Site Loader

Момент инерции твердого тела — Энциклопедия по машиностроению XXL

Геометрия масс центр масс материальной системы, моменты инерции твердых тел  [c.262]

Твердое тело, находившееся в покое, приводится во вращение вокруг неподвижной вертикальной оси постоянным моментом, равным М при этом возникает момент сил сопротивления М, пропорциональный квадрату угловой скорости вращения твердого тела М = аш . Найти закон изменения угловой скорости момент инерции твердого тела относительно оси вращения равен ].  [c.278]


ГЛАВА VI. СИСТЕМА МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК. ТВЕРДОЕ ТЕЛО. МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА  [c.88]

МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА. РАДИУС ИНЕРЦИИ  [c.91]

При поступательном движении твердого тела, так же как и при движении материальной точки, мерой его инертности является масса тела. При вращательном движении твердого тела мерой инертности является момент инерции твердого тела относительно оси вращения.

[c.91]

Поэтому до исследования различных видов движения твердого тела следует рассмотреть вычисление моментов инерции твердых тел и установить основные теоремы о моментах инерции, имеющие важное значение в динамике твердого тела.  [c.92]

Для установления понятий моментов инерции твердого тела относительно плоскости, оси и полюса проведем через произвольную точку О три взаимно перпендикулярные координатные оси х, у, Z W изобразим координатные плоскости уОг, zOx и хОу (рис. 77).  [c.92]

Моментом инерции твердого тела относительно плоскости называется скалярная величина, равная сумме произведений массы каждой  

[c.92]

Моментом инерции твердого тела относительно оси называется скалярная величина, равная сумме произведений массы каждой точки тела на квадрат расстояния от этой точки до оси.  [c.92]

Обозначим моменты инерции твердого тела относительно координатных осей JX, Jу, JZ-  [c. 92]

Моментом инерции твердого тела относительно полюса (полярным моментом инерции) называется скалярная величина, равная сумме произведений массы каждой точки тела на квадрат расстояния от точки до этого полюса.  [c.92]

Обозначим Уо —момент инерции твердого тела относительно полюса О  

[c.92]

ФОРМУЛА для ВЫЧИСЛЕНИЯ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА ОТНОСИТЕЛЬНО ЛЮБОЙ ОСИ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ НАЧАЛО КООРДИНАТ, ЦЕНТРОБЕЖНЫЕ МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ  [c.99]

Пользуясь введенными обозначениями, получаем формулу для вычисления момента инерции твердого тела относительно оси v в следующем виде  [c.101]

Момент инерции твердого тела относительно оси v (рис. 85) определяется по формуле (37.3)  [c.101]

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОСЕВЫХ И ЦЕНТРОБЕЖНЫХ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА. ПОНЯТИЕ О ТЕНЗОРЕ ИНЕРЦИИ ТЕЛА В ДАННОЙ ТОЧКЕ  [c.105]

Вычисление момента инерции твердого тела относительно произвольной оси. Момент инерции твердого тела относительно произвольной оси, можно легко определить, если известны направления его главных центральных осей инерции и моменты инерции тела  [c.105]

Случай 1. Ось проходит через центр масс тела (рис. 92, а). За оси координат принимают главные центральные оси инерции тела и вычисляют моменты инерции твердого тела А, В, С относительно этих осей Затем, пользуясь углами а, р, у, составленными осью V с главными центральными осями инерции, вычисляют момент инерции тела относительно центральной оси v по формуле (37.3), которая в этом случае принимает вид  

[c.106]


Вычисление центробежных моментов инерции твердого тела.  [c.106]

Центробежные моменты инерции твердого тела относительно любых осей, проходящих через заданную точку О, можно определить, если известны направления его главных центральных осей инерции и моменты инерции тела относительно этих осей. Рассмотрим три случая вычисления центробежных моментов инерции твердого тела относительно осей, различным образом расположенных относительно главных центральных осей инерции.[c.106]

Случай 3. Координатные оси проходят через произвольную точку тела О и имеют заданное направление (рис. 94). Для определения центробежных моментов инерции твердого тела относительно координатных осей х», у», z» заданного направления через центр масс тела С следует провести оси х, у, г, параллельные заданным осям зная направляющие косинусы этих осей, по  [c.109]

Понятие о тензоре инерции тела в данной точке. Моменты инерции твердого тела относительно координатных осей, проходящих через некоторую точку О, и центробежные моменты инерции относительно этих осей представляют собой шесть величин, зависящих от положения точки О и от направления осей, так как с их изменением изменяются координаты точек тела Xi, yi, Zi. Эти величины можно расположить в виде симметричной таблицы-матрицы  

[c.109]

Что называют моментом инерции твердого тела относительно плоскости, оси и точки  [c.116]

Что называется центробежным моментом инерции твердого тела  [c. 116]

Как определить по эллипсоиду инерции, относительно какой оси из всех осей, проходящих через данную точку, момент инерции твердого тела имеет наибольшее значение  [c.116]

Как вычисляют момент инерции твердого тела относительно произвольной оси, проходящей или iie проходящей через центр масс тела  

[c.117]

У fj —момент инерции твердого тела относительно мгновенной оси вращения.  [c.181]

Очевидно, что момент инерции твердого тела при враш ательном движении имеет то же значение, что и масса тела при его поступательном движении момент инерции является характеристикой инертности тела при вращательном движении.  [c.210]

Мерой чего является момент инерции твердого тела относительно оси  [c.225]

Назовите способы опытного определения моментов инерции твердых тел и укажите, в чем заключается их сущность  [c.225]

Моменты инерции твердых тел  

[c. 185]

Моментом инерции твердого тела относительно оси называется сумма произведений масс материальных точек, из которых состоит твердое тело, на квадраты их расстояний до оси, т. е.  [c.194]

Момент инерции твердого тела относительно оси характеризует распределение масс его материальных точек относительно этой оси. Момент инерции всегда положителен. Единица измерения момента инерции кгм сек .  [c.195]

Теорема Штейнера о зависимости между моментами инерции твердого тела относительно параллельных осей формулируется так момент инерции твердого тела относительно оси равен сумме его момента инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр тяжести тела С, и произ-ведения массы твердого тела на квадрат расстояния между параллельными осями (рис. 129), т. е.  

[c.195]

Радиусом инерции р твердого тела относительно оси называется величина, произведение квадрата которой на массу твердого тела равно моменту инерции твердого тела относительно этой оси, т. е.  [c.195]

Твердое тело, подвешенное на упругой проволоке, совершает крутильные колебания под действием внешнего момента nis г = т.0 os pt, где то и р — положительные постоянные, гг — ось, направленная вдоль проволоки. Момент сил упругости проволоки Шупр г = —сф, где с — коэффициент упругости, а ф — угол закручивания. Момент инерции твердого тела относительно оси г равен /г- Силами сопротивления движению пренебречь. Определить уравнение движения твердого тела в случаях 1) р,  

[c.283]

Для определения моментов инерции твердого тела относительно координатных осей опустим из каждой точки тела М/ на оси х, у, г перпендикуляры MiAi, MiBi, MiDi. Квадраты этих перпендикуляров  [c.92]

Величины D, Е, F называютея центробежными моментами инерции твердого тела соответственно относительно осей и г, 2 и л , X и у. Центробежные моменты инерции могут быть положительными, отрицательными и равными нулю.  

[c.101]


Случай 2. Ось не проходит чергэ центр масс тела (рис. 92, б). Для вычисления момента инерции твердого тела относительно произвольной оси V сначала по формуле (40.1) определяют его момент инерции относительно оси v , параллельной  [c.106]

Пример 20. Зная моменты инерции твердого тела относительно главных осей инерции JX, Jу, Jгг определить центробежный момент инерции этого тела относительно взаимно-перпендикулярных осей Ог и 0J, расположенных в плоскости уОг, состав ляющнх с осями Оу и 02 углы, равные гр (рис. 99).  [c.114]

Здесь 2 fnin = Jg — момент инерции твердого тела относительно оси г.  [c.210]

Главныа момент количеств движения твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, относительно оси вращения равен произведению момента инерции твердого тела относительно этой оси на проекцию угловой скорости вращения  [c.194]


3 Вращательное движение твёрдого тела

Лекция № 3

ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЁРДОГО ТЕЛА

План

1. Абсолютное твёрдое тело. Вращательное движение. Угловая скорость и угловое ускорение, их связь с линейными скоростями и ускорениями вращающегося твёрдого тела.

2. Момент инерции тела. Кинетическая энергия вращающегося твёрдого тела.

3. Вычисление моментов инерции. Теорема Штейнера. Свободные оси.

4. Момент силы. Момент импульса.

5. Уравнение моментов. Уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела относительно неподвижной оси.

Рекомендуемые материалы

6. Гироскопы. Гироскопический эффект.

1. Абсолютно твёрдое тело. Абсолютно твёрдым телом называется такое тело, деформацией которого в условиях данной задачи можно пренебречь. Расстояние между любыми двумя точками тела остаётся неизменным.

Всякое движение твёрдого тела можно разложить на два основных вида движения – поступательное и вращательное.

Вращательным называется такое движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения.

Введём понятие угловой скорости и углового ускорения. Пусть твёрдое тело вращается вокруг неподвижной в данной системе отсчёта оси  и за время  совершает бесконечно малый поворот (рис. 3.1).

Соответствующий угол поворота будем характеризовать вектором , модуль которого равен углу поворота, а направление совпадает с осью , причём так, что направление поворота отвечает правилу правого винта по отношению к направлению вектора .

Рис. 3.1

Из рис. 3.1 следует, что . Вектор  как бесконечно малую величину можно считать по модулю равным соответствующей дуге окружности , его направление соответствует правилу правого винта по отношению к векторам  и

         Разделим обе части на :

         .                                               (*)

Производная угла поворота по времени называется угловой скоростью.

