Site Loader

Содержание

Коэффициент возвращающей силы — Энциклопедия по машиностроению XXL

Коэффициент пропорциональности й, определяющий значение силы, вызывающей смещение, называют коэффициентом возвращающей силы.  [c.166]

Пр имером силы, пропорциональной смещению и противоположной ему по направлению, служит упругая сила, подчиняющаяся закону Гука. В частности, в пружинном маятнике (рис. 131, а) роль возвращающей силы играет упругая сила растянутой или сжатой пружины, а коэффициентом возвращающей силы служит жесткость пружины.  [c.166]


Очевидно, что оно аналогично уравнению (43.3), причем коэффициент возвращающей силы k = mg .L Следовательно,  [c.171]

При равных частотах складываемых колебаний [см. (43.21)] должны быть равны и коэффициенты возвращающей силы 1гх = ку = к.  [c.182]

Верно и обратное утверждение если на тело (материальную точку), могущее двигаться по прямой, действует вдоль этой прямой сила /, пропорциональная смещению и направленная в сторону, противоположную смещению, то тело будет совершать прямолинейные гармонические колебания.

Силу, удовлетворяющую отмеченным условиям, называют возвращающей, а величину k — коэффициентом возвращающей силы. Если известен коэффициент возвращающей силы, то, пользуясь (11,32), можно найти циклическую частоту и период прямолинейных колебаний  [c.331]

Как направлена сила, вызывающая гармонические колебания точки Существуют ли в природе силы, подчиняющиеся закону F = —kx Какая сила называется квазиупругой Приведите примеры квазиупругих сил. Какому закону должен подчиняться момент силы, чтобы он мог вызвать крутильные колебания тела Как связаны частоты (и периоды колебаний) с коэффициентом возвращающей силы и коэффициентом возвращающего момента  

[c.353]

Т. е. действительно возвращающая сила пропорциональна смещению. Из (8.21) следует, что коэффициент упругости  [c.279]

Диэлектрические потери при упругой поляризации. Когда электрическое поле упруго смещает электроны в атоме, ионы в кристалле или жестко связанные диполи, возникает возвращающая сила, пропорциональная смещению частиц из равновесного положения. Отклонившиеся от равновесия частицы могут совершать колебания вокруг нового равновесного состояния. Поэтому динамические свойства упругой поляризации описываются уравнением гармонического осциллятора, где диэлектрические потери учитываются введением коэффициента затухания.  

[c.79]

С увеличением радиуса стержня коэффициент возвращающего момента резко растет. Поэтому толстые (и короткие) стержни трудно поддаются закручиванию уже при малых углах нужны очень большие внешние силы. Наоборот, тонкие и длинные нити под влиянием даже очень малых сил закручиваются на большой угол. Этим обстоятельством пользуются, как уже указывалось, в крутильных весах.  [c.77]

Приведите примеры колебаний под действием квазиупругих сил. Чем определяется коэффициент возвращающей квазиупругой силы  

[c.354]

Наконец, если мы введем в уравнение (13.18) флуктуационные силы [формула (13.6)1, то эти силы будут наиболее эффективными, если коэффициент а близок к нулю и возвращающая сила определяется третьей степенью координаты д, так что при малых значениях д возвращающая сила очень мала. В этом случае мы имеем дело с критическими флуктуациями величины д.  [c.331]


Пример 7. Двухмерный гармонический осциллятор. На рис. 1.7 показана масса М, которая может свободно двигаться в плоскости ху. В направлении оси л она соединена со стенками двумя невесомыми пружинами с коэффициентом жесткости а в направлении у — двумя другими невесомыми пружинами с коэффициентом жесткости К . В случае малых колебаний, когда можно пренебречь членами х а , у 1а и ху а , мы покажем, что х-компонента возвращающей силы полностью обусловлена пружинами К , а г/-составляющая  
[c.33]

Пример 6. Электрический широкополосный фильтр. Рассмотрим электрический аналог механической системы из двух связанных маятников, показанной на рис. 3.3. Каждая масса М заменяется индуктивностью Ь. Связывающие пружины с коэффициентом жесткости К заменяем емкостями с величиной обратной емкости Возвращающая сила, происходящая от силы тяжести, зависит от величины смещения маятника и не зависит от его соединения с другим маятником.

Аналогично этому мы хотим создать э. д. с. на каждой индуктивности независимо от ее связи с другими индуктивностями. Это можно сделать, разделив индуктивность на две части и включив емкость С между ними. Пренебрежем активным сопротивлением Я индуктивностей (это сопротивление проводов, из которых сделаны индуктивности). Все другие сопротивления пренебрежимо малы. Полученная нами система показана на рис. 3.8.  [c.127]

Коэффициент прохождения для амплитуды. Пусть ср (г, i) соответствует любой из трех волн смещению, скорости или возвращающей силе. В среде 1 волновая функция ф(г, t) выражается суперпозицией  

[c.221]

Случай 3. Случай нулевого сопротивления. Если Z2/Z1 равно нулю, то конец струны в точке г=0 называется свободным концом. Наклон струны в этой точке всегда равен нулю. Коэффициент отражения для возвращающей силы равен—1. Поэтому приходящий положительный импульс волны возвращающей силы после отражения становится отрицательным. Коэффициент отражения для скорости и смещения равен +1. Поэтому в точке г=0 струна имеет в два раза большую скорость, чем в том случае, когда импедансы согласованы. Предельные случаи, соответствующие Z IZx= °о и Z2/Zi=0, иллюстрируются рис. 5.3 и 5.4.  

[c.222]

Пример 3. Отражение звуковых волн. Уравнения движения звуковых волн подобны уравнениям, описывающим продольные волны в пружине. Последние в свою очередь подобны уравнениям для поперечных волн в струне. Поэтому, не повторяя выводов, мы можем воспользоваться результатами для коэффициентов отражения и прохождения, полученными для струны. Скорость воздуха отвечает величине а звуковое давление —ур д дг аналогично возвращающей силе —Та 1дг для струны.  [c.224]

Другой волной, представляющей физический интерес, является волна звукового давления (аналог волны возвращающей силы) —В соответствии с результатами, полученными для струны, коэффициент отражения для волны звукового давления должен быть равен по величине коэффициенту отражения для волны скорости и иметь обратный знак.

Поэтому на закрытом конце коэффициент отражения для волны звукового давления равен+1 и давление на закрытом конце имеет тот же знак, что и при полном согласовании, однако величина его в два раза больше. С микроскопической точки зрения удвоение давления можно объяснить следующим образом.  [c.224]

Волны поверхностного натяжения. При выводе дисперсионного соотношения (72) мы пренебрегли возвращающей силой, возникающей от поверхностного натяжения. Для данного элемента соответствующий вклад в возвращающую силу пропорционален произведению Коэффициента поверхностного натяжения Т на кривизну поверхности. Последняя пропорциональна k . Поэтому вклад от сил поверхностного натяжения пропорционален Тк , Гравитационный вклад  

[c.317]

Различаются лишь коэффициенты в правых частях этих уравнений, которые численно равны отношению возвращающей силы при единичном смещении к массе колеблющегося тела и имеют размерность [с ]. Если использовать обозначения  [c. 7]

А мы займемся поверхностными волнами (круги на картинке)> исходя из соображений размерности. Предположим, что в состоянии равновесия поверхность жидкости горизонтальная. Если ре вывести из этого состояния, то для возникновения поверхностных волн необходима борьба двух сил возвращающей возмущенную жидкость в положение равновесия и силы инерции, из-за которой жидкость проскакивает положение равновесия. Какая сила может заставить исчезнуть появившийся на поверхности жидкости горб , заставить поверхность снова стать горизонтальной Такой силой может быть, например, сила тяжести ускорение свободного падения) или сила поверхностного натяжения (а — коэффициент поверхностного натяжения). Обсудим отдельно действие обеих сил,.  

[c.170]


Для одноосного нагружения веществ в твердом состоянии можно проследить влияние напряжения на коэффициент температурного расширения, рассматривая колебания атомов в линейной цепи связанных осцилляторов. С учетом ангармоничности колебаний сила, возвращающая атом в положение равновесия, определяется как  [c. 47]

Справедливость используемых приближений мы покажем с помощью соображений размерности. Рассмотрим поверхностные волны, предполагая, что в состоянии равновесия поверхность жидкости горизонтальная. Если ее вывести из этого состояния, то для возникновения волн на поверхности жидкости необходимо существование возвращающей в положение равновесия силы и силы инерции, из-за которой жидкость проскакивает положение равновесия. Какая сила может заставить появившийся на поверхности жидкости горб исчезнуть, чтобы поверхность опять стала горизонтальной Такой силой может быть, например, сила тяжести Fg g или сила поверхностного натяжения Ра ст ст — коэффициент поверхностного натяжения). Обсудим действие этих сил отдельно.  

[c.99]

С математической точки зрен71Я, изложенный вывод сводится к доказательству самосопряженности системы уравнений (57, 2—4). С физической точки зрения, происхождение этого результата можно пояснить следующими соображенпямп. Пусть при возмущении элемент жидкости смещается, например, наверх. Попав в окружение менее нагретой жидкости, он будет охлаждаться за счет теплопроводности, оставаясь все же более нагретым, чем окружающая среда. Поэтому действующая на него сила плавучести будет направлена вверх и элемент будет продолжать движение в том же направлении — затухающее или ускоряющееся в зависимости от соотношения между градиентом температуры и диссипативными коэффициентами. В обоих случаях ввиду отсутствия возвращающей силы колебания не возникают. Отметим, что при наличии свободной поверхности возвращающая сила возникает за счет поверхностного натяжения, стремящегося сгладить деформированную поверхность при учете этой силы сделанные утверждения уже не справедливы.  [c.313]

В связи с обсуждением опытов Вавилова м ы обращали внимание на изменение числа поглощающих частиц под влиянием мощного падающего излучения. Однако это не единственный эффект, имеющий место при больших интенсивностях света. В 156 подчеркивалась тесная связь законов поглощения и дисперсии с представлением об атоме как о гармоническом осцилляторе, заряды которого возвращаются в положение равновесия квазиупругой силой. Если интенсивность света, а следовательно, и амплитуда колебаний зарядов достаточно велика, то возвращающая сила уже не будет иметь квазиупругий характер, и атом можно представить себе как ангармонический осциллятор. Из курса механики известно, что при раскачивании такого осциллятора синусоидальной внешней силой (частота ш) в его движении появляются составляющие, изменяющиеся с частотами, кратными со, — двойными, тройными и т. д. Пусть теперь собственная частота осциллятора соо. подсчитанная в гармоническом приближении, совпадает, например, с частотой 2ш. Энергия колебаний зарядов в этом случае особенно велика, она передается окружающей среде, т. е. возникает селективное поглощение света с частотой, равной со = /2 0o. Таким образом, спектр поглощения вещества, помимо линии с частотой о),,, должен содержать линии с частотами, равными /гСОо, а также /зй)(, и т. д. Коэффициент поглощения для этих линий, как легко понять, будет увеличиваться с ростом интенсивности света.  [c.570]

Предиолагается, что возвращающая сила F является упругой с коэффициентом упругости /г. Смещение центров зарядов приводит к образованию электрического дипольного момента Р = ех. С учетом того, что в равновесии x=eE/k, имеем  [c.278]

Движение ДГ приводит также к т. и. неоднородному ферромагнитному резонансу (резонансу ДГ). Он может возникать лишь при отклонении вектора М от плоскости ДГ, что приводит к появлению магн. зарядов , а следовательно, и появлению магнитостатич. энергии, обусловливающей инерционные свойства ДГ (напр., их эфф. массу т, составляющую для мн. ферромагн. веществ ок. 10 г/см ). Обычно ДГ испытывает воздействие квази-упругой возвращающей силы, коэффициент к к-рой может быть оценён по нач. восприимчивости ферромагнетика Хо согласно ф-ле к= МЦх О. где D — ср. размер домена, М,—намагниченность насыщения. Благодаря этой квази-упругой силе ДГ обладает собственной частотой (Во = = (kjm y . Для ферромагнетиков с йзгЮ см, Хо =Ю, Л/ йЮ Гс имеем А яг Ю эрг/см , что даёт Шо 3,5 10 с . Резонанс ДГ стал мощным методом исследования их тонкой структуры, связанной с существова-  [c. 305]

Рассмотрим точечную массу М, совершающую колебания в направлении X. Ее смещение от положения равновесия обозначим X ). На массу действует возвращающая сила— Моз1 x(i), вызываемая пружиной с коэффициентом жесткости К=Ма)1. Если на массу М никакие другие силы не действуют, то она будет совершать гармонические колебания с угловой частотой Юо- Предположим, однако, что на массу действует еще сила трения, пропорциональная— MTx f), где Г—коэффициент, который мы назовем коэффициентом затухания, приходящиеся на единицу массы, или просто коэффициентом затухания. Кроме силы трения на массу действует внешняя сила F(t). В этом случае второй закон Ньютона для массы М имеет вид неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка  [c.104]

Теперь вспомним, что со — это возвращающая сила, приходящаяся на единицу массы и единицу смещения. В соответствии с тем, что говорилось выше для ионосферы, возвращающая сила (на единицу массы и единицу смещения) для свободных колебаний электрона в ионосфере равна а>1=4лМд 1М. Это первая нормальная мода колебаний для электронов, которая имеет бесконечную длину волны (т. е. все электроны колеблются в фазе). Очевидно, что если теперь к каждому колеблющемуся заряду приложить связывающую силу с помощью пружины с коэффициентом жесткости МсОо, то мы про-  [c.176]


Возвращающая сила и смещение отражаются с противоположными знаками. В случае поперечных колебаний струны физический интерес может представлять не только смещение г] (г, t), но и поперечная скорость Эф (г, t) dt, а также поперечная составляющая натяжения—Го (г, t) dz, которая определяет возвращающую силу в струне. Из уравнений (19) и (20) следует, что волна скорости Эф (г, t) dt имеет тот же коэффициент отражения, что и волна смещения il)(z, t). Однако волна возвращающей силы —Го5г1)(г, tjjdz имеет коэффициент отражения, равный по величине коэффициенту отражения для волны скорости dip (г, t)/dt, но обратный по знаку. Имеем  [c.219]

Рассмотрим простую механическую колебательную систе-му (рис. 1), состоящую из массы /п, укрепленной на пружине имеющей упругость . Масса находится в вязкой среде, создающей сопротивление тренйя г. Если конец пружины оттянут РИС 1 Про- из лоложения равновесия на расстояние х, то пружина стре-стая механиче- мится сократиться с некоторой силой. Очевидно, что эта сила ская колеба- цм больше, чем на большее расстояние оттянута пружи1 а и тельная система больше ее упругость. Отсюда возвращающая сила пружины / 5, стремящаяся вернуть оттянутый ее конец в положение равновесия, равна произведению х5, где х — расстояние, на которое оттянут конец пружины, а — коэффициент упругости пружины.  [c.4]

Соотношение амплитуд отдельных гармоник зависит от значений коэффициентов к, в разложении силы и от того, сколько членов разложения учтено в правой часта уравнения (36.24). Осциллятор, в котором возвращающая сила не является квазиупругой, называется ангармоническим, или нелинейным этими же терминами характеризуют колебания (36.25), которые он совершает. Существенным отличием ангармонического осциллятора от гармотгческого, помимо появления в его свободных колебаниях дополнительных гармоник с кратными частотами, является зависимость периода  [c.120]

Стержень, зажатый между неподвижными плоскостями, при нагреве до крити ческой температуры Гкр выпучивается. Свободный стержень при нагреве до Г р удл и нился бы на величину а/Г р, где а — коэффициент линейного расширения. Сила, возвращающая его в прежнее положение,  [c.414]

Поршень можно рассматривать как гармонический осциллятор, совершающий тепловые колебания. Среднее значение его потенциальной энергии при смещении на X из положения равновесия л = О равно кТ, где к — коэффициент упругости, соответствующий такому смещению. Если 5 — площадь поршня, а ДУ — изменение объема системы, то ДК = 5. . Таким образом, (ДК) = = = 3 кТ1к, Сила, возвращающая поршень в положение равновесия, будет Р= 8 х, где Р — давление газа или жидкости. Поэтому х = —5 дР/дх = = —5-дР1дУ, В результате получим  [c. 594]

Стержень, зажатый между неподвижными плоскостями, прн нзгреве до критической температуры Г р выпучивается. Свободный стержень при нагреве до Т р удлинился бы на величину а/Гкр. О — коэффициент линейного расширения. Сила, возвращающая его в прежнее положение,  [c.390]


Исследование колебаний математического маятника и определение ускорения силы тяжести цель работы

ИССЛЕДОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА И ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ

Цель работы: изучить зависимость периода колебаний от длины маятника и определить ускорение свободного падения.

Оборудование: математический маятник, шкала, секундомер.

Описание установки

Математический маятник представляет собой небольшой шарик, подвешенный на длинной нити (рис. 4.1).


Рисунок 5 — Схема установки

При гармонических колебаниях смещение шарика от положения равновесия изменяется по закону

, (14)

где А и Т – постоянные.

Величина А называется амплитудой колебаний. Как видно из формулы (14), она равна максимальному смещению шарика. Постоянная Т равна периоду колебаний, т.е. времени, за которое совершается одно полное колебание. Действительно, при изменении времени от 0 до Т выражение под знаком косинуса изменяется от 0 до 2π, т.е. величина x проходит полный цикл своего изменения (маятник возвращается в исходное состояние).

