подведение итогов.

Рефлексия

Учитель: Продолжите, пожалуйста, предложения:

  1. сегодня я узнал…

  2. было интересно…

  3. было трудно…

  4. я выполнял задания…

  5. теперь я могу…

  6. я научился…

  7. у меня получилось …

 Запись домашнего задания.

§1.3

Приложение 1.

Число в десятичной СС

1

9

12

25

37

44

67

101

234

Результат

(число в двоичной СС)

Цвет на картинке

коричневый

фиолетовый

голубой

зеленый

серый

черный

розовый

оранжевый

салатовый


.

(PDF) Двоичное лямбда-исчисление и комбинаторная логика

[11] Гудмунд С. Франдсен и Карл Стертивант, Что такое эффективная реализация λ-исчисления?, Proc. ACM Conference on Functional Programming and Computer Architecture (J. Hughes, ed.), LNCS 523, 289–312,

1991.

[12] J. Steensgaard-Madsen, Типизированное представление объектов функциями,

ТОПЛАС 11-1, 67–89, 1989.

[13] НГ de Bruijn, Обозначение лямбда-исчисления с безымянными манекенами, инструмент

для автоматической обработки формул, Indagationes Mathematicae 34, 381–

392, 1972.

[14] Н.П. Барендрегт, Различение закодированных лямбда-терминов, в (A. Anderson and

M. Greeny eds.) Logic, Meaning and Computation, Kluwer, 275–285, 2001.

[15] Franois-Nicola Demers and Jacques Malenfant, Reflection in логическое, функциональное и объектно-ориентированное программирование: краткое сравнительное исследование, Proc.

IJCAI Workshop on Reflection and Metalevel Architectures and its Applications in AI, 29–38, 1995.

[16] Daniel P.Фридман, Митчелл Ванд и Кристофер Т. Хейнс, Основы

языков программирования — 2-е изд., MIT Press, 2001.

[17] Олег Мазонка и Даниэль Б. Кристофани, Очень короткий самоинтерпретатор,

http: //arxiv.org/html/cs.PL/0311032, 2003.

[18] Д. Хофштадтер, Гедель, Эшер, Бах: вечная золотая коса, Basic Books,

Inc., 1979.

[19] ] HP Барендрегт, Лямбда-исчисление, его синтаксис и семантика, исправленное издание

, Северная Голландия, Амстердам, 1984.

[20] Дж. Р. Кеннауэй и Дж. В. Клоп, М. Р. Слип и Ф. Дж. де Врис, Infinitary

Lambda Calculus, Theoretical Computer Science, 175(1), 93–125, 1997.

[21] Саймон Пейтон Джонс, Решение неловкой группы: монадический ввод/вывод, параллелизм

, исключения и вызовы на иностранных языках в Haskell, в «Engineering-

ing theory of Software Construction», изд. Тони Хоар, Манфред Брой, Ральф

Steinbruggen, IOS Press, 47–96, 2001.

[22] Домашняя страница Haskell, http://haskell. орг/.

[23] Домашняя страница Brainfuck, http://www.muppetlabs.com/~breadbox/bf/.

[24] Торбен Æ. Могенсен, Самоинтерпретация линейного времени чистой лямбды

Исчисление, вычисления высшего порядка и символьные вычисления 13(3), 217-237, 2000.

[25] Д.А. Тернер, Другой алгоритм абстракции скобок, J. Symbol . Logic

44(2), 267–270, 1979.

[26] JT Tromp, http://www.cwi.nl/~tromp/cl/cl.html, 2004.

19

Network Theory и дискретное исчисление — бинарное дерево — Phorgy Phynance

Этот пост является частью серии

До сих пор в этой серии мы затронули несколько приложений дискретного исчисления, но они все еще находились на довольно высоком уровне абстракции.В этом посте мы закладываем некоторые основы для некоторых очень конкретных приложений, которые позволят нам действительно начать вычисления.

Бинарное дерево

Особенно хорошим ориентированным графом со многими приложениями является бинарное дерево, часть которого показана ниже:

Узел в бинарном дереве помечен , где первое целое число обозначает «пространственное» положение, т. е. его положение в данный момент времени, а второе целое число обозначает «временное» положение.

Дискретные формы

Общая дискретная 0-форма бинарного дерева записывается как обычно

, где сумма вычисляется только по узлам бинарного дерева, а не по всем целым числам. Например, если есть в бинарном дереве, то и нет.

Из-за особой природы бинарного дерева общая дискретная 1-форма также может быть сведена к одной сумме по узлам, но двумя различными способами. Во-первых, мы можем сгруппировать ребра, направленные от заданного узла. Во-вторых, мы можем группировать ребра, направленные к данному узлу.

В первом случае мы можем написать

, который упоминается как форма левой компоненты , а во втором случае мы можем написать

, которая называется формой правого компонента . Это два эквивалентных способа выражения одной и той же общей дискретной 1-формы с

.

и

Чтобы понять, почему они называются лево- и правокомпонентными формами, обозначьте

.

и

и определить пару базисных 1-форм

и

Далее мы можем определить лево- и правокомпонентные 0-формы

и

соответственно, так что дискретная 1-форма может быть выражена в форме левой компоненты как

или эквивалентно в форме правого компонента как

Другими словами, лево- и правокомпонентные формы базисов позволяют нам выразить общую дискретную 1-форму через лево- или правокомпонентные дискретные 0-формы.

Дифференциалы

Внешняя производная общей дискретной 0-формы на бинарном дереве задается в форме левой компоненты как

Отсюда мы можем считать левые компоненты, которые обозначим как

.

и

так что

Точно так же правые компоненты задаются числом

.

и

так что

Некоммутативные координаты

Хотя, строго говоря, координаты (кроме меток узлов) не нужны для выполнения вычислений в дискретном исчислении, при сравнении с континуальным исчислением полезно ввести координатные 0-формы в двоичное дерево

, где пространственное расстояние между конечными точками направленного ребра на последовательных временных шагах, и

, где временной интервал между последовательными временными узлами.

В этом особом случае у нас есть

и

так что

и

Эти отношения можно инвертировать, что приведет к

и

так что

где

и

, и дискретное исчисление начинает напоминать континуальное исчисление.

Коммутационные отношения

Координаты и были названы выше «некоммутативными», потому что, хотя дискретные 0-формы коммутируют, т.е.е.

, вообще говоря, дискретные 0-формы и дискретные 1-формы не коммутируют. Прямые вычисления приводят к следующим коммутационным соотношениям

и

откуда следует, что

Отсюда можно рассмотреть два предела континуума, которые приводят к различным исчислениям. В первом мы могли бы установить

В этом случае все коммутационные отношения равны нулю и континуум также является коммутативным пределом, т. е.е. координаты коммутируют в этом пределе, и мы остаемся с обычным детерминированным исчислением континуума.

Во втором пределе мы могли бы установить

В этом случае второе и третье коммутационные соотношения исчезают, а первое остается

Этот предел порождает стохастическое исчисление (или его очень близкого родственника). Мотивированное этим дискретное исчисление на бинарном дереве при установке

, но сохранение конечности называется дискретным стохастическим исчислением .

Нравится:

Нравится Загрузка…

Родственные

[PDF] Двоичное лямбда-исчисление и комбинаторная логика

ПОКАЗАНЫ 1–10 ИЗ 28 ССЫЛОК

СОРТИРОВАТЬ ПОРелевантность Наиболее влиятельные статьиПоследние даты

чистого нетипизированного лямбда-исчисления возможно в том смысле, что интерпретация имеет постоянные накладные расходы по сравнению с прямым выполнением при различных… Expand

  • View 2 выдержки, ссылки на методы

Абстрактный синтаксис более высокого порядка

Абстрактный синтаксис более высокого порядка включает информация о привязке имен в унифицированном и общеязыковом виде и действует как мощная связь, объединяющая различные инструменты в программных манипуляциях и других формальных системах, где сопоставление и замена или унификация являются центральными операциями. Expand
  • Просмотр 1 выдержки, ссылки на методы

Очень короткий самоинтерпретатор

Очень короткий (возможно, самый короткий) самоинтерпретатор, основанный на упрощенном императивном языке, полном по Тьюрингу, который явно обрабатывает операторы языка, это означает, что интерпретатор составляет описание языка внутри того же самого языка. Expand
  • Посмотреть 1 отрывок, справочная информация

Что такое эффективная реализация λ-исчисления?