Вектор  совпадает по направлению с вектором . Изменение вектора  со временем характеризуют вектором углового ускорения:

         Из выражения * получаем связь линейной  и угловой скоростей:

                                                (**)

То есть скорость  любой точки А твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси с угловой скоростью , равна векторному произведению  на радиус-вектор  точки А относительно произвольной точки на оси вращения.

         Если выбрать в качестве точки отсчёта для радиус-вектора центр окружности вращения (точка О), при неизменном радиусе окружности  выражение (**) можно записать в скалярном виде:

Продифференцируем это выражение по времени: , отсюда получаем связь тангенциального и углового ускорений:

         Нормальное ускорение можно представить как

         Модуль полного ускорения:

         2. Момент инерции тела. Определим кинетическую энергию вращения твёрдого тела (рис. 3.2). Разделим его мысленно на отдельные элементарные части, настолько малые, чтобы их можно было считать движущимися как материальные точки (). Обозначим массу i-го элемента , а скорость этого элемента .

Кинетическая энергия этого элемента

.

Просуммировав кинетическую энергию всех элементов, получим кинетическую энергию вращательного движения тела:

         .

         Линейная скорость  связана с угловой скоростью вращения тела  (постоянна для всех точек тела).

.

Определение. Моментом инерции материальной точки относительно оси z называется произведение массы этой точки на квадрат её расстояния от оси вращения:

Определение. Моментом инерции твёрдого тела относительно некоторой оси z называется сумма моментов инерций материальных точек относительно данной оси.

В соответствии с этими определениями:

(Сравните с выражением для кинетической энергии поступательного движения , очевидно соответствие ).

Физический смысл момента инерции. Момент инерции во вращательном движении играет такую же роль, как масса при поступательном движении, характеризует меру инертности тела при вращательном движении. Чем больше момент инерции тела, тем труднее при прочих равных условиях привести его во вращательное движение. Момент инерции определяется не только массой, но и тем, как эта масса распределена относительно оси вращения.

Соотношение  является приближённым, причём тем более точным, чем меньше элементарные массы . Задача нахождения моментов инерции сводится к интегрированию.

(Интегрирование ведётся по всей массе тела ).

3. Вычисление моментов инерции. 1. Кольцо (полый цилиндр)             (рис. 3.3). В случае достаточно тонких стенок вся масса сосредоточена на расстоянии  от центра.

Относительно оси, проходящей через центр кольца:

,

.

2. Однородный диск (сплошной цилиндр)

Дано: радиус диска, масса диска.

Найти: момент инерции диска относительно оси, проходящей через центр диска.

Разобьём диск (рис. 3.4) на кольца с радиусом , толщиной . По определению момента инерции . Пусть поверхностная плотность диска , тогда масса кольца , где площадь кольца, . Интегрируя по радиусу, находим момент инерции диска:

=,

3. Тонкий однородный стержень

Дано: масса стержня, длина стержня.

Найти:  (момент инерции относительно оси ОО, проходящей через конец стержня перпендикулярно ему) (рис. 3.5).

Рис. 3.5

Ввиду одномерного характера задачи выражение  можно заменить на , где , тогда .

Теорема Штейнера (без вывода)

Постановка задачи. Известен момент инерции произвольного тела массой  относительно оси, проходящей через его центр тяжести  (рис. 3.6). Требуется найти, каков момент инерции  относительно какой-либо оси , параллельной первой и находящейся на расстоянии  от неё.

Теорема. Момент инерции тела относительно произвольной оси z равен сумме момента инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела С и параллельной данной, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями a:

.

Пример применения теоремы Штейнера.

Требуется найти момент инерции тонкого однородного стержня массой  и длиной  относительно перпендикулярной к нему оси , проходящей через центр стержня (рис. 3.7).

Рис. 3.7

Решение:

Воспользуемся полученным ранее выражением для момента инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец:

. Используя теорему Штейнера, получаем:

 отсюда .

Свободные оси

Определение. Ось вращения тела, положение которой в пространстве остаётся неизменным без действия на неё внешних сил, называется свободной.

Можно доказать, что в любом теле существует три взаимно перпендикулярных оси, проходящие через центр масс тела, которые могут служить свободными осями. Они называются главными осями инерции тела. Например, главные оси инерции однородного прямоугольного параллелепипеда проходят через центры противоположных граней. Вращение вокруг главных осей с наибольшим и наименьшим (экстремальными) моментами инерции оказывается устойчивым, а вращение вокруг оси со средним моментом – неустойчивым. Этот факт является достаточно важным при проектировании конструкций с вращающимися частями.

4. Момент силы. Пусть О – какая-либо точка, относительно которой рассматривается момент вектора силы. Обозначим  радиус-вектор, проведённый из этой точки к точке приложения силы  (Рис. 3.8).

Рис. 3.8

Определение. Моментом силы  относительно точки О называется векторное произведение радиуса-вектора на силу :

Раскрывая векторное произведение, получим  где  плечо силы (длина перпендикуляра, опущенного из точки О на линию действия силы).

В соответствии с определением векторного произведения вектор  направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы  и  в соответствии с правилом правого винта (буравчика).

Определение. Момент силы относительно оси , проходящей через точку О, есть проекция на эту ось вектора момента силы  относительно точки, лежащей на этой же оси.

 как проекция на ось является скалярной величиной.

Момент импульса

Пусть материальная точка массой  движется со скоростью  относительно точки О, а радиус-вектор этой материальной точки, проведённый из точки О (рис. 3.9).

Определение. Моментом импульса материальной точки относительно точки О называется векторное произведение радиуса-вектора  на вектор импульса :

Направление  перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы  и , в соответствии с правилом правого винта, например момент импульса электрона, двигающегося по круговой орбите в боровской модели атома.

Свяжем момент импульса с моментом инерции и угловой скоростью. Пусть радиус-вектор  некоторой частицы массой лежит в плоскости рис. 3.10, скорость  перпендикулярна ей («от нас»), частица движется по окружности радиусом .

Модуль момента импульса . Линейную скорость  можно связать с угловой  относительно оси  как , тогда . Проекция вектора  на ось вращения равна

 . Как видно из рис. 3.10, , т.е.

Для системы материальных точек (твёрдого тела) выражение связи ,  и  формально такое, как и для материальной точки:

Но под  здесь подразумевается сумма моментов инерции материальных точек системы:

Можно показать (см. , например, в [1]), что для однородного тела, симметричного относительно оси вращения, суммарный момент импульса тела . Он направлен вдоль оси вращения в ту же сторону, что и , т.е.

(Для несимметричного тела в общем случае  не совпадает по направлению с вектором ).

         5. Уравнение моментов. В дальнейших преобразованиях условимся для упрощения записи индекс 0 у ,  и других величин не писать, но подразумевать, что он есть.

         Продифференцируем выражение для момента импульса материальной точки: . .

Учтём, что , а .

         Рассмотрим первое слагаемое (см. в лекции № 1 «Векторное произведение»).

= (так как угол между  и  равен нулю).

         Второе слагаемое в выражении для

 (по определению момента силы).

          В результате получаем:

Уравнение моментов (оно связывает момент импульса с моментом силы).

         Производная по времени момента импульса материальной точки относительно точки О равна моменту действующей силы относительно точки О.

Уравнение моментов для твёрдого тела

         Рассмотрим систему частиц, на которую действуют как внутренние, так внешние силы. Моментом импульса  системы относительно точки О называется сумма моментов импульса  отдельных частиц . Дифференцирование по времени даёт, что

.                                                   

Для каждой из частиц можно написать уравнение моментов

,

где момент внутренних сил, а  момент внешних сил, действующих на -ю частицу.  (по 3-му закону Ньютона, так как внутренние силы образуют пары, равные по величине, противоположные по направлению и действующие вдоль одной прямой, т.е. образуют равные по величине и противоположно направленные моменты сил).

Получаем

         Обозначим =, получаем окончательно

     

Производная по времени от момента импульса механической системы относительно некоторой точки О равна суммарному моменту относительно той же точки всех внешних сил, приложенных к системе (уравнение моментов).

Уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела

относительно неподвижной оси

         В проекции на ось  предыдущее уравнение запишется:

а так как , то , если , то . Так как проекция углового ускорения на ось , то получим уравнение динамики вращательного движения относительно оси Z и сравним с уравнением динамики для поступательного движения (2-й закон Ньютона).

Соответствие очевидно:

Поступательное движение

Вращательное движение

 

 

Замечание: если вокруг оси  вращается однородное симметричное тело, то , и тогда очевидно:

(Угловое ускорение  совпадает по направлению с вектором момента силы).

            6. Гироскопы (от греч. круг, смотрю, наблюдаю).

Гироскопом называется массивное симметричное тело, вращающееся с большой угловой скоростью вокруг своей оси симметрии.

Рассмотрим поведение гироскопа на примере волчка (рис. 3.11). Опыт показывает, что если ось вращающегося волчка наклонена к вертикали, то волчок не падает, а совершает так называемое прецессионное движение (прецессию) – т.е. его ось описывает конус вокруг вертикали с некоторой угловой скоростью , причём чем больше скорость  вращения волчка, тем меньше угловая скорость прецессии ().

Из уравнения моментов следует:

Приращение  совпадает по направлению с моментом внешних сил, относительно точки О. Момент силы тяжести , как видно из рис. 3.11, перпендикулярен моменту импульса, т.е. , следовательно, приращение момента импульса . В результате вектор  (и ось волчка) будут поворачиваться вместе с вектором  вокруг вертикали, описывая круговой конус с углом полураствора .

         Найдём связь между ,  и :

          или в векторном виде , сравнивая с , получаем уравнение для угловой скорости прецессии.

Из уравнения видно, что момент силы определяет угловую скорость прецессии, а не ускорение. Это означает, что мгновенное устранение момента  приводит к мгновенному исчезновению и прецессии, т.е. прецессия не обладает инерцией.