Основное свойство математического маятника заключается в том, что период его колебаний не зависит от массы шарика. Он зависит только от длины нити (l) и от ускорения свободного падения (g). Эта зависимость выражается следующей формулой

. (15)

Из формулы (15) следует, что зная период колебаний и длину маятника, можно определить ускорение свободного падения.

Период колебаний маятника можно определить, если отсчитать какое-то количество колебаний N и измерить время, за которое они произошли. Тогда период колебаний

. (16)

Следует подчеркнуть, что формула (16) не выражает зависимости периода от времени и числа колебаний. Период не зависит от t или N. Физический смысл формулы (16) состоит в том, что отношение остается постоянным при постоянной длине маятника. Длину маятника измерить сложнее. Дело в том, что полученные расчеты будут тем точнее, чем больше длина нити. Поэтому точка подвеса маятника в данной установке выбрана как можно выше. В этих условиях прямое измерение длины было бы неудобным и неточным. В настоящей работе длина нити учитывается косвенным методом.

Непосредственно измеряется лишь та часть длины нити (z), которая находится в пределах настенной шкалы, причем эту длину можно изменять, передвигая ползунок 3 (рисунок 5). Расстояние l0 от точки подвеса до начала шкалы остается при этом постоянным. Таким образом, длина маятника складывается из двух слагаемых — постоянной величины l0 и изменяемой величины z:

. (17)

В соответствии с этим формулу (14) можно переписать в виде:

. (18)

Возводя обе части (18) в квадрат, получим выражение зависимости Т2 от z:

. (19)

или

, (20)

где

, (21)

. (22)

График зависимости Т2(z) представляет собой прямую линию. Коэффициент В можно найти из графика, как тангенс угла наклона этой прямой к оси z. Затем можно определить ускорение свободного падения. Согласно (22)

. (23)

Порядок выполнения работы

1. Установите ползунок в крайнее нижнее положение шкалы. Этому положению соответствует минимальная длина маятника: l = l0, z = 0.

2. Отклоните маятник от положения равновесия на небольшой угол и отпустите. С помощью секундомера определите время, за которое совершается 10 полных колебаний. По формуле (16) найдите период колебаний маятника.

3. Передвиньте ползунок вверх на 20 см. При этом длина маятника увеличивается на 20 см (h=0,2 м). Далее повторяйте действия, описанные в п. 2.

4. Продолжайте опыты с новыми значениями z, каждый раз передвигая ползунок вверх на 20 см.

5. Результаты измерений представьте в первых трех колонках таблицы.

6. Постройте график зависимости квадрата периода Т2 от z. При построении графика нужно по экспериментальным точкам провести прямую так, чтобы она наилучшим образом отвечала расположению всех точек.

7. Определите коэффициент В как тангенс угла наклона полученной прямой к оси z. По формуле (23) рассчитайте g.

Таблица 4 – Результаты измерений

Номер

z, м

n

t, с

T, с

T2, с2

B, с2

g, м/с2

1

0,00

40

2

0,20

40

3

0,40

40

4

0,60

40

5

0,80

40

6

1,00

40

  1. Сравните полученное значение g с табличной величиной ускорения gтабл = 9,8 м/с2, отклонение экспериментального значения от табличного выразите в процентах, т. е. определите относительную ошибку опыта:

(24)

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

1. Какие колебания называются гармоническими?

2. Что такое математический маятник?

3. От чего зависит период колебаний математического маятника?

4. Изменится ли период колебаний, если пластмассовый шарик заменить стальным такого же радиуса?

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №5

ИЗУЧЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКОГО КОЛЕБАНИЯ С ПОМОЩЬЮ

ПРУЖИННОГО МАЯТНИКА

Цель работы: на примере колебаний пружинного маятника изучить характеристики гармонического колебательного движения.

Оборудование: штатив со шкалой, пружина, набор грузов, секундомер.

Описание установки и методики измерений

В данной работе изучение гармонического колебания проводится на примере механических колебаний пружинного маятника, а именно свободных колебаний груза, подвешенного к упругой пружине. Колебания такого груза в воздухе за непродолжительное время можно считать незатухающими.

Установка для изучения колебаний состоит из штатива, на котором подвешена пружина с грузом Р (рисунок 6).


Рисунок 6 — Пружинный маятник

Штатив снабжен шкалой. Если пружинный маятник вывести из положения равновесия и предоставить самому себе (например, оттянуть вниз груз Р на пружине на небольшое расстояние х и отпустить), то он начнет совершать прямолинейное колебательное движение с некоторой определенной для данного маятника частотой υ, называемой собственной (линейной) частотой его колебаний. Заметим, что в теории колебаний вместо υ чаще используется величина ω, равная 2πυ и называемая круговой частотой колебаний. Она определяет число колебаний за 2π секунд.

Из рисунка 6 видно, что колебания груза на пружине совершаются при одновременном действии на него силы тяжести и упругой силы.

В положении равновесия груза равнодействующая силы тяжести и упругой силы , вызванной статистическим удлинением ∆х пружины под действием груза, и сумма их проекций Рх и Fx.упр на ось ОХ равна нулю, то есть

и . (25)

По закону Гука

, (26)

где k — коэффициент пропорциональности, характеризующий жесткость пружины.

Из равенств (25) и (26) следует, что

. (27)

При колебаниях груза результирующая силы тяжести груза и упругой силы , действующей на груз, отлична от нуля и определяется вторым законом динамики поступательного движения

. (28)

В проекциях на ось ОХ это уравнение имеет вид

. (29)

По закону Гука:

, (30)

где х — координата груза, определяемая от положения его равновесия.

На основании равенств (27) и (30) уравнение движения груза принимает вид

. (31)

Из уравнения (31) видно, что колебания груза на пружине происходят под действием упругой силы, возникающей при отклонении груза от его равновесного положения. При этом сила тяжести , действующая на груз, не изменяет характера колебаний груза.

Обозначим через ω2. Тогда вместо равенства (31) получаем уравнение

. (32)

Решением этого уравнения, определяющего собственные колебания груза на пружине в отсутствие сопротивления среды, является функция

, (33)

где А — амплитуда, t — время колебаний.

Таким образом, свободные колебания груза на пружине являются гармоническими. Амплитуда А этих колебаний определяется начальным смещением x0 груза от положения равновесия. Круговая частота ω связана с периодом Т колебаний равенством

. (34)

Заменив в этом равенстве ω через , получаем выражение, определяющее период колебаний

. (35)

В данной работе на основе рассмотренных выше зависимостей требуется выполнить три задания.

Задание 1. Определение коэффициента жесткости пружины статическим методом.

Коэффициент k можно определить из условия

, (36)

где g — ускорение свободного падения.

Измерив ∆х — растяжение пружины под действием груза известного веса Р, находят k. Измерения проводят для трех грузов различного веса.

Задание 2. Определение зависимости периода собственных колебаний пружинного маятника от массы груза.

Из формулы (35) следует, что

, (37)

где . Рассчитав период Т по времени t полных n колебаний для трех грузов разной массы по формуле

, (38)

строят график зависимости Т2 от m. Делают вывод о характере этой зависимости.

В конце задания графику определяют среднее значение С и по нему находят k:

. (39)

Определенное таким путем среднее значение k сравнивают со средним значением k, полученным статическим методом (задание 1).

Задание 3. Определение максимального значения возвращающей силы, действующей на колеблющийся груз.

При гармонических колебаниях груза на пружине изменяются со временем по законам тригонометрических функций не только его смещение х от положения равновесия, но и его скорость Vx, ускорение ах, а, следовательно, и возвращающая сила Fx:

, (40)

, (41)

. (42)

Сила (fx) достигает максимального значения в момент, когда максимально смещение, то есть когда х равно А, а поэтому

. (43)

С другой стороны, из формулы (42) следует, что упругая сила Fx принимает максимальное значение при х = А, то есть

. (44)

Таким образом, максимальное значение возвращающей силы можно определить двумя способами: по параметрам колебания — формула (43) и через коэффициент жесткости пружины — формула (44), определенной статическим методом.

В работе требуется сравнить, найденные этими способами, значения Fxmax для трех грузов различной массы.

Порядок выполнения работы

Задание 1. К пружине, закрепленной в вертикальном положении на штативе, подвешивают последовательно груз массой 0,1, 0,2, 0,3 кг и с помощью шкалы, укрепленной па штативе, находят соответствующие грузам удлинения пружины ∆х. По формуле (36) рассчитывают коэффициент k(1). Находят среднее значение kcр(l). Результаты измерений и вычислений заносят в таблицу 5.

Таблица 5 — Результаты измерений и вычислений

Номер п/п

m, кг

mg, Н

∆х, м

К(1), Н/м

kср,(1), Н/м

1

2

3

Задание 2. Подвесив к пружине груз массой 0,1 кг и слегка оттянув его от положения равновесия вниз на определенное расстояние, равное примерно 50…70 мм, отпускают груз, приводя его в колебательное движение. С помощью секундомера определяют время 10…15 полных колебаний груза, по формуле (38) рассчитывают период колебаний. Аналогичным образом находят периоды колебаний для грузов массой 0,2 и 0,3 кг.

Результаты измерений и вычислений заносят в таблицу 6.

Таблица 6 — Результаты измерений и вычислений

Номер п/п

m, кг

x0, м

n

t, с

Т, с

Т2, с2

Сср .

Kср(2)

|kср(1)-kср(2)|

1

2

3

По данным этой таблицы строят график зависимости Т2 от m (по оси абсцисс откладывают массу груза). По тангенсу угла наклона прямой к оси абсцисс находят среднее значение С, по формуле (39) рассчитывают среднее значение k (kср(2)). Среднее значение k (kср(2)) сравнивают со значением k (kcp(1)), полученным при выполнении задания 1.

Запдание 3. Используя данные таблиц 5 и 6 по формулам (43) и (44) рассчитывают максимальные значения возвращающей силы Fx для грузов массой 0,1, 0,2 и 0,3 кг. Результаты вычислений заносят в таблицу 7.

Таблица 7 — Результаты вычислений

Номер п/п

m, кг

A=x0,

м

с-2

Н

к(1), Н/м

к(1)·А, Н

1

2

3

Сравнивают значения Fxmax, рассчитанные указанными способами, находя модуль разности для каждого из использованных в работе грузов.

По окончании работы снимают грузы с пружины и приводят рабочее место в порядок.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

  1. Какие колебания называются гармоническими?

  1. Какими выражениями определяется смещение (х), скорость (Vx), ускорение (ах) и сила (Fx), действующая на груз при гармонических колебаниях?

  1. Какое влияние на колебания пружинного маятника оказывает сила тяжести?

  1. Зависит ли период упругих колебаний от амплитуды?

  1. Каким выражением определяется период упругих колебаний пружинного маятника?

  2. Что такое коэффициент жесткости пружины? Какими двумя способами можно оценить этот коэффициент в данной работе?

  3. Какими двумя способами можно оценить максимальное значение возвращающей силы, возникающей при отклонении груза от положения равновесия и стремящейся вернуть груз в первоначальное равновесное положение?

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 6

ИЗУЧЕНИЕ ЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ

ПРИ ВНУТРЕННЕМ ТРЕНИИ

Цель работы: изучить явление затухания свободных колебаний, проверить справедливость закона затухания и определить его параметры.

Оборудование: крутильный маятник, секундомер.

Описание установки и метода измерения

Установка представляет собой крутильный маятник, подвешенный на упругих растяжках. Такой способ подвески полностью исключает внешнее трение движущихся деталей и широко используется в измерительной технике. Амплитуда колебаний маятника измеряется по шкале в градусах угла поворота. Сопротивление движению маятника, обусловленное внутренним трением воздуха, можно изменять при помощи двух флажков.

Отклонение маятника на угол φ от равновесного положения вызывает упругое закручивание растяжек. Со стороны растяжек на маятник действует возвращающий момент сил. По закону Гука момент сил пропорционален деформации растяжек, т. е. углу отклонения маятника

, (45)

где к — коэффициент жесткости растяжек.

Кроме упругих сил на маятник действуют силы сопротивления, обусловленные внутренним трением воздуха. Момент этих сил пропорционален угловой скорости маятника

. (46)

Подставляя выражения (45) и (46) в основное уравнение динамики вращательного движения и решая это уравнение, получают зависимость угла поворота маятника от времени, которая имеет следующий вид:

, (47)

где φ0 — начальное отклонение маятника; ; I — момент инерции маятника; — циклическая частота колебаний.

Как видно из выражения (47), маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой ω и амплитудой A(t), которая с течением времени уменьшается по закону

. (48)

Из формулы (48) видно, что логарифм отношения амплитуд двух колебаний, следующих друг за другом, есть величина постоянная

, (49)

где Т — период колебаний.

Величины β и δ используются в качестве характеристик затухающих колебаний. β — коэффициент затухания, δ — логарифмический декремент затухания.

Порядок выполнения работы

1. Установить флажки горизонтально и, отклонив маятник на угол φ0≈30°, предоставить ему возможность колебаться. Регистрировать амплитуду каждого пятого колебания: A5, А10, А15, …

2. Повторить п. 1 еще два раза, не изменяя φ0.

3. Определить среднее значение амплитуды пятого, десятого, пятнадцатого и т. д. колебания и построить график зависимости амплитуды от номера колебания.

4. Найти значения логарифмического декремента затухания. Для этого необходимо воспользоваться формулами

,, ,

и т.д., после чего определить среднее значение δ.

5. Измерить период колебания и определить коэффициент затухания .

6. Установить один флажок вертикально и повторить п.п. 1—5.

7. Установить два флажка вертикально и повторить п.п. 1—5.

8. Построить график зависимости амплитуды от времени. Результаты измерений занести в таблицу 8.

Таблица 8 — Результаты вычислений

Положение флажков

Номер колебания

Амплитуда

Среднее значение амплитуды

δ∆

δ

T

β

1

2

3

Оба горизонтально

0

5

:

40

Один вертикально

0

5

:

40

Оба вертикально

0

5

:

40

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

1. Какие виды трения вы знаете? Что такое внутреннее трение?

2. Какое движение называется колебательным?

3. Какое колебание называется гармоническим?

4. Почему затухают колебания? Куда расходуется энергия колеблющегося тела?

5. Каков физический смысл коэффициента затухания и логарифмического декремента затухания?

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №7

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА СИЛЫ ТРЕНИЯ

КАЧЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ НАКЛОННОГО МАЯТНИКА

Цель работы: Экспериментальное изучение основных закономерностей, возникающих при трении качения.

Оборудование: Наклонный маятник.

Трение качения возникает при перекатывании цилиндра или шара по поверхности твердого тела. Возникновение трения качения можно объяснить деформациями шара и плоскости, имеющими место в реальных условиях. При этом могут возникать как упругие, так и пластические деформации.

Из-за деформации поверхности линия действия сил реакции не совпадает с линией действия нормальной силы давления (см. рисунок 7) в нашем случае равной весу катка. Нормальная составляющая Fn этой реакции плоскости практически равна приложенной нормальной нагрузке , а горизонтальная составляющая представляет собой силу трения Fтр.

Рисунок 7 — Схема действия сил

Если цилиндр или шар двигается по плоскости без ускорения, то должно выполняться правило равенства момента сил. Момент трения силы трения качения относительно точки равен произведению силы реакции опоры Fn на расстояние смещения вследствие контактных деформаций точки приложения

; ; , (50)

где L — плечо силы; R — радиус катка; К — коэффициент трения качения. Отсюда для силы трения качения получим следующее соотношение:

. (51)

Величину К называют коэффициентом трения качения. Коэффициент трения качения представляет собой плечо силы и имеет размерность длины. В данной работе коэффициент трения определяется на установке с катящимся шаром.

Описание метода

Рассмотрим определение коэффициента трения качения на установке с катящимся шаром — наклонным маятником. Маятник представляет собой шарик, подвешенный на нити и катящийся по наклонной плоскости, затухание колебаний этого маятника обусловлено главным образом трением качения, измерение силы трения с помощью наклонного маятника основано на измерении уменьшения амплитуды его колебания за определенное число совершения колебаний

. (52)

Формулу для расчета коэффициента трения можно получить, приравняв работе сил трения потенциальную энергию, рассеянную за данное число колебаний. За n колебаний при изменении амплитудного положения шарика из положения В в положение В/ равно (рисунок 8) изменению потенциальной энергии шарика:

. (53)


Рисунок 8 — Изменение положения шарика

Оно равно работе сил сопротивления на пути пройденном шариком:

, (54)

где ∆А — работа сил трения; ∆А’ — работа по преодолению сопротивления среды и сил внутреннего трения.

Пренебрегая значением ∆А’ вследствие его малости по сравнению с ∆А из (53, 54) получаем:

, (55)

где S – путь, пройденный шариком за n колебаний.

Сила трения качения определяется по формуле (51), но для наклонного маятника при заданном угле наклона β (рисунок 8) необходимо учесть, что составляющая силы тяжести вдоль линии подвеса шарика равна mg·sinβ, a сила нормального давления шарика на поверхности маятника Pn = mg·cosβ. Следовательно формула (55) с учетом (51) примет вид

, (56)

откуда

. (57)

Если α0 амплитудное значение угла отклонения маятника в начальный момент, αn — его значение через n колебаний, а l — длина маятника, то

, (58)

где

.