Утверждается, что любая реализация λисчисления должна иметь сложность Ω(ν), т.е.е. линейная нижняя граница, и показано, что реализации, основанные на комбинаторах Тернера или суперкомбинаторах Хьюза, имеют сложности 2, т.е. Развернуть

Типизированное представление объектов функциями

Предложено систематическое представление объектов, сгруппированных в типы, конструкциями, аналогичными составлению множеств в математике. Представление представлено лямбда-выражениями, которые поддерживают… Expand

  • Просмотр 1 выдержки, ссылки на методы

Другой алгоритм для абстракции скобок

Большая часть обозначений, используемых в логике и математике, может быть преобразована в следующий единый синтаксис. Термин является либо атомом (т. е. константой или переменной), либо имеет форму AB, где A и B… Expand

  • View 1 выдержка, справочная информация

Плоские бинарные деревья и пертурбативное исчисление наблюдаемых в классическом теория поля

[1] Адамс Р.А. Пространства Соболева // Pure Appl. Math., Academic Press, Нью-Йорк, 1975. | МР 450957 | Збл 0314.46030

[2] Банс Д., Унитарная квантовая теория поля на некоммутативном пространстве Минковского, hep-th/0212266v2.

[3] Brezis H., Analyze fonctionnelle, Masson, 1983. | МР 697382 | Збл 0511. 46001

[4] Броудер К., О деревьях квантовых полей, Eur. физ. J. C 12 (2000) 535-546, hep-th/91.

[5] Броудер С., Ряды Мясника и перенормировка, BIT 19 (2004) 714-741, hep-th/0003202. | МР 2106008

[6] Броудер К., Фрабетти А., Перенормировка КЭД с плоскими бинарными деревьями, Eur.физ. J. C 19 (2001) 714-741, hep-th/0003202. | Збл 1099.81568

[7] Duquesne T., Le Gall J.-F., Случайные деревья, процессы Леви и пространственные ветвящиеся процессы, Asterisque, vol. 281, 2002. | МР 1954248 | Збл 1037. 60074

[8] Фрабетти А., Симплициальные свойства множества плоских бинарных деревьев, J. Algebraic Combin. (1999). | МР 1817703 | Збл 0989.17001

[9] Грэм Р., Кнут Д., Паташник О., Конкретная математика. Фонд компьютерных наук, Аддисон-Уэсли, Нью-Йорк, 1989 г. | МР 1397498 | Збл 0668.00003

[10] Д. Харривел, Нелинейное управление и пертурбативное расширение с использованием плоских деревьев, 2005, в печати.

[11] Хелейн Ф., Гамильтоновы формализмы для многомерного вариационного исчисления и теории возмущений, Contemp. Мат. 350 (2004) 127-147. | МР 2082395 | Збл 1069.58011

[12] Элен Ф., Кунейхер Дж., Конечномерный гамильтонов формализм для калибровочной и квантовой теории поля, J. Math. физ. 43 (2002) 5. | МР 1893674 | Збл 1059.70019

[13] F. Hélein, J. Kouneiher, Общие мультисимплектические формализмы Лепажа-Дедекера, Adv. Теор. Мат. физ. (2004), в печати.

[14] Ициксон К., Зубер Дж.-Б., Квантовая теория поля, McGraw-Hill International Book Co., Нью-Йорк, 1980. | МР 585517

[15] Kijowski J., Конечномерный канонический формализм в классических теориях поля, Comm. Мат. физ. 30 (1973) 99-128. | МР 334772

[16] Ле Галл Дж.-F., Пространственные ветвящиеся процессы, случайные змеи и уравнения с частными производными, Биркхойзер, Бостон, 1999. | МР 1714707 | Збл 0938. 60003

[17] Рудин В., Analyze Fonctionnelle, Ediscience international, 1995.

[18] Седжвик Р., Flajolet P., An Introduction to the Analysis of Algorithms, Addison Wesley Professional, New York, 1995. | Збл 0841.68059

[19] В.М. Тульчиев, Геометрия фазового пространства. Семинар в Варшаве, 1968 год.

[20] Ван Дер Ланн П., Некоторые алгебры деревьев Хопфа, math.QA/0106244.

Подход на основе SAT для расчета индексов на двоичных эллиптических кривых

Прогресс в криптологии — AFRICACRYPT 2020.2020 6 июня; 12174: 214–235.

Приглашенный редактор (ы): Abderrahmane Nitaj 8 и Amr Youssef 9

8 Математика, LMNO, Канский университет, Кан, Франция

9 , Школа инженерии и компьютерных наук Монреаля QC Canada

, ,

9 , и

Monika Trimoska

MODATOREIRE MIDER

Мультера Верн, Amiens, France

Sorina Ionica

Milsatoire MID, Université de Picardie Jules Verne, Amiens, Франция

Gilles Dequen

Laboratoire MIS, Университет Пикарди Жюля Верна, Амьен, Франция

Laboratoire MIS, Университет Пикарди Жюля Верна, Амьен, Франция

Автор, ответственный за переписку. Авторское право © Springer Nature Switzerland AG 2020

Эта статья доступна через подмножество открытого доступа PMC для неограниченного повторного использования в исследованиях и вторичного анализа в любой форме и любыми средствами со ссылкой на первоисточник. Эти разрешения выдаются на время объявления Всемирной организацией здравоохранения (ВОЗ) COVID-19 глобальной пандемией.

Реферат

Логический криптоанализ, впервые представленный Массаччи в 2000 году, является жизнеспособной альтернативой обычным методам алгебраического криптоанализа над булевыми полями.Поскольку операции xor лежат в основе многих криптографических проблем, недавние исследования в этой области были сосредоточены на эффективной обработке предложений xor. В этой статье мы исследуем решение шага точечной декомпозиции метода индексного исчисления для расширенных полей простой степени с использованием методов спутникового решения. Мы экспериментировали с различными решателями спутников и решили использовать WDSat, решатель, предназначенный для этой конкретной проблемы. Мы расширили этот решатель, добавив новый метод нарушения симметрии и оптимизировав временную сложность шага точечной декомпозиции в м раз! для -го полинома суммирования .Хотя асимптотическое решение задачи точечной декомпозиции с помощью этого метода имеет экспоненциальную наихудшую временную сложность в размерности 90 284 l 90 285 векторного пространства, определяющего факторную базу, экспериментальное время выполнения показывает, что представленный метод решения спутниковых вычислений значительно быстрее, чем современные алгебраические методы, основанные на Грёбнере. базовый расчет. Для значений l и n , рассмотренных в экспериментах, решатель WDSat в сочетании с нашей техникой нарушения симметрии работает до 300 раз быстрее, чем реализация Magma F4, и этот коэффициент растет с l и n .

Ключевые слова: Дискретный логарифм, Индексное исчисление, Эллиптические кривые, Точечное разложение, Симметрия, Выполнимость, Алгоритм dpll к целому семейству алгоритмов, адаптированных к другим конечным полям и некоторым алгебраическим кривым. Он включает решето числового поля (NFS) [23], посвященное логарифмам, и алгоритмы Годри [15] и Дима [8] для алгебраических кривых, определенных над , где .Алгоритмы индексного исчисления состоят из двух основных этапов. Шаг просеивания (или точечного разложения ) концентрирует большую часть теории чисел и алгебраической геометрии, необходимой в целом. Разбивая случайные элементы на хорошо выбранную факторную базу, он создает большую разреженную матрицу, строки которой представляют собой «отношения». На втором этапе этап матрицы создает «хорошие» комбинации отношений путем нахождения нетривиального вектора в ядре этой матрицы. Это, в свою очередь, позволяет эффективно вычислять любой дискретный логарифм во входной области.Важнейшим шагом индексного исчисления на эллиптических кривых является решение проблемы разложения точек (pdp) путем создания достаточного количества отношений между подходящими точками на кривой. Используя так называемые полиномы суммирования, прикрепленные к кривой, это сводится к решению системы полиномиальных уравнений, решениями которых являются координаты точек. Полученный алгоритм имеет сложность , но за этим скрывается экспоненциальный множитель n , который возникает из-за сложности решения задачи точечной декомпозиции.

Следовательно, когда q велико, мало и для некоторой константы c , алгоритм Годри-Дьема имеет лучшую асимптотическую сложность, чем общие методы решения задачи дискретного логарифмирования, а базисные алгоритмы Грёбнера стали общепризнанными. метод [18] для решения этих систем. Поскольку необходимо решить большое количество экземпляров pdp, большая часть исследований в этой области была сосредоточена на повышении сложности этого шага. Было предложено несколько упрощений, таких как симметрии и полиномы более низкой степени, полученные из алгебраической структуры кривой [10].