Гироскопический эффект

         Рассмотрим эффект, возникающий при вынужденном вращении оси гироскопа. Пусть ось гироскопа укреплена в -образной подставке, которую мы будем поворачивать вокруг оси  (рис. 3.12).

Рис. 3.12

Если момент импульса гироскопа  направлен вправо, то при таком повороте за время  вектор  получит приращение вектор, направленный перпендикулярно . Согласно уравнению  это означает, что на гироскоп действует момент силы , совпадающий по направлению с вектором . Момент  обусловлен возникновением пары сил , действующих на ось гироскопа со стороны подставки. Ось гироскопа, в свою очередь, в соответствии с 3-им законом Ньютона будет действовать на подставку с силами . Эти силы называются гироскопическими. Они создают гироскопический момент . Появление гироскопических сил называют гироскопическим эффектом.

Замечание: в узком смысле гироскопическим эффектом иногда называют движение волчка не в сторону действия силы, а перпендикулярно к ней.

         Примеры возникновения гироскопического эффекта: гироскопическое давление на подшипники у роторов турбин, компрессоров на кораблях, самолётах при поворотах, виражах.

         Гироскопы являются основными узлами в гирокомпасах, в которых используется свойство гироскопов с тремя степенями свободы: его ось стремится устойчиво сохранить в мировом пространстве приданное ей первоначальное направление. Если ось направить на какую-либо звезду, то при любых перемещениях прибора и случайных толчках она будет указывать на эту звезду.

Вопросы для самоконтроля

1. Какое движение называется вращательным?

2. Как определяют угловую скорость и угловое ускорение?

3. Что является мерой инертности при вращательном движении?

4. Дайте определение момента инерции материальной точки и момента инерции твёрдого тела.

5. Как вычисляют моменты инерции для сплошного цилиндра и тонкого стержня?

6. Сформулируйте теорему Штейнера.

7. Что называется свободной осью? Какие оси называют главными осями инерции?

8. Дайте определения момента силы и момента импульса материальной точки относительно некоторой точки.

9. Как связан момент импульса с моментом инерции и угловой скоростью?

Если Вам понравилась эта лекция, то понравится и эта — Специфические особенности личности учителя и воспитателя.

10. Выведите уравнение моментов.

11. Запишите уравнение динамики вращательного движения относительно оси .

12. Что называется гироскопом?

13. Что такое прецессия? От чего зависит скорость прецессии?

14. Что называется гироскопическим эффектом?

Часть 15 — Движение несвободного твердого тела / Хабр


  1. Что такое тензор и для чего он нужен?
  2. Векторные и тензорные операции. Ранги тензоров
  3. Криволинейные координаты
  4. Динамика точки в тензорном изложении
  5. Действия над тензорами и некоторые другие теоретические вопросы
  6. Кинематика свободного твердого тела. Природа угловой скорости
  7. Конечный поворот твердого тела. Свойства тензора поворота и способ его вычисления
  8. О свертках тензора Леви-Чивиты
  9. Вывод тензора угловой скорости через параметры конечного поворота. Применяем голову и Maxima
  10. Получаем вектор угловой скорости. Работаем над недочетами
  11. Ускорение точки тела при свободном движении. Угловое ускорение твердого тела
  12. Параметры Родрига-Гамильтона в кинематике твердого тела
  13. СКА Maxima в задачах преобразования тензорных выражений. Угловые скорость и ускорения в параметрах Родрига-Гамильтона
  14. Нестандартное введение в динамику твердого тела
  15. Движение несвободного твердого тела
  16. Свойства тензора инерции твердого тела
  17. Зарисовка о гайке Джанибекова
  18. Математическое моделирование эффекта Джанибекова

В прошлый раз мы рассмотрели один из способов получения дифференциальных уравнений движения твердого тела исходя из принципа Даламбера. Мы остановились на общей форме уравнений движения

Однако, внимательно взглянув на эти уравнения, меня следовало бы раскритиковать — дело в том, что в данных уравнениях число неизвестных слишком велико. К неизвестным следует отнести ускорение полюса

и угловое ускорение тела

, а также реакции связей

. И если движение тела ограничено хотя бы одной связью, число неизвестных величин в (1) и (2) превышает число уравнений.

Это происходит потому, что левая часть уравнений (1) и (2) содержит ускорения, вычисляемые для случая свободного движения тела, то есть в них имеются избыточные координаты. Поэтому, систему (1), (2) следует дополнить уравнениями связей, описывающими ограничения, налагаемые связями на координаты, скорости и ускорения точек тела.

Этим мы сейчас и займемся — посмотрим, во что превращаются уравнения (1) и (2) при добавлении уравнений связей, и что дают нам полученные уравнения в практическом смысле.

Свободным называют такое тело, движение которого не ограничено связями. Соответственно в уравнениях (1) и (2) пропадают лишние неизвестные и они превращаются в

И для свободного тела нет смысла использовать произвольный полюс — лучше сменить центр приведения систем сил инерции на центр масс тела, записав уравнения движения в более простой форме

Уравнения (5) и (6) — дифференциальные уравнения свободного движения твердого тела. Они могут быть разрешены относительно ускорений и проинтегрированы численно, при заданных начальных условиях.

А теперь предположим, что движение тела ограничено сферическим шарниром, расположенным в точке

. Тогда, выбрав полюс в этой неподвижной точке, мы можем добавить уравнение связи

Реакция сферического шарнира, выражается одной силой

, поэтому, с учетом (7) уравнения (1) и (2) можно переписать в виде

причем

, так как сила

приложена в точке

, значит, получаем окончательно

Уравнение (8) позволяет определить угловое ускорение тела, исходя из начальных условий задачи и известных активных сил, приложенных к телу, а уравнение (9) дает возможность, зная угловое ускорение, найти реакцию сферического шарнира. Таким образом мы получаем дифференциальные уравнения сферического движения.

Вращательным называется движение тела, когда две его точки остаются неподвижными в любой момент времени. Если выразить этот факт с помощью уравнений, то мы можем записать следующие уравнения связей

Условие (10) выражает неподвижность одной из точек тела, а условие (11) — неизменность направления оси вращения тела. Исходя из (11) можно выписать угловую скорость и угловое ускорение тела через параметры конечного поворота

Подставляем (12) и (10) в уравнение (2)

учитывая, что у нас две связи, и соответственно две реакции от подшипников, на которых происходит поворот тела. Причем сразу можно учесть, что

, так как первая реакция приложена в точке

. Кроме того выполним скалярное умножение последнего уравнения на орт оси вращения

Учтем, что момент второй реакции можно вычислить как

, при этом

, то есть получаем

Вторые слагаемые в обеих частях данного уравнения — смешанные произведения компланарных векторов и равны нулю, в итоге имеем

— дифференциальное уравнение вращения тела вокруг неподвижной оси, где

называют

моментом инерции твердого тела относительно оси вращения

, а

— проекция векторного момента относительно неподвижной точки на ось проходящую через эту точку или —

момент силы относительно оси

.

Выражение (14) крайне интересно. Если переписать его в тензорной форме, то мы получим формулу

позволяющую, по известному тензору инерции твердого тела определить его момент инерции относительно интересующей нас оси вращения, направление которой в пространстве задано ортом

. Момент инерции (16) является скалярной величиной, характеризующей распределение массы тела вокруг оси вращения. Эта величина, равно как и уравнение (13) хорошо известны из общего курса теоретической механики.

При поступательном движении, связи, наложенные на тело препятствуют его вращению. В этом случае мы можем записать очевидные равенства

Полагая идеальность связей, мы можем записать условие, накладываемое на их реакции

где

— вектор, касательный к траекториям точек тела. В случае поступательного движения, траектории всех его точек одинаковы, а значит и вектор касательной к траектории одинаков для всех точек. С учетом (17) и (18) можно переписать уравнение (1)

или

— дифференциальное уравнение поступательного движения тела в проекциях на касательную к траекториям его точек.

В данной статье мы рассмотрели, как преобразуются общие уравнения движения твердого тела (1) и (2) если дополнить их уравнениями связей. При этом, мы легко и непринужденно построили дифференциальные уравнения движения для всех частных случаев движения тела, изучаемых теоретической механикой.

при подготовке данной статьи использован метод, предложенный пользователем SeptiM. В связи с очевидным удобством работы, хочу выразить признательность автору, за проделанную им работу.

