Site Loader

Содержание

Двоичная система счисления

Содержание:
Что такое двоичная система счисления
Как перевести целое десятичное число в двоичную систему счисления
Как перевести десятичную дробь в двоичную систему счисления
Как перевести число из двоичной системы счисления в десятичную
Как перевести дробное двоичное число в десятичное
Таблица значений десятичных чисел от 0 до 100 в двоичной системе счисления

Что такое двоичная система счисления

Двоичная система счисления, является позиционной системой счисления, то есть имеется зависимость от позиции цифры в записи числа. Для записи числа в двоичной системе счисления используется две цифры 0 и 1. Для определения в какой системе счисления записано число, внизу, справа от числа ставят цифру, которая называется основанием системы счисления. Например, 10012 или 10001012

Если вам необходимо перевести число любой системы счисления в другую систему счисления, воспользуйтесь калькулятором систем счисления с подробным решением онлайн.

Как перевести целое десятичное число в двоичную систему счисления

Для того, чтобы перевести целое десятичное число в двоичную систему счисления нужно десятичное число делить на 2 до тех пор, пока неполное частное не будет равно нулю. В результате будет получено число из остатков деления записанное справа налево.

Например, переведем число 17310 в двоичную систему счисления:

173 : 2 = 86 остаток: 1
86 : 2 = 43 остаток: 0
43 : 2 = 21 остаток: 1
21 : 2 = 10 остаток: 1
10 : 2 = 5 остаток: 0

5 : 2 = 2 остаток: 1
2 : 2 = 1 остаток: 0
1 : 2 = 0 остаток: 1

17310 = 101011012

Как перевести десятичную дробь в двоичную систему счисления
Для того чтобы перевести десятичную дробь в двоичную систему счисления необходимо сначала перевести целую часть десятичной дроби в двоичную систему счисления, а затем дробную часть, последовательно умножать на 2, до тех пор, пока в дробной части произведения не получиться ноль (результатом произведения будет целое число) или не будет достигнуто необходимое количество знаков после запятой.
Если в результате умножения целая часть не равна нулю, тогда необходимо заменить значение целой части на ноль. В результате будет получено число из целых частей произведений, записанное слева направо.

Например, переведем десятичное число 5.7410 в двоичную систему счисления:

Переведем целую часть

5 : 2 = 2 остаток: 1
2 : 2 = 1 остаток: 0
1 : 2 = 0 остаток: 1
510 = 1012

Переведем дробную часть

0.74 · 2 = 1.48
0.48 · 2 = 0.96
0.96 · 2 = 1.92
0.92 · 2 = 1.84
0.84 · 2 = 1.68
0.68 · 2 = 1.36

0.36 · 2 = 0.72
0.72 · 2 = 1.44
0.44 · 2 = 0.88
0.88 · 2 = 1.76

0.7410 = 0.10111101012
5.7410 = 101.10111101012

Двоичные дроби, как и десятичные могут быть как конечными, так и бесконечными. Не всегда конечная десятичная дробь может быть представлена конечной двоичной. В данном примере получается бесконечная периодическая двоичная дробь, поэтому умножение на 2 можно производить бесконечное число раз и все равно дробная часть частного не будет равна нулю. В данном случае десятичная дробь 5.74 не может быть точно представлена в двоичной системе счисления. К примеру, дробь 2.5

10 может быть представлена в двоичной системе счисления в виде конечной 2.510 = 10.12.

Как перевести число из двоичной системы счисления в десятичную
Для того, чтобы перевести число из двоичной системы счисления в десятичную систему счисления, необходимо записать позиции каждой цифры в числе с права на лево начиная с нуля. Каждая позиция цифры будет степенью числа 2, так как система счисления 2-ичная. Необходимо последовательно умножить каждое число на 2 в степени соответствующей позиции числа и затем сложить с последующим произведением следующего числа в степени соответствующей его позиции.
Например, переведем теперь обратно число 101011012 в десятичную систему счисления:
Позиция в числе76543210
Число10101101

101011012 = 1 ⋅ 27 + 0 ⋅ 26 + 1 ⋅ 25 + 0 ⋅ 24 + 1 ⋅ 23 + 1 ⋅ 22 + 0 ⋅ 21 + 1 ⋅ 20 = 17310

Как перевести дробное двоичное число в десятичное
Для того, чтобы перевести дробное двоичное число в десятичное, необходимо записать дробное двоичное число, убрав точку и затем сверху расставить индексы. Индексы в дробной части числа начинаются от -1 и продолжаются на уменьшение вправо, индексы в целой части начинаются с 0 и ставятся с права на лево по возрастанию. Каждая позиция цифры (индекс) будет степенью числа 2, так как система счисления 2-ичная.
Необходимо последовательно умножить каждое число на 2 в степени соответствующей позиции числа и затем сложить с последующим произведением следующего числа в степени соответствующей его позиции.

Например, переведем дробное двоичное число 110.101 в десятичное:

Позиция в числе210-1-2-3
Число110101

110.1012 = 1 ⋅ 22 + 1 ⋅ 21 + 0 ⋅ 20 + 1 ⋅ 2-1 + 0 ⋅ 2-2 + 1 ⋅ 2-3 = 6.62510

Таблица значений десятичных чисел от 0 до 100 в двоичной системе счисления
Значение числа в десятичной системе счисленияЗначение числа в двоичной системе счисления
010
02
11012
210102
310112
4101002
5101012
610
1102
7101112
81010002
91010012
101010102
111010112
121011002
131011012
141011102
151011112
1610100002
1710
100012
1810100102
1910100112
2010101002
2110101012
2210101102
2310
101112
2410110002
2510110012
2610110102
2710110112
2810111002
2910111012
3010111102
3110111112
32101000002
33101000012
34101000102
35101000112
36101001002
37101001012
38101001102
39101001112
40101010002
41101010012
42101010102
43101010112
44101011002
45101011012
46101011102
47101011112
48101100002
49101100012
50101100102
Значение числа в десятичной системе счисленияЗначение числа в двоичной системе счисления
51101100112
52101101002
53101101012
54101101102
55101101112
56101110002
57101110012
58101110102
59101110112
60101111002
61101111012
62101111102
63101111112
641010000002
651010000012
661010000102
671010000112
681010001002
691010001012
701010001102
711010001112
721010010002
731010010012
741010010102
751010010112
761010011002
771010011012
781010011102
791010011112
801010100002
811010100012
821010100102
831010100112
841010101002
851010101012
861010101102
871010101112
881010110002
891010110012
901010110102
911010110112
921010111002
931010111012
941010111102
951010111112
961011000002
971011000012
981011000102
991011000112
1001011001002

2.

2. Двоичная система счисления — Организация ЭВМ

2.2. Двоичная система счисления

В двоичной системе счисления основание S = 2, т.е. используются всего два символа: 0 и 1. Двоичная система счисления проще десятичной. Однако двоичное изображение числа требует большего (для многоразрядного числа примерно в 3,3 раза) числа разрядов, чем его десятичное представление. Тем не менее применение двоичной системы создает большие удобства для проектирования ЭВМ, так как для представления в машине разряда двоичного числа может быть использован любой простой элемент, имеющий всего два устойчивых состояния. Также достоинством двоичной системы счисления является простота двоичной арифметики.

В общем виде двоичное число выглядит следующим образом:

 

, где .

 

Вес каждого разряда в двоичной системе счисления кратен 2 или 1/2.

Пример.

Двоичное число – 101101(2).

 

 

т.е. .

Как и в десятичной, в двоичной системе счисления для отделения целой части от дробной используется точка. Значение веса разрядов справа от точки равно основанию двоичной системы (2), возведенному в отрицательную степень. Такие веса – это дроби вида: 1/2, 1/22, 1/23, 1/24, 1/25 или 1/2, 1/4, 1/8, 1/16. Их можно выразить через десятичные дроби: 2-1 = 0.5, 2-2 = 0.25, 2-3 = 0.125, 2-4 = 0,0625.

В общем случае двоичное число имеет целую и дробную части, например 1101101.10111.

Каждая позиция, занятая двоичной цифрой, называется битом. Бит является наименьшей единицей информации в ЭВМ. Наименьшим значащим битом (МЗР) называют самый младший двоичный разряд, а самым старшим двоичным разрядом – наибольший значащий бит (СЗР). В двоичном числе эти биты имеют соответственно наименьший и наибольший вес. Обычно двоичное число записывают так, что старший значащий бит является крайним слева.

2.2.1. Преобразование двоичных чисел в десятичные

Для преобразования двоичных чисел в десятичные необходимо сложить десятичные веса всех разрядов двоичного числа, в которых содержатся единицы.

 

Пример.

Преобразовать целое двоичное число 11001100(2) в десятичное.

 

 

Преобразование вещественного двоичного числа 101.011(2) будет выглядеть следующим образом:

 

Если преобразуемое число большое, то операцию перевода удобнее делать отдельно для целой и дробной частей.

2.2.2. Преобразование десятичных чисел в двоичные

При работе с ЭВМ, особенно с микропроцессорами, очень часто приходится выполнять преобразование десятичных чисел в двоичные.