Когда мы рассматриваем эллиптические кривые, определенные с помощью n простых чисел, решение системы pdp с помощью базисов Грёбнера быстро становится узким местом, а алгоритмы индексного исчисления медленнее, чем общие атаки, как с теоретической, так и с практической точки зрения. Более того, неизвестно, как определить факторную базу, чтобы использовать все симметрии, вытекающие из алгебраической структуры кривой, без увеличения числа переменных при решении pdp [36]. Наконец, обратите внимание, что для случайных систем чистые базисные алгоритмы Грёбнера как теоретически, так и практически медленнее, чем более простые методы, как правило, полный перебор [6, 24], гибридные методы [2] и спутниковые решатели.Таким образом, естественно, что мы обращаем наше внимание на инструменты комбинаторики для решения pdp в характеристике 2.

До недавнего времени было доказано, что спутниковые решатели являются мощным инструментом в криптоанализе симметричных схем. Они успешно использовались для атак на криптосистемы с секретным ключом, такие как Bivium, Trivium, Grain, AES [16, 17, 22, 30, 31]. Однако их использование в криптосистемах с открытым ключом редко рассматривалось. Ярким примером является работа Гэлбрейта и Гебрегиоргиса [14], в которой они исследуют возможность замены доступных реализаций базиса Грёбнера универсальными решателями спутников (такими как MiniSat) в качестве инструмента для решения полиномиальной системы для pdp над бинарными кривыми. Они экспериментально наблюдают, что использование спутниковых решателей потенциально может позволить учитывать более крупные факторные базы.

В этой статье мы предпримем важные шаги к полной замене методов базиса Грёбнера для решения pdp методами программирования в ограничениях. Во-первых, мы моделируем задачу точечной декомпозиции как логическую формулу с уменьшенным количеством предложений по сравнению с моделью, используемой в [14]. Мы сравниваем различные спутниковые решатели и решаем, что недавно представленный решатель WDSat [35] наиболее адаптирован к этой проблеме и дает самое быстрое время работы.Во-вторых, мы предлагаем метод нарушения симметрии и реализуем его как расширение этого решателя. Мы показываем, что при использовании расширенного решателя доказанная сложность решения PDP в наихудшем случае равна , где m — количество точек в разложении, а l — размерность векторного пространства, определяющего факторную базу. Это следует сравнить с базисным алгоритмом Грёбнера, предложенным в [11], время выполнения которого (с константой линейной алгебры и ) доказано при эвристических предположениях.

Мы экспериментировали с атакой индексного исчисления на дискретный логарифм для эллиптических кривых над бинарными полями расширения простой степени. Мы получаем значительное ускорение по сравнению с лучшей доступной на данный момент реализацией базисов Грёбнера (F4 [11] в Magma [4]) и универсальных решателей [1, 31, 32]). Следовательно, мы смогли отобразить результаты для ряда параметров l и n , которые были невозможны при использовании предыдущих подходов. Кроме того, наши эксперименты показывают, что базисы Грёбнера не могут конкурировать с методами спутниковых решателей с точки зрения требований к памяти.Чтобы проиллюстрировать это, система, решаемая с помощью расширенного решателя WDSat с использованием всего 17 МБ памяти, требует более 200 ГБ при использовании метода базиса Грёбнера.

Тем не менее, наши эксперименты показывают, что это улучшенное разрешение pdp не делает атаку индексного исчисления быстрее, чем общие методы решения ECDLP в случае полей расширения простой степени.

Этот документ организован следующим образом. В разделе 2 дается обзор алгоритма индексного исчисления на эллиптических кривых, вводится проблема pdp и кратко упоминаются алгебраические и комбинаторные методы, используемые в литературе для решения этой проблемы.В разделе 3 подробно описаны логические модели, использованные в наших экспериментах. Раздел 4 объясняет технику нарушения симметрии, которую мы реализовали в спутниковом решателе. В разд. 5 мы даем наихудшие оценки временной сложности для решения экземпляра pdp и выводим сложность нашего алгоритма вычисления индекса на основе спутников. Наконец, разд. 6 представлены тесты, полученные с нашей реализацией. Мы сравниваем это с результатами, полученными с использованием реализации Magma F4 и нескольких доступных лучших общих спутниковых решателей, таких как MiniSat [32] и CryptoMiniSat [31].

Обзор индексного исчисления

В 2008 и 2009 годах Годри [15] и Дием [8] независимо друг от друга предложили метод выполнения шага точечной декомпозиции атаки индексного исчисления для эллиптических кривых над полями расширения с использованием полиномов суммирования Семаева [ 27]. Поскольку эта статья посвящена бинарным эллиптическим кривым, мы вводим здесь полиномы суммирования Семаева непосредственно для этих кривых.

Позвольте быть конечным полем и E быть эллиптической кривой с j -инвариантом, отличным от 0, определенным уравнением

1

с .Используя стандартные обозначения, мы принимаем за алгебраическое замыкание и (соответственно) множество точек на эллиптической кривой, определенной над (соответственно). Позвольте быть бесконечно удаленной точкой на эллиптической кривой. Для , m -й полином суммирования является многомерным многочленом от со свойством, что, учитывая точки , тогда и только тогда, когда . У нас есть это

2

и для мы имеем следующую рекурсивную формулу:

3

Многочлен симметричен и имеет степень в каждой из переменных.Пусть V — векторное подпространство в , размерность которого l будет определена позже. Мы определяем факторную базу как:

Эвристически мы можем легко видеть, что факторная база имеет аппроксимативно элементы. Для заданной точки задача разложения точек состоит в том, чтобы найти m точек, таких что . С помощью полиномов Семаева эта задача сводится к решению многомерной полиномиальной системы.

Определение 1

Учитывая и l -мерное векторное подпространство V и любой многомерный полином степени, ограниченной s , найдите такие, что .

Используя тот факт, что над n -мерное векторное пространство, уравнение может быть переписано как система n уравнений над , с ml переменными. В литературе это называется ограничением Вейля  [15] или спуском Вейля  [26]. Вероятность решения этой системы зависит от соотношения между 90 284 n 90 285 и 90 284 l 90 285 . Грубо говоря, когда у системы есть разумный шанс найти решение.

Недавняя работа по решению проблемы разложения была сосредоточена на использовании передовых методов вычисления базиса Грёбнера, таких как метод Фожера и алгоритмы [11, 12].Это естественный подход, учитывая, что аналогичные методы для полей расширения малых степеней в характеристиках привели к алгоритмам индексного исчисления, которые работают быстрее, чем общие атаки на DLP.

Обычный прием при работе с полиномами Семаева заключается в использовании процесса симметрирования для дальнейшего уменьшения степени полиномов, появляющихся в системе pdp. Короче говоря, поскольку симметричен, мы можем переписать его в терминах элементарных симметричных полиномов , , , . Обозначим полином, полученный после симметрирования по первым m переменных, т.е.е. имеем

В [36] авторы сообщают об экспериментах, проведенных на системах, полученных с помощью тщательного выбора векторного пространства V и применения процесса симметрирования. Используя доступную реализацию Magma, мы экспериментировали как с симметричной, так и с несимметричной версией для систем pdp и обнаружили, как и в [36], что симметричная версия дает лучшие результаты. Поэтому, чтобы установить обозначения, мы детализируем этот подход здесь.

Пусть t будет корнем определяющего многочлена над .Следуя [36], мы выбираем векторное пространство V как l -мерное подпространство, порожденное . Предполагая, что мы можем написать:

4

где с , являются двоичными переменными. После выбора и подстановки, как в уравнении. (4), получаем:

где , – многочлены от бинарных переменных , , . После спуска Вейля получаем следующую полиномиальную систему

5

Можно видеть, что при таком подходе число переменных увеличивается в m раз, но степени полиномов в системе значительно уменьшаются.Дальнейшее упрощение этой системы можно получить, если эллиптическая кривая имеет рациональную точку 2-го или 4-го порядка [14]. Поскольку это ограничение, мы не реализовали этот подход и использовали систему в уравнении. (5) в качестве отправной точки для нашей спутниковой модели проблемы точечной декомпозиции.

Решение задачи декомпозиции с помощью SAT-решателей

Прежде чем представить наш подход к поиску решений pdp с помощью спутниковых решателей, мы даем предварительные сведения о проблеме выполнимости, ее терминологии и методах решения.Sat Solver — это специальная программа для решения спутниковой проблемы. Использование спутниковых решателей в качестве криптоаналитического инструмента требует выражения криптографической проблемы в виде булевой формулы в конъюнктивной нормальной форме (cnf). Основным строительным блоком формулы cnf является литерал , который является либо пропозициональной переменной, либо ее отрицанием. или — пункт — неисключающая дизъюнкция () литералов. Формула cnf представляет собой уникальное предложение или или соединение () по крайней мере двух предложений или. Интерпретация данной пропозициональной формулы состоит в приписывании значения истинности (/) каждой из ее переменных.Формула cnf называется выполнимой , если существует хотя бы одна интерпретация, при которой формула является , и невыполнимой в противном случае. Проблема пропозициональной выполнимости (sat) — это проблема определения того, выполнима ли формула (обычно cnf).