Из рисунка 8 следует, что

, (59)

(здесь использовано тригонометрическое соотношение для малых углов ). Подставляя выражения (58, 59) в (57) получим окончательную формулу для расчета коэффициента трения качения

,

. (60)

Здесь углы и выражены в радианах.

Порядок выполнения работы

1. Отрегулируйте длину маятника таким образом, чтобы при колебаниях маятника шарик перемещался по поверхности, не касаясь шкалы.

2. Проверьте положение нити с шариком (она должна совпадать с нулевым положением шкалы). При необходимости проверьте регулировку опор.

3. Установите необходимый наклон поверхности маятника (30°, 45°, 60°) с помощью стержня.

4. Обратите особое внимание: углы, необходимые для расчета коэффициента трения качения, необходимо взять в радианах (1 радиан = 57°).

5. Определите радиус шарика в метрах.

6. Отклоните рукой маятник на 25° и опустите его без толчка.

7. После совершения 10-ти колебаний отметьте угол отклонения.

8. Проведите измерение при каждом положении поверхности маятника (30°, 45°, 60°).

9. Рассчитайте по формуле (60) коэффициент трения качения для каждого положения поверхности. Полученные значения сравните между собой и сделайте вывод.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

1. Какова причина возникновения силы трения качения?

2. Почему отсутствует трение качения абсолютно твердых тел?

3. От каких факторов зависит сила трения качения?

4. Пусть катящийся без скольжения цилиндр останавливается из-за силы трения качения. В какие формы и каким путем превратилась кинетическая энергия катящегося цилиндра?

5. Приведите примеры узлов машин и механизмов, где проявляется сила трения качения.

6. Как можно уменьшить трение качения?

7. Чем отличается трение качения от трения скольжения?

Басарыгина Елена Михайловна

Нарушевич Виталий Петрович

Никишин Юрий Алексеевич

Гулявцев Вилен Николаевич

Соколов Илья Борисович

Тамбовцев Валерий Семенович

Механика

Методические указания к лабораторным работам по физике

Редактор Бабушкина В.Н.

Формат 60х84/16 Объем уч. — изд. л.

Заказ № Тираж 50 экз.

454080, Челябинск, пр. Ленина, 75.

УОП ЧГАУ.

Наглядная физика. Механические колебания и волны


Колебания тела на нити

Эта простая модель наглядно демонстрирует колебания шарика, подвешенного на нити. Можно изменять длину нити, массу шарика, потери энергии и амплитуду колебаний. Дает общее представление о поведении системы вблизи состояния равновесия, если при отклонении возникают силы, стремящиеся вернуть систему в состояние покоя.

 Рассмотрим физическую систему, находящуюся в устойчивом состояния равновесия. и с малыми потерями энергии. При отклонении системы от состояния равновесия возникают силы, стремящиеся вернуть систему в состояние покоя,  это и значит, что положение равновесия устойчиво. При выведении системы из состояния равновесия ей сообщают энергию и поэтому, когда система оказывается в положении равновесия, она не может остановиться, т. к. обладает избыточной кинетической энергией. Система проходит через положение равновесия (или около него), отклоняется в другую сторону и это многократно повторяется. В таких случаях говорят, что система совершает колебательное движение (вблизи положения равновесия). Из-за потери энергии система в конце концов возвращается в состояние равновесия. Если бы не существовало трения, то движение шарика не прекратилось бы никогда. 

Механическим колебанием называется приблизительно периодически повторяющееся движение. Для колебаний характерно, что колеблющееся тело, например маятник, попеременно смещается то в одну, то в другую сторону. Такие колебания совершает шарик, подвешенный на нити (маятник). Эта системы обладают устойчивым положением равновесия — шарик неподвижен в самой низкой точке. В положением равновесия действующие на тело силы взаимно уравновешены: сила тяжести P, действующая на шарик, уравновешена силой натяжения нити T. При выведении системы из положения равновесия сила P не изменяется, а сила T действует вдоль нити и поэтому не может уравновесить силу P. На шарик начинает действовать сила F=P+T, направленная к положению равновесия. В результате действия  возвращающей силы Fи возникают колебания (см. рис.).

 


Рис. Сила натяжения T действует вдоль нити, поэтому её направление определяется положением шарика, т. е. углом отклонения α. Величина T силы натяжения T  определяется условием, , т. е. тем, что шарик движется по окружности. ЧастьF’ силы F действует по касательной к окружности и изменяет модуль скорости шарика, а другая её часть F-F’ направлена вдоль радиуса и искривляет траекторию движения шарика (аналог центростремительной силы). Из прямоугольного треугольника с гипотенузой P и катетом  F’ находим F’ = P sin(α).

Если отклонить шарик в сторону на угол α и отпустить, то на шарик начнет действовать дополнительная сила F, модуль которой равен F=P sin(α). Эта сила направлена перпендикулярно к нити, и под ее действием шарик с ускорением F/m начнет двигаться, постепенно увеличивая скорость. При этом угол отклонения, а поэтому и сила F, будут уменьшаться. В момент, когда шарик достигнет положения равновесия (α=0), сила F станет равной нулю. Следовательно, и ускорение шарика согласно второму закону Ньютона станет равным нулю. Но к этому моменту скорость шарика уже достигнет некоторого значения. Поэтому, не останавливаясь в положении равновесия, он по инерции продолжит двигаться, увеличивая угол отклонения. В результате появляется сила F, замедляющая движение шарика. Величина этой силы, а значит, и ускорения увеличивается с увеличением угла отклонения α. Скорость убывает до тех пор, пока не обратится в нуль, шарик останавливается. После этого шарик с ускорением начнет двигаться в противоположном направлении, т. е. к положению равновесия. С уменьшением угла отклонения α сила F убывает и в положении равновесия опять обращается в нуль.
Но шарик уже успевает набрать скорость и продолжает двигаться. Это движение приводит к увеличению угла отклонения и к появлению возвращающей силы, направленной к положению равновесия. Движение шарика замедляется до полной остановки при некотором (максимальном) значении угла отклонения, после чего весь процесс повторяется. 

Для того, чтобы описать колебания тела количественно, нужно записать второй закон Ньютона — уравнения движения шарика. Гармонические колебания присходят, когда равнодействующая всех сил направлена к положению равновесия и её величина пропорциональна смещению, т. е. F=-k x, где x —  вектор смещения из положения равновесия,  k — коэффициент пропорциональности. В этом случае уравнение движения имеет вид

где m — масса, a — ускорение, x — отклонение от положения равновесия,  — угловая частота колебаний. Угловая частота колебаний для малых отклонений шарика определяется соотношением

где g — ускорение свободного падения,  l — длина нити.



Колебания тела на  пружине

 Модель наглядно демонстрирует колебания шарика, подвешенного на пружине. Можно изменять упругость пружины, массу шарика, потери энергии и амплитуду колебаний (при начальном отклонении). Дает общее представление о поведении системы вблизи состояния равновесия, если при отклонении возникают силы, стремящиеся вернуть систему в состояние покоя.

Механическими колебаниями называются периодические движения, т. е. движения, которые точно или приблизительно точно повторяются через определенные интервалы времени. Для колебаний характерно, что колеблющееся тело, например маятник, попеременно смещается то в одну, то в другую сторону.

 Свободные колебания возникают в системе  после того, как система выведена из положения равновесия. Рассмотрим колебания груза, подвешенного на пружине, см. рис.


а) Несмещённое положение груза P=mg, F=kx0. б) Смещённое положение груза   P=mg, F=k(x+x0). 

Эта система обладают устойчивым положением равновесия (рис. а), шарик находится в точке O. Сила тяжести P, действующая на шарик, уравновешена силой упругости растянутой пружины F,  При выведении системы из положения равновесия  сила  , направлена к точке O.

Если сместить шарик вниз так, чтобы длина пружины увеличилась на x (рис. б), то пружина растянется и  действовующая на шарик сила упругости F увеличится. Модуль силы упругости по закону Гука пропорционален удлинению пружины. Сила F направлена вверх, и под ее действием шарик начнет ускоренно двигаться вверх, постепенно увеличивая скорость. При этом растяжение пружины и сила упругости будут уменьшаться. В момент, когда шарик достигнет положения равновесия, сумма сил , действующих на него, станет равной нулю. Следовательно, и ускорение шарика согласно второму закону Ньютона станет равным нулю. Но к этому моменту шарик уже успеет набрать скорость. Поэтому, не останавливаясь в положении равновесия, он продолжит подниматься вверх. Пружина при этом будет сжиматься и появится сила упругости, теперь уже направленная вниз и замедляющая движение шарика. Эта сила, а значит, и направленное вниз ускорение увеличиваются по мере увеличения абсолютного значения растяжения пружины. Скорость убывает до тех пор, пока не обратится в нуль. После этого шарик с ускорением начнет двигаться вниз. С уменьшением смещения модуль силы F убывает и в положении равновесия опять обращается в нуль. Но шарик уже набрал скорость и поэтому продолжает двигаться вниз. Это движение приводит к дальнейшему растяжению пружины и к появлению силы упругости, направленной вверх. Наконец, шарик останавливается (в крайнем нижнем положении), после чего описанный выше процесс повторяется. Если бы не существовало трения, то движение шарика не прекратилось бы никогда.

Однако трение есть, причем сила трения всегда направлена против скорости. Она тормозит движение шарика, и поэтому размах колебаний постепенно уменьшается до тех пор, пока движение не прекратится.

Чтобы описать колебания груза на пружине количественно, запишем второй закон механики Ньютона — произведение массы тела m на ускорение  равно действующей на тело силе :

Гармонические колебания присходят, когда равнодействующая всех сил направлена к положению равновесия и пропорциональна смещению. Уравнение движения имеет вид

где m — масса, a — проекция ускорения шарика на ось Ox, x — отклонение шарика от положения равновесия, x0=P/k — растяжение пружины в положении равновесия шарика, k — коэффициент упругости пружины, ω0 — угловая частота колебаний. Угловая частота колебаний определяется соотношением

где m — масса тела,  k — коэффициент пропорциональности между силой и смещением.



3D-маятник

При рассмотрении колебаний тела, подвешенного на нити, обычно ограничиваются рассмотрением только колебаний в плоскости. Эта 3D-модель демонстрирует более сложные колебательные движения не слишком большой амплитуды. Ее можно также использовать при обсуждении движения тела в поле, притягивающем тело к центральной точке.

 При рассмотрении колебаний тела, подвешенного на нити, обычно ограничиваются рассмотрением только колебаний в плоскости. Эта модель демонстрирует более сложные колебательные движения не слишком большой амплитуды.

Маленький шарик (материальная точка точка) на невесомой и нерастяжимой нити длиной R движется в однородном гравитационном поле с ускорением свободного падения g (см. рис.). Выберем систему координат: центр O системы координат —  нижняя точка сферы радиуса R с центом в точке S — точке крепления нити, ось Oz направлена вертикально вверх (относительно гравитационного поля), оси Ox и Oy направлены горизонтально. S= (0,0,R)  — точка крепления нити, M(t) = (x(t),y(t),z(t))  —  положение шарика (материальной точки точки) в момент времени t. Точка M лежит на сфере |SM|²=R², или x² + y² +(z-R)² = R². Из уравнения сферы выражаем третью координату . Следовательно, положение шарика вполне определяется двумя координатами x и y. Вместо них положение шарика удобнее задавать двумя углами φ и ψ, через которые выражаются декартовы координаты точки    , где r =O’M = z0 sin(ψ), φ — угол между осью Ox и вектором OM’, M’ — проекция точки M на координатную плоскость, ψ — угол между осью Oz и нитью. На шарик действуют две силы (сопротивлением пренебрегаем): сила тяжести P=mg= (0,0, -mg) и сила натяжения нити T, направленная вдоль нити, т. е. вдоль прямой MS. Имеем 

Величина T силы T зависит и от положения шарика M, и от вектора скорости v. Она может быть найдена из уравнения 

Уравнения движения, позволяющие найти зависимость углов ψ и φ от времени t, имеют вид:

где a — вектор ускорения точки M, который нужно выразить через скорости и ускорения углов ψ и φ.
 Рис. Маленький шарик, подвешенный на невесомой и нерастяжимой нити. а) Начальное положение M0 и начальная скорость v0 шарика полностью определяют его дальнейшее движение M(t) и, в частности, его траекторию. Синим цветом показана часть траектории, видно, что движение не периодично (траектория не замкнута). Если траектория проходит через нижнюю точку сферы O, то движение происходит в вертикальной плоскости (в этом случае момент импульса шарика равен нулю). Это колебания обычного маятника. б) Ещё один выделенный тип движений этого маятника — движение по окружности. В этом случае скорость v всегда перпендикулярна векторам P и T, а сумма F =P + T — горизонтальна, направлена к прямой OS. Обратите внимание на различные направления вектора F на рис. а и б. 

Чтобы получить движение шарика по окружности необходимо выполнение следующих условий.  

1. Потери энергии должны быть пренебрежимо малы. Иначе радиус окружности будет уменьшаться тем быстрее, чем сильнее потери.

2. Вектор начальной скорости v0 должен быть перпендикулярен плоскости, проходящей через три точки M0, O и S, где M0 — начальное положение шарика.

3. Величина начальной скорости v0 должна удовлетворять уравнению

означающему, что центростремилельная сила (левая часть уравнения) равна результирующей силе F. Здесь ψ0 — угол начального отклонения шарика, m — масса шарика (на неё можно сократить), r=R sin(ψ0) — радиус траектории шарика.


Сравнение колебательного и вращательного движений

Модель наглядно демонстрирует аналогию между вращением тела и его колебательным движением. Показан график колебаний. Возможность изменять амплитуду и скорость движения в процессе движения расширяет область применения этой модели.

 

В простейших случае колеблющееся тело, например маятник, последовательно смещается то в одну, то в другую сторону. В более сложных случаях смещения происходят в различных направлениях, на поверхности — в двух, а в пространстве — в трех направлениях. Например, при вращении тела его движение также периодически повторяется, но каждая точка тела движется по своей траектории.

Для сравнения вращательного и колебательного движений рассмотрим равномерное вращение  материальной точки M с массой m вокруг точки O с частотой f. Ее положение в момент времени t показано на рис. а, угол поворота равен φ=ω t, где ω=2Πf — угловая частота вращения. Материальная точка M равномерно движется по окружности с центром в точке O.
Вектор линейной скорости направлен по касательной к этой окружности, модуль линейной скорости равна V=Rω. Центростремительная сила F, заставляющая точку двигаться по окружности, направлена к центру и ее модуль равен F=m R ω², где R — радиус окружности.


 Рис. а) Материальная точка M равномерно движется по окружности радиуса R с центром в точке O, φ = ω t. Показан вектор линейной скорости V и центростремительная сила F.
б) При вращении точки M её проекция My на ось Oy совершает колебательное движение вдоль оси Oy. При этом можно считать, что на точку My действует сила Fy, а точка движется со скоростью Vy и ускорением ay=Fy/m. Пунктирные линии показывают проекции точки M и векторов V и F. Справа показан график зависимости координаты y точки M (и точки My)  от угла поворота φ.
В декартовых координатах x,y с центром в точке O, показанных на рис. 1, имеем (в векторном виде)

или в координатах

Сравнивая силы с координатами, мы видим, что центробежная сила F и радиус-вектор  связаны простым соотношением), а поскольку, F=m a,  то

Если теперь рассмотреть только движение проекции My точки M  на ось Oy,
то уравнение движения точки My будет иметь вид

Т. е. ускорение ay пропорционально (с отрицательным коэффициентом   — ω² ) координате y. А поскольку закон движения точки My при вращении известен, получаем общее решение уравнения (1)

где параметры имеют специальные названия: y0 — амплитуда колебаний, ω — угловая частота колебаний, φ0 — начальная фаза колебаний.

Итак, вращательное и гармоническое колебательное движения тесно связаны и это можно использовать для получения формул, описывающих такие колебания.



Координаты колеблющегося тела

 Эта простая модель наглядно демонстрирует зависимость координаты колеблющегося тела от времени и график этой зависимости. Эта модель не содержит параметров, это идеальные гармонические колебания. Можно останавливать движение тела в любой момент времени для лучшего рассмотрения различных участков траектории.

Механическими колебаниями называются приблизительно периодические движения, т. е. движения, которые повторяются через определенные интервалы времени.

Выделяют гармонические колебания, которые описываются уравнением где x — отклонение тела от равновесного положения, m — масса тела, a — ускорение, ω — коэффициент пропорциональности, который записывается в виде квадрата, поскольку
     во-первых он должен быть положительным, а во вторых — ω совпадает с угловой частотой колебаний. 

Во многих случаях при малых отклонениях возвращающая сила прямо пропорциональна отклонению с отрицательным коэффициентом. Поэтому их колебания являются гармоническими. При увеличении отклонения зависимость силы от отклонения может отличаться от прямой пропорциональности и в этом случае колебания становятся более сложными.

При гармонических колебаниях координата колеблющегося тела от времени зависит так где A — амплитуда гармонических колебаний, ω — угловая частота колебаний, φ0 — начальная фаза колебаний. Период колебаний T определяется угловой частотой:

   

 Рис. График зависимости (2) координаты колеблющегося тела от времени. Здесь амплитуда A=3, период T=95 и начальная фаза φ0. Начальной фазе φ0 соответствует сдвиг графика влево на φ0/ω.  