Для преобразования целого десятичного числа в двоичное необходимо разделить его на основание новой системы счисления (S = 2). Полученное частное снова делится на основание новой системы счисления, до тех пор пока частное, полученное в результате очередного деления, не будет меньше основания новой системы счисления. Последнее частное (являющееся старшим значащим разрядом) и все полученные остатки от деления составляют число в новой системе счисления.

Проиллюстрируем преобразование на примере.

 

Пример.

Перевести целое десятичное число 10(10) в двоичное число.

 

 

Если процедуру перевода выполняет человек, то последний шаг получения частного, равного нулю, никогда не делается. Если перевод выполняется ЭВМ, то он необходим. Таким образом, полный вариант преобразования 10(10) будет иметь следующий вид:

 

 

Пример.

Десятичное число 57(10) преобразовать в двоичное число.

 

 

Для перевода дробных чисел (или дробных частей вещественных чисел) требуется другая процедура преобразования. Рассмотрим ее на примере.

Пример.

Десятичное число 0.375(10) преобразовать в двоичное число.

1.   Умножим дробь на основание новой системы счисления S = 2: 2*0.375 = 0.75.

2.   Если результат умножения меньше единицы, то СЗР присваивают значение 0. Если больше единицы, то присваивают значение 1. Поскольку 0.75<1, то СЗР=0.

3.   Результат предыдущей операции вновь умножаем на основание новой системы счисления 2. Если бы он был больше единицы, то в этой операции умно­жения участвовала бы только его дробная часть. В данном случае: 2*0.75=1.5.

4.   Поскольку 1.5>1, то ближайшему разряду справа от СЗР присваивается значение один, а следующая операция умножения производится только над дробной частью числа 1.5, т.е. над числом 0.5: 2*0.5=1.

5.   Шаги описанной процедуры повторяются до тех пор, пока либо результат умножения не будет точно равен 1 (как в рассматриваемом примере), либо не будет достигнута требуемая точность.

Таким образом, 0.375(10) = 0.011(2).

Если в результате умножения на основание новой системы счисления S = 2 результат не равен единице, операцию останавливают при достижении необходимой точности, а целую часть результата последней операции умножения используют в качестве значения МЗР.

 

Пример.

Десятичное число 0.34375(10) преобразовать в двоичное число.

 

 

Таким образом, 0.34375(10) = 0.01011(2).

 

Пример.

Десятичное число 0.3(10) преобразовать в двоичное число.

 

 

Далее будут следовать повторяющиеся группы операций и результатов, поэтому ограничимся восемью разрядами, т.е. 0.3(10) = 0.01001100(2).

Из рассмотренных выше примеров видно, что если десятичное число дробное, то его преобразование в двоичное должно выполняться отдельно над его целой и дробной частями.

Следует иметь в виду, что рассмотренные процедуры перевода целых и дробных чисел из десятичных в двоичные и обратно являются общими для перевода чисел в любых позиционных системах счисления (т.е. целое число делится на основание системы счисления, в которую число переводится, а правильная дробь умножается). Притом надо помнить, что при выполнении переводов чисел из одной системы счисления в другую все необходимые арифметические действия выполняются в той системе счисления, в которой записано переводимое число.

2.2.3. Двоично-десятичная система счисления

Эта система имеет основание S = 10, но каждая цифра изображается четырехразрядным двоичным числом, называемым тетрадой. Обычно данная система счисления используется в ЭВМ при вводе и выводе информации. Однако в некоторых типах ЭВМ в АЛУ имеются специальные блоки десятичной арифметики, выполняющие операции над числами в двоично-десятичном коде. Это позволяет в ряде случаев существенно повышать производительность ЭВМ.

Например, в автоматизированной системе обработки данных чисел много, а вычислений мало. В этом случае операции, связанные с переводом чисел из одной системы в другую, существенно превысили бы время выполнения операций по обработке информации.

Перевод чисел из десятичной системы в двоично-десятичную весьма прост и заключается в замене каждой цифры двоичной тетрадой.

 

Пример.

Записать десятичное число 572.38(10) в двоично-десятичной системе счисления.

 

 

Обратный перевод также прост: необходимо двоично-десятичное число разбить на тетрады от точки влево (для целой части) и вправо (для дробной), дописать необходимое число незначащих нулей, а затем каждую тетраду записать в виде десятичной цифры.

 

Пример.

Записать двоично-десятичное число 10010.010101(2-10) в десятичной системе счисления.

 

Перевод чисел из двоично-десятичной в двоичную систему осуществляется по общим правилам, описанным выше.

 

12

Урок №32 Двоичная система счисления

Основные темы параграфа:

♦ десятичная и двоичная системы счисления; 
♦ развернутая форма записи числа; 
♦ перевод двоичных чисел в десятичную систему; 
♦ перевод десятичных чисел в двоичную систему; 
♦ арифметика двоичных чисел.

В данной главе речь пойдет об организации вычислений на компьютере. Вычисления связаны с хранением и обработкой чисел.

Компьютер работает с числами в двоичной системе счисления.

Эта идея принадлежит Джону фон Нейману, сформулировавшему в 1946 году принципы устройства и работы ЭВМ. Выясним, что такое система счисления.

Десятичная и двоичная системы счисления

Системой счисления называют определенные правила записи чисел и связанные с ними способы выполнения вычислений.

нас будут интересовать двоичная и десятичная системы счисления.

Система счисления, к которой мы все привыкли, называется десятичной. Объясняется это название тем, что в ней используются десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Число цифр определяет основание системы счисления. Если число цифр — десять, то основание системы счисления равно десяти. В двоичной же системе существует всего две цифры: 0 и 1. Основание равно двум. Возникает вопрос, можно ли с помощью всего двух цифр представить любую величину. Оказывается, можно!

Развернутая форма записи числа

Вспомним принцип записи чисел в десятичной системе счисления. Значение цифры в записи числа зависит не только от самой цифры, но и от места расположения этой цифры в числе (говорят: от позиции цифры). Например, в числе 333 первая справа цифра обозначает: три единицы, следующая — три десятка, следующая — три сотни. Этот факт можно выразить равенством:

33310 = 3 · 102 + 3 · 101 + 3 · 100 = 300 + 30 + 3.

В данном равенстве выражение, стоящее справа от знака «равно», называется развернутой формой записи многозначного числа. Вот еще пример развернутой формы записи многозначного десятичного числа:

825710 = 8 · 103 + 2 · 102 + 5 · 101 + 7 · 10= 8000 + 200 + 50 + 7.

Таким образом, с продвижением от цифры к цифре справа налево «вес» каждой цифры увеличивается в 10 раз. Это связано с тем, что основание системы счисления равно десяти.

Перевод двоичных чисел в десятичную систему

А вот пример многозначного двоичного числа:

1101012.

Двойка внизу справа указывает на основание системы счисления. Это нужно для того, чтобы не перепутать двоичное число с десятичным. Ведь существует же десятичное число 110101! Вес каждой следующей цифры в двоичном числе при продвижении справа налево возрастает в 2 раза. Развернутая форма записи данного двоичного числа выглядит так:

1101012 = 1 · 2+ 1 · 24 + 0 · 23 + 1 · 22 + 0 · 21 + 1 · 20 = 5310.

Таким способом мы перевели двоичное число в десятичную систему.

Переведем в десятичную систему еще несколько двоичных чисел.

102 = 21 = 2;      100= 22 = 4;      10002 = 23 = 8;
100002 = 24 = 16;    1000002 = 25 = 32  и т. д.

Таким образом, получилось, что двузначному десятичному числу соответствует шестизначное двоичное! И это характерно для двоичной системы: быстрый рост количества цифр с увеличением значения числа.

Вот как выглядит начало натурального ряда чисел в десятичной (А10) и двоичной (А2) системах счисления: 

A10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A2 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010
A10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
A2 1011 1100 1101 1110 1111 10000 10001 10010 10011 10100

Перевод десятичных чисел в двоичную систему

Как перевести двоичное число в равное ему десятичное, вам должно быть понятно из рассмотренных выше примеров. А как осуществить обратный перевод: из десятичной системы в двоичную? Для этого нужно суметь разложить десятичное число на слагаемые, представляющие собой степени двойки. Например:

1510 = 8 + 4 + 2 + 1 = 1 · 23 + 1 · 22 + 1 · 21 + 1 · 20 = 11112.

Это сложно. Есть другой способ, с которым мы сейчас и познакомимся.

Существует процедура, позволяющая легко выполнить перевод десятичного числа в двоичную систему. Она состоит в том, что данное десятичное число делится на 2. Полученный остаток — это младший разряд искомого числа. Полученное частное снова делится на 2, полученный при этом остаток — это следующий разряд искомого числа. Так продолжается до тех пор, пока частное не станет меньше двойки (основания системы). Это частное — старшая цифра искомого числа.

Существуют два способа записи деления на 2. Продемонстрируем это на примере перевода числа 37 в двоичную систему.

Здесь а5, а4, а3, а2, а1, а0 — обозначения цифр в записи двоичного числа по порядку слева направо. В результате перевода получим: 3710 = 1001012

Арифметика двоичных чисел

Правила двоичной арифметики гораздо проще правил десятичной арифметики. Вот все возможные варианты сложения и умножения однозначных двоичных чисел.