Продолжение следует…

Механика точечных масс и твердых тел

‘) var head = document.getElementsByTagName(«head»)[0] var script = document.createElement(«сценарий») script.type = «текст/javascript» script.src = «https://buy.springer.com/assets/js/buybox-bundle-52d08dec1e.js» сценарий.id = «ecommerce-scripts-» ​​+ метка времени head.appendChild (скрипт) var buybox = document.querySelector(«[data-id=id_»+ метка времени +»]»).parentNode ;[].slice.call(buybox.querySelectorAll(«.вариант-покупки»)).forEach(initCollapsibles) функция initCollapsibles(подписка, индекс) { var toggle = подписка.querySelector(«.цена-варианта-покупки») подписка.classList.remove(«расширенный») переменная форма = подписка.querySelector(«.форма-варианта-покупки») если (форма) { вар formAction = form.getAttribute(«действие») document.querySelector(«#ecommerce-scripts-» ​​+ timestamp).addEventListener(«load», bindModal(form, formAction, timestamp, index), false) } var priceInfo = подписка.querySelector(«.Информация о цене») var PurchaseOption = toggle.parentElement если (переключить && форма && priceInfo) { переключать.setAttribute(«роль», «кнопка») toggle.setAttribute(«tabindex», «0») toggle.addEventListener («щелчок», функция (событие) { var expand = toggle.getAttribute(«aria-expanded») === «true» || ложный toggle.setAttribute(«aria-expanded», !expanded) form.hidden = расширенный если (! расширено) { покупкаВариант.classList.add («расширенный») } еще { покупкаOption.classList.remove(«расширенный») } priceInfo.hidden = расширенный }, ложный) } } функция bindModal (форма, formAction, метка времени, индекс) { var weHasBrowserSupport = window.fetch && Array.from функция возврата () { var Buybox = EcommScripts ? EcommScripts.Ящик для покупок: ноль var Modal = EcommScripts ? EcommScripts.Modal : ноль if (weHasBrowserSupport && Buybox && Modal) { var modalID = «ecomm-modal_» + метка времени + «_» + индекс var modal = новый модальный (modalID) modal.domEl.addEventListener («закрыть», закрыть) функция закрыть () { форма.querySelector(«кнопка[тип=отправить]»).фокус() } вар корзинаURL = «/корзина» var cartModalURL = «/cart?messageOnly=1» форма.setAttribute( «действие», formAction.replace(cartURL, cartModalURL) ) var formSubmit = Buybox.interceptFormSubmit( Буйбокс.fetchFormAction(окно.fetch), Buybox.triggerModalAfterAddToCartSuccess(модальный), функция () { form.removeEventListener («отправить», formSubmit, false) форма.setAttribute( «действие», formAction.replace(cartModalURL, cartURL) ) форма.представить() } ) form.addEventListener («отправить», formSubmit, ложь) document.body.appendChild(modal.domEl) } } } функция initKeyControls() { document.addEventListener («нажатие клавиши», функция (событие) { если (документ.activeElement.classList.contains(«цена-варианта-покупки») && (event.code === «Пробел» || event.code === «Enter»)) { если (document.activeElement) { событие.preventDefault() документ.activeElement.click() } } }, ложный) } функция InitialStateOpen() { var buyboxWidth = buybox.смещениеШирина ;[].slice.call(buybox.querySelectorAll(«.опция покупки»)).forEach(функция (опция, индекс) { var toggle = option.querySelector(«.цена-варианта-покупки») var form = option.querySelector(«.форма-варианта-покупки») var priceInfo = option.querySelector(«.Информация о цене») если (buyboxWidth > 480) { переключить.щелчок() } еще { если (индекс === 0) { переключать.щелчок() } еще { toggle.setAttribute («ария-расширенная», «ложь») form.hidden = «скрытый» priceInfo.hidden = «скрытый» } } }) } начальное состояниеОткрыть() если (window.buyboxInitialized) вернуть window.buyboxInitialized = истина initKeyControls() })()

Момент инерции

Момент инерции системы Частицы

Первый закон движения Ньютона гласит: «Тело поддерживает текущую состояние движения, если на него не действует внешняя сила.«Мера инерции в прямолинейном движении масса системы и ее угловой аналогом является так называемый момент инерции . Момент инерции тела не связано не только с его массой, но и с распределением массы по всему телу. Итак, два тела одинаковой массы могут иметь разные моменты инерции.

Твердое тело можно рассматривать как систему частиц, в которой взаимное расположение частиц не меняется.Момент инерции одного частица ( I ) может быть выражена как

[1]

, где m = масса частицы, а r = масса кратчайшее расстояние от оси вращения до частицы (рис. 1).

Рисунок 1

Как показано в [1], момент инерции равен равно массе, умноженной на квадрат расстояния, и также упоминается как секунд массовый момент .Масса, умноженная на расстояние, м r , называется первым массовым моментом . Эта концепция первого момента массы обычно используется для определения центра масс системы частиц или твердого тела. См. Центр Массы-Система Частиц для подробности.

Расширение [1] для системы частицы:

[2]

Топ

Момент инерции твердого тела

На основании [2] можно получить момент инерции жесткого тела по показанному на рисунке 2:

    Рисунок 2

[3]

, где r i = положение частица i и n = единичный вектор оси вращения.Обратите внимание, что ось вращения проходит через локальную систему отсчета OXYZ система. Пусть

   [4]

и

[5]

, где cos a , cos b & cos g = косинусы трех направлений вектора n в систему XYZ . Подстановка [4] и [5] в [3] приводит к

[6]

где

[7]

I xx , I yy и I zz называются моментами инерции а I xy , I yx , I yz , I zy , I zx , и I xz являются произведениями инерции .Для твердого тела относительное положение частицы не меняются и можно записать [7] как:

[8]

Когда форма и распределение плотности твердого тела точно известны, можно использовать [8] для вычисления моментов и произведения инерции. (См. уравнения BSP для MOI уравнения типичных геометрических фигур, обычно используемых в моделировании человеческого тела.) В противном случае их сложно вычислить с помощью интегрирования.Скорее, момент инерция должна измеряться непосредственно от объекта. См. Измерение MOI для деталей.

Топ

Эллипсоид инерции

Моменты и произведения инерции, приведенные в [7] и [8] в основном специфичны для локальной системы отсчета определены и отражают распределение массы внутри тела по отношению к локальным система отсчета. Как показано в [6], фактический момент инерция твердого тела относительно оси вращения является функцией не только моментов и произведения инерции для данной системы отсчета, но и ориентация оси вращения, a , b и g .Таким образом, правильнее было бы сказать, что момент инерции твердое тело отражает распределение массы внутри тела относительно оси вращение.

При изменении оси вращения меняется и момент инерции. К показать эту точку четко, пусть

[9]

Подстановка [9] на [6] дает

   [10]

Интересно, что [10] достаточно общий вид эллипсоида с центром в начале координат система отсчета.Когда I xy = I yz = I zx = 0, эллипсоид, определенный в [10], определенно становится симметрично относительно трех осей.

С

   [11]

расстояние от центра эллипсоида до поверхности равно 1 деленное на корень квадратный из момента инерции твердого тела для данного ориентация, a , b и g .Эллипсоид, определенный в [10], называется эллипсоид инерции , так как он описывает момент инерции объекта как функция ориентации оси вращения.

Топ

 

Жесткие структуры – обзор

Влияние оптически активных центров на соседние метиленовые протоны

Поскольку циклические системы имеют жесткую структуру, легко определить, резонируют ли геминальные протоны как АВ-система или нет.В ациклической системе ситуация иная. Давайте теперь исследуем схему связывания метиленовой группы, показанную ниже.

Мы предполагаем, что метиленовые протоны не имеют соседних протонов для связи. В первую очередь можно было бы ожидать, что эти протоны должны резонировать как синглет из-за свободного вращения вокруг связи С—С. На самом деле это не так. Резонансный сигнал этих метиленовых протонов зависит от структуры группы R. Например, метиленовые протоны в 105 резонируют как синглет, тогда как протоны в 106 резонируют как квартет AB.

Если молекула содержит асимметричный центр, который показан звездочкой в ​​ 106 , метиленовые протоны не эквивалентны и резонируют как квартет АВ. Этот асимметричный центр может быть связан непосредственно с метиленовым углеродом или может находиться в части молекулы. На данном этапе нелегко понять неэквивалентность этих метиленовых протонов, несмотря на свободное вращение вокруг связи С–С. Чтобы понять это явление, мы должны проиллюстрировать молекулу проекцией Ньюмена и изучить различные конформеры.Начнем с системы, в которой метиленовые протоны непосредственно присоединены к нехиральному атому углерода. Мы обозначаем заместители буквами A и B.

Три различные конформации (I–III) этого соединения представлены ниже в виде проекций Ньюмена. Происходит быстрое вращение вокруг одинарной связи углерод-углерод, и протоны быстро меняют положение. Время нахождения в любом одном ротамере мало, потому что энергетический барьер для вращения невелик. Теперь проанализируем химические окружения протонов H 1 и H 2 при взаимопревращениях различных конформаций молекулы.

В первом ротамере I два протона H 1 и H 2 расположены между заместителями A и B. Оба протона имеют одинаковое химическое окружение, поэтому ожидается, что они будут эквивалентны. Во втором ротамере II эти протоны имеют совершенно другое расположение. Протон H 1 расположен между заместителями A и B, тогда как протон H 2 находится между A и A. В замороженной конформации эти протоны будут резонировать как система AB. В последней конформации III протоны снова находятся в разном химическом окружении: протон Н 1 расположен между заместителями А и А, а протон Н 2 — между А и В.

Однако тщательный осмотр ротамеров II и III показывает, что среды H 1 и H 2 являются усредненными. Это приведет к спектру A 2 (синглету) для всех распределений популяций быстро взаимопревращающихся ротамеров (быстрое вращение). Поскольку эти протоны эквивалентны, их называют энантиотопными протонами.

Когда метиленовые протоны связаны с асимметричным центром (хиральным атомом углерода), ситуация иная.В этом случае мы обозначаем заместители буквами A, B и C. Три различные конформации (I–III) этого соединения представлены ниже в виде проекций Ньюмена. Теперь мы можем снова проанализировать химическое окружение протонов Н 1 и Н 2 при взаимопревращении различных конформаций молекулы.

В первом ротамере I протон H 1 находится между A и C, а H 2 — между B и C. Оба протона находятся в разных средах.Во втором ротамере II протон H 1 находится между B и C, а H 2 — между A и B. В первом примере (нехиральный центр) мы видели, что протоны меняют положение точно. Однако окружение H 1 в (I) и H 2 в (II) не является в точности одинаковым, и, следовательно, нельзя ожидать, что химические сдвиги H 1 и H 2 будут одинаковыми. именно усредненный. Это приведет к спектру AB для этих метиленовых протонов.

Сравнивая положения протонов H 1 и H 2 в ротамерах II и III, мы также видим, что эти протоны не меняют положения точно. В то время как H 1 находится между B и C, H 2 находится между A и B (ротамер II). Однако когда H 1 находится между A и B, тогда H 2 находится между A и C (ротамер III).