Зная начальное положение x0 тела и его начальную скорость v0, можно определить значения амплитуды A колебаний и начальную фазу φ0. Чтобы получить соответствующие формулы, из формулы (2) находим скорость (вычисляя производную по t от (2) )

Подставляя в (1) и (2) значение t=0, получаем

Отсюда можно найти A и  φ0:

Замечание. Вычисляя производную по t от (3), находим ускорение

Подставляя (1) и (4) в уравнение (1) мы получаем тождество. Это доказывает, что функция (2) удовлетворяет уравнению (1). Можно доказать, что и наоборот, всякое решение уравнения (1) имеет вид (2) для некоторых A и φ0.


 


Период малых колебаний математического маятника

Математический маятник – это идеальная система, материальная точка подвешена на идеальной нити в однородном поле тяжести, колебания предполагаются малыми. Модель наглядно демонстрирует зависимость периода колебаний математического маятника от его длины. Приведен график колебаний, можно изменять длину маятника.

Рассмотрим колебания математического маятника. Материальная точка M с массой m подвешена на нити длиной l в однородном поле тяжести с ускорением свободного падения g.


Рис. 1.  Математический маятник. Угол φ считается малым и поэтому

а)  Силы и, действующие на материальную точку, выделены красным цветом.
При выводе уравнения движения для малых углов φ сила F считается горизогтальной и пропорциональна  , точнее

б)  График зависимости периода колебаний математического маятника от длины нити. При отклонении на (малый) угол φ возникает возвращающая сила F, равная, как видно из рисунка F=mg+T, где T— сила натяжения нити, используется разложение T=F+N, N=-m g.

Сила F имеет только горизонтальную составляющую, которая равна


где учтено, что из прямоугольного треугольника ABM тангенс tg (φ) =x/AB  и  для малого угла φ приблизительно AB ≈ l. Следовательно, уравнение движения (для малых углов отклонения маятника) принимает вид

Решение этого уравнения можно записать так:    , где x0 — амплитуда колебаний,
  — угловая частота колебаний,  φ0 — начальная фаза колебаний.

Частота и период колебаний записываются так:
В процессе колебаний маятника его кинетическая и потенциальная энергия переходят друг в друга. В нижней точке потенциальная энергия (после соответствующего выбора константы) равна нулю, а кинетическая — равна K=m v0²/2, где v0 — максимальное значение скорости материальной точки. При отклонении точки M на угол φ (см. рис.) в прямоугольном треугольнике ABM катет AB=l cos(φ). Поэтому длину отрезок OB можно оценить так

где учтено, что

 

и что для малых углов sin(φ)≈φ и φ≈ x/l. Теперь можно записать потенциальную энергию при отклонении на x (на  угол φ≈ x/l.)Из закона сохранения энергии получаем соотношения между скоростью v(t) и отклонением x(t) и их амплитудными значениями v0 и x0



Вынужденные колебания

 Колебания, совершаемые телом под действием внешних периодически изменяющихся сил, называются вынужденными. Модель наглядно демонстрирует колебательные движения под действием вынуждающей силы. Показан график колебаний и вынуждающей силы. Можно изменять амплитуду вынуждающей силы, ее частоту и потери энергии.

Колебания, совершаемые телом под действием внешних периодически изменяющихся сил, называются вынужденными. Особый интерес представляют вынужденные колебания в системе, способной совершать свободные колебания. Это система, в которой тело может совершать колебательные движения, если системе сообщить энергию. Частота этих колебаний называется собственной и предполагается, что она не зависит от энергии системы (или амплитуды колебаний). Если такая система возбуждается внешней периодической силой (ее частота не обязательно совпадает с собственной частотой нашей системы), то возникающие в системе колебания называют вынужденными, а действующую силу -вынуждающей.

Рассмотрим тело на пружине, причем движения тела возможны только вдоль прямой, вдоль оси пружины, силой тяжести и массой пружины пренебрегаем.

Тело на пружине может двигаться по горизонтальной плоскости. Координата x выбрана так, что положению равновесия соответствует x=0. Красным цветом выделена вынуждающая сила F(t)=F0sin(ω t), направленная вдоль оси Ox
Колебания тела, вызванные воздействием на тело периодической внешней силы, называются вынужденными. Пусть на тело действует сила F(t)=F0sin(ω t). Предположим также, что при движении масса испытывает со стороны окружающей среды сопротивление, пропорциональное её скорости v, т. е. равное c v, где c -коэффициент сопротивления.
Тогда уравнение движения массы m при наличии гармонической вынуждающей силы F имеет вид:

где F0 — амплитуда вынуждающей силы, ω- угловая частота вынуждающей силы, равная 2Π/ T,  T — период внешнего воздействия, a — ускорение тела, k — коэффициент упругости пружины, m — масса тела. Это проекция векторного уравнения на ось Ox.

 Рис. 2. Графики затухающих колебаний

Красным показаны графики амплитуды  (предполагается, что A=0). а) Коэффициент затухания  δ=0.05. б) Коэффициент затухания  δ=0.2.

При затухающих колебаниях смещение (или отклонение от положения равновесия)
можно найти, решая уравнение (1) при F0=0. Получаем

где положительная величина A называетсяначальной (т. е. при t=0)амплитудой}, δ -коэффициентом затухания,  -мгновенным значением амплитуды, ω -угловой  частотой. e≈ 2,71 — число e, основание натуральных логарифмов. График затухающих колебаний показан на  рис. 2.

Видно, что из-за трения частота колебаний немного уменьшается. При F0≠0 решение уравнения (1) имеет более сложный вид.

Сила и потенциальная энергия при колебании. Движение. Теплота

Сила и потенциальная энергия при колебании

При всяком колебании около положения равновесия на тело действует сила, «желающая» возвратить тело в положение равновесия. Когда точка удаляется от положения равновесия, сила замедляет движение, когда точка приближается к этому положению, сила ускоряет движение.

Проследим за этой силой на примере маятника. Грузик маятника находится под действием силы тяжести и силы натяжения нити. Разложим силу тяжести на две составляющие – одну, направленную вдоль нити, и другую, идущую перпендикулярно к ней по касательной к траектории. Для движения существенна лишь касательная составляющая силы тяжести. Она-то и есть в этом случае возвращающая сила. Что касается силы, направленной вдоль нити, то она уравновешивается противодействием со стороны гвоздика, на котором висит маятник, и принимать ее в расчет надо лишь тогда, когда нас интересует вопрос, выдержит ли нить тяжесть колеблющегося тела.

Обозначим через x величину смещения грузика. Перемещение происходит по дуге, но мы ведь условились изучать колебания вблизи положения равновесия. Поэтому мы не делаем различия между величиной смещения по дуге и отклонением груза от вертикали. Рассмотрим два подобных треугольника (рис. 45). Отношение соответствующих катетов равно отношению гипотенуз, т.е.

Величина mg/l во время колебания не меняется. Эту постоянную величину мы обозначим буквой k, тогда возвращающая сила равна F = kx. Мы приходим к следующему важному выводу: величина возвращающей силы прямо пропорциональна величине смещения колеблющейся точки от положения равновесия. Возвращающая сила максимальна в крайних положениях колеблющегося тела. Когда тело проходит среднюю точку, сила обращается в нуль и меняет свой знак или, иными словами, свое направление. Пока тело смещено вправо, сила направлена влево, и наоборот. Маятник служит простейшим примером колеблющегося тела. Однако мы заинтересованы в том, чтобы формулы и законы, которые мы находим, можно было бы распространить на любые колебания.

Период колебания маятника был выражен через его длину. Такая формула годится лишь для маятника. Но мы можем выразить период свободных колебаний через постоянную возвращающей силы k. Так как k = mg/l, то l/g = m/k, и, следовательно,

Эта формула распространяется на все случаи колебания, так как любое свободное колебание происходит под действием возвращающей силы.

Выразим теперь потенциальную энергию маятника через смещение из положения равновесия x. Потенциальная энергия грузика, когда он проходит низшую точку, может быть принята за нуль, и отсчет высоты подъема следует вести от этой точки. Обозначив буквой h разность высот точки подвеса и положения отклонившегося груза, запишем выражение потенциальной энергии: U = mg(l ? k) или, пользуясь формулой разности квадратов,

Но, как видно из рисунка, l2 ? h2 = x2, l и h различаются весьма мало, и поэтому вместо l + h можно подставить 2l. Тогда U = (mg/2l)x2, или

Потенциальная энергия колеблющегося тела пропорциональна квадрату смещения тела из положения равновесия.

Проверим правильность выведенной формулы. Потеря потенциальной энергии должна равняться работе возвращающей силы. Рассмотрим два положения тела – x2 и x1. Разность потенциальных энергий

Но разность квадратов можно записать как произведение суммы на разность. Значит,

Но x2 ? x1 есть путь, пройденный телом, kx1 и kx2 – значения возвращающей силы в начале и в конце движения, а (kx1 + kx2)/2 равно средней силе.

Наша формула привела нас к правильному результату: потеря потенциальной энергии равна произведенной работе.

[PDF] МОДУЛЬ 3 механические колебания 2014

Download МОДУЛЬ 3 механические колебания 2014…

«КОЛЕБАНИЯ»

Механические колебания • • • • • • • • •

две формы уравнения колебаний энергия при колебательном движении затухающие колебания вынужденные колебания резонанс сложение колебаний физический маятник крутильные колебания колебания связанных систем

Электромагнитные колебания • •

• • • • • •

Гармонические электромагнитные колебания Затухающие электромагнитные колебания Резонанс в различных контурах. Метод диаграмм. Переменный ток. Закон Ома. Импеданс. Мощность. Последовательный и параллельный колебательные контура

Колебательное движение Физические процессы, которые характеризуются той или иной степенью повторяемости, называются колебательными процессами.

Колебания называются вынужденными, если они происходят под действием периодически изменяющейся внешней силы.

Гармоническими колебаниями называются колебания, при которых колеблющаяся физическая величина изменяется по закону синуса (или косинуса).

s  A cos t

Колебания называются свободными (или собственными), если они совершаются за счет первоначально сообщенной энергии, без дальнейшего внешнего воздействия на колебательную систему.

Периодом колебаний T называется наименьший промежуток времени, по истечении которого повторяются состояния колеблющейся системы и фаза колебания получает приращение 2

Частотой колебаний n называется величина обратная периоду колебаний — число полных колебаний, совершаемых в единицу времени

Колебательное движение Дифференциальное уравнение гармонических колебаний.

ds s    A sint     A cos t     2 dt 2

дифференциальным уравнением гармонических колебаний

d s s  2   A 2 cost     A 2 cost      dt 2

d s 2  s  0 2 dt

s  A cost   

Колебательное движение Геометрическая интерпретация колебательного движения Такая зависимость от смещения характерна для упругих сил и поэтому силы, которые аналогичным образом зависят от смещения, называются квазиупругими.

Экспоненциальная форма записи гармонических колебаний.

ei  cos  i sin  i t   ~ s  Ae

Возвращающая сила

xN  A cos  A cost  0  Материальная точка, колеблющаяся под действие возвращающей силы называется линейным 2 осциллятором

Re~ s   A cost  0  2

F  ma  mA cost  0    2

F  mA cost  0   m x 2

F   kx

Согласно формуле Эйлера для комплексных чисел

d x m 2  m 2 x dt уравнение линейного осциллятора

Колебательное движение Гармонические колебания под действием упругой силы.

Кинетическая энергия

m v2 m A2 2 K  sin 2 t  0  2 2 m A2 2 1  cos 2t  0  K 4 Полная энергия остается постоянной, с течением времени происходит только превращение кинетической энергии в потенциальную и обратно.

m A2 2 WКП  2 m A2 2 К  П  4

Потенциальная энергия

m A2 2 П    Fdx  cos2 t  0  2 0 m A2 2 1  cos 2t  0  П 4 x

Колебательное движение Примеры колебательных систем. 1. Пружинный маятник — это груз массой m, подвешенный на абсолютно упругой пружине и совершающий гармонические колебания под действием упругой силы

max  mg  k СТ  x d 2x k  x0 2 dt m x  A cos0t  0  0 

k m

 x0  A cos0 2 v 2  0 A  x  0 v0   A0 sin 0 02

x( t  0 )  x0 v( t  0 )  v0

tg0  

v0

x00

Колебательное движение Примеры колебательных систем. 2. Математическим маятником называется идеализированная система, состоящая из материальной точки массой m, подвешенной на невесомой нерастяжимой нити длиной l , и колеблющейся под действием силы тяжести без трения.

ma  mg sin  dv   g sin  dt d 2s g  s0 2 dt l

s  A cos0t  0 

0 

g l

ds s v  sin   dt l 2 l T  2 0 g

Колебательное движение Сравните маятником называется твердое 3. Физическим Математический тело, совершающее под действием силы маятник можно g 0 колебания вокруг горизонтальнойпредставить тяжести оси как подвеса, не lпроходящей через центр масс тела.(предельный) частный случай физического маятника, вся масса x 0 которого сосредоточена в его центре масс. 2 0 2 Приведенная x длина

d J  mgl sin  dt d  mgl   0 dt J

  A cos0t  0 

0 

физического маятника

Jx mgl 0 T  2 d mgl 0 Jx   sin    g m gl0 dt J x  lпр  lпр Jx m l0

Колебательное движение Приведенная длина физического маятника — это длина такого математического маятника, который имеет такой же период колебаний, что и данный физический маятник. Теорема Гюйгенса: 2 Приведенные длины и x сx 0 периоды колебаний cx маятников, подвешенных на параллельных осях, пр 0 0 расположенных на расстоянии приведенной 0 0 0 длины друг от друга одинаковы Точка O1 на продолжении прямой OC , отстоящая от оси подвеса на расстоянии приведенной длины lпр , называется центром качаний физического маятника.

J J  ml J l L   l  ml ml ml

J x1 J сx  m l12 J cx L1    l1  m l1 m l1 m l1 J cx l1  L0  l0  m l0

J cx L1  l0  m l0

Колебательное движение 4. Тело, подвешенное на упругой нити или другом упругом элементе, совершающее колебания в горизонтальной плоскости, представляет собой крутильный маятник

М   К

d 2 М J 2 dt

d 2 J 2  K dt

  0 cost   0   

K J

J T  2 K

Если К известно, то, измерив Т, можно найти момент инерции тела, поэтому метод крутильных колебаний часто используется для нахождения моментов инерции тел.

Колебательное движение Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний одинаковой частоты (двумерный осциллятор)

 x  A1 cos t   y  A2 cos t   0 

x  A  cost  1  2 y x   cost cos0  sin t sin 0 sin t  1  2  A2 A Уравнение 2 2 x y 2 xy эллипса 2  2 cos0  sin 0 2 A1 A2 A1 A2

 x  A1 cos t  1    y  A2 cos t   2 

Уравнения двумерного осциллятора (эллиптически поляризованные колебания)

Колебательное движение Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний одинаковой частоты (частные случаи). 1.

0  m m  0,1,2,3,… A y 2 x A1

Такие колебания называются линейно поляризованными

A

A12  A22

такие колебания называются эллиптически поляризованными При равенстве амплитуд – получаются колебания , поляризованные по кругу

2.

 0  2m  1 2 m  0 ,1,2 ,3,…

x2 y 2  2 1 2 A1 A2

Колебательное движение Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний с кратными частотами.

 x  A1 cos mt  1    y  A2 cos nt   2 

Фигуры Лиссажу Лиссажу Фигуры

Колебательное движение Метод векторных диаграмм Изменение угла Длина вектора равна амплитуде Сумма двух гармонических колебаний одного определяется частотой направления и одинаковой частоты есть Начальный угол гармоническое колебание в том же соответствует направлении и с той же частотой, что и Проекции вектора начальной фазе на складываемые колебания. соответствующие оси изменяются по  x1  A1 cos t  1 гармоническому  закону x  A cos t 

2

2

 

 2 

x  A cost  

A

A12  A22  2 A1 A2 cos  2  1 

A1 sin 1  A2 sin  2 tg  A1 cos1  A2 cos 2

Колебательное движение Биения.

x1  A cost x2  A cos   t    x  A( t ) cost Результирующее колебание с переменной амплитудой

 A( t )  2 A cos t 2

Биениями называются периодические изменения амплитуды колебания, возникающие при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами.

  4,5

Колебательное движение Спектр колебательных частот. Разложение Фурье

1  

2  4

Любое сложное периодическое колебание s = f (t) можно представить в виде суммы простых гармонических колебаний с циклическими частотами, кратными основной циклической частоте ω0 Такое представление периодической функции f(t) называется разложением ее в ряд Фурье или гармоническим анализом сложного периодического колебания.

A0 n s   Am cosm0t   m  2 m1 Результирующее колебание с частотой, равной наименьшей частоте складываемых колебаний

Члены ряда Фурье, соответствующие гармоническим колебаниям с циклическими частотами ω0 , 2ω0, 3ω0 и т. д., называются гармониками сложного периодического колебания.