В оставшейся части этой статьи мы будем ссылаться на предложение или просто предложением, поскольку cnf — это стандартная форма, используемая в спутниковых решателях. Предложение, в котором операция между литералами является исключающим или, будет называться предложением xor.Использование логического оператора xor () распространено в криптографии. При работе над криптографическими задачами форма cnf может быть расширена до формы cnf-xor, которая является конъюнкцией как or-clauses, так и xor-clauses.

Простой метод решения задачи о спутниках состоит в том, чтобы заполнить таблицу истинности, связанную с рассматриваемой формулой. Это эквивалентно методу исчерпывающего поиска и поэтому нецелесообразно. К счастью, в некоторых случаях частичное присваивание набору переменных может определить, является ли предложение выполнимым.Присвоение l , литерала из частичного присвоения, значения true приведет к:

  1. Каждое предложение, содержащее l , удаляется (поскольку условие выполняется).

  2. В каждом предложении, содержащем этот литерал, он удаляется (поскольку он не может способствовать выполнению условия).

Второе правило выше может привести к получению предложения, состоящего из одного литерала, называемого предложением unit . Поскольку это единственный оставшийся литерал, который может удовлетворить условию, он должен быть установлен в значение true и, следовательно, распространил .Описанный метод называется единичным распространением . Читатель может обратиться к [3] за более подробной информацией.

Конфликт возникает, когда существует по крайней мере одно предложение со всеми литералами, которым присвоено значение false в формуле. Если этот случай является следствием прямого присвоения или, в конечном счете, распространения единиц, это должно быть отменено. Это обычно известно как с возвратом .

Пример 1

Например, эти две атомарные операции можно проиллюстрировать следующим примером, построенным из набора из 5 предложений, пронумерованных как :

Присвоение переменной значения false приводит к тому, что предложение удовлетворяется литералом .Другим последствием является то, что предложения , и не могут быть удовлетворены литералом . Следовательно, можно исключить из этих пунктов. Тогда это единичное предложение состоит из литерала и, как следствие, должно быть присвоено значение false. Мы говорим, что истинное значение выводится посредством единичного распространения.

Когда мы устанавливаем его предполагаемое значение false, мы применяем второе правило к предложениям и . Как следствие, предложение не может быть удовлетворено ни одним из его литералов. Это создает конфликт и вызывает процедуру возврата.Процедура возврата состоит в возврате к состоянию, в котором формула находилась до того, как было сделано последнее предположение. В нашем примере последнее предположение было ложным, и, таким образом, мы возвращаемся в исходное состояние.

Базовый поиск с возвратом с единичным распространением, который мы описали, составляет алгоритм Дэвиса-Патнэма-Логеманна-Ловленда (dpll) [7], который представляет собой современный метод полного спутникового решения. dpll работает, пытаясь присвоить значение истинности каждой переменной в формуле cnf, рекурсивно строя двоичное дерево поиска, высота которого эквивалентна (в худшем случае) количеству переменных.После каждого присвоения переменной формула упрощается на единицу распространения. Если встречается конфликт , запускается процедура поиска с возвратом, и последнему назначенному литералу присваивается противоположное истинностное значение. Если противоположное истинностное значение также приводит к конфликту, мы возвращаемся к более раннему предположению или заключаем, что формула невыполнима — когда не осталось более ранних предположений. Количество конфликтов является хорошей мерой временной сложности решения спутниковой проблемы с помощью решателя на основе dpll.Если построено полное дерево поиска, сложность в наихудшем случае равна , где v — количество переменных в формуле. На рисунке показано двоичное дерево поиска, полученное в результате разрешения Примера 1.

Двоичное дерево поиска, построенное с помощью алгоритма dpll.

Распространенным вариантом dpll является алгоритм обучения предложений, управляемых конфликтами (cdcl) [29]. В этом варианте каждый возникший конфликт описывается как новое предложение, которое изучается (добавляется в формулу).Было показано, что современные решатели cdcl, такие как MiniSat [32] и Glucose [1], являются мощным инструментом для решения формул cnf. Однако они не приспособлены для обработки предложений xor, и поэтому ограничения четности должны быть переведены в cnf. Поскольку обработка предложений cnf, полученных из ограничений xor, не обязательно эффективна, недавние работы были сосредоточены на соединении решателей cdcl с модулем рассуждения xor. Кроме того, эти методы могут быть усовершенствованы методом исключения Гаусса, как в работах Soos и др. .(в результате появился решатель CryptoMiniSat) [30, 31], Хан и Цзян [17], Лайтинен и др. . [21, 22].

Описание модели

В этом разделе подробно описаны три модели, которые мы использовали в наших экспериментах: алгебраическая, использованная Yun-Ju et al.  [36], cnf-модель, использованная Гэлбрейтом и Гебрегиоргисом [14], и предлагаемая нами модель.

Алгебраическая модель

Поскольку логические модели строятся, начиная с алгебраической, мы сначала представим модель, используемую при решении задачи pdp с использованием базиса Грёбнера.Элементарные симметричные многочлены записываются в терминах двоичных переменных, как в уравнении. (4). Точно так же, поскольку мы ищем набор решений , переменные формально записываются следующим образом:

где , где , , двоичные переменные. Используя уравнение (4) получаем следующие уравнения:

6

Остальные уравнения соответствуют полиномам , , полученным спуском Вейля на . Напомним, что это полиномы от двоичных переменных. Опишем теперь, как мы выводим логические формулы из этой системы.

Модель CNF-XOR

При создании ограничений из логической полиномиальной системы умножение переменных становится конъюнкцией литералов, а сумма нескольких членов становится предложением исключающего ИЛИ. Из двух наборов уравнений в алгебраической модели мы получаем два набора исключающих предложений, где термины являются отдельными литералами или союзами. Чтобы проиллюстрировать, логическая формула, полученная из уравнения. (6) выглядит следующим образом:

7

решатели sat, адаптированные для рассуждений xor в литературе, выполняют операции xor, полученные путем xoring одиночных литералов, а не конъюнкций нескольких литералов.Чтобы следовать этой парадигме, мы должны еще больше преобразовать описанную выше систему. Мы заменяем все союзы в предложении xor новой добавленной переменной. Например, пусть переменная заменяет конъюнкцию. У нас есть , который переписывается как

8

. Для ясности переменные, введенные подстановкой мономов, содержащих исключительно переменные, будут обозначаться, а предложения, полученные в результате этих замен, называются набором предложений X -замен. Точно так же замены мономов, содержащих только переменные, обозначаются , а результирующий набор называется набором предложений E -substitutions .

После замены союзов мы обратимся к набору предложений, полученных из уравнения. (7) как набор предложений E X -relationship. Наконец, уравнения, соответствующие полиномам , , выводятся таким же образом, и результирующие предложения будут называться набором предложений F .

На этом четыре набора предложений в нашей модели спутников заканчиваются. Эта модель не представляет формулу cnf, так как набор отношений E X и набор F состоят из исключающих предложений.Следовательно, она будет называться моделью cnf-xor.

Предложение 1

Назначение всех переменных для и приводит к присвоению всех переменных в модели cnf-xor через единичное распространение.

Модель CNF

Поскольку большинство современных спутниковых решателей считывают и обрабатывают формулы cnf, мы объясняем классический метод преобразования модели cnf-xor в модель cnf. Фактически, это также метод, используемый в доступной реализации Magma для получения модели cnf из булевой полиномиальной системы.

Предложение xor считается выполненным, когда оно оценивается как истинное, т. е. когда нечетное количество литералов в предложении установлено в истинное, а остальные установлены в ложное. cnf-кодирование троичного предложения xor:

9

Аналогично, предложение xor размера k может быть преобразовано в конъюнкцию or-предложения размера k . Поскольку количество введенных предложений растет экспоненциально с размером предложения xor, рекомендуется разрезать предложение xor на предложения управляемого размера, прежде чем приступить к преобразованию.Чтобы разделить исключающее ИЛИ размером k на две части, мы вводим новую переменную и получаем два следующих исключающих условия:

В наших экспериментах с MiniSat в разд. 6 мы использовали cnf-модель, полученную после разрезания на тернарные xor-клаузы, поскольку любой xor задача sat за полиномиальное время сводится к 3-xor сат-проблема [3]. Насколько нам известно, реализация Magma использует размер 5 для предложений xor. Оптимальный размер, при котором следует сократить предложения xor, зависит от характера модели и может быть определен путем проведения экспериментов с использованием различных значений.Проведение этих экспериментов выходило за рамки нашей работы, так как решатель WDSat не использует модель cnf.