Неодинаковая химическая среда и одинаковые популяции конформеров вызовут неэквивалентность между H 1 и H 2 .В результате эти протоны будут давать систему АВ, несмотря на то, что происходит быстрое вращение вокруг одинарной связи углерод-углерод. Эти протоны называются диастереотопными протонами.

Как мы упоминали ранее, метиленовая группа может быть либо непосредственно присоединена к асимметрическому центру, либо некоторые связи могут быть удалены, чтобы стать диастереотопной. Интересно, что неэквивалентность не уменьшается автоматически по мере удаления от центра асимметрии. Проведены систематические исследования по установлению факторов, связанных с неэквивалентностью метиленовых протонов.Было обнаружено, что разница химических сдвигов между H 1 и H 2 зависит от размера, близости и типа заместителей.

В этоксинафталине ( 107 ) метиленовые протоны энантиотопны, так как молекула не имеет асимметричного центра. Однако в производном [10]аннулена 108 симметрия нарушена из-за метиленового мостика, поэтому метиленовые протоны диастереотопны.

Одним из лучших примеров, демонстрирующих неэквивалентность метиленовых протонов, является диэтилацеталь ацетальдегида.Кроме того, этот пример показывает, что неэквивалентность метиленовых протонов не ограничивается молекулами с оптически активными атомами углерода. Спектр 1 H-ЯМР диэтилацеталя ацетальдегида показан на рисунке 87.

Рисунок 87. Спектр 200 МГц 1 H-ЯМР диэтилацеталя (109) в CDCl 3 и разложения сигналов.

Квартет при 4,6 м.д. соответствует протону CH, соседнему с группой CH 3 . Мультиплет, наблюдаемый между 3.4 и 3,8 м.д. соответствуют метиленовым протонам, примыкающим к группе СН 3 . В случае энантиотопных протонов они будут резонировать как квартет из-за связи с протонами CH 3 . Тщательное изучение этого мультиплета ясно показывает, что существует система AB, в которой части A и B далее расщепляются на квартеты за счет соединения с соседними метильными протонами. Метиленовые протоны CH 2 диастереотопны. Они связаны (разделены двумя связями) с атомом углерода, несущим три различных заместителя (H, CH 3 и OCH 2 CH 3 ).Как мы видели на примере ротамеров, три разных заместителя создают разное окружение для метиленовых протонов.

Диастереотопные протоны очень часто встречаются в спектрах ЯМР. Например, спектр Н-ЯМР 1 (рис. 88) дибромида 110 показывает наличие диастереотопных протонов [66].

Рисунок 88. 200 МГц 1 H-ЯМР-спектр дибромацетата ( 110 ) в CDCl 3 и разложение сигналов.

Метиленовые протоны, соседние с атомом брома, резонируют как система АВ.Эта метиленовая группа непосредственно связана с хиральным атомом углерода, что обусловливает неэквивалентность метиленовых протонов. Линии системы AB далее расщепляются на дублеты, что возникает в результате связи с протоном CH.

Обсуждаемая выше неэквивалентность протонов не ограничивается метиленовыми группами, присоединенными к оптически активным атомам углерода. Группа диметилового углерода (-C(CH 3 ) 2 X), присоединенная к хиральному углероду, будет иметь диастереотопные метильные группы. Метильные группы резонируют как два отдельных синглета (некоторые примеры см. в Таблице 6.2).

Таблица 6.2. Избранные примеры для энантиотопных и диастереотопных протонов

Другая распространенная ситуация включает изопропильную группу, присоединенную к асимметричному центру. Например, метильные группы в такой системе, как Me 2 CH-CABC, выглядят как две пары дублетов, причем каждый дублет демонстрирует вицинальное связывание за счет метиновых протонов.

10.4 Момент инерции и кинетическая энергия вращения – University Physics Volume 1

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

  • Описать различия между вращательной и поступательной кинетической энергией
  • Дайте определение физической концепции момента инерции в терминах распределения массы относительно оси вращения
  • Объясните, как момент инерции твердых тел влияет на их кинетическую энергию вращения
  • Использование закона сохранения механической энергии для анализа систем, подвергающихся как вращению, так и поступательному перемещению
  • Расчет угловой скорости вращающейся системы при наличии потерь энергии из-за неконсервативных сил

До сих пор в этой главе мы работали с кинематикой вращения: описанием движения вращающегося твердого тела с фиксированной осью вращения.В этом разделе мы определяем две новые величины, полезные для анализа свойств вращающихся объектов: момент инерции и кинетическую энергию вращения. Определив эти свойства, мы получим два важных инструмента, необходимых для анализа динамики вращения.

Кинетическая энергия вращения

Любой движущийся объект обладает кинетической энергией. Мы знаем, как вычислить это для тела, совершающего поступательное движение, но как насчет твердого тела, совершающего вращательное движение? Это может показаться сложным, потому что каждая точка твердого тела имеет разную скорость.Однако мы можем использовать угловую скорость, которая одинакова для всего твердого тела, чтобы выразить кинетическую энергию вращающегося объекта. На рисунке показан пример очень энергичного вращающегося тела: электрический точильный камень, приводимый в движение двигателем. Когда точильный камень выполняет свою работу, летят искры, возникают шум и вибрация. Эта система обладает значительной энергией, частично в виде тепла, света, звука и вибрации. Однако большая часть этой энергии находится в форме вращательной кинетической энергии .{2}[/latex], а скорость — это величина, разная для каждой точки тела, вращающегося вокруг оси, имеет смысл найти способ записать кинетическую энергию через переменную [latex]\omega[/ латекс], который одинаков для всех точек на твердом вращающемся теле. Для одиночной частицы, вращающейся вокруг фиксированной оси, это легко вычислить. Мы можем связать угловую скорость с величиной поступательной скорости, используя соотношение [latex]{v}_{\text{t}}=\omega r[/latex], где r — расстояние частицы от ось вращения, а [latex]{v}_{\text{t}}[/latex] — его тангенциальная скорость.{2}.[/латекс]

В случае твердого вращающегося тела мы можем разделить любое тело на большое количество меньших масс, каждая из которых имеет массу [латекс]{м}_{j}[/латекс] и расстояние до оси вращения [ латекс]{r}_{j}[/latex], так что общая масса тела равна сумме масс отдельных лиц: [latex]M=\sum _{j}{m}_{j} [/латекс]. {2}.{2}[/latex], где r — расстояние от точечной частицы до оси вращения. В следующем разделе мы исследуем интегральную форму этого уравнения, которую можно использовать для расчета момента инерции некоторых твердых тел правильной формы.

Момент инерции есть количественная мера инерции вращения, как и в поступательном движении, а масса есть количественная мера линейной инерции, т. е. чем массивнее объект, тем больше у него инерция и тем больше его сопротивление изменению линейной скорости.Аналогично, чем больше момент инерции твердого тела или системы частиц, тем больше их сопротивление изменению угловой скорости относительно неподвижной оси вращения. Интересно посмотреть, как меняется момент инерции с г, расстоянием до оси вращения массовых частиц на рис. Твердые тела и системы частиц с большей массой, сосредоточенные на большем расстоянии от оси вращения, обладают большими моментами инерции, чем тела и системы той же массы, но сосредоточенные вблизи оси вращения.{2}.[/латекс]

Из этого уравнения видно, что кинетическая энергия вращающегося твердого тела прямо пропорциональна моменту инерции и квадрату угловой скорости. Это используется в накопителях энергии маховика , которые предназначены для накопления большого количества кинетической энергии вращения. Многие автопроизводители в настоящее время испытывают в своих автомобилях накопители энергии маховика, такие как маховик или система рекуперации кинетической энергии, показанные на рисунке.

Рис. 10.18 A Маховик KERS (система рекуперации кинетической энергии), используемый в автомобилях. (кредит: «cmonville»/Flickr)

Вращательные и поступательные величины для кинетической энергии и инерции представлены на рисунке. Столбец отношений не включен, потому что не существует константы, на которую мы могли бы умножить вращательную величину, чтобы получить поступательную величину, как это можно сделать для переменных на рисунке.

Пример
Момент инерции системы частиц

Шесть маленьких шайб расположены на расстоянии 10 см друг от друга на стержне пренебрежимо малой массы и 0.5 м в длину. Масса каждой шайбы 20 г. Стержень вращается вокруг оси, расположенной на расстоянии 25 см, как показано на рис. а) Чему равен момент инерции системы? б) Если убрать две ближние к оси шайбы, каков будет момент инерции оставшихся четырех шайб? в) Если система с шестью шайбами ​​вращается со скоростью 5 об/с, какова ее кинетическая энергия вращения?

Рисунок 10.19 Шесть шайб расположены на расстоянии 10 см друг от друга на стержне незначительной массы и вращаются вокруг вертикальной оси.{2}=1,73\,\text{J}[/латекс].
Значение

Мы можем видеть индивидуальные вклады в момент инерции. Массы вблизи оси вращения вносят очень небольшой вклад. Когда мы их убрали, это очень мало повлияло на момент инерции.

В следующем разделе мы обобщим уравнение суммирования для точечных частиц и разработаем метод расчета моментов инерции твердых тел. Однако пока на рисунке приведены значения инерции вращения для обычных форм объектов вокруг заданных осей.

Рисунок 10.20 Значения инерции вращения для обычных форм объектов

Применение кинетической энергии вращения

Теперь давайте применим идеи кинетической энергии вращения и таблицу моментов инерции, чтобы получить представление об энергии, связанной с несколькими вращающимися объектами. Следующие примеры также помогут вам освоиться с этими уравнениями. Во-первых, давайте рассмотрим общую стратегию решения проблем с вращательной энергией.