Колебательное движение Затухающие механические колебания Коэффициент затухания



Частота собственных колебаний

2m

    Fупр  ks Fсопр   Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний линейной системы

Затуханием колебаний называется постепенное ослабление колебаний с течением времени, обусловленное потерей энергии колебательной системой.

max  kx  x d 2x 2  2    x 0x0 2 dt В случае малых затуханий

Система называется линейной, если параметры, характеризующие те физические свойства системы, которые существенны для рассматриваемого процесса, не изменяются в ходе процесса.

x  Aet cost  0  Циклическая частота затухающих колебаний

  02   2

Колебательное движение Затухающие механические колебания

Амплитуда затухающих колебаний

 t

A( t )  Ae

  02   2 T Логарифмический декремент затухания

   1

A( t ) e  e  A( t   )

Время релаксации (время жизни колебаний), в течение которого амплитуда затухающих колебаний уменьшается в e раз.

2

2

02   2

Частота и период затухающих колебаний

2

0

A( t ) Ae t   ln  ln   t T   T A( t  T ) Ae W( t )   Q  2   N e   W ( t  T ) T T Добротность колебательной системы — безразмерная величина, которая характеризует диссипацию энергии во времени

0 Q 2

Колебательное движение Вынужденные колебания

max  kx  x  F0 cos pt d 2x 2  2    x 0 x  f 0 cos pt 2 dt Быстро затухает

x  x  x  Ae cost  0   A cos pt    x*  A cos pt      * x   Ap sin pt     Ap cos pt     2    * 2 x   Ap sin pt      Ap2 cos pt      2  *

 t

Колебательное движение Вынужденные колебания

  Ap cos pt       2Ap cos pt      2   02 A cos pt     f 0 cos pt 2

A



f0 2 0

p

2 2

 4 2 p 2

2p tg  2 0  p 2

Колебательное движение Вынужденные колебания. Резонанс

Резонансом называется явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к частоте, равной или близкой собственной частоте колебательной системы.

Aрез 



f0 2 0

 p 2рез  4 2 p 2рез 2

4 02  p2 p  8 2 p  0 p рез 

f0

2 0



 QA0

2 0

 2 2

Колебательное движение Автоколебания, параметрические и ангармонические колебания В автоколебательных системах незатухающие колебания возникают (автоколебания) не за счет периодического внешнего воздействия, а в результате имеющейся у таких систем способности самой регулировать поступление энергии от постоянного источника. Ангармонические колебания возникают под действием возвращающей силы, которая нелинейно зависит от координаты, а сила сопротивления зависит не от первой а второй или большей производной

Величину амплитуды колебаний можно изменять за счет изменения параметров системы (длины подвеса, жесткость системы). Такие колебания называют параметрическими.

A



f0 2 0

p

2 2

Апериодическое движение характерно для сред с большим коэффициентом сопротивления, т.е. коэффициентом затухания

 4 2 p 2

ВОПРОСЫ ВЫНОСИМЫЕ НА КОЛЛОКВИУМ 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22.

Две формы уравнения колебаний, примеры колебательных систем Физический маятник. Приведенная длина. Параметры колебательных систем. Энергия при колебательном движении. Затухающие колебания Вынужденные колебания. Резонанс, автоколебания и другие виды колебательных движений Метод векторных диаграмм. Пример. Сложение колебаний одинакового направления Сложение взаимно-перпендикулярных колебаний Метод разложения колебаний. Биения. Гармонические электромагнитные колебания Затухающие электромагнитные колебания Резонанс в различных контурах. Метод диаграмм. Переменный ток. Закон Ома. Импеданс. Переменный ток. Мощность. Действующие значения. Параметры и уравнение бегущей волны. Свет – электромагнитная волна. Уравнение. Энергия. Скорость распространения упругих волн. Групповая и фазовая скорости. Дисперсия волн; Энергия упругой волны. Вектор Умова. Отражение и преломление упругих волн. Принцип Гюйгенса. Дифракция. Интерференция волн. Стоячие волны. Звуковые волны. Параметры. Эффект Доплера.

5.5 Простое гармоническое движение — физика

Раздел Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете делать следующее:

  • Описать закон Гука и простое гармоническое движение
  • Описать периодическое движение, колебания, амплитуду, частоту и период
  • Решение задач простого гармонического движения с участием пружин и маятников

Поддержка учителей

Поддержка учителей

Цели обучения в этом разделе помогут вашим учащимся освоить следующие стандарты:

  • (7) Научные концепции.Учащийся знает характеристики и поведение волн. Ожидается, что студент:
    • (A) исследуют и описывают колебательное движение и распространение волн в различных типах сред.

Кроме того, руководство по физике для средней школы обращается к содержанию этого раздела лабораторной работы под названием «Движение в двух измерениях», а также к следующим стандартам:

  • (7) Научные концепции. Учащийся знает характеристики и поведение волн.Ожидается, что студент:
    • (А) изучить и описать колебательное движение и распространение волн в различных типах сред.

Основные термины раздела

амплитуда деформация положение равновесия частота
Закон Гука колебательный период периодическое движение
восстанавливающая сила простое гармоническое движение простой маятник

Закон Гука и простое гармоническое движение

Представьте себе машину, припаркованную у стены.Если бульдозер втолкнет машину в стену, машина не сдвинется с места, но заметно изменит форму. Изменение формы из-за приложения силы является деформацией. Известно, что даже очень малые силы вызывают некоторую деформацию. При малых деформациях могут произойти две важные вещи. Во-первых, в отличие от примера с автомобилем и бульдозером, объект возвращается к своей первоначальной форме после прекращения действия силы. Во-вторых, размер деформации пропорционален силе. Это второе свойство известно как закон Гука.В форме уравнения закон Гука равен

.

, где x — величина деформации (например, изменение длины), вызванная восстанавливающей силой F , а k — константа, зависящая от формы и состава объекта. Возвращающая сила — это сила, возвращающая объект в положение равновесия; знак минус стоит потому, что восстанавливающая сила действует в направлении, противоположном перемещению. Обратите внимание, что восстанавливающая сила пропорциональна деформации x .Деформацию также можно рассматривать как отклонение от равновесия. Это изменение положения под действием силы. В отсутствие силы объект находился бы в положении равновесия. Силовая постоянная k связана с жесткостью системы. Чем больше силовая постоянная, тем жестче система. Более жесткую систему труднее деформировать, и она требует большей восстанавливающей силы. Единицы k — ньютоны на метр (Н/м). Одним из наиболее распространенных применений закона Гука является решение задач, связанных с пружинами и маятниками, которые мы рассмотрим в конце этого раздела.

Поддержка учителей

Поддержка учителей

[BL] Пересмотреть концепцию силы.

[BL][OL][AL] Ввести закон Гука и силовую постоянную пружины.

Колебания и периодическое движение

Что общего у океанского буя, ребенка на качелях, гитары и биения сердец? Все они колеблются. То есть они перемещаются туда и обратно между двумя точками, как линейка, показанная на рис. 5.37. Все колебания связаны с силой.Например, вы толкаете ребенка на качелях, чтобы он начал движение.

Фигура 5,37 Линейка смещена из положения равновесия.

Поддержка учителей

Поддержка учителей

[BL][OL][AL] Найдите пружины или резиновые ленты с различной степенью жесткости. Попросите учащихся прикрепить к ним грузы, чтобы построить осцилляторы. Познакомить с терминами «частота» и «период времени». Попросите учащихся понаблюдать, как жесткость пружины влияет на них.Как на них влияет масса системы? Как влияет на них начальная сила?

Первый закон Ньютона подразумевает, что объект, колеблющийся вперед и назад, испытывает силы. Без силы объект двигался бы по прямой линии с постоянной скоростью, а не колебался бы. Рассмотрим, например, выдергивание пластиковой линейки влево, как показано на рис. 5.38. Деформация линейки создает силу в противоположном направлении, известную как восстанавливающая сила. После освобождения восстанавливающая сила заставляет линейку вернуться к своему устойчивому положению равновесия, где результирующая сила, действующая на нее, равна нулю.Однако к тому времени, когда линейка туда попадает, она набирает обороты и продолжает двигаться вправо, вызывая противоположную деформацию. Затем его толкают влево, обратно через равновесие, и процесс повторяется до тех пор, пока он постепенно не потеряет всю свою энергию. Простейшие колебания возникают, когда возвращающая сила прямо пропорциональна смещению. Напомним, что закон Гука описывает эту ситуацию уравнением F = − kx . Следовательно, закон Гука описывает и применяется к простейшему случаю колебаний, известному как простое гармоническое движение.

Фигура 5,38 (а) Пластиковая линейка отпущена, и возвращающая сила возвращает линейку в положение равновесия. (b) Суммарная сила равна нулю в положении равновесия, но линейка имеет импульс и продолжает двигаться вправо. в) Возвращающая сила направлена ​​в противоположную сторону. Он останавливает линейку и снова возвращает ее к равновесию. (d) Теперь импульс линейки направлен влево. д) При отсутствии демпфирования (вызванного силами трения) линейка достигает исходного положения.Оттуда движение будет повторяться.

Когда вы дергаете гитарную струну, в результате получается устойчивый звук, который длится долгое время. Каждое колебание струны занимает столько же времени, сколько и предыдущее. Периодическое движение — это движение, которое повторяется через равные промежутки времени, например, когда объект подпрыгивает вверх и вниз на пружине или маятник качается вперед и назад. Время совершения одного колебания (полного цикла движения) остается постоянным и называется периодом T .Его единицами обычно являются секунды.

Частота f — количество колебаний в единицу времени. Единицей частоты в системе СИ является герц (Гц), определяемый как количество колебаний в секунду. Соотношение между частотой и периодом составляет

.

Как видно из уравнения, частота и период — это разные способы выражения одного и того же понятия. Например, если вы получаете зарплату два раза в месяц, вы можете сказать, что частота выплат — две в месяц, или что период между чеками — полмесяца.

Если нет трения, замедляющего его, то объект в простом движении будет вечно колебаться с одинаковым смещением по обе стороны от положения равновесия. Положение равновесия — это положение, в котором объект естественным образом находился бы в отсутствие силы. Максимальное отклонение от равновесия называется амплитудой X . Единицы амплитуды и смещения одинаковы, но зависят от типа колебаний. Для объекта на пружине, показанного на рис. 5.39, единицами измерения амплитуды и перемещения являются метры.

Фигура 5,39 Объект, прикрепленный к пружине, скользящей по поверхности без трения, представляет собой простой гармонический осциллятор. При выходе из равновесия объект совершает простое гармоническое движение с амплитудой X и периодом T . Максимальная скорость объекта возникает, когда он проходит через точку равновесия. Чем жестче пружина, тем меньше период T . Чем больше масса объекта, тем больше период T .

Масса m и силовая постоянная k являются единственными факторами, влияющими на период и частоту простого гармонического движения. Период простого гармонического осциллятора равен

, а поскольку f = 1/ T , частота простого гармонического осциллятора равна

.

Смотреть физику

Введение в гармоническое движение

В этом видеоролике показано, как построить график смещения пружины в направлении x с течением времени на основе периода.Посмотрите первые 10 минут видео (вы можете остановиться, когда рассказчик начнет освещать исчисление).

Если бы амплитуда смещения пружины была больше, как бы это повлияло на график смещения во времени? Что произошло бы с графиком, если бы период был больше?

  1. Большая амплитуда привела бы к более высоким пикам и впадинам, а более длинный период привел бы к большему разделению во времени между пиками.

  2. Большая амплитуда приведет к меньшим пикам и впадинам, а более длинный период приведет к большему расстоянию между пиками.

  3. Большая амплитуда приведет к более высоким пикам и впадинам, а более длинный период приведет к более короткому расстоянию между пиками.

  4. Большая амплитуда приведет к меньшим пикам и впадинам, а более длинный период приведет к более короткому расстоянию между пиками.

Решение задач о пружине и маятнике с помощью простого гармонического движения

Прежде чем решать задачи с пружинами и маятниками, важно сначала понять, как работает маятник. На рис. 5.40 представлена ​​полезная иллюстрация простого маятника.

Фигура 5.40 Простой маятник имеет груз небольшого диаметра и нить, которая имеет очень маленькую массу, но достаточно прочна, чтобы не растягиваться.Линейное смещение от равновесия равно s, длине дуги. Также показаны силы, воздействующие на груз, которые приводят к суммарной силе − мг sin θ , направленной к положению равновесия, то есть к восстанавливающей силе.

Поддержка учителей

Поддержка учителей

[BL] Просмотрите простое гармоническое движение.

К повседневным маятникам относятся старомодные часы, детские качели или грузило на леске. При небольших смещениях менее 15 градусов маятник испытывает простые гармонические колебания, а это означает, что его возвращающая сила прямо пропорциональна его смещению.Маятник в простом гармоническом движении называется простым маятником. Маятник имеет объект с небольшой массой, также известный как маятник, который висит на тонкой проволоке или веревке. Положение равновесия маятника — это когда угол θθ равен нулю (то есть когда маятник висит прямо вниз). Вполне логично, что без приложения силы именно здесь будет лежать маятниковый груз.

Поддержка учителей

Поддержка учителей

[BL][OL][AL]Собери простые маятники разной длины.Попросите студентов измерить их периоды времени или частоты. Постоянны ли они для данного маятника? Как масса влияет на частоту? Как на это влияет начальное смещение? Что произойдет, если слегка подтолкнуть маятник, чтобы он запустился? Это меняет частоту? Как длина влияет на частоту?

Перемещение маятника на длину дуги с . Вес м г имеет компоненты м г cos θθ вдоль струны и м г sin θθ по касательной к дуге.Натяжение струны точно компенсирует составляющую м г cos θθ, параллельную струне. Это оставляет чистую восстанавливающую силу обратно к положению равновесия, которая проходит по касательной к дуге и равна − м г sin θθ .

Для простого маятника период равен T=2πLg.T=2πLg.

На период простого маятника влияют только его длина и ускорение свободного падения. Период совершенно не зависит от других факторов, таких как масса или амплитуда.Однако обратите внимание, что T зависит от g . Это означает, что если мы знаем длину маятника, мы можем использовать его для измерения гравитации! Это пригодится в книге «Измерение ускорения под действием силы тяжести: период маятника».

Советы для успеха

Напряжение представлено переменной T , а период представлен переменной T . Важно не путать их, поскольку напряжение — это сила, а период — это продолжительность времени.

Рабочий пример

Измерение ускорения свободного падения: период маятника

Чему равно ускорение свободного падения в области, где простой маятник длиной 75,000 см имеет период 1,7357 с?

Стратегия

Нас просят найти g , зная период T и длину L маятника. Мы можем решить T=2πLgT=2πLg для g , предполагая, что угол отклонения меньше 15 градусов.Напомним, что когда угол отклонения меньше 15 градусов, считается, что маятник находится в простом гармоническом движении, что позволяет нам использовать это уравнение.

Решение

  1. Возведите в квадрат T=2πLgT=2πLg и найдите г .
  2. Подставьте известные значения в новое уравнение. g=4π20,75000 м(1,7357 с)2g=4π20,75000 м(1,7357 с)2
  3. Вычислите, чтобы найти г .g= 9,8281 м/с2g= 9,8281 м/с2

Обсуждение

Этот метод определения г может быть очень точным. Вот почему в этом примере длина и период даны пятизначным числам.

Рабочий пример

Закон Гука: насколько жестки автомобильные пружины?

Какова постоянная силы системы подвески автомобиля, подобной показанной на рис. 5.41, которая оседает 1.20 см при посадке человека весом 80,0 кг?

Фигура 5.41 Автомобиль на стоянке. (эксфорди, фликр)

Стратегия

Считайте, что автомобиль находится в положении равновесия x = 0 до того, как человек сядет в него. Затем автомобиль опустится на 1,20 см, что означает, что он сместится в положение x = −1,20×10 −2 м. .

В этот момент пружины создают восстанавливающую силу F , равную весу человека

ш = м г = (80.0 кг)(9,80 м/с 2 ) = 784 Н. Мы принимаем эту силу равной F по закону Гука.

Зная F и x , мы можем найти силовую постоянную k .

Решение

Решить закон Гука, F = − kx , для k .

Подставьте известные значения и найдите k .

k=-784 Н-1,20×10-2 м=6,53×104 Н/мк=-784 Н-1,20×10-2 м=6.53×104 Н/м

Обсуждение

Обратите внимание, что F и x имеют противоположные знаки, поскольку они направлены в противоположные стороны — восстанавливающая сила направлена ​​вверх, а смещение направлено вниз. Также обратите внимание, что автомобиль будет раскачиваться вверх и вниз, когда человек садится в него, если бы не амортизаторы. Подпрыгивающие автомобили — верный признак плохих амортизаторов.

Практические задачи

20 .

Сила 70\,\text{N}, приложенная к пружине, заставляет ее сместиться на 0.3\,\текст{м}. Чему равна постоянная силы пружины?

  1. {-233}\,\text{Н/м}

  2. {-21}\,\text{Н/м}

  3. 21\,\text{Н/м}

  4. 233\,\text{Н/м}

21 .1\,\text{Н/м}

Снап Лаборатория

Нахождение гравитации с помощью простого маятника

Используйте простой маятник, чтобы найти ускорение свободного падения g в вашем доме или классе.

  • 1 строка
  • 1 секундомер
  • 1 маленький плотный предмет
  1. Отрежьте кусок нити или зубной нити длиной около 1 м.
  2. Прикрепите к концу шнура небольшой предмет высокой плотности (например, металлическую гайку или ключ от машины).
  3. Начиная с угла менее 10 градусов, дайте маятнику раскачиваться и измерьте период маятника для 10 колебаний с помощью секундомера.
  4. Вычислить г .

Проверка захвата

Насколько точно это измерение для г ? Как это можно улучшить?