Мы реализовали все три модели, описанные в этом разделе, и представляем таблицу , чтобы сравнить количество переменных, уравнений и предложений. Значения для алгебраической модели и модели cnf-xor являются точными, тогда как значения для модели cnf являются средними, полученными из экспериментов, представленных в разд. 6. Значение м всегда равно 3.

Таблица 1.

Количество переменных и уравнений/предложений для трех моделей.

Гребнер модель CNF-90 725 XOR модель л л 5019 эксперименты с использованием универсального решателя MiniSat, чтобы получить решения для этих формул.Из таблицы можно сделать вывод, что модель, которую они использовали, имеет значительно большее количество предложений и переменных по сравнению с моделью cnf-xor. Это мотивировало наш выбор модели cnf-xor для этой работы.

Нарушение симметрии

Так как многочлены суммирования Семаева симметричны, то если является решением, то все перестановки этого множества также являются решениями. Эти решения эквивалентны, и поиск более одного бесполезен для pdp. При использовании спутникового решателя на основе dpll (см.2.1), мы наблюдаем избыточность в бинарном дереве поиска. Действительно, когда потенциальное решение было устранено, его не нужно опробовать. Чтобы избежать этой избыточности, мы устанавливаем следующее ограничение , где  это лексикографический порядок с false < true.

Было бы утомительно добавлять это ограничение в саму модель, поскольку это означало бы добавление новых предложений и усложнение модели sat. Вместо этого мы решили добавить это ограничение в алгоритм dpll, используя метод обрезки дерева.В классической реализации dpll мы пробуем и false, и true для значения истинности выбранной переменной. В нашем варианте dpll, нарушающем симметрию, в некоторых случаях истинное значение false не будет проверяться, так как все потенциальные решения после этого назначения не будут удовлетворять ограничению . Наш вариант dpll подробно описан в алгоритме 1, а номера строк, которые отличают его от классического алгоритма dpll, выделены жирным шрифтом. Обратите внимание, что одним из важнейших различий между двумя алгоритмами является выбор переменной в строке 4.Хотя в классическом алгоритме dpll этот выбор является произвольным, в алгоритме 1 переменные необходимо выбирать в порядке от ведущего бита до замыкающего бита . Если это не соблюдается, наш алгоритм не дает правильного ответа.

Используя обозначения в разд. 3, соответствует j th биту i th -вектора, где и . Мы помним из предложения 1, что присвоение всех переменных в модели cnf-xor приводит к присвоению всех переменных посредством единичного распространения.В алгоритме 1 мы решаем, проверять истинность значения false for или нет, сравнивая два вектора побитно, так же, как мы сравниваем двоичные числа. Когда мы принимаем решение о значении истинности, у нас есть следующие рассуждения:

Наконец, мы даем дополнительную информацию, которая подробно объясняет Алгоритм 1. Мы используем флаг, обозначенный , сравнить , чтобы указать, следует ли выполнять сравнение битов при текущем поиске. уровень дерева или нет. В строке 6 мы сбрасываем флаг сравнения в значение true, поскольку , когда , соответствует старшему биту следующего -вектора.Наконец, условия if в строке 8 должны проверяться в указанном порядке.

Процедура assign присваивает указанному литералу значение true в формуле F , упрощает F и выводит значения истинности для других литералов. Процедура возврата используется для отмены всех изменений, внесенных в F после последнего присвоения значения истинности. Подробнее о том, как эти процедуры обрабатываются в реализации WDSat, см. в [35].

Анализ временной сложности

Как мы объясняли в разд.2, временная сложность проблемы спутника в контексте dpll измеряется количеством конфликтов. По сути, это соответствует количеству листьев, созданных в бинарном дереве поиска. Таким образом, сложность алгоритма в наихудшем случае равна , где ч — высота дерева.

В соответствии с предложением 1 мы рассуждаем только о переменных из модели cnf-xor. Таким образом, сложность pdp в наихудшем случае составляет . Кроме того, используя технику нарушения симметрии, описанную в разд.4 мы оптимизируем эту сложность в м раз!. Ведь из м ! перестановок множества решений удовлетворяет только одно (пренебрегая равенством). Отсюда следует, что количество конфликтов в наихудшем случае, достигаемое за одно вычисление pdp, составляет

10

. Продолжая анализ временной сложности, мы наблюдаем, что для нахождения одного конфликта мы проходим (в худшем случае) все предложения в модели. во время единичного распространения. Следовательно, время работы на конфликт растет линейно с количеством предложений.Во-первых, давайте подсчитаем количество предложений в наборе X -подстановок. Для каждого существуют мономы степени d , заданные произведениями переменных , и каждый из них дает дизъюнкты (см. уравнение (8)). Всего количество предложений в наборе X -замен равно

. Напомним, что мономы первой степени не заменяются и, таким образом, не производят новых предложений. Мы можем адаптировать это рассуждение и для набора E -замен.

Количество предложений xor в модели cnf-xor эквивалентно количеству уравнений в алгебраической модели.У нас есть в наборе отношений E X и n в наборе F .

Замечание 1

Используя этот анализ, мы аппроксимируем число дизъюнктов, обозначенное C , для , так как все эксперименты, представленные в этой статье, выполняются с использованием четвертого полинома суммирования.

11

На практике многие одночлены не встречаются в системе после спуска Вейля. На самом деле значение в уравнении (11) — сильно завышенная оценка, и точные значения приведены в таблице.

Предполагая, что мы берем m малых, мы заключаем, что число дизъюнктов в нашей модели полиномиально от l .

Пусть T будет константой, представляющей время обработки одного предложения. Время выполнения pdp ограничено

. Это позволяет нам установить следующий результат о сложности нашего алгоритма вычисления индексов на основе SAT.

Теорема 1

Сложность алгоритма индексного исчисления для решения ECDLP на кривой, определенной над , с использованием факторной базы, заданной векторным пространством размерности l , составляет , где скрывается полиномиальный множитель в l .

Экспериментальные результаты

Мы провели эксперименты, используя бинарные эллиптические кривые Коблица [20], определенные над . Мы экспериментировали с базами Грёбнера и сидячими подходами. В [35] сообщается, что WDSat превосходит базовые методы Грёбнера, а также все общие решатели SAT для этой конкретной задачи. Во-первых, мы подтверждаем это, экспериментируя с более высокими параметрами, и результаты представлены в таблице. Во-вторых, мы расширяем решатель WDSat нашим алгоритмом нарушения симметрии, описанным в разд.4. Наш алгоритм нарушения симметрии обеспечивает более быстрое время работы, и мы смогли проводить эксперименты с большими параметрами. Результаты представлены в таблице. Все тесты проводились на процессоре Intel Xeon E5-2640 с тактовой частотой 2,40 ГГц. Наша реализация спуска Вейля, используемая для создания тестов, имеет открытый исходный код [34].

Таблица 2.

Сравнение различных подходов к решению пдп.

кнф модель
90 727 #Vars #Equations #Vars # кнф- статей #Vars # CNF-Морозы # исключающее положения
6 19 51 52 19577 767 2364 52
7 23 60 62 8223 32201 1101 3466 62
8 23 69 68 11036 43210 1510 4835 68 9
9 3 9 78 78 88 20969 82721 2000 6495 9 0756 88
10 47 87 104 32866 130040 2577 8470 104
11 59 96 122 49538 196434 4 3247 10784 122 122
90 718 выполнима невыполнима 90 725 л + + +

8

Таблица 3.

Экспериментальные результаты с использованием полного Solver WDSAT. Время работы указано в секундах, а использование памяти в МБ.