Стратегия решения проблем: энергия вращения

  1. Определите, какая энергия или работа связана с вращением.
  2. Определите интересующую систему. Эскиз обычно помогает.
  3. Проанализируйте ситуацию, чтобы определить виды работы и энергии.
  4. Если нет потерь энергии из-за трения и других неконсервативных сил, механическая энергия сохраняется, то есть [латекс] {K} _ {\ text {i}} + {U} ​​_ {\ text {i}} ={K}_{\text{f}}+{U}_{\text{f}}[/латекс].
  5. Если присутствуют неконсервативные силы, механическая энергия не сохраняется, и другие формы энергии, такие как тепло и свет, могут входить в систему или выходить из нее.Определите, каковы они, и рассчитайте их по мере необходимости.
  6. Удалите термины везде, где это возможно, чтобы упростить алгебру.
  7. Оцените численное решение, чтобы увидеть, имеет ли оно смысл в физической ситуации, представленной в формулировке задачи.

Пример

Расчет энергии вертолета

Типичный небольшой спасательный вертолет имеет четыре лопасти: каждая имеет длину 4,00 м и массу 50,0 кг (рисунок). Лопасти можно представить как тонкие стержни, которые вращаются вокруг одного конца оси, перпендикулярной их длине.Вертолет имеет полную загруженную массу 1000 кг. а) Рассчитайте кинетическую энергию вращения лопастей, когда они вращаются со скоростью 300 об/мин. (b) Рассчитайте поступательную кинетическую энергию вертолета, когда он летит со скоростью 20,0 м/с, и сравните ее с энергией вращения лопастей.

Рисунок 10.21 (а) Эскиз четырехлопастного вертолета. b) спасательная операция на воде с участием вертолета Оклендской спасательной вертолетной службы Westpac. (кредит b: «111 Emergency»/Flickr)
Стратегия

Кинетическая энергия вращения и поступательного движения может быть рассчитана по их определениям.{2}.[/латекс]

Мы должны преобразовать угловую скорость в радианы в секунду и рассчитать момент инерции, прежде чем мы сможем найти K . Угловая скорость [латекс]\омега[/латекс] равна

[латекс]\omega =\frac{300\,\text{rev}}{1.00\,\text{min}}\,\frac{2\pi \,\text{rad}}{\text{1 rev}}\,\frac{1.00\,\text{min}}{60.0\,\text{s}}=\,31.4\,\frac{\text{rad}}{\text{s}}. [/латекс]

Момент инерции одной лопасти равен моменту инерции тонкого стержня, вращающегося вокруг своего конца, указанному на рис.{2}=450,0\,\text{J}.[/latex]

Таким образом, полная энергия бумеранга равна

[латекс] {K} _ {\ text {Всего}} = {K} _ {\ text {R}} + {K} _ {\ text {T}} = 80,93 + 450,0 = 530,93 \, \ text { J}.{2}[/латекс].{2}[/latex] момент инерции увеличивается как квадрат расстояния до фиксированной оси вращения. Момент инерции является вращательным аналогом массы в линейном движении.

  • В системах, которые одновременно вращаются и перемещаются, можно использовать закон сохранения механической энергии, если не действуют неконсервативные силы. Тогда полная механическая энергия сохраняется и представляет собой сумму кинетической энергии вращения и поступательного движения, а также потенциальной энергии гравитации.
  • Концептуальные вопросы

    Что, если бы другая планета размером с Землю была отправлена ​​на орбиту вокруг Солнца вместе с Землей. Момент инерции системы увеличится, уменьшится или останется прежним?

    Твердый шар вращается вокруг оси, проходящей через его центр, с постоянной скоростью вращения. Другая полая сфера той же массы и радиуса вращается вокруг своей оси, проходящей через центр, с той же скоростью вращения. Какой шар имеет большую кинетическую энергию вращения?

    Показать решение

    Полая сфера, так как масса распределена дальше от оси вращения.

    Проблемы

    Система точечных частиц показана на следующем рисунке. Каждая частица имеет массу 0,3 кг и все они лежат в одной плоскости. а) Чему равен момент инерции системы относительно данной оси? б) Если система вращается со скоростью 5 об/с, какова ее кинетическая энергия вращения?

    (а) Рассчитайте кинетическую энергию вращения Земли вокруг своей оси. б) Какова кинетическая энергия вращения Земли на ее орбите вокруг Солнца?

    Показать решение

    а.{33}\,\text{J}[/латекс]

    Рассчитайте кинетическую энергию вращения колеса мотоцикла массой 12 кг, если его угловая скорость равна 120 рад/с, внутренний радиус равен 0,280 м, а внешний радиус равен 0,330 м.

    Бейсбольный питчер бросает мяч движением, при котором происходит вращение предплечья вокруг локтевого сустава, а также другие движения. Если линейная скорость мяча относительно локтевого сустава равна 20,0 м/с на расстоянии 0,480 м от сустава, а момент инерции предплечья равен [латекс]0.{30}\,\text{кг}[/латекс] и радиусом 10 км вращается с периодом 0.{42}\,\text{J}[/латекс]

    Электрический шлифовальный станок, состоящий из вращающегося диска массой 0,7 кг и радиусом 10 см, вращается со скоростью 15 об/сек. При нанесении на грубую деревянную стену скорость вращения уменьшается на 20%. а) Чему равна конечная кинетическая энергия вращения вращающегося диска? б) Насколько уменьшилась его кинетическая энергия вращения?

    Система состоит из диска массой 2,0 кг и радиусом 50 см, на который насажен кольцевой цилиндр массой 1,0 кг с внутренним радиусом 20 см и внешним радиусом 30 см (см. ниже).{2}[/латекс]; б. [латекс]К=621,8\,\текст{J}[/латекс]

    Глоссарий

    момент инерции
    вращающаяся масса твердых тел, которая относится к тому, насколько легко или сложно будет изменить угловую скорость вращающегося твердого тела
    вращательная кинетическая энергия
    кинетическая энергия за счет вращения объекта; это часть его полной кинетической энергии

    Жесткое движение. Динамика твердого тела

    Динамика твердого тела


    в классике (ньютоновская) Механика
    (25 июля 2007 г.) Вращение системы отсчета (жесткая кинематика)
    Истинное изменение вектора при перемещении системы отсчета.

    Трехмерный вектор U координат (x,y,z) представляет собой линейную комбинацию из трех попарно перпендикулярных единичных векторов системы координат:

    U   =   x i  +  y j  +  z k

    Если бы базовые векторы были постоянными, тогда производная U было бы просто вектор координат ( x ,y ,z  ) потому что три производные i , j , k исчезнет…  В противном случае мы должны использовать общее выражение:

    U   = x i  +  y j  +  z k + x i  +  y j  +  z k

    Длина каждого базового вектора остается постоянной, и они остаются ортогональными. Значит, производные всех их попарных скалярных произведений равны нулю. Например, я. i  = 0 и я. j  +  j . я  = 0. Таким образом, существуют 3 числа a , b , c такие, что:

    я . я = 0   я . к = с   я .к =   б
    й . я =   с Дж . j = 0 Дж . к = а
    к. я = б к.j =   a к. к = 0

    Представляем   W  = a i + b j + c k , это говорит нам о том, что:

    я   = ( я . я я  + ( Дж.я к  + ( к . i к   = Вт ´ и
    Аналогично,   j   = Вт ´ Дж а также к   = Вт ´ к

    Эти значения и , к и к превратите приведенное выше выражение для U  в:

    U   = x i  +  y j  +  z k + Ш ´ Ю
     
    Где Вт знак равно ( j я  + ( к . я j  + ( i . j k
    W   называется вектор вращения   из ( и , и , к )

    Мы можем применить одно и то же правило дважды, чтобы получить вторую производную от U . и найти, что U »  является суммой четырех слагаемых, соответствующие стольким различным типам из ускорение  , которым были присвоены следующие имена:

    • Относительное ускорение: x » i  +  y » j  +  z » k
    • Центростремительное ускорение: Вт ´ ( Вт ´ У ) знак равно ( Вт ) Ш — Ш 2 Ю
    • Кориолисово ускорение: 2 Вт ´ ( x i  +  y j  +  z k )
    • Эйлерово ускорение: Вт ´ У
    (2007-09-12) Динамика вращения твердого тела
    Как импульс остается произведением инерции на скорость…

    Для вращательного жесткого движения импульс, скорость и инерция равны угловые  величины, определения которых зависят от точки  O выбрано в качестве источника для должностей. Они соответственно называются:

    • Угловой момент. л = г ´ р (масса импульса p расположена в точке r ).
    • Угловая скорость: Другое название приведенного выше вектора вращения Вт .
    • Момент инерции или, точнее, тензор инерции Дж (квадратная матрица).

    Если O — центр масс, то выполняется следующее соотношение (где J дается выражением, которое мы далее установить).

    л   =   Дж Вт

    Доказательство : Подобно L , J является добавкой , то есть значение для протяженного тела получается путем сложения вкладов всех его массовых элементов.

    L   =   ò р ´ в дм где v = v o + Вт ´ р
    Следовательно, л   = ( ф р дм ) ´ против или + ò р ´ ( Вт ´ р ) дм

    Первый член исчезает, если O является центром масс, тогда как второй член является линейной функцией от Вт . В таком виде его можно выразить в виде JW .

    Явное выражение для тензора J лучше всего получается путем переключения из векторных обозначений (кросс-произведения и/или скалярные произведения) к матричным обозначениям, где r *  — это примыкающий из р (т. е.  r   – столбец,  r *   – строка,   r   r *  — квадратная матрица, а r * r   — просто скаляр р ).

    р ´ ( Вт ´ р ) знак равно р 2 Ш  — ( р.В ) р знак равно р 2 Ш  — р р * Ш

     

    J   правильно тензор   (т. е. квадратная матрица) но, когда ось вращения зафиксирована, удобно ввести скаляр Дж, называется моментом инерции относительно этой оси, который можно определить как:

    J = u * J u

    Здесь u — это единичный [ столбец ] вектор вдоль заданной оси вращения и u * его транспонировано ( u * — это ряд компонентов). Это дает скалярное отношение :

    || л || знак равно L   =   J ш

    Обратите внимание, что диагональные элементы в матрице J – моменты инерции относительно осей Ox, Oy и Oz, соответственно. (Противоположностями недиагональных элементов являются известный как произведение инерции .)