  1. Точность для значения г будет увеличиваться с увеличением массы плотного объекта.
  2. Точность для значения г будет увеличиваться с увеличением длины маятника.
  3. Значение г будет более точным, если угол отклонения больше 15°.
  4. Значение г будет более точным, если оно поддерживает простое гармоническое движение.

Проверьте свое понимание

22 .

Что такое деформация?

  1. Деформация – это величина восстанавливающей силы.

  2. Деформация – это изменение формы из-за приложения силы.

  3. Деформация — это максимальное усилие, которое можно приложить к пружине.

  4. Деформация восстанавливает первоначальную форму после устранения внешней силы.

23 .

Чему согласно закону Гука пропорциональна деформация?

  1. Сила
  2. Скорость
  3. Рабочий объем
  4. Постоянная силы
24 .

Что такое колебания?

  1. Движение, приводящее к небольшим перемещениям
  2. Движение, которое периодически повторяется
  3. Периодическое повторяющееся движение между двумя точками
  4. движение, противоположное направлению возвращающей силы
25 .

Верно или неверно — колебания могут происходить без приложения силы.

  1. Правда
  2. Ложь

Поддержка учителей

Поддержка учителей

Используйте вопросы «Проверьте свое понимание», чтобы оценить, достигают ли учащиеся целей обучения в этом разделе. Если учащиеся не могут справиться с определенной задачей, функция «Проверить понимание» поможет определить, какая цель вызывает проблему, и направит учащихся к соответствующему содержанию.

Как рассчитать константу пружины с помощью закона Гука

Любой физик знает, что если объект прикладывает силу к пружине, то пружина прикладывает к объекту равную и противоположную силу. Закон Гука дает силу, с которой пружина действует на прикрепленный к ней объект, с помощью следующего уравнения:

F = – кх

Знак минус показывает, что эта сила направлена ​​в противоположную сторону от силы, которая растягивает или сжимает весна. Переменные уравнения: F, , представляющее силу, к, , называемую жесткостью и силой пружины, и х, , расстояние, на которое пружина растягивается или сжимается от своего положения. положение равновесия или покоя.

Сила, создаваемая пружиной, называется восстанавливающей силой; он всегда действует, чтобы вернуть пружину к равновесию. В законе Гука отрицательный знак силы пружины означает, что сила, действующая на пружину, противодействует смещению пружины.

Понимание пружин и направления их действия

Направление силы пружины

На предыдущем рисунке показан шарик, прикрепленный к пружине. Вы можете видеть, что если пружина не растягивается и не сжимается, она не действует на шарик.Однако если вы нажмете на пружину, она оттолкнется назад, а если вы потянете пружину, она оттянется назад.

Закон Гука действителен до тех пор, пока эластичный материал, с которым вы имеете дело, остается эластичным, то есть остается в пределах своего предела эластичности . Если вы потянете пружину слишком далеко, она потеряет способность растягиваться. Пока пружина остается в пределах своего предела упругости, можно сказать, что F = – kx . Когда пружина остается в пределах своего предела упругости и подчиняется закону Гука, пружина называется идеальной пружиной .

Как найти жесткость пружины (пример задачи)

Предположим, к вам в дверь стучится группа дизайнеров автомобилей и спрашивает, не могли бы вы помочь спроектировать систему подвески. «Конечно, — говорите вы. Вам сообщают, что машина будет иметь массу 1000 кг, и вам предстоит работать с четырьмя амортизаторами длиной по 0,5 метра каждый. Насколько сильными должны быть пружины? Если предположить, что в этих амортизаторах используются пружины, каждый из них должен выдерживать массу не менее 250 кг, что соответствует следующему весу:

F = мг = (250 кг)(9.8 м/с 2 ) = 2,450 Н

, где F равно силе, м равно массе объекта, а г равно ускорению свободного падения, 9,8 метра в секунду 2 . Пружина в амортизаторе должна, как минимум, дать вам усилие в 2450 ньютонов при максимальном сжатии 0,5 метра. Что это означает, что жесткость пружины должна быть? Чтобы выяснить как вычислить жесткость пружины , мы должны вспомнить, что говорит закон Гука:

F = – kx

Теперь нам нужно переработать уравнение так, чтобы мы вычисляли недостающие метрическая, которая является жесткостью пружины, или k .Глядя только на величины и, следовательно, опуская отрицательный знак, вы получаете

Время подставить числа:

Пружины, используемые в амортизаторах, должны иметь жесткость не менее 4900 ньютонов на метр. Автомобильные дизайнеры выбегают в восторге, но вы кричите им вдогонку: «Не забывайте, вам нужно как минимум удвоить это, если вы действительно хотите, чтобы ваша машина могла преодолевать выбоины».

8.2: Другие возвращающие силы — Физика LibreTexts

Маятники

Масса на пружине — не единственная физическая система, демонстрирующая простое гармоническое движение.Другой пример — по крайней мере, в хорошем приближении для малых амплитуд — маятников . Говорить о том, что маятник обладает возвращающей силой, неточно — маятник характеризуется угловым движением, и поэтому на него действует возвращающий крутящий момент . Первый тип маятника, который мы рассмотрим, — это простой маятник . Это именно то, как это звучит — он состоит из точечной массы под действием силы тяжести на конце безмассовой струны, прикрепленной к фиксированной точке.

Понятно, что если определить движение простого маятника с точки зрения углового положения, движение будет колебательным – сила тяжести продолжает создавать крутящий момент, стремящийся восстановить вертикальное выравнивание. Но простое ли это гармоническое движение? Нам нужно сделать анализ, чтобы понять это. На рис. 8.2.1 показана диаграмма с множеством надписей, а также диаграмма свободного тела.

Рисунок 8.2.1 – Простой маятник

Мы хотим описать движение маятника, что означает нахождение функции \(\theta\left(t\right)\).Мы делаем это, используя второй закон Ньютона, как мы делали с массой на пружине. Мы можем использовать либо линейную, либо вращательную форму второго закона Ньютона — естественно, обе приводят к одному и тому же результату. Давайте воспользуемся вращательной версией, как нам понадобится позже, когда маятник не будет «простым». Выбрав против часовой стрелки в качестве положительного направления (таким образом, маятник справа от вертикали находится в положительной области), мы видим, что крутящий момент для приведенной выше диаграммы отрицательный — восстанавливающая сила имеет противоположный знак смещения, как и должно быть.2}+\dfrac{g}{l}\theta=0 \]

Это соответствует дифференциальному уравнению, которое мы нашли для массы на пружине, поэтому решение такое же (простое гармоническое движение):

\[ \theta\left(t\right) = \theta_{max} \sin\left(\omega t + \phi\right),\;\;\;\;\;\; куда\;\; \ омега = \ sqrt {\ dfrac {g} {l}} \]

Предупреждение

Обратите внимание, что \(\омега\), используемая в аргументе функции синуса выше, представляет собой угловую частоту движения и является постоянной величиной. Это , а не угловая скорость маятника \(\dfrac{d\theta}{dt}\), которая постоянно меняется.2 \]

Читатель заметит, что это похоже на уравнение 8.2}+\dfrac{mgd}{I}\theta=0 \]

Угловая частота по-прежнему является квадратным корнем из коэффициента \(\тета\), поэтому период колебаний этого более общего маятника равен:

\[ T = \dfrac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\dfrac{I}{mgd}}\]

Пример \(\PageIndex{1}\)

Тонкий однородный стержень длиной \(40 см\) подвешен вертикально за один конец, за который он может свободно вращаться без трения. Если его повернуть на небольшой угол от вертикали и отпустить из состояния покоя, найти, сколько времени потребуется, чтобы принять вертикальное положение.

Раствор

Стержень смещен на небольшой угол, поэтому мы можем рассматривать его как маятник. Когда он выходит из состояния покоя, он начинает с максимального углового смещения, и его просят найти время, необходимое для достижения точки равновесия. Это составляет ровно одну четвертую цикла (столько же времени требуется, чтобы отклониться от точки равновесия до максимального углового смещения), поэтому все, что нам нужно вычислить, — это одну четвертую периода.2}{mg\left(\frac{1}{2}l\right)}} = \pi\sqrt{\dfrac{l}{6g}} = \boxed{0.26s} \nonnumber \]

Потенциальные скважины

В конце раздела 3.7 мы рассмотрели, как можно моделировать химические связи в виде пружин. Там была намечена программа, позволяющая вывести эффективную пружинную постоянную для любого потенциала с локальным минимумом. Оказывается, что «естественные» частоты вибрации этих связей очень важны, когда речь идет о таких вещах, как длина волны света, которую материал будет поглощать или излучать, поэтому возможность получить эффективную постоянную пружины из потенциальной функции дает нам многое. информации о том, как поведет себя материал.

Однако с этими моделями связи как пружины возникает одна сложность. Две молекулы, прикрепленные пружиной, обе движутся. Как мы вообще вписываем это в нашу модель, в которой единственная масса колеблется в точке равновесия? Оказывается, есть хороший трюк, который мы можем использовать для всех подобных задач с двумя телами, рассматривая систему с центром масс. [ Примечание: Этот трюк также используется для гравитации, когда вращающееся тело и гравитирующее тело имеют сравнимые массы. ]

Рассмотрим пружину с массами на обоих концах. На систему не действует чистая внешняя сила, поэтому, когда они вибрируют, центр масс остается в покое (мы предполагаем, что он начал с покоя). Таким образом, мы можем разбить это на две отдельные системы масса-пружина, где центр масс является фиксированной точкой для каждой из них.

Рисунок 8 8 91 .2.2 – Две массы, соединенные пружиной

Об этой модели можно сказать несколько вещей. Во-первых, существует связь между переменными \(x_1\) и \(x_2\) и величиной каждого из этих изменений. Оба они измеряются от центра масс на левой диаграмме и оба являются положительными значениями на правой диаграмме, что дает:

\[ m_1x_1 = m_2x_2 \;\;\; \Правая стрелка \;\;\; m_1\Delta x_1 = m_2\Delta x_2 \;\;\; \Правая стрелка \;\;\; \Дельта x_2 = \dfrac{m_1}{m_2}\Дельта x_1\]

Величина силы, действующей на каждую массу со стороны пружины, одинакова в каждый момент времени (третий закон Ньютона), а величина этой силы определяется растяжением (или сжатием) полной пружины в соответствии с законом Гука.Растяжение/сжатие полной пружины равно сумме растяжений/сжатий двух пружин на отдельной диаграмме, поэтому:

\[ F = k\Delta x = k\left(\Delta x_1 + \Delta x_2 \right) = k\Delta x_1\left(1+\dfrac{m_1}{m_2}\right) \]

Но если посмотреть на эту силу с точки зрения \(m_1\) на правой диаграмме, сила, действующая на нее, возникает из-за ее собственной пружины и ее смещения. Выполнение этого сравнения дает нам \(k_1\) с точки зрения \(k\):

\[ F = k\Delta x_1\left(1+\dfrac{m_1}{m_2}\right) = k_1\Delta x_1 \;\;\; \Правая стрелка \;\;\; k_1 = \left(\dfrac{m_1+m_2}{m_2}\right)k \]

Угловая частота колебаний \(m_1\) определяется его массой и жесткостью пружины действующей на него силы упругости:

\[ \omega = \sqrt{\dfrac{k_1}{m_1}} = \sqrt{\dfrac{k}{\mu}}, \;\;\;\;\;\; куда:\;\; \mu \эквив\dfrac{m_1m_2}{m_1+m_2} \]

Движение \(m_2\) повторяет движение \(m_1\), за исключением другой (меньшей) амплитуды.Мы знаем это, потому что две массы должны достичь своего максимального и минимального смещения одновременно, чтобы центр масс оставался неподвижным. Таким образом, угловая частота колебаний для \(m_2\) должна быть такой же, как и для \(m_1\), и, конечно же, так оно и есть (повторите все шаги выше, поменяв местами индексы 1 и 2) .

Величина \(\mu\) выражается в единицах массы и обычно называется приведенной массой системы. Его использование является распространенным способом сведения задач двух тел к задачам одного тела.Угловая частота здесь принимает обычную форму для одномерного простого гармонического осциллятора, и все, что нужно сделать, это вычислить приведенную массу из двух задействованных масс и использовать полную постоянную пружины (возможно, вычисленную из потенциальной функции с локальный минимум).

15. КОЛЕБАНИЯ

15. КОЛЕБАНИЯ

Любое движение, которое повторяется через равные промежутки времени, называется гармоникой . движение .Частица совершает простых гармонических движения , если ее смещение от начала координат как функция времени определяется как

где x m , [omega] и [phi] — константы, не зависящие от время. Величина x m называется амплитудой движение и является максимальным перемещением массы. изменяющийся во времени Величина ([omega]t + [phi]) называется фазой движения а [phi] называется фазовой постоянной .Фазовая постоянная определяется начальными условиями. Угловая частота [омега] является характеристикой системы и не зависит от начального условия. Единицей угловой частоты является рад/с. То период T движения определяется как время, необходимое для совершить одно колебание. Следовательно, смещение x(t) должно вернуться к своему начальное значение после одного периода

x(t) = x(t + T)

Это эквивалентно

Используя отношение

сразу видно что

Число колебаний, совершаемых в секунду, называется частота колебаний .Символ частоты [ню] а единицей измерения является Герц (Гц):

1 Гц = 1 колебание в секунду = 1 с -1

Период T и частота [nu] связаны следующим образом:

Скорость объекта, совершающего простое гармоническое движение, может быть легко вычисляется

Положительная величина [омега] х м называется амплитуда скорости и максимальная скорость объекта.Обратите внимание, что фазы скорости и смещения отличаются на 90 градусов. Это означает, что скорость наибольшая, когда смещение равно нулю и наоборот наоборот . Ускорение объекта, совершающего простое гармоническое движение дается

Положительная величина [омега] 2 x м является амплитуда ускорения a м . Используя выражение для x(t), выражение для a(t) можно переписать как

Это показывает, что ускорение пропорционально смещению, но противоположны по знаку.Силу, действующую на массу, можно рассчитать, используя Второй закон Ньютона

Это уравнение силы аналогично силе, действующей на пружину. (закон Гука)

F = — k x

Сравнивая эти два последних уравнения, мы заключаем, что

k = m [омега] 2

и

» Простое гармоническое движение есть движение, совершаемое частицей массой m, на которую действует сила F, пропорциональная смещению частица, но противоположная по знаку. »

Система, показанная на рис. 15.1, образует простой гармонический осциллятор. Так и будет колебаться с угловой частотой [омега], определяемой как

Период T колебаний равен

Полная механическая энергия простого гармонического осциллятора состоит потенциальной и кинетической энергии. Потенциальная энергия системы дана по

Рисунок 15.1. Простой гармонический осциллятор.

Кинетическая энергия системы определяется как

Теперь можно рассчитать полную механическую энергию системы

Полная механическая энергия простого гармонического осциллятора равна константа (независимо от времени). Однако кинетическая и потенциальная энергии являются функциями времени.

Пример: торсионный маятник

Работа крутильного маятника связана с закручиванием подвесной трос.Движение, описываемое крутильным маятником, называется угловое простое гармоническое движение . Восстанавливающий момент задается

где [каппа] — константа, зависящая от свойств подвесной трос (его длина, диаметр и материал). Для заданного крутящего момента мы можем рассчитать угловое ускорение a

или

Сравнивая это уравнение с соотношением между линейным ускорение и линейное перемещение объекта, заключаем, что

Период крутильного маятника равен

Пример: Классический простой маятник

Классический простой маятник показан на рисунке 15.2. Он состоит массы m, подвешенной на безмассовой струне длиной L. Силы на массу действуют сила тяжести m g и натяжение T в нить. Радиальная составляющая гравитационной силы, мг cos([theta]), определяет натяжение проволоки, но не изменит движения массы. Тангенциальная составляющая гравитационной силы, mg sin([theta]), равна всегда направлен в сторону покоя маятника. Этот компонент сила тяжести называется возвращающей силой:

Для малых углов sin([theta]) ~ [theta].Это показывает, что

где s — перемещение массы по дуге. Снова мы заключить, что возвращающая сила пропорциональна смещению, и противоположного знака . Таким образом, движение представляет собой гармонический осциллятор. Ускорение массы связано со смещением s

Рисунок 15.2. Классический простой маятник.

Это сразу указывает на то, что угловая частота [омега] дается по

и поэтому период движения равен

Рисунок 15.3. Физический маятник.

Пример: физический маятник

В реальном мире маятники далеко не простые. В общем, масса маятника не сосредоточится в одной точке, а будет распределена. На рис. 15.3 показан физический маятник. Физический маятник подвешен через точку O. Действие силы тяжести можно заменить действие одной силы, модуль которой m g, действующей на центр тяжести маятника (который равен центру масс, если ускорение свободного падения постоянно).Результирующий крутящий момент (относительно к О) дается

где h — расстояние между осью вращения и центром сила тяжести. В пределе малых углов этот крутящий момент можно переписать как

Угловое ускорение маятника связано с крутящим моментом [тау] и инерция вращения I

Таким образом, мы заключаем, что

Это снова уравнение для гармонического движения с угловым частота указана

и период, равный

Обратите внимание, что простой маятник является частным случаем физического маятник: h = L и I = m L 2 .Период колебаний равен затем дается

Примечание : уравнения движения, описывающие гармоническое движение, все иметь следующий вид:

Общее решение этого дифференциального уравнения равно

.