Алгоритм л Время воспроизведения #Conflicts Память среды выполнения #Conflicts памяти
Грёбнер 6 17 207.220 Н.А. 3601 142,119 Н.А. 3291
19 215,187 Н.А. 3940 155,765 Н.А. 4091
7 19 3854,708 Н.А. 38763 2650,696 Н.А. 38408
23 3128,844 Н.А. 35203 2286,136 Н.А. 35162
8 23 > 200 ГБ > 200 ГБ
26 > 200 ГБ > 200 ГБ
MiniSat 6 5 17 62.702 +408189 12,7 270,261 1463309 24,2
19 229,055 1778377 23,6 388,719 2439933 29,8
7 19 406,918 15 33.6 67774431 6 105
23 12945.613 61610582 15260756 13260.586 +59289671 163
8 23 8027,974 63384411 256 > 10 ч +
26 > 10 ч + > 10 ч
CMS с предложением 1 6 17 17 15.673 61812 62.996 62.396 260843 39,3
5 19 14.128 53767 33,2 64,563 259688 42,1
7 19 176,463 484098 41,5 843,367 2077747 72,3
23 300,021 638152 638152 48.9 1012.412 2070190 73,6 73.6
8 23 1700.949 2 2420937 76.7 11959,938 16756106 82,4
26 3000,831 4179236 79,4 14412,193 16783213 81,8
WDSat с предложением 1 6 17 . 601 49117 1.4 1.4 3.851 254686 1,4
19 5 19 .470 38137 1,4 3.913 255 491 1,4
7 19 9,643 534867 16,7 44,107 2073089 16,7
23 9,303 477632 16,7 47,347 2067168 16.7
8 23 68.929 2646071 16.8 525057 16666331 16.8
26
185480 6261107 16.9 533.607 16684378 16684378 16.9
+ + л л 6 1,4 0,243 1,4 3,555 10557129 95131900 927241718
выполнима невыполнима
Время воспроизведения #Conflicts Память среды выполнения #Conflicts памяти
17 .220 17792 1,4 0,605 43875
19 19166 1,4 0,639 44034
7 19 2,205 130062 1,4 6,859 триста пятьдесят одна тысяча триста пятьдесят-три 1,4
23 189940 1,4 7,478 350257 1.4
8 23 29,584 1145966 17,0 81,767 2800335 17,0
26 39,214 1426216 17,0 85,822 2803580 17,0
9 37 447 17,1 1048 22396994 17,1
47 609 12675174 17.2 тысяча сто шестьдесят-семь 22381494 17,2
59 611 11297325 17,3 1327 223

17,3
67 677 11608420 17,4 1430 22388053 17.4 17.4
10 47 5847 95131900 17.3 11963 5 17

09

6 17.3
59 6849 97254458 17,4 13649 17

71

17,4
67 6530 882 17,4 14555 1777 17,4
79 7221 7221 86174432 175 16294 1794043408 17,5
11 59 64162 727241718 5 19.2 135801 14321 19,2
67 70075 741222864 19,3 145357 1432183842 19,3
79 61370 599263451 19,4 +161388 1432120827 19.4 9.4
89
89 85834 736610196 19,5 175718 1432099666 6 19.5

Базисный подход Грёбнера использует в качестве входных данных алгебраическую модель. Мы использовали порядок grevlex , так как в литературе он считается оптимальным. Решатель MiniSat обрабатывает входные данные модели cnf, тогда как CryptoMiniSat (CMS) и WDSat используют модель cnf-xor. WDSat также может напрямую обрабатывать алгебраическую модель в форме ANF. Использование модели cnf-xor является огромным преимуществом, так как в ней гораздо меньше предложений и переменных, чем в модели cnf. Исключение Гаусса может быть полезно для экземпляров спутника, полученных из криптографических проблем.Однако сообщалось, что в некоторых случаях это приводит к более медленному времени работы, поскольку выполнение операции является очень дорогостоящим. По этой причине CryptoMiniSat и WDSat по умолчанию не включают исключение Гаусса, но эту функцию можно включить явно. Мы экспериментировали с обоими вариантами для обоих решателей с поддержкой xor.

С помощью WDSat мы установили собственный порядок переменных ветвления, что позволило нам использовать единичное распространение, как описано в предложении 1, и выполнять ветвления только по переменным.CryptoMiniSat не имеет этой функции в текущей версии, поскольку авторы сообщают, что нестандартный порядок переменных ветвления в большинстве случаев приводит к замедлению времени работы. Мы добавили эту функцию в исходный код CryptoMiniSat и провели тесты как с настраиваемым порядком в соответствии с Предложением 1, так и с порядком, выбранным решателем.

В таблице сравниваются разные подходы, показаны результаты для оптимальных вариантов каждого инструмента решения. Время работы всех вариантов CryptoMiniSat и WDSat указано в Приложении A.Мы экспериментировали с различными значениями n для каждого l и провели тесты на 20 экземплярах для каждого размера параметра. Половина случаев имеет решение, а другая половина — нет. Мы показываем средние значения времени выполнения и памяти для удовлетворительных и неудовлетворительных экземпляров отдельно, поскольку эти значения различаются между двумя случаями. Сат-решатели останавливаются, как только находят решение, и если это не так, они должны с уверенностью ответить, что решения не существует. Следовательно, время работы спутниковых решателей значительно медленнее, когда нет решения.С другой стороны, [36] указывает, что вычислительная сложность базисов Грёбнера ниже, когда решения не существует.

Мы устанавливаем тайм-аут 10 часов и лимит памяти 200 ГБ для каждого запуска. Используя MiniSat, мы не смогли решить экземпляры с самыми высокими параметрами () в течение этого периода времени. С другой стороны, базисные вычисления Грёбнера для этих экземпляров были остановлены до тайм-аута из-за ограничения памяти. Эти данные соответствуют предыдущим работам. Действительно, в [36] и [28] показаны эксперименты с использованием четвертого полинома суммирования с , тогда как наибольший размер параметра, достигнутый в [14], равен .

В таблице показано среднее время выполнения в секундах, среднее количество конфликтов и среднее использование памяти в МБ. Решатель WDSat распределяет память статически в соответствии с предопределенными постоянными требованиями к памяти. Это объясняет, почему средние значения памяти не сильно различаются между различными параметрами размера или между удовлетворительными и неудовлетворительными экземплярами.

Наши экспериментальные результаты показывают, что выполнение исключения Гаусса в системе связано со значительными вычислительными затратами и приводит к небольшому уменьшению количества конфликтов (см. Таблицу  в Приложении).Поскольку это имело место для всех случаев, полученных из спуска Вейля на , мы пришли к выводу, что исключение Гаусса не является полезным для этой модели. Выбрав вариант WDSat без исключения Гаусса как оптимальный, мы продолжили эксперименты для больших размерных параметров, используя этот вариант в сочетании с техникой нарушения симметрии. В таблице показаны результаты для и n размеров до 89. Все значения являются средними для 100 запусков, так как время выполнения удовлетворительных экземпляров может значительно различаться. Если мы сравним количество конфликтов для первых трех значений для 90 284 l 90 285 в этой таблице с количеством конфликтов для базового решателя WDSat без расширения с нарушением симметрии в таблице, мы увидим коэффициент ускорения, который быстро приближается к 6. 1 Это подтверждает наши утверждения в разд. 5 видно, что метод нарушения симметрии, предложенный в этой статье, дает ускорение в 90 284 м 90 285 ! раз.

Таблица 4.

Сравнение различных вариантов CryptoMiniSat и WDSat для решения задачи pdp.

90 718 выполнима + л + + + 9 9919 9756106 WDSat с предложением 1 0,601 1.4 6261107 9684378 936.863 9623677
невыполнима
подход л Время воспроизведения #Conflicts Память среды выполнения #Conflicts памяти
КМС 6 17 133.983 +775948 48,4 363,513 1709971 59,5
19 560,080 3396192 64,1 1172,740 5726372 70,1
7 19 1210,612 5713259 853 10258.351 26079224 117 117
23 3637.032 12159752 80.4 19857,454 47086152 130
8 23 9846,554 18509058 123 > 10 ч +
26 6905,477 13269631 115 > 10 ч
CMS GE 6 17 17 119.866 677336 54,5 54,5 5 436.811 555699 64.2
19 224,484 1219840 58,7 615,952 2763754 76,5
7 19 893,425 3722805 86,5 3587,929 8642108 107
23 580.007 1753040 82.44 3953.786 8183887 8183887 132
8 5 23 11265.010 19604250 из 155 > 10 ч +
26 3933,637 70 157 > 10 ч +
CMS с предложением 1 6 17 15.673 61812 34.0756 62.0756 62.396 260843 39.3
19 14.128 53767 33.2 64.563 259688 42,1
7 19 176,463 484098 41,5 843,367 2077747 72,3
23 300,021 638152 48,9 1012,412 2070190 2070190 73,6
8 23 1700.949 2420937 76.7 76.7 11959.938 82.4
26 3000,831 4179236 79,4 14412,193 16783213 81,8
CMS + GE с предложением 1 6 17 17,698 62161 39,1 86.049 86.049 294428 63.2 63.2
19 19 16.301 52730 39.8 88.738 59956 5 62.7
7 19 220,037 479197 51,2 2551,277 2418051 72,5
23 367,105 653673 59,4 1329,494 2380614 93,1
7
8 23 2493.328 2419268 112 112 19058.671 19359334 6 164
56 26 4956.952 +4171674 126 19907.670 19534832 167
+
6 17 49117 1,4 3,851 254686
19 .470 38137 1.4 3.913 55555491 1,4
9
7 9 9 9.643 534867 16.7 44,107 2073089 16,7
23 9,303 477632 16,7 47,347 2067168 16,7
8 23 68,929 2646071 16.8 525.057 525.057 16666331 16.8
26 185.480 16.9 533.607 16684378 16.9
WDSat GE с предложением 1 6 17 9,193 48178 1,4 56,718 253123 1,4
19 7,041 36835 1,4 58,876 252799 1.4
7 19 19 169.629 528383 16.7 736.863 2062232 16.7
23 159,101 473223 16,7 779,432 2060501 16,7
8 23 1290,702 2630567 16,8 9124,361 16639322 16.8
26 340756 6 6231289 16.9 9623,677 9623.677 16.9 16.9

до 300 раз быстрее, чем базы Грёбнера, для случаев, когда решения нет, и до 1700 раз быстрее для случаев, допускающих решение.Это грубое сравнение, так как коэффициент растет с параметрами l и n .