    Поскольку тензор инерции явно симметричен, выбор системы координат, в которой находится соответствующая матрица диагональ   (произведения инерции равны нулю). Осями такой системы являются так называемые главные оси инерции . Обычно встречаются соображения симметрии, которые определить направления этих осей практически без вычислений.

    Например, главные направления инерции однородный кирпич ар параллельно краям кирпича. В частном случае куба , главные моменты инерции одинаковы. Следовательно тензор инерции куба есть скаляр, кратный единичной матрице О .

    Тела, наделенные одинаковыми главными моментами говорят, что инерция имеет изотропную инерцию . Такое тело имеет одинаковый момент инерции J около любых ось, проходящая через его центр масс, независимо от его «наклона» (не прибегая к понятию «тензор инерции», этот простой результат был бы очень  утомительным   доказать прямым интегрированием даже для однородного куба).

    Когда есть изотропная инерция , угловой момент всегда коллинеарен вращению вектор В. В противном случае, это не должно иметь место!

    (2013-02-21)   Кинетическая энергия твердого тела
    Сумма его вращательной энергии и кинетической энергии его центра масс.

    Энергия вращения равна:

    E R   =   ½ Вт . Л =   ½ Вт * Дж Вт

    Если вектор вращения Вт имеет координаты (Ш 1 , В 2 , W 3 ) вдоль главных осей или инерции, то указанное выше также равно:

    ½ ( J 1 W 1 2  + J 2 W 2 2  + J 3 W 3 2 )

    Полная кинетическая энергия твердого тела равна сумме указанных выше и что бы — кинетическая энергия всей его массы, находящейся в его центре тяжести:

    E = ½ M v 2 + ½ Вт * Дж Вт

    (2007-09-13) Моменты инерции относительно точки или плоскости
    Математические вымыслы, направленные на вычисление инерции относительно оси .

    Момент инерции элемента массы dm обычно можно определить как r 2 dm где r — расстояние до некоторого эталонного объекта .

    Этот эталонный объект обычно является осью, вокруг которой вращение Считается.

    Однако мы можем также рассматривать моменты относительно точки или относительно самолет. Такие моменты инерции не имеют прямого физического применения. вращательному движению, но они могут быть удобными ступеньками  в расчет физического момента инерции твердого тела около оси

    В декартовой системе координат твердое тело состоит из бесконечно малых элементы массы dm = r dx dy dz  где r — массовая плотность в точке (x, y, z). Типичные (обобщенные) моменты инерции имеют следующие выражения:

    Момент инерции относительно точки   O :   шт ( х 2 + у 2 + г 2 ) дм
    Момент инерции относительно оси унций : шт ( х 2 + у 2 ) дм
    Момент инерции относительно плоскости   xOy : шт з 2   дм

    Можно сделать несколько утверждений, непосредственно вытекающих из таких определений.

    Например, сумма моментов инерции относительно двух перпендикулярных плоскости   равен моменту инерции относительно оси где они пересекаются. (Для тонкой массивной пластины это означает доказательство представлена ​​так называемая теорема об перпендикулярных осях ниже.)

    Также легко заметить, что сумма (обыкновенных) моментов инерции относительно 3 взаимно перпендикулярных осей встреча в точке О равна дважды момент инерции относительно точки   О. Таким образом, если известно, что эти 3 осевых момента инерции идентичны, каждый должен быть равен 2/3 момента относительно центра. Это позволяет легко вычислить момент инерции относительно оси, проходит через центр сферического распределения масс, как описано в следующей статье.

    Для тонкой полой сферической оболочки (например, шарика для пинг-понга) вся масса M находится на расстоянии R от центра и таким образом, инерция относительно центра равна MR 2 . Итак, момент инерции такой однородной оболочки относительно оси, проходящей через ее центр:

    J = 2 / 3 M R 2

    (2007-09-13) Теорема о перпендикулярной оси
    Моменты инерции пластинки относительно оси, перпендикулярной ей.
      Плоское распределение массы называется пластинкой . Момент инерции такой тонкой пластины вокруг оси Оз перпендикулярно его плоскости есть сумма моментов инерции относительно две ортогональные оси Ox и Oy внутри   плоскости  (пересечение  O  где перпендикулярная ось пересекает пластину). В двух словах:

    J z   = J x + J y

    Доказательство : Как отмечалось ранее, моменты инерции относительно двух перпендикуляров плоскости складываются в момент инерции вокруг  оси  , где они пересекаются. Вывод следует из замечания, что момент инерции плоского распределения относительно оси, лежащей в его плоскости совпадает с моментом инерции относительно плоскости перпендикулярно пластине, которая пересекает ее вдоль этой оси.

    Более непосредственно результат может быть истолкован как следствие равенства:

    ò ( х 2 + у 2 ) дм знак равно ò у 2 дм + ò х 2 дм

    Пример:

    Момент инерции вокруг центральной вертикальной оси горизонтального однородного диска массой M а радиус R легко найти напрямую… (СОВЕТ: M и J пропорциональны ò r dr а также òr 3 др.)

    J z   =   ½ M R 2

    Теорема дает момент этого тонкого диска относительно горизонтальной оси:

    J x   =   J y   =   ¼ M R 2 .

    (2007-09-13) Теорема о параллельных осях
    Теорема Кенига   применяется к моменту инерции относительно оси.

    Если J — момент инерции относительно оси, проходящей через центр массы тела массой М, то момент инерции J   относительно другой параллельной оси в расстояние d определяется следующим соотношением:

    J   =   J  +  M d 2

    (2007-09-16)   Момент инерции толстой пластины
    Если тонкая пластина массой M имеет инерцию k M  относительно центральной оси своей плоскости, то такая же пластина толщиной h имеет инерцию J = M (k + h 2 /12).

    Рассмотрим толстую горизонтальную пластину и горизонтальную ось, проходящую через нее. центр масс (на высоте z=0). Любое горизонтальное поперечное сечение на высоте z представляет собой «тонкую пластину» из бесконечно малая высота dz, масса которой равна (M/h) dz. Теорема о параллельных осях дает момент инерции такой тонкой пластины относительно нашего центрального ось и момент инерции всей плиты толщиной   получается простым интегралом:

    Дж = ò  h / 2
     
    -h / 2
      ( k + z 2 ) (М/ч) dz =     M ( k + h 2 /12 )

    Для поперечного сечения незначительной протяженности (k=0) эта формула дает момент инерция прямого стержня длиной h относительно перпендикулярной к нему центральной оси.

    Дж   =  М ч 2 / 12

    Менее тривиально можно рассмотреть вертикальный цилиндр высотой h поперечное сечение которого представляет собой однородный диск радиуса R. Как показано выше, момент такого диска относительно горизонтальной оси симметрии равен k = ¼ R 2  , умноженное на его массу. Следовательно, момент инерции цилиндра относительно любой горизонтальная   ось:

    J x   = J y   =   M  ( R 2 / 4 + ч 2 / 12 )

    Формула тонкого диска справедлива для вертикальной оси: J z  = ½ M R 2
    Изотропная инерция ( J x = J y = J ) достигается при h = R …3.

    (2011-04-19)   Инерция прямого конуса (или коническая усеченная часть)
    Момент инерции конуса относительно его оси симметрии.

    J z   =   3 / 10  М (р 5 — р 5 ) / 3 — р 3 )

    Обратите внимание, как это становится J z  = ½ M R 2 когда  R = r (по правилу Лопиталя).

    (2007-09-13)   Инерция других однородные твердые вещества массой M
    Моменты инерции относительно главных осей, проходящих через центр масс.

    Трубка высотой h, внутренний радиус r, внешний радиус R :
    [Для сплошного цилиндра r = 0. Для тонкой трубки r = R.]

    J x   = J y   =  M  [ ( R 2 + r 2 ) / 4 + ч 2 / 12 ]
    J z   =  M  ( R 2 + r 2 ) / 2

    Тор  (кольцо)  из внутренний радиус r и внешний радиус R :

    J x   = J y   =  M  [ ( R 2 + r 2 ) / 4 + (R-r) 2 / 32 ]
    J z   =  M  [ ( R 2 + r 2 ) / 2 — (R-r) 2 / 16 ]

    Сфера радиуса R :

    J x   = J y   = J z   =   2 / 5 M R 2

    Эллипсоид из главная
    полуоси а , б , в :
    J x  =  1 / 5 М ( б 2 + в )
    J y  =  1 / 5 М ( a 2 + c )
    J z  =  1 / 5 М ( а 2 + б 2 )
     
    Кирпич из края a , b , c :
     
    ( для куба ,  J  = 1 / 6 М а 2 )
    J x  =  1 / 12 М ( б 2 + в )
    J y  =  1 / 12 М ( a 2 + c )
    J z  =  1 / 12 М ( а 2 + б 2 )

    Полый шар. Сферическая оболочка внутреннего радиуса r и внешний радиус R :

    Дж = 2 / 5 М ( р 5 — р 5 ) / ( Р 3 — р 3 )

    Когда такая сферическая оболочка достаточно тонкая (например, мячик для пинг-понга) мы можем ввести относительную толщину x = (R-r)/R. Таким образом, мы имеем r = R (1-x)  и получаем:

    Дж = 2 / 3 М Р 2 [ 1 — х + 2 х 2 /3 — х 4 /45 — х 5 /45 — 2 x 6 /135 — x 7 /135 — … ]

    Старомодные шарики для пинг-понга имеют номинал радиусом 19 мм и толщиной примерно 0,38 мм. Таким образом, x почти равен 0,02, и мы имеем:

    J = 0,6535 M R 2 =   5,898 г см 2

    Такие шарики диаметром 38 мм имеют номинальную массу 2,5 г. 1 октября 2000 г. их заменили на шары «40 мм» (номинальной массой 2,7 г) для официальных соревнований. Предполагая, что материал остался прежним, это привело к уменьшению толщины. к 7.4%.&nbsp и уменьшил параметр x на 12 %, до 0,0176.