Это легко показать, дважды продифференцировав x(t) по время

и

Простое гармоническое движение является частным случаем, когда амплитуды A и В равны.В этом случае x(t) можно переписать как

.

Это уравнение описывает простое гармоническое движение с угловым частота равна [омега].

Пример: Проблема 33P

Две пружины прикреплены к бруску массой m и к неподвижному опоры, как показано на рис. 15.4. Покажите, что частота колебаний на поверхность без трения определяется как

Рисунок 15.4. Задача 33П.

Когда пружина 1 растянута на x, пружина 2 сожмется на столько же расстояние. Полная сила, действующая на массу, равна сумме сил, приложенных этими двумя пружинами. Обратите внимание, что обе силы всегда направлены в одну и ту же сторону. направление.

Это похоже на уравнение движения простой гармоники осциллятор. Это уравнение можно переписать как

.

или

Делаем вывод, что угловая частота равна

а период T на

Пример: Проблема 35P

Две пружины соединены и соединены с массой m, как показано на рис. Рисунок 15.5. Поверхности не имеют трения. Если каждая пружина имеет силу постоянной k, показывают, что частота колебаний m равна

Рисунок 15.5. Проблема 35P

Предположим, что постоянные пружины не одинаковы. Как масса колеблется, пружина 1 растягивается или сжимается на расстояние x 1 ; соответствующее расстояние для другой пружины называется x 2 . К Третий закон Ньютона, силы, действующие на пружины друг на друга, равны. по величине, но направлены в противоположные стороны.Сила, действующая на пружину 1 на весну 2 дается

Из этого уравнения следует, что если пружина 1 растянута (x 1 > 0) сила, действующая пружиной 1 на пружину 2, направлена ​​в минус направление. Сила, с которой пружина 2 действует на пружину 1, равна

.

Из этого уравнения следует, что если пружина 2 растянута (x 2 > 0) сила, действующая пружиной 2 на пружину 1, направлена ​​в положительную сторону. направление.Применяя третий закон Ньютона, мы заключаем, что

Перемещение самой массы равно

и поэтому

F 1 — единственная сила, действующая на массу, а F 1 равно k 1 x 1 . Теперь можно использовать предыдущее отношение выразить силу F 1 через перемещение x:

Мы заключаем, что две пружины с жесткостью пружины k 1 и k 2 и соединены, как показано на рисунке 15.5, вести себя как сингл пружина с жесткостью k, где k задается как

До сих пор мы обсуждали системы, в которых сила пропорциональна к смещению, но направлены в противоположную сторону. В этих случаях движение системы может быть описано простым гармоническим движением. Однако, если включаем силу трения, движение уже не будет простым гармоническим. Система по-прежнему будет колебаться, но ее амплитуда будет медленно уменьшаться в течение время.

Предположим, что полная сила, действующая на массу, не только пропорциональна его перемещение, но и его скорость. Суммарная сила может быть представлена следующим образом

В этой формуле b называется константой затухания . Подставляя выражение для силы через ускорение, получаем получить следующее дифференциальное уравнение

Общее решение этого дифференциального уравнения будет иметь вид

Подставив это выражение в дифференциальное уравнение, получим

Это уравнение можно переписать как

.

и решения для [омега]

Подставляя это в выражение для x(t), получаем

Мы видим, что амплитуда движения постепенно уменьшается со временем.Это справедливо и для кинетической энергии осциллятора. В любой момент механическую энергию осциллятора можно рассчитать, используя выражение для х(т):

Пример: Проблема 87P

Затухающий гармонический осциллятор состоит из блока (m = 2 кг), пружиной (k = 10 Н/м) и демпфирующей силой F = — b v. Первоначально она колеблется амплитудой 0,25 м; из-за демпфирования амплитуда падает до три четверти своего первоначального значения после четырех полных циклов.а) Что такое значение б? (б). Сколько энергии теряется за эти четыре цикла?

Зависимость амплитуды колебаний от времени дается выражением

Период одного колебания равен

Таким образом, амплитуда после 4 колебаний равна

Угловая частота [omega] связана с жесткостью пружины k и масса m следующим образом

Используя это выражение, получаем для b

Механическая энергия, теряемая во время этих 4 колебаний, также может быть легко вычисляется

Случай гармонического осциллятора, возбуждаемого синусоидальной переменной силой является чрезвычайно важным во многих разделах физики.В предыдущем разделах мы обсудили несколько примеров гармонических осцилляторов, а для каждой системы мы смогли рассчитать собственную частоту [omega] 0 , (например, для пружины [омега] 0 2 = к/м). Уравнение движения для осциллятор, на который не действует ни демпфирующая сила, ни внешняя сила. применяется дается

Предположим, что к этой системе приложена внешняя сила F(t).Внешний сила имеет амплитуду m F 0 и угловую частоту омега. То уравнение движения, описывающее систему, теперь имеет вид

Стационарное состояние (состояние системы после любого переходные эффекты утихли) реакция системы будет именно на частота вождения. В противном случае относительная фаза между силой ответа изменится со временем. Таким образом, установившийся отклик гармоники осциллятор находится на частоте возбуждения [омега], а не на собственная частота [омега] 0 .

Общее решение уравнения движения:

Подставляя это выражение в уравнение движения, получаем

Это уравнение можно переписать, используя некоторые тригонометрические соотношения

Это уравнение может быть выполнено только в том случае, если коэффициенты при cos([omega]t) и sin([omega]t) равны нулю.Это означает, что

и

В общем случае A != 0 и [omega] != [omega] 0 . Первый состоянии, чем показывает, что

Теперь второе условие можно переписать как

.

Амплитуда гармонического осциллятора равна

Амплитуда колебаний системы становится очень большой, если [омега] подходит к [омега] 0 .Говорят, что система в резонанс , когда это происходит.


Присылайте комментарии, вопросы и/или предложения по электронной почте [email protected] и/или посетите домашнюю страницу Frank Wolfs.

Движение массы на пружине

В предыдущей части этого урока движение массы, прикрепленной к пружине, было описано как пример колебательной системы. Масса при пружинном движении обсуждалась более подробно, поскольку мы стремились понять математические свойства объектов, находящихся в периодическом движении.Теперь мы исследуем движение массы на пружине еще более подробно, сосредоточившись на том, как различные величины изменяются с течением времени. Такие величины будут включать в себя силы, положение, скорость и энергию — как кинетическую, так и потенциальную энергию.

 

Закон Гука

Мы начнем наше обсуждение с исследования сил, действующих пружиной на подвешенный груз. Рассмотрим систему, показанную справа, с пружиной, прикрепленной к опоре.Пружина висит в расслабленном, нерастянутом положении. Если бы вы взялись за нижнюю часть пружины и потянули вниз, пружина растянулась бы. Если бы вы потянули с небольшим усилием, пружина немного растянулась бы. И если бы вы тянули с гораздо большей силой, пружина растянулась бы в гораздо большей степени. Какова именно количественная связь между силой тяги и степенью растяжения?

Чтобы определить это количественное соотношение между величиной силы и величиной растяжения, к пружине можно прикрепить предметы известной массы.Для каждого добавленного объекта можно измерить величину растяжения. Сила, приложенная в каждом случае, будет весом объекта. Можно провести регрессионный анализ данных силы-растяжения, чтобы определить количественную взаимосвязь между силой и степенью растяжения. В приведенной ниже таблице данных показаны некоторые репрезентативные данные для такого эксперимента.

Масса (кг)

Усилие на пружине (Н)

Величина растяжения (м)

0.000

0,000

0,0000

0,050

0,490

0,0021

0,100

0,980

0.0040

0,150

1.470

0,0063

0,200

1,960

0,0081

0,250

2.450

0,0099

0,300

2,940

0,0123

0,400

3,920

0,0160

0.500

4.900

0,0199

 

Построив график данных силы-растяжения и выполнив линейный регрессионный анализ, можно определить количественное соотношение или уравнение. Сюжет показан ниже.

Анализ линейной регрессии дает следующую статистику:

наклон = 0.00406 м/с
y-перехват = 3,43 x 10 -5 ( per почти близко к 0,000)
константа регрессии = 0,999

Уравнение для этой линии

Растяжение = 0,00406•Сила + 3,43×10 -5

Тот факт, что константа регрессии очень близка к 1,000, указывает на то, что существует сильное соответствие между уравнением и точками данных. Эта сильная посадка придает достоверность результатам эксперимента.

Эта взаимосвязь между силой, приложенной к пружине, и степенью растяжения была впервые обнаружена в 1678 году английским ученым Робертом Гуком. Как выразился Гук: Ut tensio, sic vis . В переводе с латыни это означает «Как протяженность, так и сила». Другими словами, величина растяжения пружины пропорциональна величине силы, с которой она тянет. Если бы мы завершили это исследование около 350 лет назад (и если бы мы знали немного латыни), мы были бы знамениты! Сегодня эта количественная зависимость между силой и растяжением называется законом Гука и часто приводится в учебниках как

.

F пружина = -k•x

, где Fspring — сила, действующая на пружину, x — степень растяжения пружины относительно ее расслабленного положения, а k — константа пропорциональности, часто называемая константой пружины.Постоянная пружины — это положительная константа, значение которой зависит от исследуемой пружины. Жесткая пружина будет иметь высокую жесткость пружины. Это означает, что потребуется относительно большое количество силы, чтобы вызвать небольшое смещение. Единицами жесткости пружины являются ньютон/метр (Н/м). Знак минус в приведенном выше уравнении указывает на то, что направление растяжения пружины противоположно направлению силы, действующей на пружину. Например, когда пружина была растянута ниже своего расслабленного положения, x на 90 515 направлен вниз на 90 122 .Пружина реагирует на это растяжение, прикладывая 90 515 вверх 90 122 силы. X и F находятся в противоположных направлениях. Последнее замечание относительно этого уравнения заключается в том, что оно работает для пружины, растянутой по вертикали, и для пружины, растянутой по горизонтали (такой, которая будет обсуждаться ниже).

 

Анализ силы массы на пружине

Ранее в этом уроке мы узнали, что на объект, который вибрирует, действует восстанавливающая сила.Возвращающая сила заставляет вибрирующий объект замедляться по мере удаления от положения равновесия и ускоряться по мере приближения к положению равновесия. Именно эта возвращающая сила отвечает за вибрацию. Так какова возвращающая сила массы на пружине?

Мы начнем обсуждение этого вопроса с рассмотрения системы на диаграмме ниже.

На схеме показаны воздушная трасса и планер.Планер крепится пружиной к вертикальной опоре. Трение между планером и воздушной гусеницей незначительно. Таким образом, на планер действуют три доминирующие силы. Эти три силы показаны на диаграмме свободного тела справа. Сила гравитации (Fgrav) довольно предсказуема — как по величине, так и по направлению. Сила тяжести всегда действует вниз; его величина может быть найдена как произведение массы на ускорение свободного падения (m•9.8 Н/кг). Опорная сила (Fsupport) уравновешивает силу тяжести. Он питается воздухом от воздушной дорожки, заставляя планер левитировать над поверхностью гусеницы. Конечная сила – это сила пружины (Fspring). Как обсуждалось выше, сила пружины изменяется по величине и направлению. Его величину можно найти с помощью закона Гука. Его направление всегда противоположно направлению растяжения и к положению равновесия. Поскольку планер с воздушной гусеницей совершает возвратно-поступательные движения , сила пружины (Fspring) действует как восстанавливающая сила.Он действует на планер влево, когда он расположен справа от положения равновесия; и он действует на планер вправо, когда он расположен слева от положения равновесия.

Предположим, что планер оттягивается вправо от положения равновесия и выходит из состояния покоя. На приведенной ниже диаграмме показано направление силы пружины в пяти различных положениях на протяжении пути параплана. Когда планер перемещается из положения А (точка освобождения) в положение В, а затем в положение С, сила пружины действует влево на движущийся влево планер.Когда планер приближается к положению C, степень растяжения пружины уменьшается, а сила пружины уменьшается в соответствии с законом Гука. Несмотря на это уменьшение силы пружины, все еще существует ускорение, вызванное восстанавливающей силой, для всего размаха от положения А до положения С. В положении С планер достиг максимальной скорости. Как только планер проходит влево от положения C, сила пружины действует вправо. Во время этой фазы цикла планера пружина сжимается.Чем дальше от положения С перемещается планер, тем больше степень сжатия и больше сила пружины. Эта сила пружины действует как восстанавливающая сила, замедляя планер при его перемещении из положения C в положение D и в положение E. К тому времени, когда планер достигает положения E, он замедляется до положения мгновенного покоя, прежде чем изменить свое направление и возвращаясь к положению равновесия. Во время движения планера из положения E в положение C степень сжатия пружины уменьшается, и сила пружины уменьшается.На протяжении всего расстояния от положения Е до положения С сохраняется ускорение. В положении С планер достиг максимальной скорости. Теперь планер начинает двигаться вправо от точки C. При этом сила пружины действует влево на планер, движущийся вправо. Эта восстанавливающая сила заставляет планер замедляться на всем пути от положения C до положения D и положения E.

Синусоидальный характер движения массы на пружине

Ранее на этом уроке обсуждались изменения положения груза на пружине во времени.В то время было показано, что положение груза на пружине зависит от синуса времени. Обсуждение относилось к массе, которая колебалась вверх и вниз, будучи подвешенной к пружине. Обсуждение было бы в равной степени применимо и к нашему планеру, движущемуся по воздушной трассе. Если бы детектор движения был размещен в правом конце воздушной дорожки для сбора данных для графика зависимости положения от времени, график выглядел бы так, как показано ниже. Положение А — это крайнее правое положение на воздушной дорожке, когда планер находится ближе всего к детектору.

Позиции, отмеченные на приведенной выше диаграмме, — это те же позиции, которые использовались при обсуждении восстанавливающей силы выше. Вы могли вспомнить из этого обсуждения, что положения А и Е были положениями, в которых масса имела нулевую скорость. Положение С было положением равновесия и было положением максимальной скорости. Если бы тот же детектор движения, который собирал данные о положении и времени, использовался для сбора данных о скорости и времени, то данные на графике выглядели бы так, как показано на графике ниже.

Обратите внимание, что график зависимости массы пружины от скорости от времени также имеет синусоидальную форму. Единственная разница между графиками положение-время и скорость-время состоит в том, что один смещен на одну четверть колебательного цикла от другого. Также обратите внимание на графики, что абсолютное значение скорости наибольшее в положении C (соответствующем положению равновесия). Скорость любого движущегося объекта, независимо от того, вибрирует он или нет, — это скорость с направлением.Величина скорости есть скорость. Направление часто выражается как положительный или отрицательный знак. В некоторых случаях скорость имеет отрицательное направление (планер движется влево) и ее скорость откладывается под осью времени. В остальных случаях скорость имеет положительное направление (планер движется вправо) и ее скорость отложена над осью времени. Вы также заметите, что скорость равна нулю всякий раз, когда положение находится в экстремальном положении. Это происходит в положениях А и Е, когда планер начинает менять направление.Так же, как и в случае маятникового движения, скорость наибольшая, когда смещение массы относительно ее положения равновесия наименьшее. И скорость наименьшая, когда смещение массы относительно ее положения равновесия наибольшее.

 

Энергетический анализ массы на пружине

На предыдущей странице обсуждался энергетический анализ колебаний маятника. Здесь мы проведем аналогичный анализ для движения массы на пружине.В нашем обсуждении мы будем ссылаться на движение планера без трения по воздушной дорожке, которое было введено выше. Планер потянет вправо от положения равновесия и выйдет из состояния покоя (положение А). Как уже упоминалось, планер затем ускоряется к положению C (положение равновесия). Как только планер проходит положение равновесия, он начинает замедляться, поскольку сила пружины тянет его назад против движения. К тому времени, когда он достигает положения E, планер замедляется до мгновенной паузы, прежде чем изменить направление и разогнаться обратно к положению C.Еще раз, после того, как планер проходит точку C, он начинает замедляться по мере приближения к точке A. Оказавшись в позиции A, цикл начинается сначала… и снова… и снова.

Кинетическая энергия, которой обладает объект, — это энергия, которой он обладает благодаря своему движению. Это величина, которая зависит как от массы, так и от скорости. Уравнение, связывающее кинетическую энергию (KE) с массой (m) и скоростью (v), равно

.

КЭ = ½•m•v 2

Чем быстрее движется объект, тем большей кинетической энергией он обладает.Мы можем объединить эту концепцию с приведенным выше обсуждением того, как скорость изменяется в ходе движения. Это смешение концепций привело бы нас к выводу, что кинетическая энергия массы на пружине увеличивается по мере ее приближения к положению равновесия; и уменьшается по мере удаления от положения равновесия.