0 + 0 = 0                      0 x 0 = 0
0 + 1 = 1                      0 x 1 = 0
1 + 0 = 1                      1 x 0 = 0 
1 + 1 = 10                    1 x 1 = 1

Своей простотой и согласованностью с битовой структурой компьютерной памяти двоичная система счисления и привлекла изобретателей компьютера. Ее гораздо проще реализовать техническими средствами, чем десятичную систему.

Вот пример сложения столбиком двух многозначных двоичных чисел:

  1011011101
  +111010110
10010110011

А теперь посмотрите внимательно на следующий пример умножения многозначных двоичных чисел:

      1101101
    x        101
      1101101
  1101101
1000100001

После небольшой тренировки любой из вас такие вычисления будет выполнять автоматически.

Коротко о главном

Система счисления — определенные правила записи чисел и связанные с этими правилами способы выполнения вычислений.

Основание системы счисления равно количеству используемых в ней цифр.

Двоичные числа — числа в двоичной системе счисления. В их записи используются две цифры: 0 и 1.

Развернутая форма записи двоичного числа — это его представление в виде суммы степеней двойки, умноженных на 0 или на 1.

Использование двоичных чисел в компьютере связано с битовой структурой компьютерной памяти и простотой двоичной арифметики.

Вопросы и задания

1. Назовите преимущества и недостатки двоичной системы счисления по сравнению с десятичной.
2. Какие двоичные числа соответствуют следующим десятичным числам:
128; 256; 512; 1024?
3. Чему в десятичной системе равны следующие двоичные числа:
1000001; 10000001; 100000001; 1000000001?
4. Переведите в десятичную систему следующие двоичные числа:
101; 11101; 101010; 100011; 10110111011.
5. Переведите в двоичную систему счисления следующие десятичные числа:
2; 7; 17; 68; 315; 765; 2047.
6. Выполните сложение в двоичной системе счисления:
11 + 1; 111 + 1; 1111 + 1; 11111 + 1.
7. Выполните умножение в двоичной системе счисления:
111 · 10; 111 · 11; 1101 · 101; 1101 · 1000.

Домашнее задание N 12

Редактировалось Дата:

Курс Harvard CS50 — Лекция: Двоичная система счисления

У нас 10 пальцев, и система — десятичная. То есть, любое, сколь угодно большое число мы можем представить с помощью цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. В зависимости от того, где в числе стоит цифра, она может означать разное: если эта цифра последняя, то она расположена в разряде единиц, предпоследняя — разряд десятков, еще левее — разряд сотен и так далее. По сути, любое число можно расписать в виде суммы цифр, каждая из которых умножена на десять в определенной степени. В случае единиц, эта степень — нулевая.

Например,

1573 = 3*100 + 7*101 + 5*102 + 1*103.

Число, на степень которого умножаются цифры называется базой системы счисления. Для десятичной системы базой, логично, является десятка.

У компьютера пальцев нет, но есть два состояния: условно «ток идет» и «ток не идет», нулик и единичка. Соответственно все числа (да и вообще информация) в памяти компьютера состоят только из двух цифр — 0 и 1. Их расположение, как и в случае десятичной системы счисления, указывает на разряд. Только теперь число можно разложить на сумму цифр, помноженных не на степени десятки, а степени двойки.

0 в двоичной системе = 0
1 в двоичной системе = 1 
2 в двоичной системе = 10 
710=1112

Научитесь переводить из двоичной системы в десятичую. Вы, наверное, уже поняли, как это делается — просто берем цифру числа начиная с самой правой и умножаем её на базу системы счисления в степени, соответствующей её разряду, так с каждым разрядом. Затем складываем все получившиеся таким образом числа.

Пример:

Давайте найдем десятичный аналог двоичного числа 1011012

  • Самая правая единичка = 1*20
  • Следующий нулик = 0*21
  • Третья справа единичка = 1*22
  • Четвертая = 1*23
  • … и так далее
1011012 = 1*20 + 0*21 + 1*22 + 1*23 + 0*24 + 1*25 = 1 + 0 + 4 + 8 + 0 + 32 = 4510

Представьте восемь лампочек, выставленных в ряд. У каждой из них — свой собственный выключатель.

Каждая из лампочек — это разряд. Да что представлять, вспомните самую первую лекцию (там есть такой агрегат) или вот вам виджет: cdn.cs50.net/2016/x/psets/0/pset0/bulbs.html

Поиграйтесь с ним, «прочувствуйте» двоичную систему.

Перевод из десятичной системы в двоичную

Тут тоже всё просто, если понимать суть.

Пример:

У нас есть десятичное число 5710. Чтобы перевести его в двоичную систему, нужно определить, какая максимальная степень двойки не превосходит это число.


26 = 64. 
Это явно многовато. 
А вот 25 = 32.

Мы определили старший разряд. 3210 = 1000002. Теперь ищем следующий разряд. 57-32 = 25. Теперь для 25 ищем степень двойки, которая не превосходит 25. 24 = 16. Значит, следующий разряд у нас тоже равен 1. 32+16 = 4810 = 1100002. 57 – 48 = 9. 23 = 8, это меньше, чем 9. Значит следующий разряд тоже будет единичкой.


32 + 16 + 8 = 5610 = 1110002.
57 - 56 = 1, то есть осталась только одна степень 20.
Таким образом, 5710 = 1110012.

На этом все =) Переходите к следующей лекции!

«Двоичная система счисления».

9-й класс

Цель: сформировать понятия «двоичная система счисления» и основ арифметических вычислений в двоичной системе.

Требования к знаниям и умения

Учащиеся должны знать:

  • десятичную и двоичную системы счисления;
  • развернутую форму записи числа;
  • правила перевода из двоичной системы счисления в десятичную и наоборот;
  • правила сложения и умножения двоичных чисел.

Учащиеся должны уметь:

  • переводить двоичные числа в десятичную систему;
  • переводить десятичные числа в двоичную систему;
  • складывать и умножать двоичные числа.

Программно-дидактическое сопровождение: презентация «Двоичная система счисления»; учебник Семакин И.Г. Информатика и информационно-коммуникационные технологии. Базовый курс: Учебник для 9 класса; проектор.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент

2. Постановка целей урока

– С какими числами работает компьютер? Почему?
– Как ими оперировать?

3. Ход урока

(Урок сопровождается презентацией «Двоичная система счисления»)

Двоичная система счисления является основной системой представления информации в памяти компьютера. Эта идея принадлежит Джону фон Нейману, сформулировавшему в 1946 году принципы устройства и работы ЭВМ.
Системы счисления
А что же такое система счисления? Это правила записи чисел и связанные с ними способы выполнения вычислений.
Система счисления, к которой мы все привыкли, называется десятичной. Объясняется это название тем, что в ней используются только 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Число цифр определяет основание системы счисления. В двоичной же системе существуют всего две цифры: 0 и 1. Основание равно двум.
Вспомним принцип записи чисел в десятичной системе счисления. Значение цифры в записи числа зависит не только от самой цифры, но и от ее места расположения в числе (от позиции цифры). Например, в числе 473 первая справа цифра обозначает единицы, следующая – десятки, следующая – сотни. Этот факт можно выразить как сумму разрядных слагаемых:

47310 = 4 * 100 + 7 * 10 + 3 * 1 = 4 * 102 + 7 * 101 + 3 * 100.

Таким же образом можно записать число в двоичной системе счисления:

1012 = 1 * 22 + 0 * 21 + 1*20.

Такая запись называется развернутой формой записи числа.

Задание 1.

Запишите развернутую форму записи чисел:

5 789 = 5 * 103 + 7 * 102 + 8 * 101 + 9 * 100
51,89 = 5 * 101 + 1 * 100 + 8 * 10–1 + 9 * 10–2
32 478 = 3 * 104 + 2 * 103 + 4 * 102 + 7 * 101 + 8 * 100
26,378 = 2 * 101 + 6 * 100 + 3 * 10–1 + 7 * 10–2 + 8 * 10–3

Перевод чисел

Одним из способов перевода чисел из десятичной системы счисления в двоичную является деление столбиком на основания системы, т. е. на 2. Деление производится до тех пор, пока в остатке не получится 1. Ответ в двоичной системе счисления записывается по остаткам от деления с конца.
Таким образом, 1910 = 100112.

Перевод из двоичной системы счисления в двоичную выполняется с помощью развернутой записи числа.

1012 = 1 * 22 + 0 * 21 + 1 * 20 = 4 + 0 + 1 = 510.

Задание 2.

Переведите числа:

3710 = 1001012
111012 = 2910

Арифметика двоичных чисел

Правила двоичной арифметики гораздо проще правил десятичной арифметики. Вот все возможные варианты сложения и умножения однозначных двоичных чисел:

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 102
0 х 0 = 0
0 х 1 = 0
1 х 0 = 0
1 х 1 = 1

Своей простотой и согласованностью с битовой структурой компьютерной памяти двоичная система и привлекла изобретателей компьютера. Ее гораздо проще реализовать техническими средствами, чем десятичную систему.