Наконец, мы поэкспериментировали с универсальным методом поиска столкновений [25] с использованием открытого исходного кода в [33]. Эта реализация решает проблему дискретного логарифма в случае простых кривых поля. Мы не адаптировали код для полей расширения, и время вычисления скалярного умножения на кривой может различаться в этих двух случаях. Тем не менее, это позволяет провести приблизительное сравнение между временем выполнения универсальных методов и работой, представленной в этой статье.В однопоточной среде полное вычисление поиска коллизий для параметра занимает в среднем 0,8 ч на нашей платформе. Вычисление успешных разложений для параметров и займет более 86 часов согласно результатам в таблице. Расчетное время работы становится значительно выше, если мы принимаем во внимание и неудачные разложения. Мы заключаем, что в случае полей расширения простой степени, даже при значительном ускорении, достигнутом нами для pdp, атаки индексного исчисления по-прежнему непрактичны по сравнению с общим методом PCS.

Выводы и дальнейшая работа

Базисные методы Грёбнера продемонстрировали свою эффективность при решении задачи pdp в атаке индексного исчисления для эллиптических кривых, заданных над полями расширения малых степеней в характеристике . В этой статье мы утверждаем, что для конечных полей в характеристике 2 подход, основанный на спутниках, дает лучшие результаты. Мы начали с объяснения того, что спутниковые решатели общего назначения не могут обеспечить значительно более быстрое время выполнения, потому что количество переменных в спутниковой модели значительно больше, чем количество переменных в алгебраической модели.

Наш первый вклад заключается в том, чтобы предложить pdp модель cnf-xor только с мл основных переменных, назначение которых распространяется на все остальные переменные в модели. Для решения этой модели мы используем спутниковый решатель, предназначенный для решения систем, полученных на основе спуска Вейля. В качестве нашего второго вклада мы оптимизировали временную сложность этого решателя в м раз! используя технику нарушения симметрии.

Мы представили эксперименты для pdp на полях расширения простой степени в характеристике 2, используя размеры параметров до и .Это представляет собой значительное улучшение по сравнению с текущим состоянием техники, поскольку эксперименты с использованием никогда ранее не проводились для этого случая. Более того, память больше не является ограничением для pdp, когда базисные вычисления Грёбнера заменены на решение спутников.

По техническим причинам и из-за нехватки места мы не смогли привести здесь полное сравнение с другими существующими реализациями на основе исчерпывающего поиска, такими как библиотека libFes [5], основанная на Bouillaguet et al. алгоритм  [6] и гибридный алгоритм Жу-Витсе [19].За более полным набором эталонных тестов, включая эксперименты с полиномами Семаева для , заинтересованный читатель отсылается к готовящейся кандидатской диссертации первого автора. Также было бы интересно проверить производительность спутниковых решателей на упрощенной системе, полученной путем рассмотрения действия точек 2-кручения и 4-кручения на факторной базе, как в [14].

Благодарности

Мы благодарим анонимных рецензентов конференции Africacrypt за их комментарии. Представленные здесь экспериментальные результаты были получены с использованием платформы MatriCS Университета Пикардии Жюля Верна.

A Приложение

В таблице указаны средние значения времени работы и памяти для различных вариантов CryptoMiniSat и WDSat.

Сноски

1 Мы сравниваем случаи, когда решения нет, так как они имеют более стабильные средние значения.

Информация для участников

Абдеррахман Нитадж, электронная почта: [email protected]

Амр Юсеф, электронная почта: [email protected]

Моника Тримоска, электронная почта: [email protected]

Сорина Ионика, электронная почта: [email protected]

Жиль Декен, электронная почта: [email protected]

Ссылки

1. Одемар Г., Саймон Л.: Прогнозирование качества выученных предложений в современных решателях SAT. В: IJCAI 2009, Proceedings of the 21st International Joint Conference on Artificial Intelligence, Pasadena, California, USA, 11–17 июля 2009 г., стр. 399–404 (2009)

2. Bettale L, Faugère J, Perret L. Гибридный подход для решения многомерных систем над конечными полями.Дж. Матем. Криптол. 2009;3(3):177–197. doi: 10.1515/JMC.2009.009. [Перекрестная ссылка] [Академия Google]3. Biere A, Heule M, van Maaren H, Walsh T, редакторы. Справочник по выполнимости, границам искусственного интеллекта и приложений. Амстердам: IOS Press; 2009. [Google Академия]4. Босма В., Кэннон Дж., Плейуст С. Система алгебры магмы. I. Язык пользователя. J. Символьные вычисления. 1997;24(3–4):235–265. doi: 10.1006/jsco.1996.0125. [Перекрестная ссылка] [Академия Google] 6. Bouillaguet C, Cheng CM, Chou T, Niederhagen R, Yang BY.Быстрый исчерпывающий поиск квадратичных систем на ПЛИС. В: Ланге Т., Лаутер К., Лисонек П., редакторы. Отдельные области криптографии – SAC 2013; Гейдельберг: Спрингер; 2014. С. 205–222. [Google Академия]7. Дэвис М., Логеманн Г., Лавленд Д.В. Машинная программа для доказательства теорем. коммун. АКМ. 1962; 5 (7): 394–397. doi: 10.1145/368273.368557. [Перекрестная ссылка] [Академия Google]8. Diem C. О проблеме дискретного логарифмирования на эллиптических кривых. Математическая композиция. 2011;147(1):75–104. doi: 10.1112/S0010437X10005075.[Перекрестная ссылка] [Академия Google]9. Diem C. О проблеме дискретного логарифмирования на эллиптических кривых II. Алгебра Теория чисел. 2013;7(6):1281–1323. doi: 10.2140/ant.2013.7.1281. [Перекрестная ссылка] [Академия Google] 10. Faugère JC, Huot L, Joux A, Renault G, Vitse V. Симметризованные многочлены суммирования: использование точек кручения малого порядка для ускорения вычисления индекса эллиптической кривой. В: Nguyen PQ, Oswald E, редакторы. Достижения в области криптологии – EUROCRYPT 2014; Гейдельберг: Спрингер; 2014. С. 40–57. [Google Академия] 11. Фожер Ж.К.Новый эффективный алгоритм вычисления базиса Грёбнера (F4) J. Pure Appl. Алгебра. 1999;139(1–3):61–88. doi: 10.1016/S0022-4049(99)00005-5. [Перекрестная ссылка] [Академия Google] 12. Фожер, Дж. К.: Новый эффективный алгоритм вычисления базиса Грёбнера без сведения к нулю (F5). В: Труды Международного симпозиума 2002 г. по символическим и алгебраическим вычислениям. ISSAC 2002, стр. 75–83. ACM, Нью-Йорк (2002). http://doi.acm.org/10.1145/780506.78051613. Faugère JC, Perret L, Petit C, Renault G. Повышение сложности алгоритмов индексного исчисления на эллиптических кривых над бинарными полями.В: Pointcheval D, Johansson T, редакторы. Достижения в области криптологии – EUROCRYPT 2012; Гейдельберг: Спрингер; 2012. С. 27–44. [Google Академия] 14. Гэлбрейт С.Д., Гебрегиоргис С.В. Полиномиальные алгоритмы суммирования для эллиптических кривых в характеристике два. В: Мейер В., Мухопадхьяй Д., редакторы. Прогресс в криптологии – INDOCRYPT 2014; Чам: Спрингер; 2014. С. 409–427. [Google Академия] 15. Годри П. Исчисление индексов для абелевых многообразий малой размерности и проблема дискретного логарифмирования эллиптических кривых. Дж.Симб. вычисл. 2009;44(12):1690–1702. doi: 10.1016/j.jsc.2008.08.005. [Перекрестная ссылка] [Академия Google] 16. Жеро Д., Лафуркад П., Минье М., Сольнон С. Пересмотр дифференциальных атак AES со связанными ключами с программированием ограничений. Инф. Обработать. лат. 2018;139:24–29. doi: 10.1016/j.ipl.2018.07.001. [Перекрестная ссылка] [Академия Google] 17. Хан К-С, Цзян Дж-ХР. Когда логическая выполнимость встречается с исключением Гаусса симплексным способом. В: Madhusudan P, Seshia SA, редакторы. компьютерная проверка; Гейдельберг: Спрингер; 2012.стр. 410–426. [Google Академия] 18. Жу А., Витсе В. Расчет индекса покрытия и разложения на эллиптических кривых стал практичным. Приложение к ранее недостижимой кривой над . В: Pointcheval D, Johansson T, редакторы. Достижения в области криптологии – EUROCRYPT 2012; Гейдельберг: Спрингер; 2012. С. 9–26. [Google Академия] 19. Жу А., Витсе В. Скрещенный алгоритм решения логических полиномиальных систем. В: Kaczorowski J, Pieprzyk J, Pomykała J, редакторы. Теоретико-числовые методы в криптологии; Чам: Спрингер; 2018.стр. 3–21. [Google Академия] 20. Коблиц Н. CM-кривые с хорошими криптографическими свойствами. В: Feigenbaum J, редактор. Достижения в области криптологии — CRYPTO ’91; Гейдельберг: Спрингер; 1992. С. 279–287. [Google Scholar]