Эта информация представлена ​​в таблице ниже:

Этап цикла

Изменение скорости

Изменение кинетической энергии

от А до В до С

Увеличение

Увеличение

C-D-E

По убыванию

По убыванию

от В до Г до С

Увеличение

Увеличение

С до В до А

По убыванию

По убыванию

Кинетическая энергия — это только одна из форм механической энергии.Другая форма – потенциальная энергия. Потенциальная энергия — это накопленная энергия положения, которым обладает объект. Потенциальная энергия может быть гравитационной потенциальной энергией, и в этом случае положение относится к высоте над землей. Или потенциальная энергия может быть упругой потенциальной энергией, и в этом случае положение относится к положению массы на пружине относительно положения равновесия. Для нашего планера с вибрирующей воздушной гусеницей нет изменения высоты. Поэтому гравитационная потенциальная энергия не меняется.Эта форма потенциальной энергии не представляет большого интереса для нашего анализа изменений энергии. Однако происходит изменение положения массы относительно ее положения равновесия. Каждый раз, когда пружина сжимается или растягивается относительно ее расслабленного положения, происходит увеличение упругой потенциальной энергии. Количество упругой потенциальной энергии зависит от степени растяжения или сжатия пружины. Уравнение, связывающее величину потенциальной энергии упругости (PEspring) с величиной сжатия или растяжения (x), имеет вид

.

PE пружина = ½ • k•x 2

, где k — жесткость пружины (в Н/м), а x — расстояние, на которое пружина растянута или сжата относительно расслабленного, нерастянутого положения.

Когда планер с воздушной гусеницей находится в положении равновесия (положение C), он движется с наибольшей скоростью (как обсуждалось выше). В этой позиции значение x равно 0 метру. Таким образом, количество упругой потенциальной энергии (PEspring) равно 0 Дж. Это положение, при котором потенциальная энергия минимальна. Когда планер находится в положении А, пружина растягивается на максимальное расстояние и потенциальная энергия упругости максимальна. Аналогичное утверждение можно сделать и для положения E. В положении E пружина сжата больше всего, и упругая потенциальная энергия в этом месте также максимальна.Поскольку пружина растягивается в той же степени, что и сжимается, потенциальная энергия упругости в положении А ( в растянутом положении ) такая же, как в положении Е ( в сжатом положении ). В этих двух положениях — А и Е — скорость равна 0 м/с, а кинетическая энергия равна 0 Дж. Таким образом, как и в случае вибрирующего маятника, колеблющаяся масса на пружине имеет наибольшую потенциальную энергию, когда она имеет наименьшую кинетическая энергия. И он также имеет наименьшую потенциальную энергию (положение C), когда он имеет наибольшую кинетическую энергию.Эти принципы показаны на анимации ниже.

При проведении анализа энергопотребления обычно используется гистограмма энергопотребления. Гистограмма энергии использует гистограмму для представления относительного количества и формы энергии, которой обладает движущийся объект. Это полезный концептуальный инструмент для демонстрации того, какая форма энергии присутствует и как она меняется с течением времени. На приведенной ниже диаграмме представлена ​​гистограмма энергии для планера с воздушной гусеницей и пружинной системы.

Гистограмма показывает, что по мере того, как масса на пружине перемещается от A к B и C, кинетическая энергия увеличивается, а потенциальная энергия упругости уменьшается. Однако общее количество этих двух форм механической энергии остается постоянным. Механическая энергия переходит из потенциальной формы в кинетическую; но общее количество сохраняется . Аналогичное явление сохранения энергии происходит, когда масса перемещается от C к D и E. Когда пружина сжимается, а масса замедляется, ее кинетическая энергия преобразуется в упругую потенциальную энергию.При этом преобразовании общее количество механической энергии сохраняется. Этот самый принцип сохранения энергии был объяснен в предыдущей главе — главе «Энергия» — учебника по физике.


Период мессы на пружине

Очевидно, не все пружины одинаковы. И не все пружинно-массовые системы одинаковы. Одной измеряемой величиной, которую можно использовать для отличия одной системы массы пружины от другой, является период.Как обсуждалось ранее в этом уроке, период — это время, за которое вибрирующий объект совершает один полный цикл вибрации. Переменными, влияющими на период системы пружина-масса, являются масса и постоянная пружины. Уравнение, связывающее эти переменные, напоминает уравнение для периода маятника. Уравнение

T = 2•Π•(m/k) .5

, где T — период, m — масса объекта, прикрепленного к пружине, а k — жесткость пружины.Уравнение можно интерпретировать так, что более массивные объекты будут вибрировать с более длительным периодом. Их большая инерция означает, что для завершения цикла требуется больше времени. А пружины с большей жесткостью (более жесткие пружины) имеют меньший период; массам, прикрепленным к этим пружинам, требуется меньше времени для завершения цикла. Их более высокая жесткость пружины означает, что они оказывают более сильное восстанавливающее усилие на прикрепленную массу. Эта большая сила сокращает время, необходимое для завершения одного цикла вибрации.

 

С нетерпением жду урока 2

Как мы видели в этом уроке, вибрирующие объекты качаются на месте . Они колеблются взад и вперед вокруг фиксированного положения. Простой маятник и груз на пружине — классические примеры такого колебательного движения. Хотя это и не очевидно при простом наблюдении, использование детекторов движения показывает, что колебания этих объектов имеют синусоидальный характер. Существует тонкое волнообразное поведение, связанное с тем, как положение и скорость изменяются во времени.На следующем уроке мы будем исследовать волны. Как мы скоро узнаем, если масса на пружине представляет собой 90 515 покачиваний во времени 90 122 , то волна представляет собой совокупность 90 515 качаний, разбросанных по пространству 90 122 . Когда мы начнем изучение волн в Уроке 2, понятия частоты, длины волны и амплитуды останутся важными.

Мы хотели бы предложить … Зачем просто читать об этом и когда вы могли бы взаимодействовать с ним? Взаимодействие — это именно то, что вы делаете, когда используете один из интерактивов The Physics Classroom.Мы хотели бы предложить вам совместить чтение этой страницы с использованием нашей мессы в Spring Interactive. Вы можете найти его в разделе Physics Interactives на нашем сайте. Интерактивная масса на пружине предоставляет учащимся простую среду для изучения влияния массы, жесткости пружины и продолжительности движения на период и амплитуду вертикально вибрирующей массы.


 

Проверьте свое понимание

1.Чтобы растянуть пружину на 40 см от исходного положения, требуется усилие 16 Н. Какая сила (в ньютонах) нужна, чтобы растянуть ту же пружину …

а. … в два раза больше?
б. … в три раза больше?
в. …половина дистанции?

2. Постоянно обеспокоенный привычкой белок на заднем дворе нападать на его кормушки для птиц, мистер Х. решает использовать немного физики для лучшей жизни. Его текущий план включает в себя оснащение кормушки для птиц пружинной системой, которая растягивается и колеблется, когда масса белки приземляется на кормушку.Он желает иметь максимально возможную амплитуду вибрации. Должен ли он использовать пружину с большой жесткостью пружины или с малой жесткостью пружины?

 

3. По предыдущему вопросу. Если г-н Х хочет, чтобы его кормушка для птиц (и прикрепленная к ней белка) вибрировала с максимально возможной частотой, должен ли он использовать пружину с большой жесткостью пружины или с малой жесткостью пружины?

4. Используйте энергосбережение, чтобы заполнить пропуски на следующей диаграмме.

5. Какая из следующих систем масса-пружина будет иметь самую высокую частоту вибрации?

Случай A: Пружина с k = 300 Н/м и массой 200 г подвешена к ней.
Случай B: Пружина с k = 400 Н/м и массой 200 г подвешена к ней.

6. Какая из следующих систем масса-пружина будет иметь самую высокую частоту вибрации?

Случай A: Пружина с k = 300 Н/м и массой 200 г подвешена к ней.
Случай B: Пружина с k = 300 Н/м и массой 100 г подвешена к ней.

Эластичность и простое гармоническое движение

Эластичность и простое гармоническое движение

Твердое тело — это идеализация, потому что даже самый прочный материал слегка деформируется при приложении силы. Упругость — это область физики, изучающая отношения между деформациями твердого тела и силами, которые их вызывают.

Эластичные модули

В общем, модуль упругости представляет собой отношение напряжения к деформации. Модуль Юнга, объемный модуль и модуль сдвига описывают реакцию объекта на растягивающие, сжимающие и сдвигающие напряжения соответственно. Когда объект, такой как проволока или стержень, подвергается натяжению, длина объекта увеличивается. Модуль Юнга определяется как отношение напряжения растяжения к деформации растяжения. Напряжение растяжения — это мера деформации, вызывающей напряжение.Его определение представляет собой отношение растягивающей силы (F) и площади поперечного сечения, нормального к направлению силы (A) . Единицами напряжения являются ньютоны на квадратный метр (Н/м 2 ). Деформация при растяжении определяется как отношение изменения длины ( l o l ) к исходной длине ( l o ). Штамм – это число без единиц измерения; следовательно, выражение для модуля Юнга равно

Если к объекту кубической формы приложена сила, толкающая каждую грань внутрь, возникает сжимающее напряжение. Давление определяется как сила на единицу площади P = F/A . Единицей давления в СИ является паскаль, который равен 1 ньютон/метр 2 или Н/м 2 . При равномерном давлении объект будет сжиматься, и его относительное изменение объема (V) равно деформации сжатия. Соответствующий модуль упругости называется объемным модулем и определяется как B = − P / (Δ V / V o ).Отрицательный знак гарантирует, что B всегда будет положительным числом, поскольку увеличение давления вызывает уменьшение объема.

Приложение силы к верхней части объекта параллельно поверхности, на которой он стоит, вызывает деформацию. Например, толкните верхнюю часть книги, лежащей на столешнице, так, чтобы сила была параллельна поверхности. Форма поперечного сечения изменится с прямоугольника на параллелограмм из-за напряжения сдвига (см. рис. 1). Напряжение сдвига определяется как отношение тангенциальной силы к площади (A) нагруженной поверхности. Деформация сдвига представляет собой отношение горизонтального расстояния, на которое перемещается сдвигаемая поверхность (Δ x ) и высоты объекта (h) , что приводит к модулю сдвига :

Рисунок 1

Напряжение сдвига деформирует книгу.

Закон Гука

Прямая зависимость между приложенной силой и изменением длины пружины, называемая законом Гука, равна F = − kx , где x — растяжение пружины, а k определяется как пружинная константа . Единицами для k являются ньютоны на метр. Когда груз подвешен на конце пружины, при равновесии нисходящая сила тяжести, действующая на массу, должна быть уравновешена направленной вверх силой пружины. Эта сила называется восстанавливающей силой . Знак минус указывает, что направление восстанавливающей силы пружины противоположно направлению растяжения или смещения пружины.

Простое гармоническое движение

Масса, подпрыгивающая на конце пружины, совершает колебательное движение.Движение любой системы, ускорение которой пропорционально отрицательной величине смещения, называется простым гармоническим движением (SHM), т.е. Некоторые определения относятся к SHM:

  • Полная вибрация — это одно движение вниз и вверх.
  • Время одного полного колебания составляет период, измеряется в секундах.
  • Частота представляет собой число полных колебаний в секунду и определяется как величина, обратная периоду.Его единицами являются циклы в секунду или герц (Гц).
  • Амплитуда является абсолютной величиной расстояния от максимального вертикального смещения до центральной точки движения, то есть наибольшего расстояния вверх или вниз перемещается масса от своего начального положения.

Уравнение, относящееся к периоду, массе и жесткости пружины: Это отношение дает период в секундах.

Отношение СГМ к круговому движению

Аспекты SHM можно визуализировать, взглянув на его отношение к равномерному круговому движению.Представьте себе карандаш, приклеенный вертикально к горизонтальному поворотному столу. Посмотрите на вращающийся карандаш со стороны поворотного стола. Поскольку поворотный стол вращается с равномерным круговым движением, карандаш движется вперед и назад с простым гармоническим движением. На рисунке (а) P показан как точка на ободе поворотного стола — положение карандаша. Точка P ′ указывает видимое положение карандаша при просмотре только компонента x . Вектор ускорения и компоненты вектора показаны на рисунке 2(b).

Рисунок 2

Связь между круговым движением и СГМ.

Ниже приводится доказательство взаимосвязи между SHM и одной составляющей равномерного кругового движения. Этот компонент движения наблюдается при взгляде на круговое движение со стороны. Максимальное перемещение составляющей равномерного кругового движения равно радиусу окружности (А) . Подставим радиус окружности (A) в уравнения для угловой скорости и углового ускорения, чтобы получить = r ω 2 = А ω 2 .Горизонтальная составляющая этого ускорения равна a = — A ω o sin θ = -ω 2 x , используя x = A , как показано на рисунке . Поскольку ускорение пропорционально смещению, точка, вращающаяся с равномерным круговым движением, подвергается SHM, когда рассматривается только одна составляющая движения.

Простой маятник

Простой маятник представляет собой идеализированную модель массы, качающейся на конце безмассовой струны.Для малых дуг качания менее 15 градусов движение маятника приближается к SHM. Период маятника равен T = 2π√ l / g , где l — длина маятника, а g — ускорение свободного падения. Обратите внимание, что период маятника составляет 90 515, а не 90 122, в зависимости от массы маятника.

Энергия ШМ

Потенциальная энергия пружины по закону Гука равна P . Е .=(1/2) kx 2 . Полная энергия представляет собой сумму кинетической и потенциальной энергий в любой момент времени и сохраняется.

Понимание эластичных свойств кожи

КОНТЕКСТ

На протяжении веков было изобретено множество устройств, позволяющих в основном понимать механику , прежде чем ее можно будет так широко понять и изучить. Глубокое понимание механики кожи открывает путь к характеристике механических свойств кожи человека и позволяет наблюдать за ее поведением в соответствии с законами упругости*, кручения и силы, которые вместе известны как «закон Гука» .

Определение

Закон Гука, применяемый к коже, представляет собой принцип физики, моделирующий ее деформацию* при внешнем растяжении, сжатии или изгибе. Этот закон упругости является связующим звеном между смещением или величиной деформации и деформирующей силой или нагрузкой. Вот почему кожа возвращается к своей первоначальной форме после снятия нагрузки .

Эта способность возвращаться в нормальную форму после искажения называется «восстанавливающая сила» .Ссылаясь на закон Гука, эта восстанавливающая сила обычно пропорциональна степени растяжения * кожи. Закон также может быть выражен в терминах напряжения и напряжения.

Закон Гука можно сформулировать так:

Ф = -кх

Где :

  • Ф есть сила
  • X is длина растяжения/сжатия*
  • k — это константа пропорциональности, которая обычно выражается в Н/м. Его значение зависит не только от типа рассматриваемого эластичного материала, но также от его размера и формы.

Рис. 1: Иллюстрация закона Гука, показывающая взаимосвязь между силой и расстоянием при приложении к пружине.

История закона Гука

За этим законом стоит Роберт Гук, британский физик 17 века, давший ему свое имя, продемонстрировавший взаимосвязь между силами, приложенными к пружине, и ее упругостью.Благодаря этому опыту он заметил, что кривая зависимости напряжения от деформации для таких материалов, как кожа, имеет линейных участков . Этот закон был впервые извлечен в 1660 году из латинской анаграммы, а затем использован в качестве решения в 1678 году под формой «ut tensio, sic vis» , что означает по-английски «как расширение, так и сила» или . «расширение пропорционально силе» .

Спустя столетие закон Гука смог связать деформацию с напряжением в области линейной упругости благодаря модулю, называемому… модулем Юнга.

Модуль Юнга

Модуль Юнга — числовая константа , названная английским врачом 18 века Томасом Юнгом. Он описывает сопротивление объекта упругой деформации при приложении к нему внешней силы. Модуль Юнга равен продольному напряжению, деленному на деформацию.

В чем разница между законом Гука и модулем Юнга?

Закон Гука — это основное эмпирическое правило, применяемое к коже, которое описывает связь прямой пропорциональности между силой, приложенной к объекту, и индуцированной деформацией. Модуль Юнга — это постоянный коэффициент жесткости*, обозначаемый k, который описывает, насколько жесткой является кожа или насколько вероятной является ее деформация. Модуль Юнга может быть получен путем сжатия кожи с последующим измерением напряжения и деформации.

Рис. 2: Кривая напряжения и деформации в масштабе закона Гука.

Нанесение на кожу

Согласно закону Гука упругое поведение материала частично обусловлено небольшими смещениями составляющих его молекул. Эти смещения также пропорциональны силе, вызванной самими смещениями.

Кожа определяется как абсолютно эластичная, так как она возвращается к своей первоначальной форме после приложения силы. Тогда кожа играет по механическим законам, которые могут переопределить ее собственные свойства.

ПОЧЕМУ АСМ?

AFM собирает любую информацию о механических свойствах кожи, измеренных с помощью оптической системы, установленной на кантилевере. По отклонению АСМ силу можно рассчитать по закону Гука, если известна жесткость пружины.

 

В масштабе закона, которому более 300 лет, АСМ представляет собой один из самых современных и эффективных методов для характеристики упругих свойств кожи.

Два знаменитых физика 17-го и 18-го веков, соответственно, множество разработок в области исследований кожи и яркая команда BioMeca, чтобы предоставить вам мощные инструменты, революционизирующие тесты эффективности in vitro и ex vivo.

 

ЛЕКСИЧЕСКИЙ

  • Деформация: изменение размера или формы объекта.
  • Эластичность (или упругая деформация): временное изменение длины, объема или формы, возникающее в упругом веществе под действием напряжения.
  • Жесткость (или жесткость): степень, в которой объект сопротивляется деформации в ответ на приложенную силу (измеряется в Н/м).
  • Растягивание: делают материал длиннее или шире, чем обычно, в результате натяжения краев.
  • Сжатие: процесс вдавливания материала в меньшее пространство или давления на него с разных сторон до тех пор, пока он не станет меньше.

alexxlab

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.