Вот пример сложения столбиком двух многозначных двоичных чисел:

Задание 3.

Выполните сложение в двоичной системе счисления:

1011012 + 111112; 101112 + 1011102 (ответ: 10011002; 10001012).

А теперь внимательно посмотрите на следующий пример умножения многозначных двоичных чисел:

Задание 4.

Выполните умножение в двоичной системе счисления:

1011012х112; 101012х112 (ответ: 100001112; 1111112).

4. Подведение итогов урока

– Что такое система счисления? (это правила записи чисел и связанные с ними способы выполнения вычислений)
– Какие цифры используются в записи двоичных чисел? (0 и 1)

5. Домашнее задание

  • §16 учебника;
  • Стр. 104 вопросы 2-7 письменно.

Cистемы счисления, Двоичные (бинарные системы)

Степени точности

Системы счисления, которые вы используете, влияют на точность некоторых расчетов. Один из примеров можно увидеть в извлечении квадратного корня из 3 в десятичной системе. Используйте метод из второй части для извлечения квадратного корня из 2.

ПРИБЛИЖЕНИЯ

Обратите внимание, что каждое «место» в десятичной системе дает лучшее приближение к квадратному корню из 3. Чтобы проверить это, посмотрите, как возведение в квадрат извлаченного корня приблизит вас к значенbю, с которого вы извлекали корень: 3.

На первом месте 1, что в квадрате даст только 1 — ошибка на 2 единицы по сравнению с истинным значением — 3. Если бы использовалось 2, ответ был бы точнее: квадрат 2 это 4 — ошибка только на 1. Но наше правило, приведенное внизу, остается верным.

Второе «место» дает более точный результат. Квадрат 1.7 равен 2.89, что уменьшает ошибку до 0.11. Третье «место», 1.73 в квадрате дает 2.9929 — ошибка в 0.0071. Четвертое место, 1.732 еще ближе к истине, так как это число, возведенное в квадрат дает 2.999824 — ошибка в 0.000176.

Дроби в расширенных системах счисления

Если вы использовали семеричную сисему, дробь 1/7 была бы 0.1 — полностью точным с только одной цифрой после запятой (не десятичной запятой, если эта система семеричная). В десятичной системе дробь, что получается в результате деления на 7, не является такой простой.

Дроби и десятичные числа

Эти задачи должны заставить вас задуматься о точности и надежности цифр. Что означает ошибка в одну миллионную? Будете ли Вы использовать (что маловероятно) семеричную систему вместо десятичной, чтобы проверить как точно 1/7?

Порядки величин

Порядки величин начинают собой совершенно новую концепцию в области математики. Чтобы показать другую сторону этой концепции, предположим, что Вам необходимо получить область, состоящую из идеального квадрата. Для получения области более точных размеров, необходимо добавить или вычесть немного к или от обоих измерений. Начиная с квадрата с размерами L в каждом направлении, вы либо добавляете или вычитаете небольшие кусочки S. Изменение площади может проводиться двумя длинными прямоугольниками (размеры L и S) и одного намного меньшего квадрата со стороной S. Чем меньше S по сравнению с L, тем меньше S в квадрате, по сравнению с SL.

Вы можете расширить этот подход к аналогичным изменениям кубического объема. Теперь, начиная с большого куба, имеющего стороны L, необходимо добавить или вычесть 3 плитки с размерами L х L x S, три длинных параллелепипеда с размерами L х S х S, и один маленький куб со стороной S. Если S равно 1/10 от L (или гораздо меньше), то S в кубе составляет 1/1000 от L в кубе.

ПОРЯДКИ ВЕЛИЧИН


Вы можете продемонстрировать такую же самую прогрессию алгебраически. Чтобы сделать это, если a есть малой частью, тогда степени a, a2, a3, a4, и т. д., состоит из ряда с уменьшающимися порядками величин. Обратите внимание, что последовательные степени имеют ряд коэффициентов, которые, если взять четвертую степень, есть 1, 4, 6, 4 и 1.

Тем не менее, продолжая работать в нашей знакомой десятичной системе, Вы заменяете различные значения a и показываете, как меняется его изменения последовательных степеней (1 +a). Если это 0.1, последовательные степени начинают «перетекать» в предыдущие «места». До 4-й степени, первые две цифры есть 1.1, 1.2, 1.3, но в 4-й степени 1,5 будет ближе.

Если a равно 0,01, более высокие степени не влияют на первый член, который в настоящее время во втором знаке после запятой. Оставьте его за вторым местом, первые два места есть 1,01, 1,02, 1,03 и 1,04. Дальнейшие члены 4-й степени только достигают 1,0406 на 4-м месте.

Однако, если a равно 0.2, следующие члены влияют на более ранние. Цифры в квадратиках демонстрируют это.

Системы счисления

Перед изобретением электронных цифровых устройств использовались счетные машины. Числа, которые можно было видеть через окошко, были похожи на те, которые мы сейчас видим на дисплее калькуляторов. Если бы Вы подняли крышку счетной машины, Вы бы увидели, как работает механизм счетной машины, что могло бы помочь Вам понять в общем системы счисления.

Самое правое колесико ведет отсчет 0 до 9 в десятичной системе. Когда оно доходит 9, оно перейдет от 9 до 0 и одновременно передвинет следующее колесико с 0 до 1. Каждый раз, когда первое колесо переходит от 9 до 0, следующее колесико будет переходить на 1 больше, пока оно не возвратиться к 9. Тогда, два колесика будут означать 99. Когда в этот раз первое колесико перейдет от 9 до 0, следующее колесико также перейдет от 9 до 0, а третье колесико передвинется от 0 до 1, и таким образом счетная машина покажет 100.

Двенадцатеричная система

Десятеричная система не единственная, которую Вы можете использовать. Давно, некоторые народы использовали двенадцатеричную систему, считая до 12 вместо десяти. Для того чтобы использовать эту систему в счетных машинах, необходимо было бы добавить два числа на каждом колесике. На колесиках, нарисованных внизу, дополнительные два символа t и e, обозначающие десять и одиннадцать. Современные цифровые системы чаще используют системы с основанием 16, которые называются шестнадцатеричные системы.

Первые шесть букв алфавита вместе с однозначными числами полностью формируют ряд до числа 15.
  Десятичная
  0   1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11   12   13   14   15  
  Шестнадцатеричная
  0   1   2   3   4   5   6   7   8  9   A   B   C   D   E   F

В десятичной системе «10» (один ноль) означает десять. В двенадцатеричной системе «10» означает двенадцать. В шестнадцатеричной «10» означает шестнадцать. Чтобы получить немного практики в различных системах счисления, попробуйте пользоваться некоторое время двенадцатеричной системой. Вы увидите, почему калькуляторы или компьютеров используют шестнадцатеричную систему, хотя результат высвечивается в десятичной системе счисления.

Преобразование из десятичной системы в двенадцатеричную

Зачем работать в двенадцатеричной системе, когда она никогда не используется? Потому что что-то незнакомое заставляет вас думать, оно помогает вам понять почему это не используется. Шестнадцатеричная система основана на двоичной (основание два), но ее не так просто использовать в системах, использующих большие базы чисел. Итак, посмотрим на преобразование десятичной системы в двенадцатеричную.

Чтобы узнать, скольки раз по двенадцать состоит число, Вы делите число (например 143131, как показано на рисунке ниже) на 12 в в знакомой Вам десятичной системе. Остаток после деления на 12 записывается слева в двенадцатеричной система. Затем разделите число на 12 еще раз. На этот раз остаток равен одиннадцать. В двенадцатеричной систем все числа до одиннадцати должны использовать одну цифру, так что для 11 используется буква е. Вы можете сами далее проследить за правильностью вычислений в остальной части этого преобразования. Двенадцатеричный эквивалент десятичному числу 143131 есть 6t9e7.

Преобразование десятичного числа 143131 в двенадцатеричное

Переход от двенадцатеричной системы в десятичную

Как преобразовать число из двенадцатеричной системы в десятичную? Просто сделать обратный процесс. Двенадцатеричное число разделить на десять столько раз, сколько необходимо. Вам потребуется, как минимум колонка десяти из двенадцатеричной таблицы умножения. Вы, вероятно, были знакомы с двенадцатью колонками, чтобы сделать это довольно легко. Тем не менее, таким образом Вы должны использовать колонку десяти в двенадцатиричной системе счисления. Эта система не знакома, и поэтому заставит вас думать.

Пойдем ниже по колонке десяти. Десять раз по два есть 18. Это означает, что 1 двенадцать и 8, что вы обычно называете двадцать. Двенадцать и восемь в сумме дают двадцать, не так ли? Далее, десять раз по 3 есть 26, что означает 2 двенадцать и 6. Два на двенадцать дает 24 и с шестью дает результат, который обычно называют 30. Пройдите до конца самостоятельно.

ДВЕНАДЦАТИРИЧНАЯ ТАБЛИЦА УМНОЖЕНИЯ

Преобразование двенадцатеричного 6 +9e7 в десятичное

Двоичное счисление

Трудность в работе с двоичной системой состоит в том, что каждое место имеет только два «значения»: 0 и 1. Вы не можете посчитать «до» чего-то, а затем перейти к следующему месту. Если у вас уже есть 1, следующая цифра 1 преобразует его обратно в 0, и даст 1 следующему месту. Если у вас есть ряд единиц, то добавление еще одной единицы преобразует все единицы обратно в 0, и присвоит следующему месту 1 (справа налево).