    J = 0,655 M R 2 =   7,074 г см 2

    В целом, момент инерции мячика для пинг-понга в 2000 году увеличился на 20 %.

    (2008-02-15) Жесткий «составной» маятник
    Твердое тело, движущееся вокруг фиксированной горизонтальной оси.

    На фото справа положение в вертикальной плоскости, содержащее тело. центр тяжести (С).Ось вращения проходит через точку О. q — угол от вертикали до линии OC.

    Пусть M — масса тела, J — его момент. инерции вокруг оси, проходящей через центр тяжести. Пусть L — расстояние от O до C. По теореме о параллельных осях момент вокруг фактической оси вращения равен J + ML 2 .

    Что касается О единственный крутящий момент вес  мг применяется в точке C.Это равно производная углового момента (J + ML ) q .

    (J + ML ) q »  +  M g L грех q   =   0

    Для малых колебаний (sin q » q) это представляет собой гармоническое движение периода T.

    Т = 2 п О   Л + Дж/МЛ
    г

    Простой маятник — это частный случай J = 0; точечная масса, подвешенная на безмассовой струне, которая вызывает небольшие колебания периода T = 2p Ö(л/г).

    Вышеприведенный имеет тот же период, что и простой маятник длиной Л + Дж/мл. Точка S за пределами C на таком расстоянии от O называется центром колебаний   или центр ударных так как перпендикулярный удар в этой конкретной точке (ласково называемое сладкое место ) не будет ощущаться в точке вращения O.

    Это очень желательная функция, если «маятник» на самом деле является молотком. запястьем в точке О.Удобнее всего бить гвоздь поверхностью молотка в точке S. Это сделают опытные плотники, которые «знают» свои любимые молотки. довольно естественно.

    См. также: Конический маятник

    (2009-08-19) Реверсивный маятник
    Асимметричный маятник с двумя стержнями, дающими тот же период.

    В составном маятнике , рассмотренном выше, среднее геометрическое расстояния OC и CS всегда равны радиус вращения   R.

    ОС . CS = R 2 = J / M

    В 1673 г. Христиан Гюйгенс отметил, что это дает точку вращения O и центр ударных S («наилучшее место») сменный роли.

    Прецизионные маятники, называемые реверсивными маятниками , были сконструированы, которые могут качаться из любой точки с тем же периодом колебаний, что и у простого маятника длина которого будет равна расстоянию OS.

    Две (параллельные) поворотные оси реверсивного маятника обычно расположены на различных  расстояний от центра тяжести  C (кроме особого случая, когда они оба расположены на расстоянии равен вышеупомянутому радиусу вращения   R). Симметричный маятник с двумя точками опоры. редко обратимый.

    В области гравиметрии реверсивный маятник часто называют абсолютным маятником, потому что знание расстояния между двумя его осями позволяет прямое преобразование его измеренного периода в абсолютное локальное значение гравитационного поле (другие типы маятников дают только относительные измерения и должны быть откалиброваны для обеспечения абсолютного значения).

    См. также: Угольная шахта Эйри

    (2007-09-13)   Момент инерции сферического распределения
    Простое вычисление даже для неоднородной сферы.
     

    Для твердого объекта с сферическая симметрия , момент инерции относительно оси через центр составляет 2/3 инерции относительно самого центра (как показано выше). Итак, если  r(r)  – это плотность на расстоянии r от центра, то общая масса M и момент инерции J относительно любой оси, проходящей через центр:

    М = ò 4 п р(р) р 2 др а также J = 2 / 3 ò 4 p r(r) r 4 dr

    Для однородной сферы радиуса R, r постоянно, и мы получаем:

    J = 2 / 5 M R 2

    Однородный эллипсоид:

      Однородное твердое тело остается однородным, когда оно растягивается на коэффициент (c/R) в направлении страны Оз.Если при таком растяжении общая масса M остается неизменной, то моменты инерции около плоскостей параллельных направлению растяжения неизменны. Однако момент инерции относительно перпендикулярной плоскости умножается на квадрат коэффициента растяжения (c/R).

    Для однородного эллипсоида уравнения (х ) 2 + (у ) 2 + (z /c ) 2   < 1 мы применяем тот же аргумент последовательно к трем ортогональным растяжениям, начиная со сферы. Это дает моменты инерции эллипсоида относительно трех координатных плоскостей. А именно:

    J xOy   =   1 / 5 M c 2 J yOz   =   1 / 5 M a 2 J zOx   =   1 / 5 M b 2

    Их попарные суммы представляют собой моменты инерции относительно координаты оси .Итак, получаем следующее выражение для матрицы инерции:

    (2010-12-13) Момент инерции Земли относительно ее полярной оси
    C = 0,330695 M a 2   [где a  – экваториальный   радиус Земли ]

    Коэффициент 0,330695 = J 2 / H (см. ниже)&nbsp известно гораздо точнее (из астрономических наблюдений), чем фактическое распределение плотности вещества внутри Земли. Таким образом, первое рассматривается как экспериментальное ограничение для любой модели последнего.

    Сейсмолог и прикладной математик Кейт Эдвард Буллен (1906–1976; ФРС 1949) приписывается замечание о том, что приведенный выше числовой коэффициент могут быть получены из наблюдаемых движений Земли и Луны. По сейсмологическим данным Буллен установил в 1930-х гг. совместимые модели плотности Земли с астрономическими наблюдениями, которые оставались стандартными на протяжении десятилетий.

    Так называемое динамическое сплющивание  (H)  Земли – это следующая функция трех главных импульсов инерции Земли А < В < С.

    H  =  [ C — &frac12 (A+B) ] / C

    H можно получить из наблюдаемого периода прецессии равноденствий. Он связан со вторым зональным параметром Стокса (J 2 ), определяемым следующим образом:

    J 2   =   [ C — &frac12 (A+B) ] / M a 2

    Это появляется в многополюсном расширении гравитационного поля. Под альтернативным названием второй динамический форм-фактор , J 2 является основным параметром в определении опорный эллипсоид (IUGG 1980) что также вводит значение экваториального радиуса a .

    а  =  6378137 м J 2  =  0,00108263

    По номиналу это дает H = 0,00108263 / 0,330695 = 0,0032738
    . Кроме того, момент инерции Земли относительно экватора ось:

    А   =   Б   = C  —  J 2 M a 2 = 0.329612 М и 2

    Устойчивое изменение в [the] Уплощение Земли: Постоянная прецессии и ее долговременное изменение.
    Милан Бурса, Эрвин Гротен, Здислав Сима. Астрономический журнал   135   (2008) 1021

    (2019-08-12) J 2 : Второй динамический форм-фактор
    Доминирующий асферический компонент в ньютоновском мультипольном расширении.

    Следующее обсуждение обычно применяется только к сплюснутым сфероидам, но это справедливо для любого жесткого распределения массы, независимо от симметрии. Если мы используем в качестве начала наших координат центр масс O, то дипольная составляющая исчезает и доминантная коррекция к сферическому полю квадруполярный .

    Пусть M будет полной массой твердого тела, и обозначим как . его наибольший радиус  (от центра массы O до самой дальней массивной точки). Для сплюснутого сфероида этот радиус будет равен экваториальному радиусу .

    По аналогии с электростатикой многополярный ньютоновский потенциал равен:

    V( r )   =   V(r u )   =        M a n J n ( u )
    р р н

    По определению, безразмерный скаляр J n ( u ) — это n th форм-фактор в направлении единичного вектора u .

    Второй динамический форм-фактор (J 2 ) | Уплощение (сжатие)
    Полиномы Лежандра | Сферические гармоники (Лаплас, 1782 г.) | Многополюсное расширение
     
    Геофизика | Физическая геодезия Мартин Вермеер  (2019-08-04).
     
    J2 и его безразмерный аналог Space Stack Exchange (сентябрь 2017 г.).
    Геофизическая модель динамического уплощения Земли в соответствии с постоянной прецессии P.Дефрейн (1997).
    Приблизительно значение J2, связанное с вращением Planet Space Stack Exchange (16 апреля 2019 г.).

    (2019-08-09)   Осевая прецессия :
    Странная реакция гироскопа на крутящий момент, приложенный к его оси.

    Прецессия | Осевая прецессия
     
    Wobbly Earth (7:56)  автор Роджер Боули и Майк Меррифилд (Шестьдесят символов, 16 августа 2011 г.).

    (2019-09-20)   Свободное вращение тела с разнонаправленной инерцией
    Эффект Джанибекова.

    См. также: Странное поведение вращающихся тел (14:08) Дерека Мюллера (Veritasium, 19 сентября 2019 г.).
     
    Эффект Джанибекова Терри Тао (MathOverflow, 27 ноября 2011 г.).

    (2010-01-29)  Простые суставы (с полным вращением или без него)
    Два изолированных взаимодействующих твердых тела, вращающихся вокруг общей оси.

    Два тела (А и Б) прилагают друг к другу противоположные вращающие моменты через своего рода мышцы   (например, электромагниты с батарейным питанием или безмассовые пружины  ).

    Если все это бесспиновое, то следующее выражение углового импульс, интегрированный во времени, остается постоянным:

    (Дж А + М А А 2 ) q А + ( Дж Б + М Б б 2 ) д Б

    При этом два центра тяжести А и В предполагаются лежащими в плоскости, перпендикулярной оси вращения, которая пересекает ее в точке О, как показано здесь.

    alexxlab

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.