21. Лайтинен, Т., Юнттила, Т., Ниемела, И.: Рассуждение о четности на основе класса эквивалентности с DPLL (XOR). В: Czumaj, A (ред.) 23-я Международная конференция IEEE по инструментам с искусственным интеллектом, 2011 г., стр. 649–658, ноябрь 2011 г. 10.1109/ICTAI.2011.103

22. Laitinen, T., Junttila, T.A., Niemelä, I.: Обучение с условием XOR, управляемое конфликтами (расширенная версия). CoRR абс/1407.6571 (2014). http://arxiv.org/abs/1407.657123. Ленстра А.К., Ленстра Х.В., Манассе М.С., Поллард Дж.М. Решето числового поля. В: Lenstra AK, Lenstra HW, редакторы. Разработка решета числового поля. Гейдельберг: Спрингер; 1993. С. 11–42. [Google Scholar]

24. Локштанов Д., Михайлин И., Патури Р., Пудлак П. Обход грубой силы для (количественной) выполнимости схем ограниченной ширины дерева. В: Труды двадцать девятого ежегодного симпозиума ACM-SIAM по дискретным алгоритмам.SODA 2018, Новый Орлеан, Луизиана, США, 7–10 января 2018 г., стр. 247–261 (2018). 10.1137/1.9781611975031.18

25. Ван Оршот П.С., Винер М.Дж. Параллельный поиск коллизий с криптоаналитическими приложениями. Дж. Криптол. 1999;12(1):1–28. doi: 10.1007/PL00003816. [Перекрестная ссылка] [Академия Google] 26. Petit C, Quisquater JJ. О полиномиальных системах, возникающих из спуска Вейля. В: Wang X, Sako K, редакторы. Достижения в криптологии – ASIACRYPT 2012; Гейдельберг: Спрингер; 2012. С. 451–466. [Google Академия] 27. Семаев, И.А.: Многочлены суммирования и проблема дискретного логарифмирования на эллиптических кривых. IACR Cryptology ePrint Archive 2004, 31 (2004). http://eprint.iacr.org/2004/03128. Шанц М., Теске Э. Решение задачи дискретного логарифмирования эллиптической кривой с использованием полиномов Семаева, методов спуска Вейля и базиса Грёбнера — экспериментальное исследование. В: Фишлин М., Катценбайссер С., редакторы. Теория чисел и криптография; Гейдельберг: Спрингер; 2013. С. 94–107. [Google Scholar]

29. Сильва, Дж.П.М., Сакалла, К.А.: Анализ конфликтов в алгоритмах поиска для выполнимости.В: ИКТАИ, стр. 467–469. IEEE Computer Society (1996)

30. Сус, М.: Расширенное исключение Гаусса в решателях SAT на основе DPLL. В: Прагматика SAT (2010)

31. Soos M, Nohl K, Castelluccia C. Расширение SAT-решателей для криптографических задач. В: Кульманн О, редактор. Теория и приложения тестирования на выполнимость — SAT 2009; Гейдельберг: Спрингер; 2009. стр. 244–257. [Google Scholar]

32. Sörensson, N., Eén, N.: Решатель SAT с минимизацией конфликтных предложений. В: Труды теории и приложений тестирования на выполнимость (2005)

36.Huang YJ, Petit C, Shinohara N, Takagi T. Улучшение Faugère et al. Метод для решения ECDLP. В: Сакияма К., Терада М., редакторы. Достижения в области информационной и компьютерной безопасности; Гейдельберг: Спрингер; 2013. С. 115–132. [Google Scholar]

Простое программирование в двоичном коде: бинарная комбинаторная логика

По причинам, которые я объясню в другом посте, у меня не так много времени для написания длинного поста о патологическом программировании, поэтому я собираюсь поразить вас чем-то коротким, милым и красивым: бинарная комбинаторная логика.

В прошлом я писал о лямбда-исчислении и его эквивалентной форме без переменных, комбинаторном исчислении SKI. Я когда-либо писал о других языках, основанных на комбинаторном исчислении, таких как Unlambda и Iota.

Двоичная комбинаторная логика, также известная как BCL, представляет собой язык, основанный на исчислении SKI, за исключением того, что он кодирует все это в двоичном виде. Два символа, плюс два правила перезаписи, и все — полный язык программирования на основе комбинаторного исчисления
.

Комбинаторное исчисление

SKI представляет собой простое исчисление без переменных с тремя конструкциями: S, K и I; а I на самом деле не примитивен, но может быть определен в терминах S и K.

  1. S=λx y z.x z (y z)
  2. К=λx.(λy.x)
  3. I=λx.x=SKK

Итак, в BCL S записывается как «01»; К пишется «00». И есть два правила перезаписи, которые в основном определяют «1» без нулевого префикса как конструкцию группировки, подобную скобке:

.
  1. «1100xy», где «x» и «y» являются действительными терминами BCL (то есть полными синтаксическими единицами),
    заменяется на «x». Если вы проследите за этим, это означает, что оно сводится к ((Kx)y).
  2. «11101xzy» заменяется на «11xz1yz».Опять же, следуя ему, и это
    сокращается до «(((Sx)y)z)».

Итак, следуя методу обработки ввода-вывода unlambda, «hello world» в BCL:

010001101000010000010110000000000101101111
000010110111110011111111011110000010011010
 

А вот это действительно классно. Написать интерпретатор для BCL в BCL. Возьмите полученную битовую строку и преобразуйте ее в растровое изображение. Вот что здесь справа. Так, например, первая строка — «1111100000111001»; продолжайте, и вы найдете весь интерпретатор BCL.

Нравится:

Нравится Загрузка…

Двоичные файлы – Новости технологий и информация от SeniorDBA

Современная двоичная система счисления (с основанием 2) восходит к статье Готфрида Лейбница в 1679 году. Лейбниц смог интерпретировать китайские гексаграммы как свидетельство двоичного исчисления. Двоичные системы все еще используются сегодня, и эта числовая система ежедневно знакомится с обычными потребителями, даже если они, вероятно, не понимают систему или почему она используется с компьютерным оборудованием и программным обеспечением.30, даже при работе с нетехническими клиентами.

  1. Это не имеет смысла.
  2. То, что некоторые части компьютеров имеют основание 2, не означает, что все части имеют основание 2.
  3. И, на самом деле, большинство видимых частей компьютеров имеют основание 10.

Так что просто остановись. Префиксы Base 2 следует использовать только в том случае, если у обычного пользователя есть неоспоримое преимущество, а для размеров файлов и дисков в проводнике Windows таких преимуществ нет.Если вы думаете, что я ошибаюсь (а я знаю, что многие люди ошибаются), обязательно объясните, почему префиксы размера с основанием 2 имеют смысл в контексте размеров файлов и дисков.

alexxlab

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.