В панели окошек ниже, десятичный эквивалент числа заменен двоичными числами. В двоичной системе в любом месте будет либо 1, либо 0.

Преобразование десятичных чисел в двоичные

Здесь значения места в двоичном системе, которые имеют 1 вместо 0, приведены в виде десятичных чисел. Начнем с числа в десятичной форме, 1546. Во-первых, 11-я двоичная колонка является 1024, что ставит 1 в 11-м столбце двоичного файла. Вычтите 1024 из 1546, останется 522. Следующая, 10-я колонка в двоичной системе составляет 512, поэтому вычитаем 512 из 522, остается 10, что ставит 1 в 10-м столбце двоичного файла. От 10 колонки налево следующий двоичный знак использует 4-ю колонку, что соответствует 8. Таким образом, мы пропускаем колонки с 9-й по 5-ю, ставим 1 в 4-м столбце и вычитаем 8 из 10 (остаток 2). 2 ставит 1 во 2-м столбце двоичного файла, и таким образом заканчивается преобразование.

Для завершения предыдущего раздела в следующей таблице приведены двоичные эквиваленты десятичных чисел от 1 до 30.

Умножение в двоичной системе

Хотя Вы вводите данные в калькулятор или компьютер в знакомой десятичной системе счисления, все они используют двоичную систему для выполнения математических функций. Попробуем проделать умножение чисел, как делает это калькулятор. Предположим, вы умножаете 37 на 27. Во-первых, необходимо преобразовать каждое число в двоичную систему, что и делает калькулятор, когда вы вводите цифры. Я буду упрощать этот процесс, преобразовав числа в настоящие двоичные, а не в би-пятеричные, которые облегчают задачу для калькулятора, но делают ее более трудной для понимания. Но с этим разберемся позже.

Ниже приведено преобразование 37 в 27 в чистой двоичной системе.

Здесь есть умножение в двоичной системе, изложенное также, как обычные способы умножения, но в системе, где не допускаются цифры больше чем 1. Каждая цифра должна быть равно 1 или 0. И в действительности процесс сводится к тому, чтобы сложить последовательности цифр, которые представляют 37, и последовательность где 1-цифра есть 27.

Четыре единицы в 27, и поэтому три единицы в 37 (с «вкраплениями» нулей) вводятся 4 раза в нужных местах (для представления «27 раз») и слагаются. Вы можете их все добавить сразу. Тем не менее, калькулятор делает это последовательно. Каждые две сложенные единицы превращаются в 0 и добавляют 1 до следующего места слева.

Двигаясь справа налево, видно, что у первых трёх позиций в сумме есть только одна единица. На четвёртой позиции есть две единицы, которые в сумме дают 0 этой позиции и добавляют единицу к пятой позиции, у которой уже есть собственная единица, так что здесь ставится 0 и единица переходит на шестую позицию. Но у этой позиции уже есть две единицы, поэтому здесь остается единица, которая также добавляется к единице на седьмом месте, где снова есть две единицы. Эта позиция теперь также имеет единицу, которая перемещается на восьмое место. На восьмой позиции эта единица остается и это окончательное перемещение, спровоцированное перемещением справа налево. Оставшиеся две позиции имеют по единице, которые и занимают их. Таким образом, получился результат — двоичное число 1111100111.

Преобразуйте двоичное число назад в десятичное, подставляя десятичный эквивалент каждой позиции, где есть единица. Для проверки, умножьте 37 на 27 старым длинным способом.

«Каким длинным путем?» спросите Вы. Двоичный путь и так кажется довольно длинный. Единственная причина, того, что калькулятор делает это так быстро, это то, что он выполняет миллионы операций в секунду. Поэтому, этим долгим методом калькулятор считает быстрее, чем вы считаете методом, который гораздо короче.

Умножение 37 на 27 двоичным способом

ДВОИЧНОЕ УМНОЖЕНИЕ

Альтернативное двоичное преобразование

Вот еще один способ преобразования десятичных чисел в двоичные. Он использует таблицу двоичных эквивалентов чисел от 1 до 9 для каждого десятичного места. Для иллюстрации этого способа два числа для деления, приведенного ниже, преобразованы в двоичные (см. таблицы ниже).

Обратите внимание, что двоичные эквиваленты для конкретной цифры не имеют никакого отношения друг к другу — от одной колонки к другой. Вы не можете передвинуть десятичную точку или умножить на десять, как Вы делаете подобный сдвиг в двоичной системе. Я вернусь к тому как калькуляторы или компьютеры справляются с этой проблемой чуть позже.

Деление двоичных чисел

Деление двоичных чисел на самом деле есть повторяющееся вычитание. 37 в двоичной системе 1000001.

Для преобразования двоичного числа обратно в десятичное, используйте вычитание в двоичной системе и применяйте таблицы из предыдущего раздела. Первое вычитание есть двоичное число 100-а, что оставляет 11101. Для двоичного числа 20-ти, что оставляет 1001, вычитается двоичное 9. Работая так через двоичные, после деления 4773 на 37 частное есть 129.

АЛЬТЕРНАТИВНОЕ ДВОИЧНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

ДЕЛЕНИЕ 4773 на 37


1001010100101 на 100101

Специальная двоичная система для калькуляторов

Вы заметили, что двоичные числа для различных чисел в десятичной системе меняются на каждой позиции, что делает преобразование сложным. При вводе цифры на калькуляторе, первая цифра появляется справа. При вводе следующей цифры, первая цифра перемещается влево и новая цифра появляется справа от нее. Если бы калькулятор преобразовывал бы двоичную последовательность в новую с получением следующей цифры, система была бы очень сложной.

Так, калькулятор выделяет 4 двоичных места для каждого десятичного знака, для чего требуется немного больше «пространства» в памяти калькулятора, чем потребовался бы чистый двоичный код. По сути дела, калькулятор теперь «работает» в десятичной системе, но использует 4 «бита» двоичной системы для каждой десятичной позиции.

Показатели степеней

В любой системе счисления — двоичной, восьмеричной, десятичной или шестнадцатеричной (или даже в других, которые используются в очень узких сферах), место цифры указывает степень числа, на котором основывается эта система. В двоичной системе, позиция, где появляется единица, представляет некоторую степень числа 2. На 4-й позиции это третья степень числа 2, что равно 8. Вот сравнение степеней 2 и степеней 10.

На этом примере Вы можете увидеть некоторые правила использования показателей степеней, которые помогают нам идти короткими путями в умножении и делении. Во-первых, помните, что умножение и деление это укороченные методы выполнения повторяющихся операция сложения и вычитания. Теперь, степени являются укороченными методами для многократного умножения и деления.

Предположим, что Вы должны умножить xa на xb. Произведение равно x(a+b). Вы можете легко это увидеть, если Вы напишите x умноженное на само себя a раз, и тогда умножить результат на x, умноженной само на сабя b раз. Общее число раз, которое Вы умножали x само на себя, равно (a + b) раз. Для иллюстрации, предположим, что a равно 3 и b равно 2; x3 умноженное на x2 дает x5. В численном значении, 23 равно 8, 22 равно 4, и 25 равно 32. 8 x 4 = 32. Это проверка.

Теперь попробуем деление. Разделяя xa на xb, частное есть xa-b. Вы можете проверить этот ответ, умножая x само на себя a раз как числитель дроби и используя x умноженное само на себя b раз в знаменателе. Вы можете сократить b раз в знаменателе и оставить остаток х-ов в знаменателе, что равно (a — b) раз. Для иллюстрации, пусть a = 5 и b = 2. x5 разделенное на x2 равняется x3. Если вы использовали 2 для x, x5 равно 32, x2 равно 4, и x3 равно 8. 32 разделенное на 4 равно 8.

Арифметические корни: инверсия степеней

Здесь вы должны понимать разницу между инверсией числа и инверсией степени. Отрицательная степеннь есть инверсией или обратной величиной числа, возведенного в степень, определенную индексом. Арифметические корни есть противоположность возведению в степень. Например, из-за того, что 22 равно 4, то 41/2 равно 2; 23 равно 8, а 81/3 равно 2; 24 равно 16, а 161/4 равно 2 и так далее.

Дробные показатели степеней означают арифметические корни. Степень 3/2 четырех есть 8 — квадратный корень 4 есть 2, и 23 равно 8. Обратный процесс, 82/3 равно 4. Вы можете найти другие корни чисел используя квадратные корни. Например, 21/2 (квадратный корень двух) равно 1.414 и так далее; 81/2 равно удвоенному значению предыдущего. Почему? Так как 41/2 равно 2 и 21/2 равно 1. 414, (2 раза по 4)1/2 равно 81/2 (удвоенное 1.414), что равно 2.828.

Вообще, Вы не ограничены квадратными корнями, да и вообще какими-либо конкретными корнями. Теперь, совершенно новая область чисел открыта для Вас.

Арифметический корень n-й степени и степени чисел

Представление арифметических корней n-й степени есть возвращением к практически устаревшему способу написания арифметических корней. Перед тем, как описанные в предыдущем разделе обозначения дробных степеней вошли в моду, было принято использовать число на знаком квадратного корня, для указания значения корня. Таким образом, просто знак корня перед х представлял собой квадратный корень из х, такой же, как х /. Написание цифры 3 над знаком корня означало кубический корень из х. Написание небольших n или любой другой буквы или цифры над знаком корня также обозначало конкретный корень. Если число под знаком корня имело степень b и значение a стояло над знаком корня, это могло бы быть записано как: xb/a. Длинный знак корня над членами a2 + b2 есть корнем всего выражения. Это выражение может быть записано как: (a2 + b2)1/2.

Вопросы и задачи

Примечание: эти вопросы и задачи расположены в случайном порядке. Если у Вас есть трудности с какой-то задачей, попробуйте решить другую, а затем вернуться к нерешенной задаче. Задачи составлены таким образом, что Вы должны проявлять определенную инициативу в применении принципов, которые были рассмотрены ранее.

1. Найдите десятичный эквивалент дроби 1/37. Определите ошибку преобразования, которая возникает, когда десятичный эквивалент преобразуется до трех значащих цифр.

2. Используя двойную систему, умножьте 15 на 63 и преобразуйте результат обратно в десятичное число. Проверьте свой результат непосредственно умножением десятичных чисел.

3. Используя двоичную систему, разделите 1922 на 31 и преобразовать результат обратно в десятичной число. Проверьте свой результат непосредственно умножением десятичных чисел.

4. Найдите значения следующих выражений:
(a) 163/4       (b) 2430,8       (c) 251,5
(d) 642/3       (e) 3434/3

5. Преобразуйте следующие числа из десятичных в двоичные. В качестве проверки, преобразуйте их также обратно в десятичные.
(a) 62       (b) 81       (c) 111
(d) 49       (e) 98       (f) 222
(g) 650       (h) 999       (i) 2000

6. Преобразуйте следующие числа из десятичных в двоичные. В качестве проверки, преобразуйте их также обратно в десятичные.
(a) 101       (b) 1111       (c) 10101
(d) 111100       (e) 110111000110

7. Умножьте 129 на 31 в десятичной системе. Умножьте двоичные эквиваленты этих чисел. Предположим, что была сделана ошибка во второй цифре справа во втором числа в десятичном результате, поэтому 129 умножается на 41, а не на 31. Предположим, что подобная ошибка произошла в двоичной системе, поэтому вторая цифра справа во втором числе меняется на противоположную. Сравните относительную погрешность в десятичной системе с ошибкой в двоичной системе счисления.

8. Подсчитайте значение выражения (a2 + b2)1/2 для следующих значений:
(a) a = 4 и b = 3       (b) a = 12 и b = 5
(c) a = 24 и b = 7       (d) a = 40 и b = 9
(e) a = 60 и b = 11       (f) a = 84 и b = 13
(g) a= 112 и 6= 15
Что общего имеет каждая пара?

9. Подсчитайте значение выражения (a2 + b2)1/2 для следующих значений:
(a) a = 8 и b = 6       (b) a = 15 и b = 8
(c) a = 24 и b = 10       (d) a = 35 и b = 12
(e) a = 48 и b = 14       (f) a = 63 и b = 16
Что общего имеет каждая пара?

10. Запишите как простые десятичные числа, без дробей, следующие выражения:
(a) 1002       (b) 1001/2
(c) 100-2       (d) 100-1/2
Из этих четырёх значений, найдите значения следующих выражений методом сложения и вычитания степеней:
(e) 1003/2       (f) 1005/2      
(g) 100-3/2       (h) 100-5/2

11. Используя на калькуляторе только клавишу вычисления квадратного корня, найдите следующие значения по крайней мере с тремя цифрами после запятой:
(a) 1001/4       (b) 1001/8      
(c) 1001/16       (d) 1001/32

12. Если значение степени в d) предыдущей задачи делить пополам, то есть 1/64, 1/128, 1/256, 1/512, и так далее, к какому числу будет стремиться выражение? Почему?

13. Найдите значения до трех верных десятичных цифр после запятой для следующих:
(a) 320,1       (b) 320,2       (c) 320,3      
(d) 320,4       (e) 320,5       (f)320,6      
(g) 320,7       (h) 320,8       (i) 320,9      

14. Посчитайте значения следующих выражений, используя калькулятор, если Вы хотите. Где возможно, посчитайте значения выражений хотя бы до трёх десятичных цифр после запятой:
(a) (102 — 26)1/2       (b) (362 — 83)1/2       (c) (282 — 212)1/3
(d) (52 — 32)1/4       (e) (172 — 152)1/6       (f) 65611/2
(g) 6561-1/2       (h) 65611/4       (i) 6561-1/4
(j) 65611/8       (k) 6561-1/8

операции осуществлемые с двоичной системой счисления

    Для перевода двоичного числа в десятичное необходимо это число представить в виде суммы произведений степеней основания двоичной системы счисления на соответствующие цифры в разрядах двоичного числа.  

Например, требуется перевести двоичное число 10110110 в десятичное. В этом числе 8 цифр и 8 разрядов ( разряды считаются, начиная с нулевого, которому соответствует младший бит). В соответствии с уже известным нам правилом представим его в виде суммы степеней с основанием 2: 

101101102 = (1·27)+(0·26)+(1·25)+(1·24)+(0·23)+(1·22)+(1·21)+(0·20) = 128+32+16+4+2 = 18210
Перевод из десятичной системы счисления в двоичную:перевод из десятичной системы счисления в двоичную осуществляется непосредственно делением числа на 2


Арифметические операции в двоичной системе счисления :

В двоичной системе счисления арифметические операции выполняются по тем же правилам, что и в десятичной системе счисления, т.к. они обе являются позиционными (наряду с восьмеричной, шестнадцатеричной и др. ).

Сложение одноразрядных двоичных чисел выполняется по следующим правилам:

При сложении двух единиц, происходит переполнение младшего разряда, и единица переносится в старший разряд. Переполнение возникает в случае, если сумма равна основанию системы счисления (в данном случае это число 2) или больше его (для двоичной системы счисления это не актуально).

Сложим для примера два любых двоичных числа:


Вычитание

Вычитание одноразрядных двоичных чисел выполняется по следующим правилам:

 0-0=0
1-1=0
1-0=1
0-1=1(заем из старшего разряда)
Пример:

Умножение

Умножение одноразрядных двоичных чисел выполняется по следующим правилам:

Пример:

Деление

Деление выполняется так же как в десятичной системе счисления:






Конвертер десятичных чисел в дополнение до двух — изучение двоичного числа

О конвертере десятичной дроби/дополнения до двух

Это преобразователь десятичного числа в дополнение до двух и конвертер числа в дополнении до двух в десятичное число . Эти преобразователи не дополняют свой вход; то есть они не отрицают его. Они просто преобразуют его в форму дополнения до двух или из нее. Например, -7 преобразуется в 11111001 (в 8 бит), что равно -7 в дополнении до двух. (Если добавить его, получится 7 или 00000111 до 8 бит.) Точно так же 0011 преобразуется в 3, а не в -3.

Как использовать конвертер десятичной дроби/дополнения до двух

Десятичная дробь в дополнении до двух

  • Введите положительное или отрицательное целое число.
  • Установите число битов для представления дополнения до двух (если оно отличается от значения по умолчанию).
  • Нажмите «Преобразовать», чтобы преобразовать.
  • Нажмите «Очистить», чтобы сбросить форму и начать с нуля.

Если вы хотите преобразовать другой номер, просто введите исходный номер и нажмите «Преобразовать» — нет необходимости сначала нажимать «Очистить».

Если введенное вами число слишком велико для представления в запрошенном количестве битов, вы получите сообщение об ошибке (в нем будет указано, сколько битов вам нужно).

Дополнение до двух до десятичной дроби

  • Введите число в дополнении до двух — строку из 0 и 1.
  • Установите количество битов, соответствующее длине ввода (если оно отличается от значения по умолчанию).
  • Нажмите «Преобразовать», чтобы преобразовать.
  • Нажмите «Очистить», чтобы сбросить форму и начать с нуля.

Вывод будет положительным или отрицательным десятичным числом.

Изучение свойств преобразования дополнения до двух

Лучший способ изучить преобразование дополнения до двух — начать с небольшого количества битов. Например, давайте начнем с 4 бит, которые могут представлять 16 десятичных чисел в диапазоне от -8 до 7. Вот что возвращает преобразователь десятичных чисел в два для этих 16 значений:

Четырехбитные значения дополнения до двух
Десятичное число Дополнение до двух
-8 1000
-7 1001
-6 1010
-5 1011
-4 1100
-3 1101
-2 1110
-1 1111
0 0000
1 0001
2 0010
3 0011
4 0100
5 0101
6 0110
7 0111

Неотрицательные целые числа всегда начинаются с «0» и будут иметь столько начальных нулей, сколько необходимо, чтобы дополнить их до требуемого количества битов. (Если вы уберете ведущие нули, вы получите чистое двоичное представление числа.) Отрицательные целые числа всегда начинаются с «1».

Если вы пропустите эти значения дополнения до двух через конвертер дополнения до двух в десятичную форму, вы подтвердите правильность преобразования. Вот та же таблица, но в двоичном лексикографическом порядке:

Четырехбитные значения дополнения до двух
Дополнение до двух Десятичное число
0000 0
0001 1
0010 2
0011 3
0100 4
0101 5
0110 6
0111 7
1000 -8
1001 -7
1010 -6
1011 -5
1100 -4
1101 -3
1110 -2
1111 -1

Независимо от того, сколько битов вы используете в своем представлении дополнения до двух, -1 десятичное число всегда является строкой из 1 в двоичном формате.

Преобразование фиксированной точки с дополнением до двух в десятичную

Вы можете использовать конвертер дополнения до двух в десятичные числа для преобразования чисел, представленных в виде дополнения до двух с фиксированной запятой. Например, если у вас есть 16-битные числа в формате Q7.8, введите значение дополнения до двух, а затем просто разделите десятичный ответ на 2 8 . (Числа в формате Q7.8 находятся в диапазоне от -2 15 /2 8 = -128 до (2 15 -1)/2 8 = 127,99609375.) Вот несколько примеров:

  • 0101111101010101 преобразуется в 24405, а 24405/2 8 = 95.33203125
  • 1101010101110111 преобразуется в -10889 и -10889/2 8 = -42,53515625

Реализация

Этот преобразователь реализован в десятичной арифметике произвольной точности. Вместо того, чтобы работать с двоичным представлением входных данных — обычным способом «перевернуть биты и добавить 1» — он выполняет операции с десятичным представлением входных данных, добавляя или вычитая степень двойки. В частности, вот что было сделано и когда:

  • Десятичное число в дополнении до двух
    • Неотрицательный ввод: просто преобразовать в двоичный формат и дополнить ведущими нулями.
    • Отрицательный ввод (знак «-»): добавьте 2 numBits , затем преобразуйте в двоичный формат.
  • Дополнение до двух до десятичной дроби
    • Неотрицательный ввод (ведущий бит «0»): просто преобразовать в десятичное число.
    • Отрицательный ввод (начальный бит «1»): преобразовать в десятичный, получив положительное число, затем вычесть 2 numBits .

Пределы

Из практических соображений я установил произвольное ограничение в 512 бит для входных данных.

Система с основанием 2 и 8-битный байт

Причина, по которой компьютеры используют систему с основанием 2, заключается в том, что это значительно упрощает их реализацию с помощью современных электронных технологий. Вы могли бы подключить и построить компьютеры, работающие с основанием 10, но сейчас они были бы чертовски дорогими. С другой стороны, компьютеры с основанием 2 относительно дешевы.

Таким образом, компьютеры используют двоичные числа и поэтому используют двоичных цифр вместо десятичных цифр. Слово , бит , является сокращением слов «Двоичная цифра». В то время как десятичные цифры имеют 10 возможных значений от 0 до 9, биты имеют только два возможных значения: 0 и 1. Таким образом, двоичное число состоит только из 0 и 1, например: 1011.0) = 8 + 0 + 2 + 1 = 11

Как видите, в двоичных числах каждый бит содержит значение возрастающей степени двойки. Это делает двоичный счет довольно простым. Начиная с нуля и заканчивая 20, счет в десятичной и двоичной системе выглядит следующим образом:

 0 = 0
 1 = 1
 2 = 10
 3 = 11
 4 = 100
 5 = 101
 6 = 110
 7 = 111
 8 = 1000
 9 = 1001
10 = 1010
11 = 1011
12 = 1100
13 = 1101
14 = 1110
15 = 1111
16 = 10000
17 = 10001
18 = 10010
19 = 10011
20 = 10100 

Если вы посмотрите на эту последовательность, то увидите, что 0 и 1 одинаковы для десятичной и двоичной систем счисления.Под номером 2 вы видите, что сначала перенос происходит в двоичной системе. Если бит равен 1, и вы добавляете к нему 1, бит становится 0, а следующий бит становится 1. При переходе от 15 к 16 этот эффект переходит через 4 бита, превращая 1111 в 10000.

Биты встречаются редко один в компьютерах. Они почти всегда объединяются в 8-битные коллекции, и эти коллекции называются байт . Почему в байте 8 бит? Аналогичный вопрос: «Почему в дюжине 12 яиц?» 8-битный байт — это то, к чему люди пришли методом проб и ошибок за последние 50 лет.

С 8 битами в байте вы можете представить 256 значений в диапазоне от 0 до 255, как показано здесь:

 0 = 00000000
  1 = 00000001
  2 = 00000010
   ...
254 = 11111110
255 = 11111111 

В статье Как работают компакт-диски вы узнаете, что компакт-диск использует 2 байта или 16 бит на семпл. Это дает каждой выборке диапазон от 0 до 65 535, например:

 0 = 00000000000000000
    1 = 0000000000000001
    2 = 00000000000000010
     ...
65534 = 1111111111111110
65535 = 1111111111111111 

Далее мы рассмотрим один из способов использования байтов.

Формула для вычисления sqrt(2) двоичных чисел.

В двоичном представлении $\sqrt{2}$ больше единиц или нулей?

$\sqrt{2}$ — иррациональное число. Независимо от того, какую систему нумерации вы используете. Невозможно сказать, сколько каждого из них… потому что они продолжаются вечно.

Первый так много 1.01101010000010… никакой предсказуемости, не должно быть никакого «шаблона» в его двоичном представлении, и поэтому статистически отношение чисел 1 и 0 будет приближаться к 1.{-\frac{1}{2}+n} \pi \right)\right)}{\pi }$$

Это замкнутая формула для n-й цифры в двоичном представлении $\sqrt{2}$ за $n > 0$ и $n\in\mathbb{Z}$

 Таблица[sol22/. n -> m, {m, 1, 50}] // Развернуть
 

$1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1$

проверяет, работает ли:

 мм = N[Кв.[2], 16]; RealDigits[мм, 2][[1]]
 

$1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1$

эти последние целочисленные последовательности можно найти здесь OEIS A004539.

Еще один тест, проверяющий замкнутое выражение на числовое значение квадратного корня из двух по основанию 10:

 sol3 = Table[Block[{$MaxExtraPrecision = 10000}, N[Limit[sol22, n -> m], 10]], {m, 1, 600}] // Рационализировать // Тихо
N[FromDigits[{Drop[sol3, 0], 1}, 2], 166]
 

$1.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799073\ 24784621070388503875343276415727350138462307024924836055850737212\ 644121497099935831413222666$

 N[кв.[2], 166]
 

1 доллар.(-n), {n, 1, 164}], 50]

1,4142135623730950488016887242096980785696718753769$

PS: См. прилагаемый Блокнот.

Вложения:

Преобразователь двоичного кода в десятичный — w3resource


Двоичный номер:
[Введите двоичное число, например 1110, в следующее поле и нажмите кнопку Преобразовать.]

Десятичный номер:

Преобразование: двоичное в десятичное

 

Двоичная система счисления:

В математике и цифровой электронике двоичное число — это число, выраженное в двоичной системе счисления или системе счисления с основанием 2, которое представляет числовые значения с использованием двух разных символов: обычно 0 (ноль) и 1 (единица). Система с основанием 2 представляет собой позиционную систему с основанием 2. Из-за ее простой реализации в цифровых электронных схемах с использованием логических вентилей двоичная система используется внутри почти всех современных компьютеров и компьютерных устройств.Каждая цифра называется битом.

Десятичная система счисления:

Десятичная система счисления (также называемая основанием десять) имеет десять в качестве основания, что в десятичном виде записывается как 10, как и в любой позиционной системе счисления. Это числовая база, наиболее широко используемая современными цивилизациями.

Таблица преобразования двоичных данных в десятичные

Двоичный
Число
Десятичный
Числовой
0 0
1 1
10 2
11 3
100 4
101 5
110 6
111 7
1000 8
1001 9
1010 10
1011 11
1100 12
1101 13
1110 14
1111 15
10000 16
10001 17
10010 18
10011 19
10100 20
10101 21
10110 22
10111 23
11000 24
11001 25
11010 26
11011 27
11100 28
11101 29
11110 30
11111 31
100000 32
1000000 64
10000000 128
100000000 256

Следующий: Преобразовать двоичный в шестнадцатеричный

Как складывать двоичные числа — видео и расшифровка урока

Шаги

Двоичные числа — это числа, записанные с основанием два, а именно 0 и 1.Обычно мы записываем числа с основанием 10, называемые десятичными числами, т. е. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. двоичное число равно 1 по основанию 10. 10 в двоичном формате равно 2 по основанию 10. 11 в двоичном формате равно 3 по основанию 10.

Десятичное число Двоичный
0 0
1 1
2 10
3 11
4 100
5 101
6 110
7 111
8 1000
9 1001

Так продолжается, каждое последующее число получает дополнительную «1».По мере счета вы продолжаете добавлять новые цифры, как если бы вы делали это с другими числами. Компьютеры считают в двоичной системе, поэтому программисты и все, кто работает с электроникой, могут столкнуться с проблемами, связанными с двоичными вычислениями. Возможно, вам придется сложить 101 и 110 вместе.

Но как работает сложение в двоичном формате? Возьмем наш пример 101 и 110 и посмотрим, как это сделать:

Первый шаг — вспомнить правила двоичного сложения. Правила двоичного сложения немного отличаются от правил десятичного сложения, с которым мы знакомы.Двоичное сложение имеет только три правила:

  1. 0 + 0 = 0
  2. 0 + 1 = 1 или 1 + 0 = 1
  3. 1 + 1 = 10

Все, что вам нужно помнить, это то, что «0» и «0» дают 0. Если у вас есть «1» и «0», вы получите 1. Если у вас есть два »1»s, вы получите 10. И поскольку мы используем двоичную систему, мы не говорим здесь десять. Как мы уже говорили, мы читаем отдельные цифры вслух. Для 10 мы скажем «один-ноль». Для 110 мы скажем «один-один-ноль».

Шаг 1 — сложение двоичных чисел в соответствии с правилами сложения

После того, как вы вспомните правила сложения двоичных чисел, теперь вы можете складывать двоичные числа, следуя вышеупомянутым правилам.Вы складываете двоичные числа так же, как складываете другие числа, но помните о правилах двоичного сложения.

Вы идете справа налево. Итак, складывая 101 и 110, вы начинаете с правой стороны и складываете последнюю цифру обоих чисел вместе (1 + 0). Это равно 1. Вы записываете эту цифру. Это последняя цифра, конец вашего ответа.

Затем вы идете дальше и складываете цифры слева (0 + 1). Это также равно 1. Вы пишете это слева от последней цифры вашего ответа.

893 в двоичном формате: (893)10 = (?)2

В приведенном ниже пошаговом решении показано, как преобразовать (893)10 в эквивалентный ему двоичный код или число. Упорядочивание или запись остатков от MSB к LSB последовательной операции MOD-2 для десятичного числа 893 образует двоичный эквивалент 893.

Решенный Пример:
Что такое двоичный эквивалент числа 893?

шаг 1 Обратите внимание на входные параметры, значения и то, что нужно найти:

Входные значения:
Десятичное число = (41) 10

что нужно найти: 90 десятичное число 893?
(893)10 = (?)2

шаг 2 Выполните последовательную операцию MOD-2 для десятичного числа 893 и отметьте начальный остаток как LSB, а конечный остаток как MSB, как показано ниже: -2 893/2 = 446 Остальная часть 1 → LSB 446/2 = 223 остаток 0 223 MOD-2 223/2 = 111 Остальная часть 1 111 MOD-2 111/2 = 55 Остальная часть 1 55 MOD-2 55/2 = 27 Остальная часть 1 27 MOD-2 27/2 = 13 Остальная часть 1 8 13 MOD-2 13/2 = 6 9006 2 остаток 1 6 MOD-2 6/2 = 3 остаток 0 3 MOD-2 3/2 = 1 остаток составляет 1 1 / 2 = 0 893:
1101111101
893 10 = 1101111101 2

Следовательно,
двоичный эквивалент числа 893 равен (110111110101)2 4 База 10 в базу 2

Преобразование системы счисления —

 

Прежде чем читать эту статью, убедитесь, что вы прочитали предыдущую статью Основы системы счисления .

 

В системе счисления

  • Очень важно хорошо знать, как переводить числа из одного основания в другое.
  • Вот, мы узнаем, как преобразовать какой-либо данный номер от базы 10 на базу 2.

Десятичная к бинарному преобразованию-

Данное количество может быть преобразовано из базы 10 на любое другое основание с использованием метода деления и метода умножения.

 

6
Узнайте, сколько должны стоить товары и услуги от покраски автомобиля или перетяжки автомобильного лобового стекла

до найма свадебного организатора или повара в The Pricer .

После двух случаев возможен

, после двух случаев

Case-01: для номеров, несущих дробную часть —

  • Метод разделения используется для преобразования таких чисел из базы 10 на другой основание.
  • Деление выполняется с необходимым основанием.

 

Шаги для преобразования из базы 10 в базу 2-

 

  • Разделите данное число (в базе 10) на 2 до тех пор, пока результат не останется меньше 2 от основания. вверх, чтобы получить требуемое число по основанию 2.

 

Случай-02: для чисел, содержащих дробную часть —

 

лечится отдельно.

 

Для вещественной части —

 

Шаги, связанные с преобразованием действительной части из десятичной системы счисления в другую, аналогичны описанным выше.

 

Для дробной части —

 

  • Метод умножения используется для преобразования дробной части из десятичной системы в другую.
  • Умножение выполняется с требуемым основанием.

 

Шаги для преобразования числа 10 в основание 2-

 

  • Умножьте данную дробь (в основании 10) на 2.
  • Запишите действительную и дробную части полученного таким образом результата отдельно.
  • Умножьте дробную часть на 2.
  • Запишите отдельно действительную и дробную части полученного результата.
  • Повторяйте эту процедуру до тех пор, пока дробная часть не останется равной 0.
  • Если дробная часть не оканчивается на 0, найдите результат до необходимого количества разрядов.

Требуемое число в базе 2

= серия реальной части результатов умножения, полученные в вышеупомянутых шагах от верхней части до нижней части

также Read- преобразования в базу 10

Проблемы, основанные на десятичной к бинарной конверсию-

Проблемы —

Преобразование следующих чисел от базы 10 до базы 2-

  1. (18) 10
  2. (18.625) 10
  3. (172) 10
  4. (172.878)
  5. (172.878) 10

Solution —

1. (18)

4

(18) 10 → (?) 2

с использованием метода разделения, у нас есть-

отсюда, (18) 10 = (10010) 2

 

2.(18.625)

(18.625) 10 → (?) 2

Здесь мы относимся к реальной части и дробной части отдельно —

для Действительная часть-

 

  • Действительная часть равна (18) 10
  • . Мы преобразуем действительную часть из базы 10 в базу 2, используя тот же метод деления, что и выше.

Итак, (18) 10 = (10010) 2

для дробной части —

  • Фракционная часть (0.625) 10
  • Преобразуем дробную часть по основанию 10 в основание 2 методом умножения.
  • с использованием метода умножения, у нас есть-

    8 9005 9005 9005 фракционная часть 0.625 x 2 1 0.25 0,25 x 2 0 0,50 0,50 х 2 1 0

    Объяснение

    Шаг 01:

    • Умножить 0 .625 с 2. Результат = 1,25.
    • Запишите 1 в действительной части и 0,25 в дробной части.

     

    Шаг-02:

     

    • Умножьте 0,25 на 2. Результат = 0,50.
    • Запишите 0 в действительной части и 0,50 в дробной части.

     

    Шаг-03:

     

    • Умножьте 0,50 на 2. Результат = 1,0.
    • Запишите 1 в действительной части и 0,0 в дробной части.

     

    Так как дробная часть становится 0, мы останавливаемся.

     

    • Дробная часть обрывается до 0 после 3 итераций.
    • Пройдите по столбцу вещественной части сверху вниз, чтобы получить требуемое число в базе 2. часть и дробная часть, имеем-

      (18,625) 10 = (10010,101) 2

       

      3.(172) 3 10 50

      (172)
      (172) 10 → (?) 2

      Использование метода разделения, у нас есть-

      отсюда, (172) 10 = (10101100) 2

      3 10

      (172.878) 10 → (?) 2

      Здесь мы рассматриваем действительную часть и дробную часть отдельно:

       

      Для действительной части

       

      • Действительная часть равна (172) 10 900 основание 2 с использованием метода деления, как указано выше.

      Итак, (172) 10 = (10101100) 2

      для дробной части —

        • Фракционная часть (0.878)
        • Мы преобразуем дробная часть от основания 10 до основания 2 с использованием метода умножения.

        с использованием метода умножения, у нас есть-

      • 9005 Real Part Фракционная часть 0.878 х 2 1 0,756 0,756 х 2 1 0,512 0,512 х 2 1 0,024 0,024 х 2 0 0,048

         

        • Дробная часть не заканчивается на 0 после нескольких итераций.
        • Итак, найдем значение до 4 знаков после запятой.
        • Пройдите по столбцу вещественной части сверху вниз, чтобы получить требуемое число по основанию 2.

        отсюда, (0,878) 10 = (0.1110) = (0.1110) = (0.1110) 2

        Объединение результатов реальной части и дробной части, у нас есть-

        (172.878) 10 = (10101100.1110) 2

        Чтобы получить лучшее понимание о десятичных к бинарным преобразованиям,

        Смотреть это видео Лекция

        Следующая статья — Десятичная к восьмерикальной конверсии

        Получить больше заметки и другого исследования материал Система счисления .

        Смотрите видеолекции, посетив наш канал YouTube LearnVidFun .

        Краткий обзор

        Название статьи

        Преобразование десятичных чисел в двоичные | Основание 10 к основанию 2

        Описание

        Преобразование десятичного числа в двоичное. Мы используем метод деления для преобразования заданного числа из десятичного в основание 2.

    alexxlab

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.